ในทางคณิตศาสตร์ CM -field คือ ฟิลด์จำนวนประเภทหนึ่งซึ่งตั้งชื่อตามความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการคูณเชิงซ้อนอีกชื่อหนึ่งที่ใช้คือ J- field

คำย่อ "CM" ได้รับการแนะนำโดย Shimura และ Taniyama ^{[ 1 ]}

ฟิลด์จำนวนKเป็นฟิลด์ CM ถ้ามันเป็นส่วนขยายกำลังสองK / Fโดยที่ฟิลด์ฐานFเป็นจำนวนจริงทั้งหมดแต่Kเป็นจำนวนจินตนาการทั้งหมดกล่าวคือ การฝังตัวทุกรูปแบบของFลงใน K เป็นฟิลด์ CM${\displaystyle \mathbb {C} }$อยู่ภายในทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {R} }$แต่ไม่มีการฝังKลงใน${\displaystyle \mathbb {R} }$.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีฟิลด์ย่อยFของKซึ่งKถูกสร้างขึ้นบนFโดยรากที่สองเดี่ยวขององค์ประกอบหนึ่ง เช่น β =${\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}$ในลักษณะที่พหุนามขั้นต่ำของ β บนฟิลด์จำนวนตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Q} }$รากทั้งหมดของมันเป็น จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริงดังนั้น α ควรมีค่าเป็นลบทั้งหมดเพื่อให้สำหรับแต่ละการฝังตัว σ ของ${\displaystyle F}$ในฟิลด์จำนวนจริง σ ( α ) < 0

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของสนาม CM คือการผันแปรเชิงซ้อนบน${\displaystyle \mathbb {C} }$เหนี่ยวนำให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมบนฟิลด์ซึ่งเป็นอิสระจากการฝังตัวลงในฟิลด์นั้น${\displaystyle \mathbb {C} }$ในสัญลักษณ์ที่กำหนด มันจะต้องกลับค่า β

ฟิลด์ตัวเลขKจะเป็นฟิลด์ CM ก็ต่อเมื่อมี "ข้อบกพร่องของหน่วย" กล่าวคือ ต้องมีฟิลด์ย่อยF ที่เหมาะสม ซึ่งมีกลุ่มหน่วยเหมือนกัน${\displaystyle \mathbb {Z} }$-มีอันดับเท่ากับK ( Remak 1954 )ในความเป็นจริงFเป็นฟิลด์ย่อยที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของKที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของ Dirichlet

• ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและสร้างแรงบันดาลใจของฟิลด์ CM คือฟิลด์กำลังสองเชิงจินตนาการซึ่งฟิลด์ย่อยที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดก็คือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะนั่นเอง
• หนึ่งในตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของสนาม CM คือสนามไซโคลโทมิก${\displaystyle \mathbb {Q} (\ซีตา _{n})}$ซึ่งเกิดจากรากที่ n ดั้งเดิมของเอกภาพมันคือส่วนขยายกำลังสอง จินตนาการทั้งหมด ของฟิลด์จริงทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})}$ อันหลังคือฟิลด์คงที่ของการผันเชิงซ้อนและ${\displaystyle \mathbb {Q} (\ซีตา _{n})}$ได้มาจากการเพิ่มรากที่สองของ ${\displaystyle (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})^{2}-4=(\zeta _{n}-\zeta _{n}^{-1})^{2}.}$
• ยูเนียนQ ^CMของฟิลด์ CM ทั้งหมดคล้ายกับฟิลด์ CM ยกเว้นว่ามีดีกรีอนันต์ มันคือส่วนขยายกำลังสองของยูเนียนของฟิลด์จำนวนจริงทั้งหมดQ ^R ทั้งหมด กลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ Gal( Q / Q ^R ) ถูกสร้างขึ้น (ในฐานะกลุ่มย่อยปิด) โดยสมาชิกทั้งหมดที่มีอันดับ 2 ใน Gal( Q / Q ) และ Gal( Q / Q ^CM ) เป็นกลุ่มย่อยที่มีดัชนี 2 กลุ่มกาโลอิส Gal( Q ^CM / Q ) มีศูนย์กลางที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกที่มีอันดับ 2 (การสังยุคเชิงซ้อน) และผลหารโดยศูนย์กลางของมันคือกลุ่ม Gal( Q ^R / Q )
• ถ้าVเป็นวาไรตี้อาเบเลียน เชิงซ้อน ที่มีมิติnแล้ว พีชคณิตอาเบเลียนF ใดๆ ของเอนโดมอร์ฟิซึมของVจะมีอันดับไม่เกิน 2n เหนือ Z ถ้ามีอันดับ 2n และ V เป็นวาไรตี้เชิงเดี่ยวแล้วFจะเป็นอันดับในฟิลด์ CM ในทางกลับกัน ฟิลด์ CM ใดๆ ก็เกิดขึ้นในลักษณะนี้จากวาไรตี้อาเบเลียนเชิงซ้อนเชิงเดี่ยวบางตัว ซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซจีนี
• ตัวอย่างหนึ่งของฟิลด์จินตนาการโดยสมบูรณ์ที่ไม่ใช่ CM คือฟิลด์จำนวนที่กำหนดโดยพหุนาม${\displaystyle x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1}$.