ในทางคณิตศาสตร์จุดตรึง (บางครั้ง ย่อว่า fixpoint ) หรือที่เรียกว่าจุดไม่เปลี่ยนแปลงคือค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง ที่กำหนด โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันจุดตรึงคือองค์ประกอบที่ถูกแปลงไปยังตัวมันเองโดยฟังก์ชันนั้น เซตของจุดตรึงใดๆ ของการแปลงก็เรียกว่าเซตไม่ เปลี่ยนแปลงเช่นกัน

ตามหลักการแล้วcเป็นจุดตรึงของฟังก์ชันf ก็ ต่อ เมื่อcอยู่ในทั้งโดเมนและโคโดเมนของfและf ( c ) = cโดยเฉพาะอย่างยิ่งfจะไม่มีจุดตรึงใดๆ เลยหากโดเมนของ f แยกออกจากโคโดเมน ถ้าfถูกนิยามบนจำนวนจริงในทางกราฟิกแล้ว f จะสอดคล้องกับเส้นโค้งในระนาบยุคลิดและจุดตรึงc แต่ละจุด จะสอดคล้องกับจุดตัดของเส้นโค้งกับเส้นตรงy = xดังแสดงในภาพ

ตัวอย่างเช่น ถ้าfถูกกำหนดบนจำนวนจริงโดย ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$ ดังนั้น 2 จึงเป็นจุดคงที่ของfเพราะ f (2) = 2

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีจุดตรึง: ตัวอย่างเช่นf ( x ) = x + 1ไม่มีจุดตรึง เพราะx + 1จะไม่เท่ากับxสำหรับจำนวนจริงใดๆ

ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการวนซ้ำจุดตรึงเป็นวิธีการคำนวณจุดตรึงของฟังก์ชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดฟังก์ชันมาให้${\displaystyle f}$ด้วยโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน จุดหนึ่ง${\displaystyle x_{0}}$ในขอบเขตของ${\displaystyle f}$การวนซ้ำจุดคงที่คือ

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

ซึ่งก่อให้เกิดลำดับ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ของการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแบบวนซ้ำ${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$ซึ่งหวังว่าจะมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง${\displaystyle x}$. ถ้า${\displaystyle f}$ถ้าค่าที่ได้มีความต่อเนื่อง ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าค่าที่ได้นั้นมีความต่อเนื่องเช่นกัน${\displaystyle x}$เป็นจุดคงที่ของ${\displaystyle f}$.

แนวคิดเรื่องจุดคงที่ดึงดูด จุดคงที่ผลักดัน และจุดคาบถูกกำหนดขึ้นโดยสัมพันธ์กับการวนซ้ำของจุดคงที่

ทฤษฎีบทจุดตรึงเป็นผลลัพธ์ที่กล่าวว่ามีจุดตรึงอย่างน้อยหนึ่งจุดภายใต้เงื่อนไขทั่วไปบางประการ^{[ 1 ]}

ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทจุดตรึงของ Banach (1922) ให้เกณฑ์ทั่วไปที่รับประกันว่า หากเป็นไปตามเกณฑ์นี้การวนซ้ำจุดตรึงจะลู่เข้าสู่จุดตรึงเสมอ

ทฤษฎีบทจุดตรึงของบราวเวอร์ (1911) กล่าวว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ จากทรงกลมหน่วย ปิด ในปริภูมิยุคลิดมิติnไปยังตัวมันเองจะต้องมีจุดตรึง แต่ไม่ได้อธิบายวิธีการหาจุดตรึงนั้น

ทฤษฎีบทจุดตรึงของเลฟเชตซ์ ( และทฤษฎีบทจุดตรึงของนีลเซน ) จากโทโพโลยีเชิงพีชคณิตให้วิธีการนับจำนวนจุดตรึง

ในพีชคณิตสำหรับกลุ่มGที่กระทำต่อเซตXด้วยการกระทำของกลุ่ม${\displaystyle \cdot }$กล่าวได้ ว่าxในXเป็นจุดคงที่ของgถ้า${\displaystyle g\cdot x=x}$.

กลุ่มย่อยจุดคงที่${\displaystyle G^{f}}$ของออโตมอร์ฟิซึมfของกลุ่มGคือกลุ่มย่อยของG : $${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

ในทำนองเดียวกันวงแหวนย่อยจุดคงที่${\displaystyle R^{f}}$ของออโตมอร์ฟิซึมfของริงRคือซับริงของจุดตรึงของfนั่นคือ $${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

ในทฤษฎีกาโลอิสเซตของจุดตรึงของเซตออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ หนึ่ง เรียกว่าฟิลด์ตรึงของเซตออโตมอร์ฟิซึม

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$กล่าวได้ว่ามีคุณสมบัติจุดตรึง (FPP) ถ้าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ

${\displaystyle f\colon X\to X}$

มีอยู่จริง${\displaystyle x\in X}$โดยที่${\displaystyle f(x)=x}$.

