พลังงานยืดหยุ่น

พลังงานยืดหยุ่นคือพลังงานกลที่สะสมอยู่ในโครงสร้างของวัสดุหรือระบบทางกายภาพเมื่อถูกกระทำโดยการเปลี่ยนรูปยืดหยุ่นด้วยงานที่กระทำต่อมัน พลังงานยืดหยุ่นเกิดขึ้นเมื่อวัตถุถูกบีบอัด ยืด หรือเปลี่ยนรูป โดยทั่วไป ในลักษณะใดๆ อย่าง ไม่ถาวร ทฤษฎีความยืดหยุ่นส่วนใหญ่พัฒนารูปแบบสำหรับกลศาสตร์ของวัตถุแข็งและวัสดุ^{[ 1 ]}สมการพลังงานศักย์ยืดหยุ่นใช้ในการคำนวณตำแหน่งสมดุลทางกลพลังงานนี้เป็นพลังงานศักย์เนื่องจากจะถูกแปลงเป็นพลังงานรูปแบบอื่น เช่นพลังงานจลน์และพลังงานเสียงเมื่อวัตถุได้รับอนุญาตให้กลับคืนสู่รูปทรงเดิม (การคืนรูป) โดยพลังงานศักย์ทางเคมีในแบตเตอรี่และดินน้ำมัน

$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}}$$

สาระสำคัญของความยืดหยุ่นคือการกลับคืนสู่สภาพเดิมได้แรงที่กระทำต่อวัสดุที่มีความยืดหยุ่นจะถ่ายโอนพลังงานเข้าไปในวัสดุ ซึ่งเมื่อถ่ายทอดพลังงานนั้นสู่สิ่งแวดล้อมแล้ว วัสดุนั้นก็สามารถกลับคืนสู่รูปทรงเดิมได้ อย่างไรก็ตาม วัสดุทุกชนิดมีขีดจำกัดของระดับการบิดเบี้ยวที่สามารถทนได้โดยไม่แตกหักหรือเปลี่ยนแปลงโครงสร้างภายในอย่างถาวร ดังนั้น การกำหนดคุณลักษณะของวัสดุแข็งจึงรวมถึงการระบุขีดจำกัดความยืดหยุ่น โดยปกติจะระบุในแง่ของความเครียด เมื่อเกินขีดจำกัดความยืดหยุ่น วัสดุจะไม่สามารถเก็บพลังงานทั้งหมดจากงานเชิงกลที่กระทำต่อมันในรูปของพลังงานยืดหยุ่นได้อีกต่อไป

พลังงานยืดหยุ่นของหรือภายในสารคือพลังงานสถิตของการจัดเรียงตัว ซึ่งสอดคล้องกับพลังงานที่สะสมไว้โดยหลักจากการเปลี่ยนแปลงระยะห่างระหว่างอะตอมของนิวเคลียสพลังงานความร้อนคือการกระจายตัวแบบสุ่มของพลังงานจลน์ภายในวัสดุ ส่งผลให้เกิดความผันผวนทางสถิติของวัสดุรอบการจัดเรียงตัวที่สมดุล อย่างไรก็ตาม ยังมีปฏิสัมพันธ์บางอย่างเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สำหรับวัตถุแข็งบางชนิด การบิด การดัด และการบิดเบี้ยวอื่นๆ อาจก่อให้เกิดพลังงานความร้อน ทำให้อุณหภูมิของวัสดุสูงขึ้น พลังงานความร้อนในของแข็งมักถูกส่งผ่านโดยคลื่นยืดหยุ่นภายในที่เรียกว่าโฟนอนคลื่นยืดหยุ่นที่มีขนาดใหญ่ในระดับของวัตถุที่แยกตัวมักจะทำให้เกิดการสั่นสะเทือนในระดับมหภาค แม้ว่าความยืดหยุ่นมักจะเกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ของวัตถุหรือวัสดุที่เป็นของแข็ง แต่แม้แต่เอกสารยุคแรกๆ เกี่ยวกับอุณหพลศาสตร์แบบคลาสสิกก็ยังกำหนดและใช้ "ความยืดหยุ่นของของเหลว" ในลักษณะที่สอดคล้องกับคำจำกัดความกว้างๆ ที่ให้ไว้ในบทนำข้างต้น^{[ 2 ] : 107 et seq.}

