ปัญหาอุปสรรคเป็นตัวอย่างกระตุ้นคลาสสิกใน การศึกษา ทางคณิตศาสตร์ของความไม่เท่าเทียมกันแบบแปรผันและปัญหาขอบเขตอิสระปัญหาคือการหา ตำแหน่ง สมดุลของเยื่อหุ้มยืดหยุ่นที่มีขอบเขตคงที่ และถูกจำกัดให้อยู่เหนืออุปสรรคที่กำหนด ปัญหานี้มีความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งกับการศึกษาพื้นผิวขั้นต่ำและความจุของเซตในทฤษฎีศักย์เช่นกัน การประยุกต์ใช้รวมถึงการศึกษาการกรองของไหลในตัวกลางที่มีรูพรุน การให้ความร้อนแบบมีข้อจำกัด ความยืดหยุ่น-พลาสติกการควบคุมที่เหมาะสมและคณิตศาสตร์ทางการเงิน^{[ 1 ]}

การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์นั้นมีจุดมุ่งหมายเพื่อหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน พลังงานของ Dirichlet

${\displaystyle \displaystyle J=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

ในบางโดเมนที่ฟังก์ชันแสดงถึงการกระจัดในแนวดิ่งของเยื่อหุ้มเซลล์ นอกจากจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตของ Dirichletที่สอดคล้องกับขอบเขตคงที่ของเยื่อหุ้มเซลล์แล้ว ฟังก์ชันเหล่านั้นยังถูกจำกัดให้มีค่ามากกว่าฟังก์ชันสิ่งกีดขวาง ที่กำหนดไว้ ด้วย คำตอบจะแบ่งออกเป็นบริเวณที่คำตอบเท่ากับฟังก์ชันสิ่งกีดขวาง ซึ่งเรียกว่าเซตสัมผัสและบริเวณที่คำตอบอยู่เหนือสิ่งกีดขวาง ส่วนเชื่อมต่อระหว่างสองบริเวณนี้เรียกว่าขอบเขตอิสระ${\displaystyle D}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \phi (x)}$

โดยทั่วไปแล้ว คำตอบจะมีความต่อเนื่องและมี อนุพันธ์อันดับแรก ที่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์แต่โดยทั่วไปแล้วคำตอบจะไม่ต่อเนื่องในอนุพันธ์อันดับสองเมื่อข้ามขอบเขตอิสระ ขอบเขตอิสระมีลักษณะเป็น พื้นผิว ที่ต่อเนื่องแบบโฮลเดอร์ยกเว้นที่จุดเอกฐานบางจุด ซึ่งอยู่บนแมนิโฟลด์เรียบ

Qualche tempo dopo Stampacchia, partendo semper dalla sua disequazione variazionale, aperse un nuovo campo di ricerche che si rivelò สำคัญและ fecondo Si tratta di quello che oggi è chiamato il problemsa dell'ostacolo . ^{[ 2 ]}

ปัญหาอุปสรรคเกิดขึ้นเมื่อพิจารณารูปร่างของฟิล์มสบู่ในโดเมนที่มีตำแหน่งขอบเขตคงที่ (ดูปัญหาของ Plateau ) โดยมีข้อจำกัดเพิ่มเติมว่าเมมเบรนถูกจำกัดให้อยู่เหนือสิ่งกีดขวางบางอย่างภายในโดเมนด้วย^{[ 3 ]}ในกรณีนี้ ฟังก์ชันพลังงานที่จะต้องลดให้เหลือน้อยที่สุดคือปริพันธ์พื้นที่ผิว หรือ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \displaystyle J(u)=\int _{D}{\sqrt {1+|\nabla u|^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

ปัญหานี้สามารถทำให้เป็นเชิงเส้นได้ในกรณีของการรบกวนเล็กน้อย โดยการขยายฟังก์ชันพลังงานในรูปอนุกรมเทย์เลอร์และพิจารณาเฉพาะพจน์แรกเท่านั้น ซึ่งในกรณีนี้พลังงานที่จะต้องทำให้มีค่าน้อยที่สุดคือพลังงานดิริชเลต์ มาตรฐาน

${\displaystyle \displaystyle J(u)=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

ปัญหาอุปสรรคยังเกิดขึ้นในทฤษฎีการควบคุมโดยเฉพาะอย่างยิ่งในประเด็นการหาเวลาหยุดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับกระบวนการสุ่มที่มีฟังก์ชันผลตอบแทน ${\displaystyle \phi (x)}$

ในกรณีง่ายๆ ที่กระบวนการเป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์และกระบวนการถูกบังคับให้หยุดเมื่อออกจากโดเมน วิธีแก้ปัญหาอุปสรรคสามารถอธิบายได้ว่าเป็นค่าที่คาดหวังของผลตอบแทน โดยเริ่มกระบวนการที่หากปฏิบัติตามกลยุทธ์การหยุดที่เหมาะสม เกณฑ์การหยุดก็คือควรหยุดเมื่อถึงเซตสัมผัส^{[ 4 ]}${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle x}$

