อนุภาคทั้งสามที่มีมวลอยู่ในสูตรโคอิเดะ มวลแสดงใน^{หน่วย} eV/ c²

สูตรโคอิเดะเป็นสมการเชิงประจักษ์ ที่ยังไม่มีคำอธิบาย ซึ่งเสนอโดยโยชิโอ โคอิเดะ ( [ko.i.de] , koe-ee-day ) ในปี 1981 โดยเชื่อมโยงมวลของอนุภาคเลปตอนที่มีประจุ ได้แก่อิเล็กตรอนมิวออนและเทาในลักษณะดังต่อไปนี้:

${\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}},}$

ค่าที่แน่นอนของค่านี้ยังคงอยู่ในขอบเขตการทดลอง ณ ปี 2557 ^{[ 1 ] : 64–66} ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$

สูตรของโคอิเดะได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยอิงจาก แบบจำลอง พรีออนซึ่งทำนายค่าของควาร์กและ มุม CKM ด้วยเช่นกัน อย่างไรก็ตาม การทำนายอื่นๆ เหล่านั้นถูกหักล้างโดยการทดลองแล้วในปัจจุบัน

ต่อมา นักเขียนท่านอื่นๆ ได้ขยายความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันนี้ไปยังนิวตริโนควาร์กและอนุภาคตระกูล อื่น ๆ

สูตรโคอิเดะมีดังนี้:

${\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}},}$

มวลของอิเล็กตรอนมิวออนและเทาถูกวัดเป็นm _e = ตามลำดับ0.510 998 950 00 (15)  MeV/ ค² ,ม. _μ =105.658 3755 (23) MeV/ c ²และ m _τ =1 776 .93(09) MeV/ c ² ; ตัวเลขในวงเล็บคือความไม่แน่นอนในหลักสุดท้าย ^{[ 2 ]}ซึ่งให้ Q =0.666 664 46 (508) . ^{[ a ]} ​​ซึ่งหมายความว่าการคาดการณ์ของสูตรในปัจจุบันมีความแม่นยำภายในขอบเขตการทดลอง

ปริศนาอยู่ที่ค่าทางกายภาพ ผลลัพธ์ไม่เพียงแต่แปลกประหลาดตรงที่ตัวเลขสามตัวที่ดูเหมือนจะสุ่มมาให้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนง่ายๆ เท่านั้น แต่ยังแปลกประหลาดตรงที่ในกรณีของอิเล็กตรอน มิวออน และเทา ค่าQอยู่กึ่งกลางระหว่างค่าสุดขั้วทั้งสองของชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดพอดี: ⁠ 1 /3(ถ้ามวลทั้งสามเท่ากัน) และ 1 (ถ้ามวลหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกสองมวลมาก) Qเป็นปริมาณที่ไม่มีมิติดังนั้นความสัมพันธ์นี้จึงใช้ได้ไม่ว่าหน่วยใดจะถูกใช้ในการแสดงขนาดของมวลก็ตาม

โรเบิร์ต ฟุต ยังตีความสูตรโคอิเดะเป็นความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต โดยที่ค่าคือค่าโคไซน์กำลังสองของมุมระหว่างเวกเตอร์และเวกเตอร์[1, 1, 1] (ดูผลคูณดอท ) ^{[ 3 ]}มุมนั้นเกือบจะเท่ากับ 45 องศาพอดี: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3Q}}}$${\displaystyle [{\sqrt {m_{\text{e}}}},{\sqrt {m_{\mu }}},{\sqrt {m_{\tau }}}]}$${\displaystyle \theta =45.000^{\circ }\pm 0.001^{\circ }.}$

เมื่อถือว่าสูตรนี้เป็นจริงอย่างแม่นยำ ( Q = ⁠2/3( ) อาจใช้เพื่อทำนายมวลเทาจากมวลอิเล็กตรอนและมิวออน (ซึ่งทราบอย่างแม่นยำกว่า) การทำนายนั้นคือ m _τ =1 776 .969 MeV/ c ² . ^{[ 4 ]}