ของแข็งประกอบด้วยวัสดุผลึกที่ซับซ้อนซึ่งบางครั้งมีพฤติกรรมที่ซับซ้อน ในทางตรงกันข้าม พฤติกรรมของของเหลวที่อัดได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งก๊าซ แสดงให้เห็นถึงแก่นแท้ของพลังงานยืดหยุ่นโดยมีความซับซ้อนน้อยมาก สูตรทางเทอร์โมไดนามิกอย่างง่ายคือ: โดยที่ dU คือการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของพลังงานภายในที่สามารถฟื้นคืนได้U , Pคือความดันสม่ำเสมอ (แรงต่อหน่วยพื้นที่) ที่กระทำต่อตัวอย่างวัสดุที่สนใจ และdVคือการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของปริมาตรที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายใน เครื่องหมายลบปรากฏขึ้นเนื่องจากdVเป็นลบภายใต้การอัดโดยความดันบวกที่กระทำซึ่งเพิ่มพลังงานภายในด้วย เมื่อกลับทิศทาง งานที่ระบบทำคือค่าลบของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายในที่สอดคล้องกับdV บวก ของปริมาตรที่เพิ่มขึ้น ระบบสูญเสียพลังงานภายในที่เก็บไว้เมื่อทำงานกับสิ่งแวดล้อม ความดันคือความเค้น และการเปลี่ยนแปลงปริมาตรสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงระยะห่างสัมพัทธ์ของจุดภายในวัสดุ ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้น-ความเครียด-พลังงานภายในของสูตรข้างต้นจะถูกนำมาใช้ซ้ำในสูตรสำหรับพลังงานยืดหยุ่นของวัสดุของแข็งที่มีโครงสร้างผลึกที่ซับซ้อน ${\displaystyle dU=-P\,dV\ ,}$

ส่วนประกอบของระบบกลไกจะสะสมพลังงานศักย์ยืดหยุ่นหากเกิดการเปลี่ยนรูปเมื่อมีแรงกระทำต่อระบบ พลังงานจะถูกถ่ายโอนไปยังวัตถุโดยงานเมื่อแรงภายนอกทำให้วัตถุเคลื่อนที่หรือเปลี่ยนรูป ปริมาณพลังงานที่ถ่ายโอนคือผลคูณดอท เวกเตอร์ ของแรงและการกระจัดของวัตถุ เมื่อมีแรงกระทำต่อระบบ แรงเหล่านั้นจะกระจายไปภายในไปยังส่วนประกอบต่างๆ ในขณะที่พลังงานที่ถ่ายโอนบางส่วนอาจถูกเก็บสะสมไว้ในรูปของพลังงานจลน์ของความเร็วที่ได้มา การเปลี่ยนรูปของวัตถุส่วนประกอบจะส่งผลให้เกิดพลังงานยืดหยุ่นสะสมขึ้น

ส่วนประกอบยืดหยุ่นที่เป็นแบบอย่างคือสปริงขด สปริงมีคุณสมบัติยืดหยุ่นเชิงเส้นโดยมีค่าคงที่สัดส่วนที่เรียกว่าค่าคงที่สปริง ค่าคงที่นี้มักใช้สัญลักษณ์k (ดูเพิ่มเติมที่กฎของฮุก ) และขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิต พื้นที่หน้าตัด ความยาวก่อนการเสียรูป และลักษณะของวัสดุที่ใช้ทำสปริง ในช่วงการเสียรูปหนึ่ง ค่าkจะคงที่และถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนลบของการกระจัดต่อขนาดของแรงคืนตัวที่เกิดจากสปริง ณ การกระจัดนั้น

$${\displaystyle k=-{\frac {F_{r}}{L-L_{o}}}}$$

ความยาวที่ผิดรูป ซึ่งอาจเป็นผลมาจากค่า L บางค่า_อาจมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าL₀ซึ่งเป็นความยาวก่อนผิดรูป ดังนั้นเพื่อให้kยังคงเป็นบวกFr จะต้องแสดงเป็นเวก _{เตอร์}ส่วนประกอบของแรงคืนตัว โดยมีเครื่องหมายเป็นลบสำหรับL > L₀และเป็นบวกสำหรับL < L₀หากย่อการกระจัด เป็น กฎของฮุ _คสามารถเขียนได้ในรูปแบบ_ปกติ$${\displaystyle L-L_{o}=x,}$$$${\displaystyle F_{r}=-k\,x.}$$

พลังงานที่ถูกดูดซับและกักเก็บไว้ในสปริงสามารถคำนวณได้โดยใช้กฎของฮุกเพื่อหาแรงคืนตัว ซึ่งเป็นการวัดแรงที่กระทำ โดยต้องอาศัยข้อสมมติฐานที่ถูกต้องเพียงพอในสถานการณ์ส่วนใหญ่ว่า ณ ขณะใดขณะหนึ่ง ขนาดของแรงที่กระทำนั้น...

สำหรับการกระจัดเล็กน้อยแต่ละครั้งdxแรงที่กระทำคือkxและผลคูณของแรงทั้งสองนี้คือการถ่ายโอนพลังงานเล็กน้อยเข้าสู่สปริงdUพลังงานยืดหยุ่นทั้งหมดที่ใส่เข้าไปในสปริงตั้งแต่การกระจัดเป็นศูนย์จนถึงความยาวสุดท้าย L จึงเท่ากับปริมาณอินทิกรัล$${\displaystyle U=\int _{0}^{L-L_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}}$$

สำหรับวัสดุที่มีโมดูลัสของยังY (เช่นเดียวกับโมดูลัสของความยืดหยุ่นλ ) พื้นที่หน้าตัดA ₀ความยาวเริ่มต้นl ₀ซึ่งถูกยืดออกด้วยความยาว: โดยที่U _eคือพลังงานศักย์ยืดหยุ่น ${\displaystyle \Delta l}$$${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$$

