ในปี พ.ศ. 2506 Nicola Cabibboได้แนะนำมุม Cabibbo ( θc เพื่อรักษาความเป็นสากลของ ปฏิสัมพันธ์ แบบอ่อน^{[ 1 ]} Cabibbo ได้รับแรงบันดาลใจจากงานก่อนหน้าของMurray Gell-Mannและ Maurice Lévy ^{[ 2 ]} เกี่ยวกับเวกเตอร์ที่ไม่แปลกและแปลกที่หมุนอย่างมีประสิทธิภาพและกระแสอ่อนแกน ซึ่งเขาอ้างอิง^{[ 3 ]}

เมื่อพิจารณาจากแนวคิดปัจจุบัน (ควาร์กยังไม่ได้รับการเสนอ) มุม Cabibbo เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ที่ควาร์กดาวน์และควาร์กแปลกสลายตัวเป็นควาร์กอัพ (  | V | ² และ | V | ² ตามลำดับ) ในศัพท์ฟิสิกส์อนุภาค วัตถุที่เชื่อมต่อกับควาร์กอัพผ่านปฏิสัมพันธ์อ่อนกระแสประจุคือการซ้อนทับของควาร์กประเภทดาวน์ ซึ่งในที่นี้แสดงด้วยd′ [ ^{4 ] ใน} ทางคณิตศาสตร์คือ:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

หรือใช้มุมมองแบบคาบิบโบ:

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

เมื่อใช้ค่าที่ยอมรับกันในปัจจุบันสำหรับ | V |  และ | V |  (ดูด้านล่าง) มุม Cabibbo สามารถคำนวณได้โดยใช้

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

เมื่อ มีการค้นพบ ควาร์กเสน่ห์ในปี 1974 ก็พบว่าควาร์กดาวน์และควาร์กแปลกสามารถเปลี่ยนสถานะเป็นควาร์กอัพหรือควาร์กเสน่ห์ได้ ซึ่งนำไปสู่สมการสองชุด:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

หรือใช้มุมมองแบบคาบิบโบ:

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ ได้ ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

หรือใช้มุมคาบิบโบ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

โดยที่ | V | ²ต่างๆแทนความน่าจะเป็นที่ควาร์กชนิดjจะสลายตัวเป็นควาร์กชนิดi เมทริกซ์การหมุน 2×2 นี้เรียกว่า "เมทริกซ์ Cabibbo" และต่อมาได้ขยายเป็นเมทริกซ์ CKM 3×3 

ในปี พ.ศ. 2516 เมื่อสังเกตว่าการละเมิด CPไม่สามารถอธิบายได้ในแบบจำลองสี่ควาร์ก Kobayashi และ Maskawa จึงขยายเมทริกซ์ Cabibbo ไปเป็นเมทริกซ์ Cabibbo–Kobayashi–Maskawa (หรือเมทริกซ์ CKM) เพื่อติดตามการสลายตัวแบบอ่อนของควาร์กสามรุ่น: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

ด้านซ้ายคือ คู่ดับเบิลต์อัน มีปฏิสัมพันธ์อ่อนของควาร์กชนิดดาวน์ และด้านขวาคือเมทริกซ์ CKM พร้อมด้วยเวกเตอร์ของสถานะมวลของควาร์กชนิดดาวน์ เมทริกซ์ CKM อธิบายความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะจากควาร์กชนิดj หนึ่ง ไปเป็นควาร์กชนิดi อีกชนิดหนึ่ง การเปลี่ยนสถานะเหล่านี้เป็นสัดส่วนกับ| V | ²

ณ ปี 2023 การกำหนดค่าขนาด แต่ละค่า ขององค์ประกอบเมทริกซ์ CKM ที่ดีที่สุดคือ: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97435\pm 0.00016&0.22500\pm 0.00067&0.00369\pm 0.00011\\0.22486\pm 0.00067&0.97349\pm 0.00016&0.04182_{-0.00074}^{+0.00085}\\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020}&0.04110_{-0.00072}^{+0.00083}&0.999118_{-0.000036}^{+0.000031}\end{bmatrix}}.}$

เมื่อใช้ค่าเหล่านั้น เราสามารถตรวจสอบความเป็นเอกภาพของเมทริกซ์ CKM ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราพบว่าองค์ประกอบของเมทริกซ์แถวแรกให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.999997\pm 0.0007}$

