ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้พีชคณิตเชิงเส้นในฟิสิกส์คณิตศาสตร์และเรขาคณิตเชิง อนุพันธ์ สัญกร ณ์ไอน์สไตน์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อแบบ แผนการรวมไอน์สไตน์หรือสัญกรณ์การรวมไอน์สไตน์ ) เป็นแบบแผนการเขียนที่บ่งบอกถึงการรวมผลเหนือชุดของพจน์ที่มีดัชนีในสูตร ซึ่งทำให้กระชับขึ้น ในฐานะที่เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ มันเป็นเซตย่อยของการเขียนในแคลคูลัสริชชีอย่างไรก็ตาม มักใช้ในการประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์ที่ไม่แยกความแตกต่างระหว่างปริภูมิสัมผัสและปริภูมิโคสัมผัสอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้นำสัญกรณ์นี้มาใช้ในฟิสิกส์ในปี 1916 ^{[ 1 ]}

ตามหลักการนี้ เมื่อตัวแปรดัชนีปรากฏสองครั้งในเทอม เดียวกัน และไม่ได้ถูกกำหนดไว้เป็นอย่างอื่น (ดูตัวแปรอิสระและตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ) จะหมายถึงการหาผลรวมของเทอมนั้นเหนือค่าทั้งหมดของดัชนี ดังนั้น ในกรณีที่ดัชนีสามารถอยู่ในช่วงของเซต จะ ถูกทำให้ง่ายขึ้นตามหลักการนี้เป็น: ${\displaystyle \{1,2,3\}}$$${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}}$$$${\displaystyle y=x^{i}e_{i}}$$

ดัชนีตัวบนไม่ใช่เลขชี้กำลังแต่เป็นดัชนีของพิกัดสัมประสิทธิ์หรือเวกเตอร์ฐานกล่าวคือ ในบริบทนี้ควรเข้าใจว่าเป็นส่วนประกอบที่สองของมากกว่ากำลังสองของ(ซึ่งบางครั้งอาจทำให้เกิดความกำกวม) ตำแหน่งดัชนีตัวบนใน เป็นเพราะโดยทั่วไปแล้ว ดัชนีจะปรากฏหนึ่งครั้งในตำแหน่งตัวบน (ตัวยก) และหนึ่งครั้งในตำแหน่งตัวล่าง (ตัวห้อย) ในพจน์ (ดู§ การประยุกต์ใช้ด้านล่าง) โดยทั่วไปจะเทียบเท่ากับ แบบดั้งเดิม ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle (x^{1}\ x^{2}\ x^{3})}$${\displaystyle (x\ y\ z)}$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปข้อตกลงที่ใช้กันโดยทั่วไปคือ

• อักษรกรีกใช้สำหรับส่วนประกอบของพื้นที่และเวลา โดยดัชนีจะมีค่าเป็น 0, 1, 2 หรือ 3 (ตัวอักษรที่ใช้บ่อย ได้แก่, , เป็นต้น)${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$
• อักษรละตินใช้สำหรับส่วนประกอบเชิงพื้นที่เท่านั้น โดยดัชนีจะมีค่าเป็น 1, 2 หรือ 3 (ตัวอักษรที่ใช้บ่อยคือ, ,...)${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

โดยทั่วไป ดัชนีสามารถครอบคลุมเซตดัชนี ใดๆ ก็ได้ รวมถึงเซตอนันต์สิ่งนี้ไม่ควรสับสนกับธรรมเนียมที่คล้ายคลึงกันทางด้านการพิมพ์ซึ่งใช้เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์ และ สัญกรณ์ดัชนีเชิงนามธรรมที่ไม่ ขึ้นกับฐานซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่แตกต่างกัน

ดัชนีที่นำมาบวกกันเรียกว่าดัชนีผลรวมในกรณีนี้คือ " " นอกจากนี้ยังเรียกว่าดัชนีดัมมี่เนื่องจากสัญลักษณ์ใดๆ ก็สามารถแทนที่ " " ได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงความหมายของนิพจน์ (โดยมีเงื่อนไขว่าสัญลักษณ์นั้นต้องไม่ซ้ำกับสัญลักษณ์ดัชนีอื่นๆ ในพจน์เดียวกัน) ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

ดัชนีที่ไม่ถูกรวมเข้าด้วยกันเรียกว่าดัชนีอิสระและควรปรากฏเพียงครั้งเดียวต่อพจน์ หากดัชนีดังกล่าวปรากฏ มักจะปรากฏในพจน์เว้นพจน์ในสมการด้วย ตัวอย่างของดัชนีอิสระคือ " " ในสมการซึ่งเทียบเท่ากับสมการ ${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$

