ท่อร่วมกลาง

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ท่อร่วมกลาง

ในคณิตศาสตร์ของระบบวิวัฒนาการ แนวคิดของแมนิโฟลด์ศูนย์กลางได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกเพื่อใช้ในการพิจารณาเสถียรภาพของสมดุลที่เสื่อมสภาพ ต่อมา

Q: คำนิยาม

ระนาบศูนย์กลาง ของระบบ พลวัต นั้น ขึ้นอยู่กับ จุดสมดุล ของระบบนั้น ระนาบศูนย์กลาง ของจุดสมดุลจึงประกอบด้วย วงโคจร ใกล้เคียง ที่ไม่ ลดลง หรือ เพิ่มขึ้นอย่าง รวดเร็ว แบบทวีคูณ

ในคณิตศาสตร์ของระบบวิวัฒนาการ แนวคิดของแมนิโฟลด์ศูนย์กลางได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกเพื่อใช้ในการพิจารณาเสถียรภาพของสมดุลที่เสื่อมสภาพ ต่อมา แนวคิดของแมนิโฟลด์ศูนย์กลางก็ได้รับการตระหนักว่าเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แมนิโฟลด์ศูนย์กลางมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการแยกสาขาเนื่องจากพฤติกรรมที่น่าสนใจเกิดขึ้นบนแมนิโฟลด์ศูนย์กลาง และในคณิตศาสตร์หลายระดับเนื่องจากพลวัตในระยะยาวของระดับจุลภาค มักถูกดึงดูดไปยังแมนิโฟลด์ศูนย์กลางที่ค่อนข้างเรียบง่าย ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวแปรระดับหยาบ

คำอธิบายแบบไม่เป็นทางการ

วงแหวนของดาวเสาร์มีรูปทรงเรขาคณิตแบบศูนย์กลางที่คล้ายคลึงกัน อนุภาคฝุ่นในวงแหวนอยู่ภายใต้แรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือการ "บีบอัดและยืด" แรงเหล่านี้จะบีบอัดวงโคจรของอนุภาคเข้าไปในวงแหวน ยืดอนุภาคไปตามวงแหวน และไม่คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของรัศมีวงแหวน ทิศทางการบีบอัดกำหนดระนาบเสถียรทิศทางการยืดกำหนดระนาบไม่เสถียรและทิศทางที่เป็นกลางคือระนาบศูนย์กลาง

แม้ว่าในทางเรขาคณิตจะถูกต้องแม่นยำ แต่ความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่งทำให้วงแหวนของดาวเสาร์แตกต่างจากระนาบศูนย์กลางทางกายภาพ เช่นเดียวกับระบบพลศาสตร์ส่วนใหญ่ อนุภาคในวงแหวนอยู่ภายใต้ กฎ อันดับสองการทำความเข้าใจวิถีการเคลื่อนที่จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองตำแหน่งและตัวแปรความเร็ว/โมเมนตัม เพื่อให้ได้โครงสร้างระนาบสัมผัส ที่เรียกว่า ปริภูมิเฟสในทางกายภาพแล้ว ระนาบเสถียร ระนาบไม่เสถียร และระนาบเป็นกลางของระบบวงแหวนของดาวเสาร์ไม่ได้แบ่งพื้นที่พิกัดสำหรับตำแหน่งของอนุภาค แต่แบ่งปริภูมิเฟสในเชิงเปรียบเทียบแทน

โดยทั่วไป แล้ว แมนิโฟลด์กลางจะมีพฤติกรรมเหมือนกับชุดจุดอานม้า ที่ขยาย ออกไป คู่ตำแหน่ง-ความเร็วบางคู่จะถูกผลักเข้าหาแมนิโฟลด์กลาง ในขณะที่บางคู่จะถูกเหวี่ยงออกไปจากแมนิโฟลด์กลาง การรบกวนเล็กน้อยโดยทั่วไปจะผลักพวกมันไปมาแบบสุ่ม และมักจะผลักพวกมันออกไปจากแมนิโฟลด์กลาง อย่างไรก็ตาม มีตัวอย่างคัดค้านที่น่าทึ่งต่อความไม่เสถียรที่แมนิโฟลด์กลาง เรียกว่าโครงสร้างที่สอดคล้องกันแบบลากรางจ์ พลวัต ของวัตถุแข็งเกร็งที่ไม่มีแรงกระทำทั้งหมดของลูกบอลคือแมนิโฟลด์กลาง^{[ 1 ]}