แม้ว่าสูตรดั้งเดิมจะเกิดขึ้นในบริบทของ แบบจำลอง พรีออนแต่ก็มีการค้นพบวิธีอื่นในการได้มาซึ่งสูตรนี้ (ทั้งโดย Sumino และ Koide – ดูเอกสารอ้างอิงด้านล่าง) อย่างไรก็ตาม โดยรวมแล้ว ความเข้าใจยังคงไม่สมบูรณ์ มีการค้นพบการจับคู่ที่คล้ายกันสำหรับกลุ่มควาร์กสามตัวโดยขึ้นอยู่กับมวลที่เปลี่ยนแปลง^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}ด้วยควาร์กสลับกัน การเชื่อมโยงสมการ Koide สำหรับกลุ่มควาร์กสามตัวที่ต่อเนื่องกัน ทำให้สามารถบรรลุผลลัพธ์ได้173.263 947 (6) GeV/ c ²สำหรับมวลของควาร์กท็อป^{[ 8 ]}

เมื่อพิจารณาจำนวนจริงบวกสามจำนวนใดๆ เราจะได้ว่า

${\displaystyle {\frac {1}{3}}<Q={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{\left({\sqrt {x_{1}}}+{\sqrt {x_{2}}}+{\sqrt {x_{3}}}\right)^{2}}}<1,}$

ขอบเขตบนเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ารากที่สองจะต้องเป็นค่าบวกเสมอ และขอบเขตล่างเป็นผลมาจากอสมการโคชี-บุนยาคอฟสกี-ชวาร์ซค่าโคอิเดะ⁠ 2 /3ซึ่งอยู่ตรงกลางของช่วงที่อนุญาตทางคณิตศาสตร์ แต่โปรดทราบว่า หากยกเลิกข้อกำหนดเรื่องรากบวก ก็สามารถใส่ทูเปิลพิเศษลงในภาคควาร์กได้ (ภาคที่มีควาร์กแปลก ควาร์กเสน่ห์ และควาร์กก้นบ่อ)

ความสัมพันธ์ Koide แสดงสมมาตรการเรียงสับเปลี่ยนระหว่างมวลเลปตอนประจุทั้งสาม, , และ. ^{[ 9 ]}ซึ่งหมายความว่าค่าของยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับมวลเหล่านี้ เนื่องจากความสัมพันธ์ขึ้นอยู่กับผลรวมของมวลและผลรวมของรากที่สองของมวลเหล่านั้น การเรียงสับเปลี่ยนใดๆ ของ, , และจะทำให้ค่าคงที่: สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนใดๆของ. ${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle m_{\mu }}$${\displaystyle m_{\tau }}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle m_{\mu }}$${\displaystyle m_{\tau }}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {m_{\sigma ({\text{e}})}+m_{\sigma (\mu )}+m_{\sigma (\tau )}}{\left({\sqrt {m_{\sigma ({\text{e}})}}}+{\sqrt {m_{\sigma (\mu )}}}+{\sqrt {m_{\sigma (\tau )}}}\right)^{2}}}}$$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{{\text{e}},\mu ,\tau \}}$

ความสัมพันธ์ของ Koide นั้นเป็นแบบไม่ขึ้นกับขนาด กล่าวคือ การคูณมวลแต่ละค่าด้วยค่าคงที่ทั่วไปจะไม่ส่งผลต่อค่าของให้สำหรับแล้ว: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle m'_{i}=\lambda m_{i}}$${\displaystyle i={\text{e}},\mu ,\tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}Q'&={\frac {m'_{\text{e}}+m'_{\mu }+m'_{\tau }}{\left({\sqrt {m'_{\text{e}}}}+{\sqrt {m'_{\mu }}}+{\sqrt {m'_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {\lambda m_{\text{e}}+\lambda m_{\mu }+\lambda m_{\tau }}{\left({\sqrt {\lambda m_{\text{e}}}}+{\sqrt {\lambda m_{\mu }}}+{\sqrt {\lambda m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}=Q\end{aligned}}}$$

