การตัดทอนเป็น กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการลบส่วนย่อยออกจากนิพจน์ทางคณิตศาสตร์เมื่อการลบนี้ไม่เปลี่ยนแปลงความหมายหรือค่าของนิพจน์ เนื่องจากส่วนย่อยมีผลเท่ากันและตรงข้ามกัน^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่นเศษส่วนจะถูกทำให้เป็นรูปอย่างง่ายที่สุดโดยการตัดทอนตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน^{[ 2 ]}อีกตัวอย่างหนึ่ง ถ้าa × b = a × cแล้วพจน์การคูณaสามารถตัดทอนได้ถ้าa ≠ 0 ส่งผลให้นิพจน์ที่เทียบเท่าคือb = cซึ่งเทียบเท่ากับการหารด้วย a

หากนิพจน์ย่อยไม่เหมือนกันทุกประการ ก็ยังอาจสามารถตัดทอนบางส่วนได้ ตัวอย่างเช่น ในสมการง่ายๆ 3 + 2y = 8y ทั้งสองข้างมี 2y อยู่ (เพราะ 8y เท่ากับ 2y + 6y) ดังนั้น 2y ทั้งสองข้างจึงสามารถตัดทอนได้เหลือ 3 = 6y หรือ y = 0.5 ซึ่งเทียบเท่ากับการลบ 2y ออกจากทั้งสองข้าง

บางครั้ง การตัดทอนอาจทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่จำกัดหรือคำตอบเพิ่มเติมให้กับสมการได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดอสมการab ≥ 3b ดูเหมือนว่าbทั้งสองข้างสามารถตัดทอนได้เพื่อให้ได้a ≥ 3เป็นคำตอบ แต่การตัดทอนแบบ 'ง่ายๆ' เช่นนี้ จะหมายความว่าเราไม่ได้คำตอบทั้งหมด (เซตของ ( a, b ) ที่สอดคล้องกับอสมการ) เนื่องจากถ้าbเป็นจำนวนลบการหารด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนความสัมพันธ์ ≥ เป็นความสัมพันธ์ ≤ ตัวอย่างเช่น แม้ว่า 2 จะมากกว่า 1 แต่ –2 น้อยกว่า –1 นอกจากนี้ ถ้าbเป็นศูนย์ศูนย์คูณอะไรก็ตามก็จะได้ศูนย์ และการตัดทอนจะหมายถึงการหารด้วยศูนย์ในกรณีนั้น ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น ในความเป็นจริง แม้ว่าการตัดทอนจะใช้ได้ผล แต่การตัดทอนอย่างถูกต้องจะนำเราไปสู่ ชุดคำตอบ สามชุด ไม่ใช่แค่ชุดเดียวอย่างที่เราคิดไว้ นอกจากนี้ยังจะบอกเราด้วยว่าคำตอบแบบ 'ง่ายๆ' ของเราเป็นคำตอบในบางกรณีเท่านั้น ไม่ใช่ทุกกรณี

• ถ้าb > 0:เราสามารถตัดทอนเพื่อให้ได้a ≥ 3 ได้
• ถ้าb < 0:การตัดทอนจะได้a ≤ 3 แทน เพราะในกรณีนี้เราจะต้องกลับความสัมพันธ์
• ถ้าbมีค่าเป็นศูนย์พอดี สม การจะเป็นจริงสำหรับค่าa ใดๆ ก็ตามเพราะทั้งสองข้างของสมการจะเป็นศูนย์ และ 0 ≥ 0

ดังนั้นจึงอาจต้องใช้ความระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าการตัดทอนนั้นทำได้อย่างถูกต้อง และไม่มีคำตอบใดถูกมองข้ามหรือผิดพลาด อสมการอย่างง่ายของเรามี คำตอบ สามชุด ซึ่งได้แก่:

• b > 0 และa ≥ 3 (ตัวอย่างเช่นb = 5 และa = 6 เป็นคำตอบ เพราะ 6 x 5 เท่ากับ 30 และ 3 x 5 เท่ากับ 15 และ 30 ≥ 15) หรือ
• b < 0 และa ≤ 3 (ตัวอย่างเช่นb = –5 และa = 2 เป็นคำตอบ เพราะ 2 x (–5) คือ –10 และ 3 x (–5) คือ –15 และ –10 ≥ –15) หรือ
• b = 0 (และaสามารถเป็นจำนวนใดก็ได้) (เพราะว่าอะไรก็ตาม x ศูนย์ ≥ 3 x ศูนย์)

วิธีแก้ปัญหาแบบ 'ง่ายๆ' ของเรา (ที่ว่าa ≥ 3) ก็อาจผิดได้ในบางครั้ง ตัวอย่างเช่น ถ้าb = –5 แล้วa = 4 ไม่ใช่คำตอบ แม้ว่า 4 ≥ 3 ก็ตาม เพราะ 4 × (–5) คือ –20 และ 3 x (–5) คือ –15 และ –20 ไม่ ≥ –15

ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง การตัดทอนสามารถใช้ในบริบทของอนุกรมอนันต์ซึ่งสามารถตัดทอนพจน์ต่างๆ เพื่อให้ได้ผลรวมจำกัดหรืออนุกรมลู่เข้าในกรณีนี้ มักใช้คำว่า " การย่ออนุกรม " จำเป็นต้องใช้ความระมัดระวังและป้องกันข้อผิดพลาดอย่างมากเพื่อให้แน่ใจว่าสมการที่แก้ไขแล้วจะถูกต้อง หรือเพื่อกำหนดขอบเขตที่สมการนั้นจะถูกต้อง เนื่องจากลักษณะของอนุกรมดังกล่าว

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์การตัดทอนมักถูกใช้เพื่อปรับปรุงความแม่นยำและลดเวลาในการประมวลผลของอัลกอริธึมเชิงตัวเลข

• อัล-จาบร
• พีชคณิตเบื้องต้น
• สมการ