สมมติว่ามีข้อมูลดังต่อไปนี้:

1. โดเมนเปิดที่ มี ขอบเขต และพื้นผิวเรียบ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$
2. ฟังก์ชันเรียบ บน( ขอบเขตของ)${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle D}$
3. ฟังก์ชันเรียบที่กำหนดบนทุกค่าของโดยที่ นั่นคือ การจำกัดของบนขอบเขตของ( ร่องรอย ของมัน ) มีค่าน้อยกว่า${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \varphi |_{\partial D}<f}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$

จากนั้นพิจารณาเซตดังกล่าว

${\displaystyle \displaystyle K=\left\{v\in H^{1}(D):v|_{\partial D}=f{\text{ and }}v\geq \varphi \right\},}$

ซึ่งเป็นเซตย่อยนูนปิดของ ปริภูมิโซโบเลฟของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ กำลังสองได้ โดยมีโดเมนที่อนุพันธ์อันดับแรกแบบอ่อนสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ และประกอบด้วยฟังก์ชันเหล่านั้นที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่ต้องการและมีค่าสูงกว่าสิ่งกีดขวาง คำตอบของปัญหาสิ่งกีดขวางคือฟังก์ชัน ที่ทำให้ ปริพันธ์พลังงานมีค่าน้อยที่สุด${\displaystyle H^{1}(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u\in K}$

${\displaystyle \displaystyle J(v)=\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}$

เหนือฟังก์ชันทั้งหมดที่เป็นของ; ในสัญลักษณ์ ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle J(u)=\operatorname {min} _{v\in K}J(v){\text{ หรือ }}u\in \operatorname {Argmin} _{K}J.}$

การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของตัวลดค่าดังกล่าวได้รับการรับรองโดยการพิจารณาทฤษฎีของพื้นที่ฮิลเบิร์ต^{[ 3 ] [ 5 ]}

ปัญหาอุปสรรคสามารถปรับเปลี่ยนรูปแบบได้เป็นปัญหามาตรฐานในทฤษฎีอสมการแปรผันบนปริภูมิฮิลเบิร์ตการค้นหาตัวลดพลังงานในชุดฟังก์ชันที่เหมาะสมนั้นเทียบเท่ากับการค้นหา ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle u\in K}$โดยที่${\displaystyle \int _{D}{\nabla u}\cdot {\nabla (vu)}\ชื่อผู้ดำเนินการ {d} x\geq 0\qquad \forall v\in K,}$

โดยที่ผลคูณสเกลาร์ธรรมดาในปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติจำกัดคือ นี่เป็นกรณีพิเศษของรูปแบบทั่วไปของอสมการแปรผันบนปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งคำตอบเป็นฟังก์ชันในเซตย่อยนูนปิดบางส่วนของปริภูมิโดยรวม โดยที่ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle a(u,vu)\geq l(vu)\qquad \forall v\in K.\,}$

สำหรับรูปแบบทวิเชิงเส้นที่^มีค่าจริงและขอบเขตที่บังคับและฟังก์ชันเชิงเส้น ที่มีขอบเขต บน^[ 6 ^]${\displaystyle (v,w)\mapsto a(v,w)}$${\displaystyle v\mapsto l(v)}$${\displaystyle H^{1}(D)}$

การให้เหตุผลเชิงแปรผันแสดงให้เห็นว่า เมื่ออยู่นอกเซตสัมผัส คำตอบของปัญหาอุปสรรคจะเป็นฮาร์มอนิก การให้เหตุผลที่คล้ายกันซึ่งจำกัดเฉพาะการแปรผันที่เป็นบวกแสดงให้เห็นว่าคำตอบเป็นซูเปอร์ฮาร์มอนิกบนเซตสัมผัส เมื่อรวมกันแล้ว การให้เหตุผลทั้งสองบ่งชี้ว่าคำตอบเป็นฟังก์ชันซูเปอร์ฮาร์มอนิก^{[ 1 ]}

ในความเป็นจริง การประยุกต์ใช้หลักการสูงสุดแสดงให้เห็นว่าคำตอบของปัญหาอุปสรรคคือฟังก์ชันซูเปอร์ฮาร์มอนิกที่น้อยที่สุดในชุดของฟังก์ชันที่ยอมรับได้^{[ 6 ]}

วิธีแก้ปัญหาอุปสรรคมีลักษณะสม่ำเสมอหรือ มี อนุพันธ์อันดับสองที่จำกัดเมื่ออุปสรรคนั้นมีคุณสมบัติเหล่านี้^{[ 7 ]} กล่าว โดยละเอียดคือค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่อง ของวิธีแก้ปัญหา และค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่องสำหรับอนุพันธ์ของวิธีแก้ปัญหาจะสัมพันธ์กับค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่องของอุปสรรค ${\displaystyle C^{1,1}}$