ดังนั้น จึงยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อปรับขนาดมวลด้วยตัวประกอบร่วม ${\displaystyle Q}$

การพิสูจน์ดั้งเดิม^{[ 10 ]} ตั้งสมมติฐานด้วยเงื่อนไข ${\displaystyle m_{e_{i}}\propto (z_{0}+z_{i})^{2}}$

${\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}=0}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2})=z_{0}^{2}}$

จากนั้นจึงได้สูตรดังกล่าว นอกจากนี้ มวลของนิวตริโนและควาร์กดาวน์ถูกตั้งสมมติฐานว่าแปรผันตรงกับในขณะที่มวลของควาร์กอัพถูกตั้งสมมติฐานว่าแปรผันตรงกับ${\displaystyle z_{i}^{2}}$${\displaystyle \propto (z_{0}+2z_{i})^{2}~.}$

แบบจำลองที่เผยแพร่^{[ 11 ]}พิสูจน์เงื่อนไขแรกว่าเป็นส่วนหนึ่งของแผนการทำลายสมมาตร และเงื่อนไขที่สองว่าเป็น "ประจุรสชาติ" สำหรับพรีออนในการโต้ตอบที่ทำให้เกิดการทำลายสมมาตรนี้

โปรดทราบว่าในรูปแบบเมทริกซ์ที่มีและสมการจะเป็นเพียงและ${\displaystyle M=A\ A^{\dagger }}$${\displaystyle A=Z_{0}+Z}$${\displaystyle \operatorname {tr} Z=0}$${\displaystyle \operatorname {tr} Z_{0}^{2}=\operatorname {tr} Z^{2}.}$

สูตรนี้ลดเหลือเพียงสองพารามิเตอร์ โดยทั่วไปมักใช้พารามิเตอร์มาตราส่วนและเฟส เพื่อให้สามารถแสดงมวลทั้งสามที่ตรงกับสูตรโคอิเดะได้ดังนี้

${\displaystyle {\sqrt {\,m_{n}\;}}=\mu \left[1+{\sqrt {2}}\cos \left(\delta +{\frac {\,2\pi \,}{3}}\cdot n\right)\right]~,~}$สำหรับn = 1, 2, 3

สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับเฟส โปรดดู Zenczykowski ^{[ 12 ]}

มีสูตรที่คล้ายกันซึ่งเชื่อมโยงมวลอื่นๆ มวลของควาร์กขึ้นอยู่กับมาตราส่วนพลังงานที่ใช้ในการวัด ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ซับซ้อนมากขึ้น^{[ 13 ]}

เมื่อนำควาร์กที่หนักที่สุดสามตัวมารวมกัน จะได้เป็นควาร์กชาร์ม (1.275 ± 0.03 GeV/ c ² ), ด้านล่าง (4.180 ± 0.04 GeV/ c ² ) และท็อป (173.0 ± 0.40 GeV/ c ² ) โดยไม่คำนึงถึงความไม่แน่นอน จะได้ค่าที่อ้างถึงโดย F. G. Cao (2012): ^{[ 14 ]}

${\displaystyle Q_{\text{heavy}}={\frac {m_{\text{c}}+m_{\text{b}}+m_{\text{t}}}{\left({\sqrt {m_{\text{c}}}}+{\sqrt {m_{\text{b}}}}+{\sqrt {m_{\text{t}}}}\right)^{2}}}\approx 0.669\approx {\frac {2}{3}}.}$

Rodejohann และ Zhang สังเกตเห็นเรื่องนี้ในบทความฉบับร่างปี 2011 ของพวกเขา^{[ 15 ]}แต่การสังเกตนี้ถูกลบออกในฉบับที่ตีพิมพ์^{[ 5 ]}ดังนั้นการกล่าวถึงครั้งแรกที่ตีพิมพ์จึงเกิดขึ้นในปี 2012 โดย Cao ^{[ 14 ]}