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่ามากคือการไหลของ Anosovบนมัดสัมผัสของพื้นผิว Riemannในกรณีนั้นพื้นที่สัมผัสจะแยกออกเป็นสามส่วนอย่างชัดเจนและแม่นยำ ได้แก่ มัดที่ไม่เสถียรและมัดที่เสถียร โดยมีแมนิโฟลด์ที่เป็นกลางอยู่ตรงกลาง

คำนิยาม

{\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},} — เส้นศูนย์กลาง (สีแดง) และเส้นไม่เสถียร (สีเขียว) ของ จุดสมดุลแบบ อานม้าของระบบ ${\dot {x}}=x^{2},$ ${\dot {y}}=y$ .

จุดที่สุ่มเลือกจากปริภูมิเฟส 2 มิติ จะลู่เข้าสู่แมนิโฟลด์ศูนย์กลาง 1 มิติแบบเอกซ์โปเนนเชียล ซึ่งพลวัตบนแมนิโฟลด์ศูนย์กลางนี้ช้า (ไม่ใช่แบบเอกซ์โปเนนเชียล) การศึกษาพลวัตของแมนิโฟลด์ศูนย์กลางจะช่วยกำหนดเสถียรภาพของจุดตรึงที่ไม่เป็นไฮเปอร์โบลิกที่จุดกำเนิด

ระนาบศูนย์กลางของระบบพลวัต นั้น ขึ้นอยู่กับจุดสมดุลของระบบนั้นระนาบศูนย์กลางของจุดสมดุลจึงประกอบด้วยวงโคจร ใกล้เคียง ที่ไม่ลดลงหรือเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว แบบทวีคูณ

ในทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนแรกในการศึกษาจุดสมดุลของระบบพลวัตคือการทำให้ระบบเป็นเชิงเส้น จากนั้นคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปหากมี) ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่มีส่วนจริงเป็นลบจะก่อให้เกิดฐานสำหรับ ปริภูมิ ลักษณะเฉพาะที่เสถียร เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (ทั่วไป) ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่มีส่วนจริงเป็นบวกจะก่อให้เกิดปริภูมิลักษณะเฉพาะที่ไม่เสถียร

ในทางพีชคณิต ให้ ${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx ({\mathcal {D}}\mathbf {f} )(\mathbf {x} ^{*})\mathbf {x}$ เป็นระบบพลวัตเชิงเส้นรอบจุดสมดุล $x *$ เมทริกซ์จาโคเบียน $(D f)(x *)$ กำหนดปริภูมิย่อยหลักสามปริภูมิ:

ปริภูมิย่อยศูนย์กลาง ซึ่งเกิดจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda$ ทำให้พึงพอใจ $\operatorname {Re} \lambda =0$ (โดยทั่วไป^{[ 2 ]} $|\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha$ );
ปริภูมิย่อยที่มีเสถียรภาพ ซึ่งครอบคลุมโดยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda$ ทำให้พึงพอใจ $\operatorname {Re} \lambda <0$ (โดยทั่วไปแล้ว $\operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha$ );
ปริภูมิย่อยที่ไม่เสถียร ซึ่งครอบคลุมโดยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda$ ทำให้พึงพอใจ $\operatorname {Re} \lambda >0$ (โดยทั่วไปแล้ว $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ )

ขึ้นอยู่กับการใช้งาน อาจมีความสนใจ ในปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงอื่นๆ ของสมการเชิงเส้น รวมถึงปริภูมิย่อยที่มีเสถียรภาพที่ศูนย์กลาง ปริภูมิย่อยที่ไม่มีเสถียรภาพที่ศูนย์กลาง ปริภูมิย่อยใกล้ศูนย์กลาง ปริภูมิย่อยช้า และปริภูมิย่อยเร็ว

หากจุดสมดุลเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก (นั่นคือ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของการทำให้เป็นเชิงเส้นมีส่วนจริงที่ไม่เป็นศูนย์) ทฤษฎีบท Hartman-Grobmanจะรับประกันว่าค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหล่านี้สามารถอธิบายพลวัตของระบบใกล้จุดสมดุลได้อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม หากจุดสมดุลมีค่าลักษณะเฉพาะที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (ทั่วไป) ที่สอดคล้องกันจะก่อตัวเป็นปริภูมิลักษณะเฉพาะศูนย์กลางเมื่อพิจารณาการรบกวนจากความไม่เป็นเชิงเส้นหรือแรงกระทำในระบบพลวัต นอกเหนือจากการทำให้เป็นเชิงเส้นแล้ว ปริภูมิลักษณะเฉพาะศูนย์กลางจะเปลี่ยนรูปไปเป็นแมนิโฟลด์ศูนย์กลางที่อยู่ใกล้เคียง^{[ 3 ]}

ถ้าค่าไอเกนเป็นศูนย์อย่างแม่นยำ (เช่นเดียวกับทรงกลม) แทนที่จะเป็นเพียงส่วนจริงเป็นศูนย์ ปริภูมิไอเกนที่สอดคล้องกันจะก่อให้เกิดแมนิโฟลด์แบบช้า โดยเฉพาะ พฤติกรรมบนแมนิโฟลด์ศูนย์กลาง (แบบช้า) โดยทั่วไปไม่ได้ถูกกำหนดโดยการทำให้เป็นเชิงเส้น และดังนั้นจึงอาจสร้างได้ยาก

ในทำนองเดียวกัน ความไม่เป็นเชิงเส้นหรือการบังคับในระบบจะรบกวนพื้นที่ไอเกนที่เสถียรและไม่เสถียรไปยัง แมนิโฟลด์ที่เสถียร ใกล้เคียง และแมนิโฟลด์ที่ไม่เสถียรใกล้เคียง[ 4 ^{]แมนิ} โฟลด์ทั้งสามประเภทนี้เป็นสามกรณีของ แมนิโฟล ด์ไม่แปรเปลี่ยน

ระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่สอดคล้องกับระบบเชิงเส้นจะมีแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนซึ่งแต่ละแมนิโฟลด์ประกอบด้วยเซตของวงโคจรของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น^{[ 5 ]}

แมนิโฟลด์ไม่เปลี่ยนแปลงที่สัมผัสกับซับสเปซเสถียรและมีมิติเท่ากัน คือ แมนิโฟล ด์เสถียร
ระนาบไม่เสถียรมีมิติเท่ากันและสัมผัสกับระนาบย่อยไม่เสถียร
แมนิโฟลด์ศูนย์กลางมีมิติเท่ากันและสัมผัสกับซับสเปซศูนย์กลาง หากค่าไอเกนของซับสเปซศูนย์กลางเป็นศูนย์ทั้งหมดอย่างแม่นยำ แทนที่จะเป็นเพียงส่วนจริงเป็นศูนย์ แมนิโฟลด์ศูนย์กลางนั้นมักถูกเรียกว่าแมนิ โฟล ด์ช้า

ทฤษฎีบทแมนิโฟลด์ศูนย์กลาง

ทฤษฎีบทการมีอยู่ของแมนิโฟลด์ศูนย์กลางระบุว่า ถ้าฟังก์ชันด้านขวามือ ${\textbf {f}}({\textbf {x}})$ เป็น $C^{r}$ ( $r$ (ครั้งสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง) ดังนั้น ณ จุดสมดุลทุกจุดจะมีบริเวณใกล้เคียงที่มีขนาดจำกัดซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างของ^{[ 6 ]}

เอกลักษณ์เฉพาะตัว $C^{r}$ ท่อร่วมเสถียร
เอกลักษณ์เฉพาะตัว $C^{r}$ แมนิโฟล ด์ที่ไม่เสถียร
และ (ไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์) $C^{r-1}$ ท่อร่วมกลาง

ในการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง การแปลงพิกัดแบบไม่เชิงเส้นไปยังรูปแบบปกติสามารถแยกแมนิโฟลด์ทั้งสามนี้ได้อย่างชัดเจน^{[ 7 ]}