สัญกรณ์ของไอน์สไตน์สามารถนำไปใช้ได้ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย โดยทั่วไป ดัชนีแต่ละตัวจะปรากฏหนึ่งครั้งในตำแหน่งตัวยก (superscript) และหนึ่งครั้งในตำแหน่งตัวห้อย (subscript) ในเทอม อย่างไรก็ตาม ธรรมเนียมนี้สามารถนำไปใช้กับดัชนีที่ซ้ำกันใดๆ ภายในเทอมได้โดยทั่วไป^{[ 2 ]}เมื่อจัดการกับ เวกเตอร์ โคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ซึ่งตำแหน่งของดัชนีบ่งบอกถึงประเภทของเวกเตอร์ กรณีแรกมักจะใช้ได้ เวกเตอร์โคแวเรียนต์สามารถหดตัวได้เฉพาะกับเวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์ ซึ่งสอดคล้องกับการรวมผลคูณของสัมประสิทธิ์ ในทางกลับกัน เมื่อมีฐานพิกัดคงที่ (หรือเมื่อไม่พิจารณาเวกเตอร์พิกัด) อาจเลือกใช้เฉพาะตัวห้อยได้ ดู§ ตัวยกและตัวห้อยเทียบกับตัวห้อยอย่างเดียวด้านล่าง

ในแง่ของความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์

• ดัชนีบนแสดงถึงส่วนประกอบของเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์ ( เวกเตอร์ )
• ดัชนีที่ต่ำกว่าแสดงถึงส่วนประกอบของ เวกเตอร์ ร่วมแปร ( โคเวกเตอร์ )

พวกมัน แปลง แบบคอนทราแวเรียนต์หรือโคแวเรียนต์ตามลำดับ โดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนฐาน

เพื่อเป็นการยอมรับข้อเท็จจริงนี้ สัญลักษณ์ต่อไปนี้จึงใช้สัญลักษณ์เดียวกันทั้งสำหรับเวกเตอร์หรือโคเวกเตอร์และส่วนประกอบ ของมัน ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}v=e_{i}v^{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

โดยที่คือเวกเตอร์ และคือส่วนประกอบของเวกเตอร์ (ไม่ใช่โคเวกเตอร์ที่ th ) คือโคเวกเตอร์ และคือส่วนประกอบของโคเวกเตอร์ องค์ประกอบของเวกเตอร์ฐานคือเวกเตอร์คอลัมน์แต่ละตัว และองค์ประกอบของเวกเตอร์ฐานคือโคเวกเตอร์แถวแต่ละตัว (ดูเพิ่มเติมที่§ คำอธิบายเชิงนามธรรม ; ความเป็นคู่ด้านล่างและตัวอย่าง ) ${\displaystyle v}$${\displaystyle v^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e^{i}}$

ในกรณีที่มีรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพ ( เช่น ไอโซมอร์ฟิซึม เช่นเมตริกแบบรีมันน์หรือเมตริกแบบมินคอฟสกี ) เราสามารถยกและลดดัชนีได้ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

ฐานจะให้รูปแบบดังกล่าว (ผ่านฐานคู่ ) ดังนั้นเมื่อทำงานกับเมตริกแบบยุคลิดและฐานเชิงตั้งฉาก คงที่ เราจึงมีตัวเลือกที่จะทำงานกับตัวห้อยเพียงอย่างเดียวได้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

อย่างไรก็ตาม หากเปลี่ยนพิกัด วิธีที่สัมประสิทธิ์เปลี่ยนแปลงจะขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของวัตถุ และเราไม่สามารถละเลยความแตกต่างนี้ได้ โปรดดูที่ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์

ในตัวอย่างข้างต้น เวกเตอร์จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ (เวกเตอร์คอลัมน์) ในขณะที่โคเวกเตอร์จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ (โคเวกเตอร์แถว) ${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle 1\times n}$

เมื่อใช้รูปแบบเวกเตอร์คอลัมน์:

• " ดัชนีขาขึ้น จะเคลื่อนตัวจากขา ขึ้นไปขาลง; ดัชนีขาลงจะเคลื่อนตัวจากซ้ายไปขวา"
• " เทนเซอร์ โคแวริแอนต์คือ เวกเตอร์ แถวที่มีดัชนีอยู่ด้านล่าง ( โค-แถว-ล่าง )"
• โคเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์แถวดังนั้นดัชนีล่างจะระบุว่าคุณอยู่ในคอลัมน์ ใด$${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$
• เวกเตอร์แบบคอนทราเวเรียนท์เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ดังนั้นดัชนีบนสุดจะระบุว่าคุณอยู่ในแถว ใด$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$

ข้อดีของสัญกรณ์ของไอน์สไตน์คือ สามารถแทน ปริมาณ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้ด้วยสัญลักษณ์ที่เรียบง่าย

ในทางฟิสิกส์ ปริมาณสเกลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริมาณสเกลาร์ลอเรนซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ แต่พจน์แต่ละตัวในผลรวมนั้นไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อเปลี่ยนฐานส่วนประกอบของเวกเตอร์จะเปลี่ยนไปโดยการแปลงเชิงเส้นที่อธิบายโดยเมทริกซ์ นี่ทำให้ไอน์สไตน์เสนอข้อตกลงว่า ดัชนีที่ซ้ำกันหมายถึงการหาผลรวม

ส่วนโคเวกเตอร์นั้น จะเปลี่ยนแปลงไปตามเมทริกซ์ผกผันซึ่งมีจุดประสงค์เพื่อรับประกันว่าฟังก์ชันเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับโคเวกเตอร์ ซึ่งก็คือผลรวมข้างต้นนั้น จะเหมือนเดิมไม่ว่าฐานจะเป็นอะไรก็ตาม

