ทฤษฎีบทของคาร์เลสันเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่สร้างการลู่เข้าเกือบทุกจุดแบบเลเบสของอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันL 2 ^ซึ่งพิสูจน์โดยเลนนาร์ต คาร์เลสัน [ ^{1 ] ชื่อ}นี้มักใช้เพื่ออ้างถึงการขยายผลลัพธ์โดยริชาร์ด ฮันต์ไปยังฟังก์ชันL ^p สำหรับ p ∈ (1, ∞ ] (เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทคาร์เลสัน-ฮันต์ ) และผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับการลู่เข้าเกือบทุกจุดของปริพันธ์ฟูริเยร์ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากันโดยวิธีการถ่ายโอน^{[ 2 ]}

ผลลัพธ์ที่ฮันท์ได้ขยายความนั้น สามารถระบุอย่างเป็นทางการได้ดังนี้:

ให้fเป็นฟังก์ชันคาบL ^p สำหรับp ∈ (1, ∞ ] บาง ค่าโดยมีสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์แล้วสำหรับเกือบทุกx${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$$ 

ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับอินทิกรัลฟูริเยร์คือ:

ให้f ∈ L ^p ( R )สำหรับp ∈ (1, 2 ] บางค่า มีการแปลงฟูริเยร์ แล้ว สำหรับ x ∈ Rเกือบทุกค่า${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =f(x)}$$

คำถามพื้นฐานเกี่ยวกับอนุกรมฟูริเยร์ ซึ่งฟูริเยร์เองเป็นผู้ถามในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 คือ อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นลู่เข้าสู่ฟังก์ชันนั้น แบบจุดต่อจุดหรือไม่

โดยการเสริมความสมมติเรื่องความต่อเนื่องให้แข็งแกร่งขึ้นเล็กน้อย เราสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าทุกที่ ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันมีการแปรผันที่จำกัดอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันนั้นจะลู่เข้าทุกที่ไปยังค่าเฉลี่ยเฉพาะที่ของฟังก์ชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันนั้นจะลู่เข้าที่ฟังก์ชันนั้นทุกที่ สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยDirichletซึ่งแสดงความเชื่อว่าในไม่ช้าเขาจะสามารถขยายผลลัพธ์ของเขาให้ครอบคลุมฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดได้ อีกวิธีหนึ่งในการหาการลู่เข้าทุกที่คือการเปลี่ยนวิธีการบวก ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของ Fejérแสดงให้เห็นว่าถ้าเราแทนที่การบวกแบบธรรมดาด้วยการบวกแบบ Cesàro อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังฟังก์ชันนั้น นอกจากนี้ ยังแสดงได้ง่ายว่าอนุกรมฟูริเยร์ของ ฟังก์ชัน L² ใดๆ ลู่เข้าที่ฟังก์ชัน^{นั้นใน}บรรทัดฐานL²

หลังจากผลการทดลองของ Dirichlet ผู้เชี่ยวชาญหลายคน รวมทั้ง Dirichlet, Riemann , WeierstrassและDedekindต่างแสดงความเชื่อว่าอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ จะลู่เข้าทุกจุด แต่ความเชื่อนี้ถูกหักล้างโดยPaul du Bois-Reymondในปี 1876 ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามี ฟังก์ชันต่อเนื่องอยู่ฟังก์ชันหนึ่งที่อนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้า ณจุดหนึ่ง

การลู่เข้าเกือบทุกที่ของอนุกรมฟูริเยร์สำหรับ ฟังก์ชัน L ²ได้รับการตั้งสมมติฐานโดยNN Luzin [ ^{3 ]}และปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ^{สมมติฐาน}ของ Luzinจนกระทั่งได้รับการพิสูจน์โดย Carleson ^{[ 1 ]} Kolmogorov (1923)แสดงให้เห็นว่าอนาล็อกของสมมติฐานของ Luzin สำหรับL ¹นั้นเป็นเท็จโดยการค้นหาฟังก์ชันดังกล่าวซึ่งอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าเกือบทุกที่ (ปรับปรุงเล็กน้อยในปี 1926 ให้เป็นลู่เข้าทุกแห่ง) ^{[ 4 ]}ก่อนผลลัพธ์ของ Carleson การประมาณค่าที่ดีที่สุดที่ทราบสำหรับผลรวมย่อยs ของอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันในL ^pคือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันs ( x )ยังคงสามารถเติบโตเป็นอนันต์ที่จุดx ใดๆ ที่กำหนด ได้เมื่อพิจารณาพจน์ของอนุกรมฟูริเยร์มากขึ้นเรื่อยๆ แม้ว่าการเติบโตจะต้องค่อนข้างช้า (ช้ากว่าลอการิทึมของnยกกำลังเล็กน้อย) ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์โดย Kolmogorov–Seliverstov–Plessner สำหรับp = 2โดยGH Hardyสำหรับp = 1และโดย Littlewood–Paley สำหรับp > 1 [ ^{5 ] ผลลัพธ์}นี้ไม่ได้รับการปรับปรุงมาเป็นเวลาหลายทศวรรษ ทำให้ผู้เชี่ยวชาญบางคนสงสัยว่ามันเป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และข้อสันนิษฐานของ Luzin นั้นเป็นเท็จตัวอย่างค้าน ของ Kolmogorov ในL ¹นั้นไม่มีขอบเขตในช่วง ใดๆ แต่คิดว่าคงเป็นเพียงเรื่องของเวลาเท่านั้นก่อนที่จะพบตัวอย่างค้านแบบต่อเนื่อง Carleson กล่าวในการสัมภาษณ์เมื่อปี 2550 ว่าเขาเริ่มต้นด้วยการพยายามหาตัวอย่างค้านแบบต่อเนื่อง และในบางจุดคิดว่าเขามีวิธีการที่จะสร้างตัวอย่างค้านแบบต่อเนื่องได้ แต่ในที่สุดก็ตระหนักว่าวิธีการของเขาใช้ไม่ได้ผล จากนั้นเขาจึงลองพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Luzin แทน เนื่องจากความล้มเหลวของตัวอย่างค้านของเขาทำให้เขามั่นใจว่ามันน่าจะเป็นจริง^{[ 6 ]}$${\displaystyle s_{n}(x)=o(\log(n)^{1/p}){\text{ เกือบทุกที่}}.}$$

