ทฤษฎีบทของเบิร์นไซด์บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทการนับของเบิร์นไซด์ ทฤษฎีบท โคชี-โฟรเบนิ อุส หรือทฤษฎีบทการนับวงโคจรเป็นผลลัพธ์ในทฤษฎีกลุ่มที่มักมีประโยชน์ในการพิจารณาสมมาตรเมื่อนับวัตถุทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทนี้ถูกค้นพบโดยออกัสติน หลุยส์ โคชีและเฟอร์ดินานด์ จอร์จ โฟรเบนิอุสและเป็นที่รู้จักกันดีหลังจากวิลเลียม เบิร์นไซด์อ้างถึง^{[ 1 ]}ผลลัพธ์นี้แจกแจงวงโคจรของกลุ่มสมมาตรที่กระทำต่อวัตถุบางอย่าง กล่าวคือ มันนับวัตถุที่แตกต่างกัน โดยพิจารณาวัตถุที่สมมาตรกันเป็นสิ่งเดียวกัน หรือนับวัตถุที่แตกต่างกันจนถึงความสัมพันธ์สมมูลสมมาตรหรือนับเฉพาะวัตถุในรูปแบบมาตรฐานตัวอย่างเช่น ในการอธิบายสารประกอบอินทรีย์ที่เป็นไปได้ของบางประเภท เราจะพิจารณาสารประกอบเหล่านั้นจนถึงสมมาตรการหมุนเชิงพื้นที่ ภาพวาดที่หมุนต่างกันของโมเลกุลที่กำหนดจะเหมือนกันทางเคมี (ในขณะที่ภาพสะท้อนอาจให้สารประกอบที่แตกต่างกัน )

อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มจำกัด ที่กระทำต่อเซต${\displaystyle X}$สำหรับแต่ละ${\displaystyle g}$ใน${\displaystyle G}$, อนุญาต${\displaystyle X^{g}}$แทนเซตขององค์ประกอบใน${\displaystyle X}$ที่ได้รับการแก้ไขโดย${\displaystyle g}$( ไม่เปลี่ยนแปลง ทางซ้าย โดย)${\displaystyle g}$): นั่นคือ${\displaystyle X^{g}=\{x\in X:g\cdot x=x\}.}$ ทฤษฎีบทของเบิร์นไซด์ยืนยันสูตรต่อไปนี้สำหรับจำนวนวงโคจรซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle |X/G|}$: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.}$$

ดังนั้น จำนวนวงโคจร ( จำนวนธรรมชาติหรือ+∞ ) จึงเท่ากับ จำนวนจุด เฉลี่ยที่ถูกตรึงโดยสมาชิกของGสำหรับกลุ่มอนันต์${\displaystyle G}$ยังคงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง อยู่ :

$${\displaystyle G\times X/G\ \longleftrightarrow \ \coprod _{g\in G}X^{g}.}$$

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเบิร์นไซด์ ขั้นตอนแรกคือการแสดงผลรวมของสมาชิกกลุ่มg  ∈ G ใหม่ ให้เป็นผลรวมที่เทียบเท่ากันของเซตของสมาชิกx ∈ X :   

${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|=\#\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}=\sum _{x\in X}|G_{x}|.}$

ที่นี่${\displaystyle X^{g}=\{x\in X:g\cdot x=x\}}$คือเซตของจุดของ${\displaystyle X}$ถูกกำหนดโดยองค์ประกอบ${\displaystyle g}$ของ${\displaystyle G}$, ในทางตรงกันข้าม${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}}$เป็นกลุ่มย่อยที่มีเสถียรภาพของ${\displaystyle G}$ซึ่งประกอบด้วยสมมาตรเหล่านั้นที่ตรึงจุดไว้${\displaystyle x\in X}$.

ทฤษฎีการรักษาเสถียรภาพวงโคจรกล่าวว่า สำหรับแต่ละ${\displaystyle x\in X}$มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อ หนึ่งตามธรรมชาติ ระหว่างวงโคจร${\displaystyle G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}}$และเซตของโคเซตซ้าย${\displaystyle G/G_{x}}$ทฤษฎีบทของลากรองจ์บ่งชี้ ว่า

$${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}$$

ดังนั้น ผลรวมจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

$${\displaystyle \sum _{x\in X}|G_{x}|=\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G\cdot x|}}=|G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G\cdot x|}}.}$$

การเขียน${\displaystyle X}$เป็นการรวมกันที่ไม่ต่อเนื่องของวงโคจรใน${\displaystyle X/G}$ให้

$${\displaystyle |G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G\cdot x|}}=|G|\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}=|G|\sum _{A\in X/G}1=|G|\cdot |X/G|.}$$

เมื่อนำทุกอย่างมารวมกัน จะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ:

$${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|=|G|\cdot |X/G|.}$$

นี่คล้ายกับการพิสูจน์สมการชั้นการสมมูลซึ่งพิจารณาการกระทำการสมมูลของ${\displaystyle G}$โดยตัวมันเอง นั่นคือ เป็นเช่นนั้น${\displaystyle X=G}$และ${\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}}$ดังนั้นตัวกันสั่นของ${\displaystyle x}$คือตัวรวมศูนย์${\displaystyle G_{x}=Z_{G}(x)}$.

ทฤษฎีบทของเบิร์นไซด์นับจำนวนวัตถุที่แตกต่างกัน แต่ไม่ได้สร้างวัตถุเหล่านั้นขึ้นมา โดยทั่วไป การสร้างเชิงการจัดเรียงที่มีการปฏิเสธไอโซมอร์ฟจะพิจารณาสมมาตรของ${\displaystyle g}$บนวัตถุ${\displaystyle x}$แต่แทนที่จะตรวจสอบว่า${\displaystyle g\cdot x=x}$มันจะตรวจสอบว่า${\displaystyle g\cdot x}$ยังไม่ได้ถูกสร้างขึ้น วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการตรวจสอบว่า${\displaystyle g\cdot x}$ไม่น้อยกว่าในเชิงพจนานุกรม${\displaystyle x}$โดยใช้สมาชิกที่น้อยที่สุดตามลำดับตัวอักษรของแต่ละคลาสสมมูลเป็นรูปแบบมาตรฐานของคลาส^{[ 3 ]}การนับวัตถุที่สร้างขึ้นด้วยเทคนิคดังกล่าวสามารถตรวจสอบได้ว่าบทพิสูจน์ของ Burnside ถูกนำไปใช้อย่างถูกต้อง

วิลเลียม เบิร์นไซด์กล่าวและพิสูจน์บทพิสูจน์นี้ในหนังสือเกี่ยวกับกลุ่มจำกัดของเขาในปี 1897 โดยอ้างอิงถึงฟรอเบนิอุสในปี 1887แต่แม้กระทั่งก่อนฟรอเบนิอุส สูตรนี้ก็เป็นที่รู้จักของคอชีในปี 1845 ดังนั้น บทพิสูจน์นี้จึงบางครั้งถูกเรียกว่าบทพิสูจน์ที่ไม่ใช่ของเบิร์นไซด์ [ ^{4 ] การ}อ้างอิงบทพิสูจน์ไปยังบุคคลอื่นที่ไม่ใช่ผู้ค้นพบดั้งเดิมเป็นตัวอย่างของกฎของสติกล์เลอร์เกี่ยวกับการตั้งชื่อตามบุคคล

• ทฤษฎีบทการนับของโปลยา
• ดัชนีวงจร