ในพีชคณิตวงแหวนย่อยจุดตรึง ของออโตมอร์ ฟิซึม fของวงแหวนRคือวงแหวนย่อยของจุดตรึงของfนั่นคือ ${\displaystyle R^{f}}$

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าGเป็นกลุ่มที่กระทำต่อRแล้ว วงแหวนย่อยของR

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r\ {\text{ สำหรับทุก }}\ g\in G\}}$

เรียกว่าวงแหวนย่อยคงที่หรือในความหมายดั้งเดิมเรียกว่าวงแหวนของตัวแปรคงที่ภายใต้Gถ้าSเป็นเซตของออโตมอร์ฟิซึมของRสมาชิกของRที่ถูกตรึงโดยสมาชิกของSจะก่อให้เกิดวงแหวนของตัวแปรคงที่ภายใต้กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยSโดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนย่อยจุดตรึงของออโตมอร์ฟิซึมf คือวงแหวนของตัวแปรคงที่ของกลุ่มวัฏจักรที่สร้างขึ้นโดยf

ในทฤษฎีกาลัวส์เมื่อRเป็นฟิลด์และGเป็นกลุ่มของการแปลงอัตโนมัติของฟิลด์ วงแหวนคงที่ (Fixed Ring) จะเป็นฟิลด์ย่อยที่เรียกว่าฟิลด์คงที่ของกลุ่มการแปลงอัตโนมัติ ดูได้จากทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาลัวส์

นอกจากโมดูลของโคแวเรียนต์แล้ววงแหวนของอินแวเรียนต์ยังเป็นวัตถุสำคัญในการศึกษาทฤษฎีอินแว เรียนต์ ในทางเรขาคณิต วงแหวนของอินแวเรียนต์คือวงแหวนพิกัดของ ผลหาร GIT (แบบแอฟฟินหรือแบบโปรเจคทีฟ) และมีบทบาทพื้นฐานในการสร้าง ทฤษฎีอินแวเรียนต์ เชิง เรขาคณิต

ตัวอย่าง : ให้ R เป็นวงแหวนพหุนามในตัวแปรn ตัว กลุ่มสมมาตร S _nกระทำต่อRโดยการสลับตัวแปร ดังนั้นวงแหวนของตัวแปรคงที่คือวงแหวนของพหุนามสมมาตรถ้ากลุ่มพีชคณิตแบบลดรูปGกระทำต่อRแล้วทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีตัวแปรคงที่อธิบายถึงตัวสร้างของ R ^G${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle R^{G}=k[x_{1},\dots ,x_{n}]^{\operatorname {S} _{n}}}$

ปัญหาข้อที่สิบสี่ของฮิลเบิร์ตถามว่าวงแหวนของอินวาเรียนต์ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดหรือไม่ (คำตอบคือใช่ ถ้าGเป็นกลุ่มพีชคณิตแบบลดรูปตามทฤษฎีบทของนากาตะ) การสร้างอย่างจำกัดนั้นเห็นได้ง่ายสำหรับกลุ่มจำกัดGที่กระทำกับ พีชคณิต R ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด : เนื่องจากRเป็นจำนวนเต็มเหนือR ^G [ ^{1 ]} เลมมา ของอาร์ติน-เทตบ่งชี้ว่าR ^Gเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด คำตอบคือไม่ใช่สำหรับกลุ่มยูนิโพเทนต์^บางกลุ่ม

ให้Gเป็นกลุ่มจำกัด และให้S เป็นพีชคณิตสมมาตรของ โมดูลGมิติจำกัดGจะเป็นกลุ่มสะท้อนก็ต่อเมื่อเป็นโมดูลอิสระ (ที่มีอันดับ จำกัด ) เหนือS ⊆ ^G (ทฤษฎีบทของเชอวาลลีย์) ${\displaystyle S}$

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ถ้าGเป็นกลุ่มลีและG เป็นพีชคณิตลีแล้วแต่ละบันเดิลหลักของGบนแมนิโฟลด์Mจะกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตแบบแบ่งระดับ (เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมเชิร์น-ไวล์ ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )}$

โดยที่วงแหวนของฟังก์ชันพหุนามบนและGกระทำบนโดย การแสดงแทนแบบผกผัน${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$

• ความหลากหลายของตัวละคร