ในทางคณิตศาสตร์อสมการแปรผันคืออสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซึ่งต้องหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร ที่กำหนด ซึ่งโดยปกติแล้วจะอยู่ในเซตแบบนูนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ของอสมการแปรผันได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกเพื่อแก้ปัญหาดุลยภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัญหาซิกนอรินี : ในแบบจำลองปัญหานั้น ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องได้มาจากการแปรผันครั้งแรกของพลังงานศักย์ ที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงมีที่มาจากการแปรผันซึ่งเป็นที่มาของชื่อปัญหาเชิงนามธรรมทั่วไป การประยุกต์ใช้ทฤษฎีนี้ได้ขยายออกไปครอบคลุมปัญหาจากเศรษฐศาสตร์การเงินการ หา ค่าเหมาะสมที่สุดและทฤษฎีเกมแล้ว

ปัญหาแรกที่เกี่ยวข้องกับอสมการแปรผันคือปัญหาซิกนอรินี ซึ่ง อันโตนิโอ ซิกนอรินีตั้งขึ้นในปี 1959 และกาเอตาโน ฟิเชรา แก้ได้ ในปี 1963 ตามเอกสารอ้างอิง ( Antman 1983 , หน้า 282–284) และ ( Fichera 1995 ): เอกสารแรกๆ ของทฤษฎีนี้คือ ( Fichera 1963 ) และ ( Fichera 1964a ), ( Fichera 1964b ) ต่อมากุยโด สแตมปัคเคียพิสูจน์การสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทแลกซ์-มิลแกรมใน ( Stampacchia 1964 ) เพื่อศึกษาปัญหาความสม่ำเสมอของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและบัญญัติชื่อ "อสมการแปรผัน" สำหรับปัญหาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับอสมการประเภทนี้Georges Duvautสนับสนุนให้นักศึกษาปริญญาโท ของเขา ศึกษาและต่อยอดงานของ Fichera หลังจากเข้าร่วมการประชุมที่Brixenในปี 1965 ซึ่ง Fichera ได้นำเสนอการศึกษาเกี่ยวกับปัญหา Signorini ดังที่Antman 1983หน้า 283 รายงานไว้ ดังนั้นทฤษฎีนี้จึงเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางทั่วฝรั่งเศสนอกจากนี้ ในปี 1965 Stampacchia และJacques-Louis Lionsได้ขยายผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ของ ( Stampacchia 1964 ) และประกาศไว้ในบทความ ( Lions & Stampacchia 1965 ) โดยมีการพิสูจน์ผลลัพธ์ทั้งหมดในภายหลังในบทความ ( Lions & Stampacchia 1967 )

ตามที่Antman (1983 , หน้า 283) ได้กล่าวไว้ นิยามของอสมการแปรผันมีดังต่อไปนี้

นิยาม 1.กำหนดให้ปริภูมิบานาค , เซตย่อยของ, และฟังก์ชันจากไปยังปริภูมิคู่ของปริภูมิ, ปัญหาอสมการแปรผันคือปัญหาการหา ค่าตัวแปรที่อยู่ในอสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {E}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {K}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {E}}}$${\displaystyle F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{\ast }}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {K}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {E}}^{\ast }}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {E}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {K}}}$

${\displaystyle \langle F(x),yx\rangle \geq 0\qquad \forall y\in {\boldsymbol {K}}}$

การ จับคู่แบบทวิภาวะ อยู่ที่ไหน${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R} }$

โดยทั่วไป ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงแปรผันสามารถกำหนดได้ในปริภูมิบานาคที่มีมิติจำกัดหรืออนันต์ ใดๆ ก็ได้ ขั้นตอนสามขั้นตอนที่ชัดเจนในการศึกษาปัญหานี้มีดังต่อไปนี้:

1. พิสูจน์การมีอยู่ของคำตอบ: ขั้นตอนนี้บ่งบอกถึงความถูกต้องทางคณิตศาสตร์ของปัญหา ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอย่างน้อยที่สุดก็มีคำตอบอยู่หนึ่งคำตอบ
2. พิสูจน์ความไม่ซ้ำกันของคำตอบที่กำหนดให้: ขั้นตอนนี้บ่งบอกถึงความถูกต้องทางกายภาพของปัญหา โดยแสดงให้เห็นว่าคำตอบนั้นสามารถใช้แทนปรากฏการณ์ทางกายภาพได้ ขั้นตอนนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษ เนื่องจากปัญหาส่วนใหญ่ที่จำลองโดยอสมการแปรผันนั้นมีต้นกำเนิดมาจากทางกายภาพ
3. ค้นหาคำตอบหรือพิสูจน์ความสม่ำเสมอของคำตอบนั้น