^{บทพิสูจน์ดั้งเดิมของ Carleson อ่านยากมาก และถึงแม้ว่าผู้เขียนหลายคนจะทำให้ข้อโต้แย้งง่ายขึ้น แต่}ก็ยังไม่มีบทพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาที่ง่ายเลย การนำเสนอเอกสารต้นฉบับ ได้แก่Kahane (1995) [ ^{7 ]} Mozzochi (1971) [ ^{8 ] Jørsboe} & Mejlbro (1982) [ ^{9 ]}และArias de Reyna (2002) ^{[ 10 ]} Charles Fefferman ได้ ตีพิมพ์บทพิสูจน์ใหม่ของส่วนขยายของ Hunt ซึ่งดำเนินการโดยการจำกัดตัวดำเนินการสูงสุด^{[ 11 ]}ซึ่งในทางกลับกันได้เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดบทพิสูจน์ที่ง่ายขึ้นมากของ^{ผลลัพธ์} L ²โดยMichael Lacey และChristoph Thiele ( 2000 ) [ ^{12 ]}ซึ่งอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในLacey ( ²⁰⁰⁴ ) ^{[ 13 ]}หนังสือFremlin (2003)และGrafakos (2014)ยังให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Carleson อีกด้วย^{[ 14 ] [ 15 ]}ทฤษฎีบทนี้ได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการในLean 4ในปี 2025 

Katznelson (1966)แสดงให้เห็นว่าสำหรับเซตใดๆ ที่มีขนาดเป็นศูนย์จะมีฟังก์ชันคาบต่อเนื่องที่มีอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าที่ทุกจุดของเซต (และอาจจะที่อื่นด้วย) ^{[ 16 ]}เมื่อรวมกับทฤษฎีบทของ Carleson จะแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าที่ทุกจุดของเซตจำนวนจริง ที่กำหนด ก็ต่อเมื่อเซตนั้นมีขนาดเป็นศูนย์

การขยายทฤษฎีบทของ Carleson ไปยังL ^pสำหรับp > 1ได้รับการระบุว่าเป็นการขยายที่ "ค่อนข้างชัดเจน" ของกรณีp = 2ในบทความของ Carleson และได้รับการพิสูจน์โดย Hunt ^{[ 2 ]}ผลลัพธ์ของ Carleson ได้รับการปรับปรุงเพิ่มเติมโดยSjölin (1971)ไปยังปริภูมิL log ( L )log log ( L ) ^{[ 17 ]}และโดยAntonov (1996)ไปยังปริภูมิL log ( L )log log log ( L ) [ ^{18 ] (}ในที่นี้log ( L )คือlog( L )ถ้าL > 1และ0มิฉะนั้น และถ้าφเป็นฟังก์ชันแล้วφ ( L )หมายถึงปริภูมิของฟังก์ชันfที่φ ( | f ( x ) | )สามารถอินทิเกรตได้ )

Konyagin (2000)ปรับปรุงตัวอย่างคัดค้านของ Kolmogorov โดยการค้นหาฟังก์ชันที่มีอนุกรมฟูริเยร์ที่ลู่เข้าทุกที่ในปริภูมิที่ใหญ่กว่าL log ( L ) ^1/2เล็กน้อย^{[ 19 ]}อาจมีคนถามว่ามีปริภูมิธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันที่มีอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าเกือบทุกที่หรือไม่ ผู้สมัครที่ง่ายที่สุดสำหรับปริภูมิดังกล่าวที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ของ Antonov และ Konyagin คือL log ( L )

การขยายทฤษฎีบทของคาร์เลสันไปสู่ชุดอนุกรมฟูริเยร์และปริพันธ์ในหลายตัวแปรนั้นมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากมีหลายวิธีในการหาผลรวมของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น สามารถหาผลรวมเหนือทรงกลมที่เพิ่มขนาดขึ้น หรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เพิ่มขนาดขึ้น การลู่เข้าของผลรวมย่อยสี่เหลี่ยมผืนผ้า (และผลรวมย่อยรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป) เป็นผลมาจากกรณีหนึ่งมิติ แต่ปัญหาการหาผลรวมทรงกลมยังคงเป็นปัญหา ที่ยัง ไม่ได้รับ การ แก้ไขสำหรับL ²

ตัวดำเนินการคาร์เลสันCเป็นตัวดำเนินการไม่เชิงเส้นที่กำหนดโดย $${\displaystyle Cf(x)=\sup _{N}\left|\int _{-N}^{N}{\hat {f}}(y)e^{2\pi ixy}\,dy\right|}$$

การแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทคาร์เลสัน-ฮันต์เป็นผลมาจากความมีขอบเขตของตัวดำเนินการคาร์เลสันจากL ^p ( R )ไปยังตัวมันเองสำหรับ1 < p < ∞ นั้นค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ว่ามันมีขอบเขตนั้นยาก และนี่คือสิ่งที่คาร์เลสันได้พิสูจน์ไว้จริง ๆ

• การลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์

• Telyakovskii, SA (2001) [1994], "ทฤษฎีบทของคาร์เลสัน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press