ทำให้ผลการทดลองสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎีที่ 1

การเลือกใช้ควาร์กชนิดดาวน์ในนิยามนั้นเป็นเพียงข้อตกลง และไม่ได้แสดงถึงความไม่สมมาตรที่ต้องการทางกายภาพระหว่างควาร์กชนิดอัพและชนิดดาวน์ ข้อตกลงอื่นๆ ก็ใช้ได้เช่นกัน: สถานะมวลu , cและtของควาร์กชนิดอัพสามารถกำหนดเมทริกซ์ได้อย่างเทียบเท่ากันในแง่ของคู่ปฏิสัมพันธ์แบบอ่อนu′ , c′และt′เนื่องจากเมทริกซ์ CKM เป็นเมทริกซ์เอกภาพ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันของมันจึงเหมือนกับเมทริกซ์สลับตำแหน่งคู่ สังยุค ซึ่งตัวเลือกอื่นๆ ใช้ โดยปรากฏเป็นเมทริกซ์เดียวกันในรูปแบบที่เปลี่ยนแปลงไปเล็กน้อย

สำหรับกรณีN = 2 จะมีพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งก็คือมุมการผสมระหว่างควาร์กสองรุ่น ในทางประวัติศาสตร์ นี่คือเมทริกซ์ CKM เวอร์ชันแรกเมื่อทราบเพียงควาร์กสองรุ่นเท่านั้น มุมนี้เรียกว่ามุมคาบิบโบตามชื่อผู้คิดค้นคือนิโคลา คาบิบโบ  

สำหรับ กรณี แบบจำลองมาตรฐาน ( N = 3) จะมีมุมการผสมสามมุมและเฟสเชิงซ้อนที่ละเมิด CP หนึ่งเฟส^{[ 7 ]}  

การกำหนดพารามิเตอร์ดั้งเดิมของ Kobayashi และ Maskawa ใช้มุมสามมุม ( θ , θ , θ ) และมุมเฟสที่ละเมิด CP ( δ ) ^{[ 5 ]} θ คือมุม Cabibbo เพื่อความกระชับ โคไซน์และไซน์ของมุมθ จะถูกแทนด้วยc และs สำหรับk = 1, 2, 3ตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}c_{3}&s_{1}s_{3}\\-s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\-s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

การกำหนดพารามิเตอร์ แบบ "มาตรฐาน" ของ Chau-Keung ^{[ 8 ]}สำหรับเมทริกซ์ CKM ใช้มุมออยเลอร์ สามมุม ( θ , θ , θ ) และเฟสที่ละเมิด CP หนึ่งเฟส ( δ ) ^{[ 9 ]} θ คือมุม Cabibbo ซึ่งเป็นแบบแผนที่กลุ่มข้อมูลอนุภาค สนับสนุน การเชื่อมโยงระหว่างรุ่นควาร์กjและkจะหายไปหากθ = 0โคไซน์และไซน์ของมุมจะถูกแสดงด้วยc และs ตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}\\0&1&0\\-s_{13}&0&c_{13}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

ค่าพารามิเตอร์มาตรฐานในปี 2008 คือ: ^{[ 10 ]}

θ =13.04° ± 0.05° , θ =0.201° ± 0.011° , θ =2.38° ± 0.06°

และ

δ =1.20 ± 0.08 เรเดียน =68.8° ± 4.5 °

Lincoln Wolfensteinได้แนะนำการกำหนดพารามิเตอร์แบบที่สามของเมทริกซ์ CKM โดยใช้พารามิเตอร์จริงสี่ตัวคือλ , A , ρและηซึ่งทั้งหมดจะ 'หายไป' (เป็นศูนย์) หากไม่มีการเชื่อมต่อ^{[ 11 ]}พารามิเตอร์ Wolfenstein ทั้งสี่ตัวมีคุณสมบัติว่าทั้งหมดมีลำดับที่ 1 และเกี่ยวข้องกับการกำหนดพารามิเตอร์ 'มาตรฐาน':

${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$	${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{2}=s_{23}~,}$	${\displaystyle A={\frac {s_{23}}{\;s_{12}^{2}\;}}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )=s_{13}e^{-i\delta }~,\quad }$	${\displaystyle \rho =\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~,\quad \eta =-\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~.}$

แม้ว่าการกำหนดพารามิเตอร์ของ Wolfenstein สำหรับเมทริกซ์ CKM จะมีความแม่นยำได้ตามต้องการเมื่อดำเนินการไปจนถึงลำดับสูง แต่โดยส่วนใหญ่แล้วจะใช้เพื่อสร้างค่าประมาณที่สะดวกสำหรับการกำหนดพารามิเตอร์มาตรฐาน ค่าประมาณถึงลำดับλ ³ซึ่งมีความแม่นยำดีกว่า 0.3% คือ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

อัตรา การ ละเมิดCPสอดคล้องกับพารามิเตอร์η

โดยใช้ค่าของส่วนก่อนหน้าสำหรับเมทริกซ์ CKM ณ ปี 2008 การกำหนดค่าพารามิเตอร์ Wolfenstein ที่ดีที่สุดคือ: ^{[ 6 ]}

λ = 0.22500 ± 0.0067, A = 0.826 +0.018 −0.015 , ρ = 0.159±0.010 และη = 0.348±0.010