ในเรขาคณิตเชิงฉายทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ซึ่งตั้งชื่อตามจิราร์ด เดซาร์กส์กล่าวไว้ว่า:

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะอยู่ในมุมมองตามแนวแกนก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมทั้งสอง นั้นอยู่ในมุมมองตามแนวศูนย์กลาง แล้วเท่านั้น

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะอยู่ในมุมมองแบบแกน ถ้าด้าน ที่สอดคล้องกัน ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสอง เมื่อต่อออกไปแล้วจะมาบรรจบกันที่จุดบนเส้นตรงเส้นหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าแกนของมุมมอง ส่วนรูปสามเหลี่ยมสองรูปจะอยู่ในมุมมองแบบศูนย์กลาง ถ้าเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ที่สอดคล้องกัน ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสอง มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของมุมมองทฤษฎีบทของเดซาร์กส์กล่าวว่า ความจริงของเงื่อนไขแรกเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความจริงของเงื่อนไขที่สอง

ทฤษฎีบทจุดตัดนี้เป็นจริงในระนาบยุคลิด ทั่วไป แต่ต้องระมัดระวังเป็นพิเศษในกรณีพิเศษ เช่น เมื่อด้านสองด้านขนานกัน ซึ่งจะทำให้ "จุดตัด" ของด้านทั้งสองนั้นอยู่ไกลออกไปจนถึงอนันต์ โดยทั่วไป เพื่อขจัดข้อยกเว้นเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์จะ "เติมเต็ม" ระนาบยุคลิดโดยการเพิ่มจุดที่อนันต์ ตามแนวคิดของฌอง-วิกเตอร์ ปองเซเลต์ซึ่งจะได้ระนาบเชิงฉาย (projective plane )

ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์เป็นจริงสำหรับระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงและสำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ที่นิยามทางพีชคณิตจากฟิลด์หรือวงแหวนหารซึ่งรวมถึงปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ที่มีมิติมากกว่าสองหรือที่ทฤษฎีบทของปัปปัสเป็นจริง อย่างไรก็ตาม มี " ระนาบที่ไม่ใช่เดซาร์กส์ " จำนวนมาก ซึ่งทฤษฎีบทของเดซาร์กส์เป็นเท็จ

ให้จุดยอด ทั้งสาม ของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเป็นa , bและcและจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งเป็นA , B และCให้จุดยอดของสามเหลี่ยมทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง เส้นตรงabและABตัดกันที่จุดแรก เส้นตรงacและACตัดกันที่จุดที่สอง และเส้นตรงbcและBCตัดกันที่จุดที่สาม การมองภาพแบบแกน (Axial perspectivity)หมายความว่าจุดทั้งสามนี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่าแกนของการมองภาพ (Axis of perspectivity ) การมองภาพแบบจุดศูนย์กลาง (Central perspectivity ) หมายความว่าเส้นตรงAa , BbและCcตัดกันที่จุดเดียวกัน เรียกว่าจุดศูนย์กลางของการมองภาพ (Center of perspectivity )

เดซาร์เกสไม่เคยตีพิมพ์ทฤษฎีบทนี้ แต่ทฤษฎีบทนี้ปรากฏในภาคผนวกชื่อวิธีการสากลของ ม. เดซาร์เกส สำหรับการใช้ทัศนียภาพ ( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective ) ในหนังสือปฏิบัติเกี่ยวกับการใช้ทัศนียภาพที่ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1648 ^{[ 1 ]}โดยเพื่อนและลูกศิษย์ของเขา อับราฮัม บอสเซ (ค.ศ. 1602–1676) ^{[ 2 ]}

ความสำคัญของทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟนามธรรมนั้น มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจะสอดคล้องกับทฤษฎีบทนั้นก็ต่อเมื่อมันสมสัณฐานกับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่นิยามไว้เหนือฟิลด์หรือวงแหวนแบ่งส่วนเท่านั้น

ในปริภูมิเชิงเส้นตรงเช่นระนาบยุคลิดข้อความที่คล้ายกันนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน แต่เฉพาะในกรณีที่ระบุข้อยกเว้นต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานเท่านั้น ดังนั้น ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์จึงเป็นหนึ่งในทฤษฎีบททางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด ซึ่งเหมาะสมกับปริภูมิเชิงฉายมากกว่าปริภูมิเชิงเส้นตรง

ตามนิยามแล้ว สามเหลี่ยมสองรูปจะเป็นสามเหลี่ยมทัศนียภาพก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมทั้งสองอยู่ในทัศนียภาพแบบจุดศูนย์กลาง (หรือเทียบเท่าตามทฤษฎีบทนี้ คืออยู่ในทัศนียภาพแบบแกน) โปรดทราบว่าสามเหลี่ยมทัศนียภาพไม่จำเป็นต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ภายใต้ความเป็นคู่มาตรฐานของเรขาคณิตเชิงฉายภาพระนาบ (โดยที่จุดสอดคล้องกับเส้นตรง และการเรียงตัวเป็นเส้นตรงของจุดสอดคล้องกับการทับซ้อนกันของเส้นตรง) ข้อความของทฤษฎีบทของ Desargues นั้นเป็นแบบคู่ในตัวเอง: มุมมองเชิงแกนจะถูกแปลเป็นมุมมองเชิงศูนย์กลาง และในทางกลับกัน การกำหนดค่าของ Desargues (ด้านล่าง) เป็นการกำหนดค่าแบบคู่ในตัวเอง^{[ 3 ]}