FPP เป็นค่าคงที่เชิงทอพอโลยีกล่าวคือ มันถูกรักษาไว้โดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ใดๆ นอกจากนี้ FPP ยังถูกรักษาไว้โดยการหดกลับ ใดๆ ด้วย

ตามทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwer เซตย่อยที่กระชับและนูน ทุกเซตในปริภูมิยุคลิดจะมี FPP ความกระชับเพียงอย่างเดียวไม่ได้หมายความถึง FPP และความนูนก็ไม่ใช่คุณสมบัติทางโทโพโลยีด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะถามว่าจะกำหนดลักษณะทางโทโพโลยีของ FPP ได้อย่างไร ในปี 1932 Borsukถามว่าความกระชับร่วมกับความสามารถในการหดตัวสามารถเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ FPP ได้หรือไม่ ปัญหานี้ยังคงเปิดอยู่เป็นเวลา 20 ปี จนกระทั่ง Kinoshita พิสูจน์ได้ว่าข้อสันนิษฐานนี้ไม่ถูกต้อง โดยเขาพบตัวอย่างของปริภูมิที่กระชับและหดตัวได้โดยไม่มี FPP ^{[ 2 ]}

ในทฤษฎีโดเมนแนวคิดและศัพท์เฉพาะของจุดตรึงจะถูกขยายไปสู่ลำดับบางส่วนให้ ≤ เป็นลำดับบางส่วนเหนือเซตXและให้f : X → Xเป็นฟังก์ชันเหนือXแล้วจุดตรึงก่อนหน้า (หรือสะกดว่าpre-fixed pointบางครั้งย่อเป็นprefixpointหรือpre-fixpoint ) ของfคือp ใดๆ ที่f ( p ) ≤ p ใน ทำนองเดียวกันจุดตรึงหลัง ของfคือp ใดๆ ที่p ≤ f ( p ) ^{[ 3 ]} บางครั้งมีการใช้ในทางตรงกันข้าม^{[ 4 ]} Malkis ให้เหตุผลนิยามที่นำเสนอไว้ที่นี่ดังนี้: "เนื่องจากfอยู่ก่อนเครื่องหมายอสมการในเทอมf ( x ) ≤ xดังนั้นx ดังกล่าว จึงเรียกว่า จุดตรึง ก่อน หน้า " ^{[ 5 ]}จุดตรึงคือจุดที่เป็นทั้งจุดตรึงก่อนหน้าและจุดตรึงหลัง จุดตรึงก่อนหน้าและจุดตรึงหลังมีการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี^{[ 6 ]}

ในตรรกศาสตร์เชิงผสมสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ ตัวรวมจุดคงที่ (fixed-point combinator) คือฟังก์ชันลำดับสูงกว่า${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$ฟังก์ชันนี้จะส่งคืนค่าจุดคงที่ของฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ หากมีอยู่ กล่าวคือ ถ้าฟังก์ชันfมีจุดคงที่ตั้งแต่หนึ่งจุดขึ้นไป แล้ว

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

ในตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ตรรกศาสตร์จุดตรึง (fixed-point logics) เป็นส่วนขยายของตรรกศาสตร์ภาคแสดงแบบคลาสสิก (classical predicate logic) ที่ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงการเรียกซ้ำ (recursion) การพัฒนาตรรกศาสตร์ประเภทนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพรรณนา (descriptive complexity theory)และความสัมพันธ์กับภาษาการสอบถามฐานข้อมูลโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับDatalog

ในหลายสาขา สภาวะสมดุลหรือเสถียรภาพเป็นแนวคิดพื้นฐานที่สามารถอธิบายได้ในแง่ของจุดคงที่ ตัวอย่างบางส่วนมีดังต่อไปนี้

• ในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟจุดคงที่ของโปรเจกทีฟเรียกว่าจุดคู่^{[ 8 ] [ 9 ]}
• ในทางเศรษฐศาสตร์สมดุลแนชของเกม คือจุดคงที่ของ ความสัมพันธ์ระหว่างการตอบสนองที่ดีที่สุดของเกมจอห์น แนชได้ใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่ของคากุทานิในบทความสำคัญของเขาซึ่งทำให้เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์
• ในฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการเปลี่ยนเฟส การทำให้เป็นเชิงเส้นใกล้ จุดคงที่ ที่ไม่เสถียรได้นำไปสู่ ผลงานที่ได้รับรางวัลโนเบลของวิลสัน ในการคิดค้น กลุ่มการปรับมาตรฐานและคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของคำว่า " ปรากฏการณ์วิกฤต " ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• คอมไพเลอร์ภาษาโปรแกรมใช้การคำนวณจุดคงที่สำหรับการวิเคราะห์โปรแกรม เช่น ในการวิเคราะห์การไหลของข้อมูลซึ่งมักจำเป็นสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพ โค้ด นอกจากนี้ยังเป็นแนวคิดหลักที่ใช้โดยวิธีการวิเคราะห์โปรแกรมทั่วไปที่เรียกว่าการตีความแบบนามธรรม^{[ 12 ]}
• ในทฤษฎีประเภท ตัวรวมจุดตรึงช่วยให้สามารถกำหนดฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำได้ในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่มีประเภท
• เวกเตอร์ของ ค่า PageRankของเว็บเพจทั้งหมดเป็นจุดคงที่ของการแปลงเชิงเส้นที่ได้มาจากโครงสร้างลิงก์ของเวิลด์ไวด์เว็บ
• การกระจายแบบคงที่ของลูกโซ่ Markovคือจุดคงที่ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นการเปลี่ยนสถานะหนึ่งขั้น
• จุดคงที่ใช้ในการค้นหาสูตรสำหรับฟังก์ชันที่ทำซ้ำ