พลังงานศักย์ยืดหยุ่นต่อหน่วยปริมาตรคำนวณได้จากสูตร: โดยที่คือความเครียดในวัสดุ $${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$

โดยทั่วไป พลังงานยืดหยุ่นจะกำหนดโดยพลังงานอิสระต่อหน่วยปริมาตรfเป็นฟังก์ชันของส่วนประกอบเทนเซอร์ความเครียดε _ij โดยที่λและμคือสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของ Lamé และเราใช้แบบแผนการรวมของ Einsteinเมื่อพิจารณาถึงความเชื่อมโยงทางเทอร์โมไดนามิกส์ระหว่างส่วนประกอบเทนเซอร์ความเค้นและส่วนประกอบเทนเซอร์ความเครียด^{[ 1 ]} โดยที่ตัวห้อยTหมายถึงอุณหภูมิคงที่ เราจึงพบว่าหากกฎของ Hooke ใช้ได้ เราสามารถเขียนความหนาแน่นของพลังงานยืดหยุ่นได้ดังนี้ $${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$$$${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$$$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$$

สสารในปริมาณมากสามารถบิดเบี้ยวได้หลายวิธี เช่น การยืด การเฉือน การดัด การบิด ฯลฯ การบิดเบี้ยวแต่ละแบบมีส่วนทำให้เกิดพลังงานยืดหยุ่นของวัสดุที่เสียรูป ในพิกัดเชิงตั้งฉากพลังงานยืดหยุ่นต่อหน่วยปริมาตรเนื่องจากความเครียดจึงเป็นผลรวมของส่วนประกอบต่างๆ ดังนี้ โดยที่เป็นเทนเซอร์ลำดับ ที่ 4 เรียกว่าเทนเซอร์ยืดหยุ่นหรือเทนเซอร์ความแข็ง^{[ 3 ]}ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของโมดูลัสยืดหยุ่นของระบบกลไก และเป็นเทนเซอร์ความเครียด ( มีการใช้ สัญกรณ์การรวมของไอน์สไตน์เพื่อบ่งบอกถึงการรวมเหนือดัชนีที่ซ้ำกัน) ค่าของขึ้นอยู่กับ โครงสร้าง ผลึกของวัสดุ ในกรณีทั่วไป เนื่องจากลักษณะสมมาตรของและเทนเซอร์ยืดหยุ่นจึงประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ยืดหยุ่นอิสระ 21 ตัว^{[ 4 ]}จำนวนนี้สามารถลดลงได้อีกโดยสมมาตรของวัสดุ: 9 สำหรับ ผลึก ออร์โธรอมบิก 5 สำหรับ โครงสร้าง หกเหลี่ยมและ 3 สำหรับสมมาตรลูกบาศก์^{[ 5 ]}สุดท้าย สำหรับ วัสดุ ไอโซโทรปิกจะมีพารามิเตอร์อิสระเพียงสองตัวเท่านั้น โดยที่และเป็นค่าคงที่ของ Laméและเป็นเดลต้าของ Kronecker $${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl},}$$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \delta _{ij}}$

เทนเซอร์ความเครียดนั้นสามารถนิยามให้สะท้อนถึงการบิดเบี้ยวในรูปแบบใดก็ได้ที่ส่งผลให้เกิดความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การหมุนทั้งหมด แต่คำนิยามที่ใช้กันทั่วไปในการแสดงเทนเซอร์ความยืดหยุ่นนั้น กำหนดความเครียดเป็นส่วนสมมาตรของเกรเดียนต์ของการกระจัดโดยตัดพจน์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นทั้งหมดออก: โดยที่คือการกระจัด ณ จุดหนึ่งในทิศทางที่ และคืออนุพันธ์ย่อยในทิศทางที่ โปรดทราบว่า: โดยไม่มีเจตนาที่จะทำการบวก แม้ว่าสัญกรณ์ของไอน์สไตน์แบบเต็มจะทำการบวกค่าของคู่ดัชนีที่ยกขึ้นและลดลง แต่ค่าของส่วนประกอบเทนเซอร์ความยืดหยุ่นและความเครียดมักจะแสดงโดยลดดัชนีทั้งหมดลง ดังนั้นโปรดระวัง (เช่นในที่นี้) ว่าในบางบริบท ดัชนีที่ซ้ำกันไม่ได้หมายความถึงการบวกค่าของดัชนีนั้น ( ในกรณีนี้) แต่เป็นเพียงส่วนประกอบเดียวของเทนเซอร์เท่านั้น $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \partial _{j}}$${\displaystyle j}$$${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$$${\displaystyle j}$

• เครื่องจักร
• ความยืดหยุ่น-แรงตึงผิว
• ความยืดหยุ่นของยาง

• Eshelby, JD (พฤศจิกายน 1975). "เทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมยืดหยุ่น". Journal of Elasticity . 5 ( 3– 4): 321– 335. doi : 10.1007/BF00126994 . S2CID  121320629 .