ความสัมพันธ์

${\displaystyle Q_{\text{middle}}={\frac {m_{\text{s}}+m_{\text{c}}+m_{\text{b}}}{\left(-{\sqrt {m_{\text{s}}}}+{\sqrt {m_{\text{c}}}}+{\sqrt {m_{\text{b}}}}\right)^{2}}}\approx 0.675}$

ได้รับการตีพิมพ์เป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ของ Rivero ^{[ 16 ]}ซึ่งตั้งข้อสังเกต (เชิงอรรถที่ 3 ในเอกสารอ้างอิง) ว่าการเพิ่มค่ามวลเสน่ห์ทำให้สมการทั้งสองสมการ ทั้งหนักและกลางมีความแม่นยำ

มวลของควาร์กที่เบาที่สุดขึ้นไป (2.2 ± 0.4 MeV/ c ² ), ลง (4.7 ± 0.3 MeV/ c ² ) และแปลก (95.0 ± 4.0 MeV/ c² ) โดยไม่ใช้ค่าความไม่แน่นอนจากการทดลอง จะได้ผลลัพธ์ ^{ดังนี้}

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {m_{\text{u}}+m_{\text{d}}+m_{\text{s}}}{\left({\sqrt {m_{\text{u}}}}+{\sqrt {m_{\text{d}}}}+{\sqrt {m_{\text{s}}}}\right)^{2}}}\approx 0.57,}$

ค่านี้ยังถูกอ้างถึงโดย Cao ในบทความเดียวกันอีกด้วย^{[ 14 ]}บทความเก่ากว่าH. Harariและคณะ^{[ 17 ]}คำนวณ ค่า ทางทฤษฎีสำหรับควาร์กอัพ ดาวน์ และสเตรนจ์ ซึ่งบังเอิญตรงกับสูตร Koide ในภายหลัง แม้ว่าควาร์กอัพจะไม่มีมวลก็ตาม

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {0+m_{\text{d}}+m_{\text{s}}}{\left({\sqrt {0}}+{\sqrt {m_{\text{d}}}}+{\sqrt {m_{\text{s}}}}\right)^{2}}}}$

นี่อาจถือได้ว่าเป็นการปรากฏตัวครั้งแรกของสูตรประเภทโคอิเดะในเอกสารทางวิชาการ

ความสัมพันธ์ผกผัน ${\displaystyle Q_{\text{inverse}}={\frac {1/m_{\text{d}}+1/m_{\text{s}}+1/m_{\text{b}}}{\left({\sqrt {1/m_{\text{d}}}}+{\sqrt {1/m_{\text{s}}}}+{\sqrt {1/m_{\text{b}}}}\right)^{2}}}}$

บังเอิญเป็น 2/3 พอดีที่พลังงาน 100 TeV ตาม^{[ 18 ]}และจะอยู่ภายในหนึ่งซิกมาของเศษส่วนที่แน่นอนในการดำเนินการกลุ่มการปรับมาตรฐานทั้งหมดเสมอ

ในทฤษฎีสนามควอนตัมปริมาณต่างๆ เช่นค่าคงที่การเชื่อมต่อและมวล "วิ่ง" ไปตามระดับพลังงาน^{[ 19 ]} กล่าวคือ ค่าของปริมาณเหล่านี้ขึ้นอยู่กับระดับพลังงานที่การสังเกตเกิดขึ้น ในลักษณะที่อธิบายโดยสมการกลุ่มการปรับมาตรฐาน (RGE) ^{[ 20 ]} โดยทั่วไปแล้ว เราคาดหวังว่าความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวจะเรียบง่ายที่พลังงานสูง (ซึ่งสมมาตร บางอย่าง ไม่ถูกทำลาย ) แต่ไม่ใช่ที่พลังงานต่ำ ซึ่งการไหลของ RG จะทำให้เกิดความเบี่ยงเบนที่ซับซ้อนจากความสัมพันธ์ที่พลังงานสูง ความสัมพันธ์ของ Koide นั้นแม่นยำ (ภายในข้อผิดพลาดในการทดลอง) สำหรับมวลขั้ว ซึ่งเป็นปริมาณพลังงานต่ำที่กำหนดไว้ที่ระดับพลังงานต่างๆ ด้วยเหตุนี้ ^นักฟิสิกส์หลายคนจึงถือว่าความสัมพันธ์นี้เป็น"ศาสตร์แห่งตัวเลข" [ ^{21 ]}