นี่คือตัวอย่างปัญหามาตรฐานที่รายงานโดยAntman (1983 , หน้า 283): พิจารณาปัญหาการหาค่าต่ำสุดของ ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ในช่วงปิดให้เป็นจุดในช่วง ที่เกิดค่าต่ำสุด มีสามกรณีที่อาจเกิดขึ้นได้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle x^{\ast }}$${\displaystyle I}$

1. ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle a<x^{\ast }<b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })=0;}$
2. ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle x^{\ast }=a,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;}$
3. ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle x^{\ast }=b,}$${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.}$

เงื่อนไขที่จำเป็นเหล่านี้สามารถสรุปได้ว่าเป็นปัญหาของการค้นหาเงื่อนไข ที่ทำให้ ${\displaystyle x^{\ast }\in I}$

${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad }$สำหรับ${\displaystyle \quad \forall y\in I.}$

ต้องค้นหาค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ระหว่างคำตอบ (ถ้ามีมากกว่าหนึ่งคำตอบ) ของอสมการ ข้างต้น : โปรดทราบว่าคำตอบเป็นจำนวนจริงดังนั้นนี่จึงเป็นอสมการแปรผัน มิติ จำกัด

การกำหนดปัญหาทั่วไปใน มีรูปแบบ ดังต่อไปนี้: เมื่อกำหนดเซตย่อยของ และฟังก์ชัน ปัญหาความไม่เท่าเทียม เชิงแปรผันมิติจำกัดที่เกี่ยวข้องกับ ประกอบด้วยการหาเวกเตอร์มิติที่อยู่ใน เช่นนั้น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K}$

โดยที่ ผลคูณภายใน มาตรฐานบนปริภูมิเวกเตอร์คือ อะไร${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ในการสำรวจทางประวัติศาสตร์ ( Fichera 1995 ) Gaetano Fichera อธิบายถึงที่มาของวิธีแก้ ปัญหา Signoriniของเขาว่า ปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยการหาโครงสร้างสมดุลยืดหยุ่น ของวัตถุยืดหยุ่นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและมีคุณสมบัติไม่เป็นไอ โซโทร ปิกซึ่งอยู่ในเซตย่อย ของ ปริภูมิยูคลิดสามมิติที่มีขอบเขตเป็นโดยวางอยู่บนพื้นผิวแข็งที่ไม่มีแรงเสียดทานและอยู่ภายใต้แรงมวล เพียงอย่างเดียว คำตอบของปัญหานี้มีอยู่และมีเพียงหนึ่งเดียว (ภายใต้สมมติฐานที่แม่นยำ) ในเซตของการกระจัดที่ยอมรับได้ กล่าว คือ เซตของเวกเตอร์การกระจัดที่สอดคล้องกับระบบเงื่อนไขขอบเขตที่ไม่ชัดเจนก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial A}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

โดยที่ และ คือฟังก์ชัน ต่อไปนี้ ซึ่งเขียนโดยใช้สัญกรณ์ของไอน์สไตน์${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}$${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x}$,    ,    ${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma }$${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

ที่ซึ่งสำหรับทุกคน ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in A}$

• ${\displaystyle \Sigma }$คือพื้นผิวสัมผัส (หรือโดยทั่วไปเรียกว่าชุด สัมผัส )
• ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$คือแรงที่กระทำต่อวัตถุ
• ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$คือ แรง ที่กระทำต่อพื้นผิว${\displaystyle \partial A\!\setminus \!\Sigma }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$คือเทนเซอร์ความเครียดอนันต์
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)}$คือเทนเซอร์ความเค้นโคชีซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3}$

โดยที่ คือพลังงานศักย์ยืดหยุ่นและคือ เท นเซอร์ความยืดหยุ่น${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)}$

• ทฤษฎีความสมบูรณ์แบบ
• อสมการแปรผันเชิงอนุพันธ์
• การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์แบบขยายสำหรับปัญหาดุลยภาพ
• การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ที่มีข้อจำกัดสมดุล
• ปัญหาอุปสรรค
• ระบบพลวัตที่คาดการณ์ไว้
• ปัญหาของซิญญอรินี
• การติดต่อฝ่ายเดียว

• Panagiotopoulos, PD (2001) [1994], "อสมการแปรผัน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Alessio Figalli, เกี่ยวกับคำตอบเอกพันธุ์ทั่วโลกสำหรับปัญหา Signorini