ในทางคณิตศาสตร์ความจุของเซตในปริภูมิยูคลิดเป็นการวัด "ขนาด" ของเซตนั้น แตกต่างจากมาตรวัดเลเบส ซึ่งวัด ปริมาตร หรือขอบเขตทางกายภาพ ของเซตความจุเป็นอนาล็อกทางคณิตศาสตร์ของความสามารถของเซตในการกักเก็บประจุไฟฟ้า กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น มันคือค่าความจุของเซต: ประจุรวมที่เซตสามารถกักเก็บได้โดยรักษาระดับพลังงานศักย์ ที่กำหนด พลังงานศักย์คำนวณโดยเทียบกับพื้นดินในอุดมคติที่ระยะอนันต์สำหรับ ความจุแบบ ฮาร์มอนิกหรือแบบนิวตันและเทียบกับพื้นผิวสำหรับความจุแบบตัวเก็บประจุ

แนวคิดเรื่องความจุของเซตและเซตที่ "สามารถมีความจุได้" ถูกนำเสนอโดยGustave Choquetในปี 1950: สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูเอกสารอ้างอิง (Choquet 1986)

ให้ Σ เป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซปิด เรียบ มิติ ( n  − 1) ในปริภูมิยุคลิดมิติnโดยที่ n ≥ 3; Kจะแทน เซต กระชับมิติn (กล่าวคือปิดและมีขอบเขต ) ซึ่ง Σ เป็นขอบเขตให้ S เป็นไฮเปอร์เซอร์เฟ ซอีกอันหนึ่งมิติ ( n − 1) ที่ล้อมรอบ Σ: ในแง่ของที่มาในแม่เหล็กไฟฟ้าคู่ (Σ,  S ) เรียกว่าคอนเดนเซอร์ความจุคอนเดนเซอร์ของ Σ เทียบกับSซึ่งเขียนแทนด้วยC (Σ,  S ) หรือ cap(Σ,  S ) นั้นหาได้จากปริพันธ์พื้นผิว ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',}$

ที่ไหน:

• uคือฟังก์ชันฮาร์มอนิกที่ ไม่ซ้ำกัน ซึ่งกำหนดไว้บนบริเวณDระหว่าง Σ และSโดยมีเงื่อนไขขอบเขต u ( x ) = 1 บน Σ และu ( x ) = 0 บนS
• S ′คือพื้นผิวขั้นกลางใดๆ ระหว่าง Σ และS ;
• ${\displaystyle \nu }$คือสนามปกติหน่วย ภายนอก ไปยังS ′และ

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)}$

คืออนุพันธ์ปกติของuข้ามS ′และ

• σ _n  = 2 π  / Γ( n  ⁄ 2) คือพื้นที่ผิวของทรงกลมหน่วยใน.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

C (Σ,  S ) สามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่ากับปริมาตรอินทิกรัล

${\displaystyle C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

ความจุของคอนเดนเซอร์ยังมีลักษณะแปรผัน ด้วย : C (Σ,  S ) คือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันพลังงานของ Dirichlet

${\displaystyle I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}$

เหนือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ทั้งหมด vบนDโดยที่v ( x ) = 1 บน Σ และv ( x ) = 0 บนS

โดยหลักการแล้วความจุฮาร์มอนิกของKซึ่งเป็นบริเวณที่ล้อมรอบด้วย Σ สามารถหาได้โดยการหาความจุคอนเดนเซอร์ของ Σ เทียบกับอนันต์ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้uเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกในส่วนเติมเต็มของKที่สอดคล้องกับu  = 1 บน Σ และu ( x ) → 0 เมื่อx  → ∞ ดังนั้นuคือศักย์นิวตันของชั้นง่าย Σ จากนั้นความจุฮาร์มอนิกหรือความจุนิวตันของK ซึ่ง เขียนแทนด้วยC ( K ) หรือ cap( K ) จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

ถ้าSเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซที่หาความยาวได้ และล้อมรอบ Kอย่างสมบูรณ์ความจุฮาร์มอนิกสามารถเขียนใหม่ได้เทียบเท่ากับการอินทิเกรตเหนือSของอนุพันธ์แนวตั้งฉากภายนอกของu :

${\displaystyle C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .}$

ความจุฮาร์มอนิกสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นลิมิตของความจุคอนเดนเซอร์ กล่าวคือ ให้S _rแทนทรงกลมรัศมีrรอบจุดกำเนิดในเนื่องจากKมีขอบเขต สำหรับr ที่มาก พอS _rจะล้อมรอบKและ (Σ,  S _r ) จะก่อตัวเป็นคู่คอนเดนเซอร์ ความจุฮาร์มอนิกจึงเป็นลิมิตเมื่อrเข้าสู่อินฟินิตี้: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).}$

