แคลคูลัสของพื้นผิวเคลื่อนที่ ( CMS ) ^{[ 1 ]}เป็นส่วนขยายของแคลคูลัสเทนเซอร์ แบบคลาสสิก สำหรับแมนิโฟลด์ ที่เปลี่ยนรูป หัวใจสำคัญของ CMS คืออนุพันธ์เวลาเทนเซอร์ซึ่งนิยามดั้งเดิม^{[ 2 ]}ได้รับการเสนอโดยJacques Hadamardมันมีบทบาทคล้ายคลึงกับอนุพันธ์โคแวเรียนต์บนแมนิโฟลด์เชิง อนุพันธ์ ตรงที่มันสร้างเทนเซอร์เมื่อนำไปใช้กับเทนเซอร์ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

สมมติว่าเป็นการวิวัฒนาการของพื้นผิวที่ระบุด้วยพารามิเตอร์คล้ายเวลานิยามของความเร็ว พื้นผิว และตัวดำเนินการเป็น พื้นฐาน ทางเรขาคณิตของ CMS ความเร็ว C คืออัตราการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของพื้นผิวใน ทิศทาง ตั้งฉาก ณ ขณะนั้น ค่าของณ จุดใดจุดหนึ่งถูกกำหนดให้เป็นลิมิต${\displaystyle \Sigma _{t}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle t}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{ระยะทาง}}(P,P^{*})}{h}}}$

จุดบนระนาบที่อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับ จุด P คือ ตำแหน่งใดคำจำกัดความนี้แสดงให้เห็นในรูปทรงเรขาคณิตแรกด้านล่าง ความเร็วเป็นปริมาณที่มีเครื่องหมาย: เป็นบวกเมื่อ ชี้ไปในทิศทางของเวกเตอร์ตั้งฉากที่เลือก และ เป็น ลบในกรณีอื่น ความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งและความเร็วคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งและความเร็วในแคลคูลัสเบื้องต้น: การรู้ปริมาณใดปริมาณหนึ่งทำให้สามารถสร้างอีกปริมาณหนึ่งได้โดยการหาอนุพันธ์หรือ การ หา ปริพันธ์${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{t+h}}$${\displaystyle \Sigma _{t}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\overline {PP^{*}}}}$${\displaystyle \Sigma _{t}}$${\displaystyle C}$

อนุพันธ์เวลาแบบเทนเซอร์สำหรับฟิลด์สเกลาร์ F ที่กำหนดบนคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของในทิศทางตั้งฉากทันที: ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle \Sigma _{t}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}}$

คำจำกัดความนี้ยังแสดงให้เห็นได้ในรูปทรงเรขาคณิตที่สองด้วย

คำจำกัดความข้างต้นเป็นเชิงเรขาคณิตในบริบทเชิงวิเคราะห์ การนำคำจำกัดความเหล่านี้ไปใช้โดยตรงอาจเป็นไปไม่ได้ CMS จึงให้ คำจำกัดความ เชิงวิเคราะห์ของ C และในแง่ของการดำเนินการพื้นฐานจากแคลคูลัสและเรขาคณิต เชิงอนุพันธ์${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

สำหรับ คำจำกัดความ เชิงวิเคราะห์ของและให้พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของที่กำหนดโดย ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)}$

โดยที่ เป็น พิกัดเชิงเส้นโค้งทั่วไปและเป็นพิกัดพื้นผิว ตามธรรมเนียมแล้ว ดัชนีเทนเซอร์ของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันจะถูกละทิ้ง ดังนั้นสมการข้างต้นจึงมีแทนที่จะ เป็น วัตถุความเร็วถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle Z^{i}}$${\displaystyle S^{\alpha }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\alpha }}$${\displaystyle {\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}__{i}}$

${\displaystyle V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}}$

สามารถคำนวณ ความเร็วได้โดยตรงที่สุดโดยใช้สูตร ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=V^{i}N_{i}}$

ส่วนประกอบโคแวเรียนต์ของเวกเตอร์ปกติอยู่ ที่ไหน${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle {\vec {N}}}$

นอกจากนี้ การกำหนดการแสดงแทนเทนเซอร์การเลื่อนของปริภูมิสัมผัสของพื้นผิวและความเร็วสัมผัสเป็นแล้วนิยามของอนุพันธ์สำหรับค่า คงที่F จะเป็นดังนี้${\displaystyle Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}}$${\displaystyle V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}}$${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F}$

โดยที่อนุพันธ์ร่วมแปรบน S คือ ค่าใด${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

สำหรับเทนเซอร์จำเป็นต้องมีการวางนัยทั่วไปที่เหมาะสม นิยามที่ถูกต้องสำหรับเทนเซอร์ตัวแทนมีดังนี้ ${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }}$

สัญลักษณ์ Christoffelอยู่ที่ไหนและสัญลักษณ์เชิงเวลาที่เหมาะสมสำหรับพื้นผิวคืออะไร ( คือการแสดงเมทริกซ์ของตัวดำเนินการรูปร่างความโค้งของพื้นผิว) ${\displaystyle \Gamma _{mj}^{k}}$${\displaystyle {\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }}$${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

อนุพันธ์-derivative สลับที่ได้กับการหดตัว และเป็นไปตามกฎผลคูณสำหรับชุดดัชนีใดๆ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }}$

และเป็นไปตามกฎลูกโซ่สำหรับข้อจำกัด พื้นผิว ของเทนเซอร์เชิงพื้นที่:

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}}$

กฎลูกโซ่แสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของ "เมตริก" เชิงพื้นที่มีค่าเป็นศูนย์ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0}$

โดยที่และ คือ เทนเซอร์เมตริกแบบโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์คือสัญลักษณ์เดลต้าของโครเนกเกอร์และและคือสัญลักษณ์เลวี-ซีวิทาบทความหลักเกี่ยวกับสัญลักษณ์เลวี-ซีวิทาอธิบายถึงสัญลักษณ์เหล่านี้สำหรับระบบพิกัดคาร์ที เซียน กฎข้างต้นใช้ได้ในพิกัดทั่วไป โดยที่นิยามของสัญลักษณ์เลวี-ซีวิทาต้องรวมถึงรากที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ของเทนเซอร์เมตริกแบบโคแวเรียน ต์ ด้วย ${\displaystyle Z_{ij}}$${\displaystyle Z^{ij}}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$${\displaystyle Z_{ij}}$

อนุพันธ์ของวัตถุพื้นผิวหลักนำไปสู่สูตรที่กระชับและน่าสนใจอย่างยิ่ง เมื่อนำไปใช้กับเทนเซอร์เมตริกพื้นผิวแบบโคแวเรียนต์และเทนเซอร์เมตริกแบบคอนทราแวเรียนต์จะได้เอกลักษณ์ต่อไปนี้ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$${\displaystyle S_{\alpha \beta }}$${\displaystyle S^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

โดยที่และ คือ เทนเซอร์ความโค้งแบบโคแวเรียนต์คู่ และแบบคอนทราแวเรียนต์คู่ ตามลำดับเทนเซอร์ความโค้งเหล่านี้ รวมถึงเทนเซอร์ความโค้งแบบผสมล้วนเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle B_{\alpha \beta }}$${\displaystyle B^{\alpha \beta }}$${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}}$

เทนเซอร์การเลื่อนและเวกเตอร์ปกติเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle Z_{\alpha }^{i}}$${\displaystyle N^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}}$

สุดท้ายนี้สัญลักษณ์ Levi-Civita บนพื้นผิว และความพึงพอใจ ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

CMS ให้กฎสำหรับการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของปริมาตรและปริพันธ์พื้นผิว

• รูปแบบ ADM