อย่างไรก็ตาม นักฟิสิกส์ชาวญี่ปุ่นยูกินาริ ซูมิโนะได้เสนอกลไกเพื่ออธิบายที่มาของสเปกตรัมของเลปตอนที่มีประจุ รวมถึงสูตรโคอิเดะ เช่น โดยการสร้างทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพด้วยสมมาตรเกจ ใหม่ ที่ทำให้มวลขั้วเป็นไปตามความสัมพันธ์อย่างแม่นยำ^{[ 22 ]} โคอิเดะได้เผยแพร่ความคิดเห็นของเขาเกี่ยวกับแบบจำลองของซูมิโนะ^{[ 23 ] [ 24 ]} วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของฟรองซัวส์ กอฟฟิเนต์ ได้กล่าวถึงมวลขั้วและวิธีการปรับปรุงสูตรโคอิเดะเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้รากที่สองสำหรับมวล^{[ 25 ]}

สมการกำลังสามมักเกิดขึ้นเมื่อมีการทำลายสมมาตรในการหาค่าสุญญากาศของฮิกส์ และเป็นสิ่งที่เป็นธรรมชาติเมื่อพิจารณาอนุภาคสามรุ่น ซึ่งเกี่ยวข้องกับการหาค่า ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์มวลขนาด 3 × 3

ในตัวอย่างนี้ ให้พิจารณาพหุนามลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle 4m^{3}-24n^{2}m^{2}+9n(n^{3}-4)m-9}$

โดยมีรากฐานที่มั่นคงและสร้างสรรค์ ${\displaystyle m_{j}:j=1,2,3,}$

ในการหาความสัมพันธ์ของ Koide ให้กำหนดและพหุนามที่ได้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น ${\displaystyle m\equiv x^{2}}$

${\displaystyle (2x^{3}-6nx^{2}+3n^{2}x-3)(2x^{3}+6nx^{2}+3n^{2}x+3)}$

หรือ

${\displaystyle 4(x^{3}-3nx^{2}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}x-{\tfrac {3}{2}})(x^{3}+3nx^{2}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}x+{\tfrac {3}{2}})}$

พหุนามสมมาตรพื้นฐานของรากจะต้องสร้างสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจากพหุนามที่พวกมันแก้ ดังนั้นและการนำอัตราส่วนของพหุนามสมมาตรเหล่านี้ แต่ยกกำลังสองพหุนามแรกเพื่อให้เราหารค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าออกไปเราจะได้สูตรแบบ Koide: โดยไม่คำนึงถึงค่าของคำตอบของสมการกำลังสามสำหรับจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=\pm 3n}$${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=+{\tfrac {3}{2}}n^{2}.}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {(3n^{2})}{(\pm 3n)^{2}}}={\frac {1}{3}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle 1-{\frac {2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}=1-{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}.}$

และ

${\displaystyle 1-{\frac {2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}.}$

แปลงกลับเป็น${\displaystyle {\sqrt {m}}=x}$

${\displaystyle {\frac {m_{1}+m_{2}+m_{3}}{\left({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}+{\sqrt {m_{3}}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}}.}$

สำหรับกรณีสัมพัทธภาพ วิทยานิพนธ์ของกอฟฟิเนต์นำเสนอวิธีการที่คล้ายกันในการสร้างพหุนามที่มีเฉพาะกำลังคู่เท่านั้น${\displaystyle m.}$