1. ถ้าอุปสรรคมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องนั่นคือแล้วคำตอบจะมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องที่กำหนดโดย โดยที่ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับโดเมนเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับอุปสรรค${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \sigma (r)}$${\displaystyle |\phi (x)-\phi (y)|\leq \sigma (|xy|)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle C\sigma (2r)}$
2. ถ้าอนุพันธ์อันดับแรกของอุปสรรคมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องอนุพันธ์อันดับแรกของคำตอบจะมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องที่กำหนดโดย โดยที่ค่าคงที่จะขึ้นอยู่กับโดเมนเท่านั้น^{[ 8 ]}${\displaystyle \sigma (r)}$${\displaystyle Cr\sigma (2r)}$

ภายใต้เงื่อนไขความเสื่อม ระดับเซตของความแตกต่างระหว่างคำตอบและอุปสรรคสำหรับเป็นพื้นผิว ขอบเขตอิสระ ซึ่งเป็นขอบเขตของเซตที่คำตอบพบกับอุปสรรค ก็เป็นเช่นกันยกเว้นบนเซตของจุดเอกฐานซึ่งตัวมันเองอาจแยกเดี่ยวหรือบรรจุอยู่ในแมนิโฟลด์ เฉพาะที่ ^{[ 9 ]}${\displaystyle \{x:u(x)-\phi (x)=t\}}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle C^{1,\alpha }}$${\displaystyle C^{1,\alpha }}$${\displaystyle C^{1}}$

ทฤษฎีของปัญหาอุปสรรคได้รับการขยายไปยังตัวดำเนินการวงรี แบบสม่ำเสมอรูปแบบการล divergence อื่นๆ [ ^{6 ]}และฟังก์ชันพลังงานที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังสามารถขยายไปยังตัวดำเนินการวงรีที่เสื่อมสภาพได้อีก ^ด้วย

ปัญหาอุปสรรคคู่ ซึ่งฟังก์ชันถูกจำกัดให้อยู่เหนือฟังก์ชันอุปสรรคหนึ่งและอยู่ใต้ฟังก์ชันอุปสรรคอีกฟังก์ชันหนึ่ง ก็เป็นปัญหาที่น่าสนใจเช่นกัน

ปัญหาซิกนอรินี (Signorini problem)เป็นรูปแบบหนึ่งของปัญหาอุปสรรค โดยที่ฟังก์ชันพลังงานจะถูกทำให้มีค่าต่ำสุดภายใต้ข้อจำกัดที่อยู่บนพื้นผิวที่มีมิติน้อยกว่าหนึ่งมิติ ซึ่งรวมถึงปัญหาอุปสรรคที่ขอบเขต (boundary obstacle problem ) ที่ข้อจำกัดนั้นกระทำบนขอบเขตของโดเมน

กรณีปัญหาอุปสรรคที่มีลักษณะ เป็นพาราโบลา และขึ้นอยู่กับเวลา รวมถึงรูปแบบต่างๆ ของปัญหาดังกล่าว ก็เป็นหัวข้อของการศึกษาเช่นกัน

• พื้นผิวน้อยที่สุด
• อสมการแปรผัน
• ปัญหาของซิญญอรินี

• Faedo, Sandro (1986), "Leonida Tonelli e la scuola matematica pisana" ใน Montalenti, G.; อเมริโอ แอล. ; อควาโร ก.; บายาดา อี.; และคณะ (บรรณาธิการ), Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985) , Atti dei Convegni Lincei (ในภาษาอิตาลี), เล่ม. 77, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , หน้า  89– 109, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2011-02-23 , ดึงข้อมูลเมื่อ 2013-02-12" ลีโอนิดา โทเนลลี และโรงเรียนคณิตศาสตร์แห่งปิซา " เป็นการสำรวจผลงานของโทเนลลีในปิซาและอิทธิพลของเขาต่อการพัฒนาโรงเรียน ซึ่งนำเสนอในการประชุมนานาชาติเนื่องในโอกาสฉลองครบรอบ 100 ปีวันเกิดของเมาโร ปิโคเนและลีโอนิดา โทเนลลี (จัดขึ้นที่กรุงโรมระหว่างวันที่ 6-9 พฤษภาคม 1985) ผู้เขียนเป็นหนึ่งในลูกศิษย์ของเขา และหลังจากที่เขาเสียชีวิต ก็ได้ดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยปิซา ต่อมาได้เป็นคณบดีคณะวิทยาศาสตร์ และอธิการบดี เขามีอิทธิพลเชิงบวกอย่างมากต่อการพัฒนาของมหาวิทยาลัย

• Caffarelli, Luis (สิงหาคม 1998), ปัญหาอุปสรรค (PDF) , ฉบับร่างจากFermi Lectures , หน้า 45 , สืบค้นเมื่อ11 กรกฎาคม 2011บรรยายโดยผู้เขียน ณโรงเรียน Scuola Normale Superioreในปี 1998