ความจุฮาร์มอนิกเป็นรูปแบบนามธรรมทางคณิตศาสตร์ของความจุไฟฟ้าสถิตของตัวนำKและจะมีค่าไม่เป็นลบและมีค่าจำกัดเสมอ: 0 ≤  C ( K ) < +∞

ความจุของ Wienerหรือค่าคงที่ Robin W(K)ของKกำหนดโดย

${\displaystyle C(K)=e^{-W(K)}}$

ในสองมิติ ความจุจะถูกกำหนดดังข้างต้น แต่ตัดปัจจัยในคำจำกัดความออกไป: ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma '={\frac {1}{2\pi }}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

สิ่งนี้มักเรียกว่าความจุเชิงลอการิทึมคำว่าลอการิทึมเกิดขึ้นเนื่องจากฟังก์ชันศักย์เปลี่ยนจากกำลังผกผันไปเป็นลอการิทึมในลิมิต ซึ่งจะอธิบายเพิ่มเติมด้านล่าง นอกจากนี้ยังอาจเรียกว่าความจุเชิงคอนฟอร์มัลได้ เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องกับรัศมีเชิงคอนฟอร์มัล ${\displaystyle n\to 2}$

ฟังก์ชันฮาร์มอนิกuเรียกว่าศักย์ความจุเรียกว่าศักย์นิวตันเมื่อและเรียกว่าศักย์ลอการิทึมเมื่อสามารถหาได้จากฟังก์ชันกรีนGดังนี้ ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle u(x)=\int _{S}G(xy)d\mu (y)}$

โดยที่xเป็นจุดภายนอกSและGถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle G(xy)={\frac {1}{|xy|^{n-2}}}}$

เมื่อไรและ ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle G(xy)=\log {\frac {1}{|xy|}}}$

สำหรับ. ${\displaystyle n=2}$

มาตรวัด นี้เรียกว่ามาตรวัดความจุหรือมาตรวัดสมดุลโดยทั่วไปถือว่าเป็นมาตรวัดแบบบอเรลซึ่งมีความสัมพันธ์กับความจุดังนี้ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle C(K)=\int _{S}d\mu (y)=\mu (S)}$

นิยามเชิงแปรผันของความจุเหนือพลังงาน Dirichletสามารถแสดงใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle C(K)=\left[\inf _{\lambda }E(\lambda )\right]^{-1}}$

โดยที่ค่าต่ำสุดถูกหาจากค่าบอเรลบวกทั้งหมดที่กระจุกตัวอยู่ที่Kปรับให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้และ โดยที่คือปริพันธ์พลังงาน ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (K)=1}$${\displaystyle E(\lambda )}$

${\displaystyle E(\lambda )=\int \int _{K\times K}G(xy)d\lambda (x)d\lambda (y)}$

การกำหนดลักษณะความจุของเซตเป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชันพลังงานที่บรรลุค่าขอบเขตเฉพาะที่ระบุไว้ข้างต้น สามารถขยายไปใช้กับฟังก์ชันพลังงานอื่น ๆ ในแคลคูลัสของการแปรผันได้

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรี สม่ำเสมอ ที่มีรูปแบบไดเวอร์เจนซ์

${\displaystyle \nabla \cdot (A\nabla u)=0}$

เป็นตัวลดค่าต่ำสุดของฟังก์ชันพลังงานที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x}$

โดยอยู่ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม

ความจุของเซตEเมื่อเทียบกับโดเมนDที่บรรจุE นั้น ถูกกำหนดให้เป็นค่าต่ำสุดของพลังงานเหนือฟังก์ชันที่อนุพันธ์ต่อเนื่อง ทั้งหมด vบนDโดยที่v ( x ) = 1 บนEและv ( x ) = 0 บนขอบของ D

พลังงานต่ำสุดเกิดขึ้นจากฟังก์ชันที่เรียกว่าศักยภาพความจุของEเทียบกับDและฟังก์ชันนี้จะแก้ปัญหาอุปสรรคบนDด้วยฟังก์ชันอุปสรรคที่กำหนดโดยฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของEศักยภาพความจุมีลักษณะเฉพาะอีกอย่างหนึ่งคือคำตอบเดียวของสมการที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม

• ความสามารถในการวิเคราะห์  – แนวคิดในการวิเคราะห์เชิงซับซ้อน
• ความจุไฟฟ้า  – ความสามารถของวัตถุในการกักเก็บประจุไฟฟ้า
• ศักย์แบบนิวตัน  – ฟังก์ชันของกรีนสำหรับลาปลาเซียน
• ทฤษฎีศักย์  – ฟังก์ชันฮาร์มอนิกเป็นคำตอบของสมการลาปลาส
• ทฤษฎีโชเกต์  – สาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและการวิเคราะห์เชิงนูน