คุณค่าของแบบแผนของไอน์สไตน์คือสามารถนำไปใช้กับปริภูมิเวกเตอร์ อื่นๆ ที่สร้างขึ้นจากโดยใช้ผลคูณเทนเซอร์และความเป็นคู่ตัวอย่างเช่นผลคูณเทนเซอร์ของกับตัวมันเอง มีฐานประกอบด้วยเทนเซอร์ในรูปแบบเทนเซอร์ใดๆในสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle V}$${\displaystyle V\otimes V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle V\otimes V}$$${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

ปริภูมิคู่ของมีฐานที่สอดคล้องกับกฎ โดยที่คือเดลต้าโครเนกเกอร์เนื่องจาก พิกัดแถว/คอลัมน์บนเมทริกซ์ สอดคล้องกับดัชนีบน/ล่างบนผลคูณเทนเซอร์ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$

ในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ การอ้างอิงองค์ประกอบตามปกติสำหรับแถวที่ i และคอลัมน์ที่ i ของเมทริกซ์จะเป็น. จากนั้นเราสามารถเขียนการดำเนินการต่อไปนี้ในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ได้ดังนี้ ${\displaystyle A_{mn}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {A^{m}}_{n}}$

ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวคือผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบที่สอดคล้องกัน โดยที่ดัชนีของเวกเตอร์ตัวหนึ่งถูกลดระดับลง (ดู#การเพิ่มและลดดัชนี ): ในกรณีของฐานออร์โทนอร์มอลเราจะได้และนิพจน์จะลดรูปเหลือ: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$${\displaystyle u^{j}=u_{j}}$$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$

ในสามมิติผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวเทียบกับ ฐานเชิงตั้งฉาก ปกติที่มีทิศทางเป็นบวกหมายความว่าสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}}$$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{\,jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$

นี่คือสัญลักษณ์ Levi-Civitaเนื่องจากฐานเป็นแบบตั้งฉากปกติ การยกดัชนีจึงไม่เปลี่ยนแปลงค่าของเมื่อพิจารณาว่าเป็นเทนเซอร์ ${\displaystyle \varepsilon _{\,jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

ผลคูณของเมทริกซ์กับเวกเตอร์คอลัมน์คือ: เทียบเท่ากับ ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle v_{j}}$$${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$$${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

นี่เป็นกรณีพิเศษของการคูณเมทริกซ์

ผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์สองตัวคือ: ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle B_{jk}}$$${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

เทียบเท่ากับ $${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส ค่าเทรซคือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยงมุม ดังนั้นจึงเป็นการรวมผลรวมเหนือดัชนีร่วม ${\displaystyle {A^{i}}_{j}}$${\displaystyle {A^{i}}_{i}}$

ผลคูณภายนอกของเวกเตอร์คอลัมน์กับเวกเตอร์แถวจะได้เมทริกซ์: ${\displaystyle u^{i}}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

เนื่องจากและแทน ดัชนี ที่แตกต่างกันจึงไม่มีการบวก และดัชนีจะไม่ถูกกำจัดโดยการคูณ ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

เมื่อกำหนดเทนเซอร์เราสามารถยกกำลังหรือลดค่าดัชนีได้โดยการยุบเทนเซอร์นั้นกับ เทน เซอร์เมตริกตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาเทนเซอร์เราสามารถลดค่าดัชนีได้ดังนี้: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle {T^{\alpha }}_{\beta }}$$${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

หรืออาจจะปรับดัชนีขึ้นก็ได้: $${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$

• เทนเซอร์
• สัญกรณ์ดัชนีนามธรรม
• สัญกรณ์บรา-เก็ต
• สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
• สัญลักษณ์ Levi-Civita
• สัญกรณ์เดวิตต์

1. หลักการนี้ใช้ได้เฉพาะกับดัชนีตัวเลขเท่านั้น สำหรับ ดัชนีเชิงนามธรรมสถานการณ์จะตรงกันข้ามเวกเตอร์เองจะมีดัชนีเชิงนามธรรมบน และโคเวกเตอร์จะมีดัชนีเชิงนามธรรมล่าง ดังตัวอย่างในบทนำ ของบทความนี้ องค์ประกอบของฐานเวกเตอร์อาจมีทั้งดัชนี ตัวเลขล่างและดัชนีเชิงนามธรรม บน

• Kuptsov, LP (2001) [1994], "กฎของไอน์สไตน์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press.

เว็บไซต์วิกิบุ๊กเรื่องทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: สัญกรณ์ผลรวมของไอน์สไตน์

• Rawlings, Steve (2007-02-01). "การบรรยายครั้งที่ 10 – ข้อตกลงการหาผลรวมของไอน์สไตน์และเอกลักษณ์ของเวกเตอร์"มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-01-06 . สืบค้นเมื่อ2008-07-02 .
• "การคำนวณเวกเตอร์ในรูปแบบดัชนี (หลักการบวกของไอน์สไตน์)" (PDF )
• "ทำความเข้าใจ einsum ของ NumPy " Stack Overflow