โคอิเดะเสนอว่าคำอธิบายสำหรับสูตรดังกล่าวอาจเป็นอนุภาคฮิกส์ที่มีประจุรสชาติที่กำหนดโดย: ${\displaystyle \mathrm {U} (3)}$${\displaystyle \Phi ^{a{\overline {b}}}}$

${\displaystyle V(\Phi )=\left[2\ \left[tr(\Phi )\right]^{2}-3\ tr(\Phi ^{2})\right]^{2}}$

โดยมีเงื่อนไขมวลของเลปตอนประจุที่กำหนดโดย^{[ 26 ]}ศักยภาพดังกล่าวจะถูกทำให้น้อยที่สุดเมื่อมวลตรงกับสูตร Koide การทำให้น้อยที่สุดไม่ได้ให้มาตราส่วนมวล ซึ่งจะต้องกำหนดโดยเงื่อนไขเพิ่มเติมของศักยภาพ ดังนั้นสูตร Koide อาจบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของอนุภาคสเกลาร์เพิ่มเติม นอกเหนือจาก ฮิกส์โบซอนของ แบบ จำลอง มาตรฐาน${\displaystyle {\overline {\psi }}\Phi ^{2}\psi .}$

อันที่จริง ศักยภาพของฮิกส์แบบหนึ่งก็คือซึ่งเมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์ออกมาในรูปของร่องรอยแล้ว จะสามารถลดรูปได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของโคอิเดะ ${\displaystyle V(\Phi )=\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\text{e}}}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\mu }}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\tau }}})]^{2}}$

• Koide, Y. (1983). "มุมมองใหม่เกี่ยวกับลำดับชั้นมวลของควาร์กและเลปตอน". Physical Review D. 28 ( 1): 252– 254. Bibcode : 1983PhRvD..28..252K . doi : 10.1103/PhysRevD.28.252 .

• Koide, Y. (1984). "Erratum: New view of quark and lepton mass hierarchy" . Physical Review D . 29 (7): 1544. Bibcode : 1984PhRvD..29Q1544K . doi : 10.1103/PhysRevD.29.1544 .

• Oneda, S.; Koide, Y. (1991). สมมาตรเชิงอะซิมโทติกและนัยสำคัญของมันในฟิสิกส์อนุภาคพื้นฐาน World Scientific . ISBN 978-981-02-0498-3.
• Koide, Y. (2000). "เมทริกซ์มวลควาร์กและเลปตอนที่มีรูปแบบคงที่ภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร" (PDF) . ฟิสิกส์ . arXiv : hep-ph/0005137 . Bibcode : 2000hep.ph....5137K . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2022-10-23 . สืบค้นเมื่อ2021-08-26 .
• Koide, Y. (2005). "ความท้าทายต่อปริศนาของมวลเลปตอนประจุ". arXiv : hep-ph/0506247 .
• Li, N.; Ma, B.-Q. (2006). "ความเป็นอิสระของระดับพลังงานสำหรับมวลของควาร์กและเลปตอน". Physical Review D . 73 (1) 013009. arXiv : hep-ph/0601031 . Bibcode : 2006PhRvD..73a3009L . doi : 10.1103/PhysRevD.73.013009 . S2CID  2624370 .
• Brannen, C. (2010). "ปริพันธ์เส้นทางสปินและรุ่น" (PDF) . พื้นฐานของฟิสิกส์ . 40 (11): 1681– 1699. arXiv : 1006.3114 . Bibcode : 2010FoPh...40.1681B . CiteSeerX  10.1.1.749.3756 . doi : 10.1007/s10701-010-9465-8 . S2CID  11007648 .(โปรดดูลิงก์ อ้างอิงในบทความไปยัง "มวลของเลปตอน" และ "ผลลัพธ์ล่าสุดจากการทดลอง MINOS")

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับสูตรโคอิเดะในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• Wolfram Alphaลิงก์นี้ใช้คำนวณหาค่ามวลเทา ที่คาดการณ์ได้ จากสูตรของ Koide