ความเป็นคู่ในตัวเองในข้อความนี้เกิดจากวิธีการเขียนทฤษฎีบทแบบสมัยใหม่ตามปกติ ในอดีต ทฤษฎีบทนี้เขียนไว้เพียงว่า "ในปริภูมิเชิงฉาย สามเหลี่ยมที่มีมุมมองศูนย์กลางคู่หนึ่งจะมีมุมมองตามแกน" และข้อความคู่ของข้อความนี้เรียกว่าบทกลับของทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ และถูกอ้างถึงด้วยชื่อนั้นเสมอ^{[ 4 ]}

ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ใช้ได้กับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟทุกมิติเหนือฟิลด์หรือวงแหวนแบ่งแยกใดๆ และยังใช้ได้กับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟนามธรรมที่มีมิติอย่างน้อย 3 ด้วย ในมิติ 2 ระนาบที่ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เรียกว่าระนาบเดซาร์กส์และเป็นระนาบเดียวกันกับระนาบที่สามารถกำหนดพิกัดเหนือวงแหวนแบ่งแยกได้ นอกจากนี้ยังมีระนาบที่ไม่ใช่เดซาร์กส์อีกหลายระนาบที่ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ใช้ไม่ได้

Pappus's hexagon theorem states that, if a hexagonAbCaBc is drawn in such a way that vertices a, b and c lie on a line and vertices A, B and C lie on a second line, then each two opposite sides of the hexagon lie on two lines that meet in a point and the three points constructed in this way are collinear. A plane in which Pappus's theorem is universally true is called Pappian. Hessenberg (1905)^[7] showed that Desargues's theorem can be deduced from three applications of Pappus's theorem.^[8]

The converse of this result is not true, that is, not all Desarguesian planes are Pappian. Satisfying Pappus's theorem universally is equivalent to having the underlying coordinate system be commutative. A plane defined over a non-commutative division ring (a division ring that is not a field) would therefore be Desarguesian but not Pappian. However, due to Wedderburn's little theorem, which states that all finite division rings are fields, all finite Desarguesian planes are Pappian. There is no known completely geometric proof of this fact, although Bamberg & Penttila (2015) give a proof that uses only "elementary" algebraic facts (rather than the full strength of Wedderburn's little theorem).

เส้นตรงสิบเส้นที่เกี่ยวข้องในทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ (ด้านหกด้านของรูปสามเหลี่ยม เส้นตรงสามเส้นAa , BbและCcและแกนของทัศนียภาพ) และจุดสิบจุดที่เกี่ยวข้อง (จุดยอดหกจุด จุดตัดสามจุดบนแกนของทัศนียภาพ และจุดศูนย์กลางของทัศนียภาพ) ถูกจัดเรียงไว้เพื่อให้แต่ละเส้นตรงผ่านจุดสามจุดจากสิบจุด และแต่ละจุดจากสิบจุดอยู่บนเส้นตรงสามเส้นจากสิบเส้น จุดและเส้นตรงสิบเส้นนี้ประกอบกันเป็นโครงร่างของเดซาร์กส์ซึ่งเป็นตัวอย่างของโครงร่างเชิงฉายแม้ว่าทฤษฎีบทของเดซาร์กส์จะเลือกบทบาทที่แตกต่างกันสำหรับเส้นตรงและจุดสิบจุดเหล่านี้ แต่โครงร่างของเดซาร์กส์เองนั้นมีความสมมาตร มากกว่า กล่าว คือ สามารถเลือกจุด ใดก็ได้จากสิบจุดให้เป็นจุดศูนย์กลางของทัศนียภาพ และการเลือกนั้นจะกำหนดว่าจุดหกจุดใดจะเป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมและเส้นตรงใดจะเป็นแกนของทัศนียภาพ

ทฤษฎีบทที่จำกัดนี้ระบุว่า ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมองจากจุดบนเส้นตรงที่กำหนด และด้านที่สอดคล้องกันสองคู่มาบรรจบกันบนเส้นตรงนั้นแล้ว ด้านที่สอดคล้องกันคู่ที่สามก็จะมาบรรจบกันบนเส้นตรงนั้นด้วยเช่นกัน ดังนั้น นี่จึงเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์เฉพาะกรณีที่จุดศูนย์กลางของการมองตามมุมมองอยู่บนแกนของการมองตามมุมมองเท่านั้น

ระนาบมูฟาง (Moufang plane)คือระนาบเชิงโปรเจกทีฟ (projective plane) ที่ทฤษฎีบทเดซาร์กส์เล็ก (Little Desargues theorem) ใช้ได้กับทุกเส้นตรง

• ทฤษฎีบทของปาสคาล

• ทฤษฎีบทเดซาร์กส์ที่MathWorld
• ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ที่cut-the-knot
• Monge ผ่านทาง Desarguesที่cut-the-knot
• การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ที่PlanetMath
• ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ในภาพร่างเรขาคณิตเชิงพลวัต