ในกรณีที่ไม่มีแมนิโฟลด์ที่ไม่เสถียร แมนิโฟลด์ศูนย์กลางมักมีความเกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลอง ทฤษฎีบทการเกิดขึ้นของแมนิโฟลด์ศูนย์กลางกล่าวว่า สามารถเลือกบริเวณใกล้เคียงได้เพื่อให้โซลูชันทั้งหมดของระบบที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียงมีแนวโน้มเข้าใกล้โซลูชันใดโซลูชันหนึ่งอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โปเนนเชียล ${\textbf {y}}(t)$ บนท่อร่วมศูนย์กลาง ในสูตรต่างๆ $\mathbf {x} (t)=\mathbf {y} (t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta t})\quad {\text{ as }}\quad t\to \infty$ สำหรับอัตรา $β$ บาง ค่า^{[ 8 ]}ทฤษฎีบทนี้ยืนยันว่าสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่หลากหลาย คำตอบของระบบทั้งหมดจะลดลงอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียลไปยังคำตอบบนแมนิโฟลด์ศูนย์กลางที่มีมิติค่อนข้างต่ำ

ทฤษฎีบทที่สาม คือ ทฤษฎีบทการประมาณค่า กล่าวว่า ถ้ามีนิพจน์โดยประมาณสำหรับแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนดังกล่าว เช่น ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับระบบไปยังค่าตกค้าง ${\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})$ เช่น ${\textbf {s}}\to {\textbf {0}}$ จากนั้นระนาบไม่แปรเปลี่ยนจะถูกประมาณโดย ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ ไปสู่ข้อผิดพลาดในลำดับเดียวกัน กล่าวคือ ${\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})$ .

แมนิโฟลด์ศูนย์กลางของระบบมิติอนันต์หรือระบบที่ไม่เป็นอิสระ

อย่างไรก็ตาม การใช้งานบางอย่าง เช่น การกระจายตัวในท่อหรือช่องทาง จำเป็นต้องใช้แมนิโฟลด์ศูนย์กลางที่มีมิติอนันต์ ^{[ 9 ]} ทฤษฎีทั่วไปและทรงพลังที่สุดได้รับการพัฒนาโดย Aulbach และ Wanner ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}พวกเขาได้กล่าวถึงระบบไดนามิกที่ไม่เป็นอิสระ ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ ในมิติอนันต์ โดยมีแมนิโฟลด์เสถียร ไม่เสถียร และแมนิโฟลด์ศูนย์กลางที่มีมิติอนันต์ได้ นอกจากนี้ พวกเขายังได้ขยายความหมายของแมนิโฟลด์ให้มีความหมายทั่วไปมากขึ้น โดยแมนิโฟลด์ศูนย์กลางจะสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะดังนี้ $|\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha$ ระนาบเสถียรที่มีค่าลักษณะเฉพาะ $\operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha$ และแมนิโฟลด์ที่ไม่เสถียรพร้อมค่าไอเกน $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ พวกเขาพิสูจน์การมีอยู่ของแมนิโฟลด์เหล่านี้ และการเกิดขึ้นของแมนิโฟลด์ศูนย์กลาง ผ่านการแปลงพิกัดแบบไม่เชิงเส้น

Potzsche และ Rasmussen ได้สร้างทฤษฎีบทการประมาณที่สอดคล้องกันสำหรับระบบที่มีมิติอนันต์และไม่เป็นอิสระดังกล่าว ^{[ 13 ]}

ทฤษฎีย้อนกลับทางเลือก

ทฤษฎีที่มีอยู่ทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้นมุ่งที่จะสร้างคุณสมบัติของแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนของปัญหาที่กำหนดโดยเฉพาะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีการสร้างแมนิโฟลด์ที่ประมาณแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนของระบบที่กำหนด แนวทางอื่นคือการสร้างแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนที่แม่นยำสำหรับระบบที่ประมาณระบบที่กำหนด—เรียกว่าทฤษฎีย้อนกลับ จุดมุ่งหมายคือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกับระบบที่หลากหลายมากขึ้นอย่างมีประโยชน์ และเพื่อประเมินข้อผิดพลาดและขนาดของโดเมนความถูกต้อง ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

แนวทางนี้มีความคล้ายคลึงกับการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดแบบย้อนกลับ ซึ่งเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย ในการสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลข

แมนิโฟลด์ศูนย์กลางและการวิเคราะห์ระบบไม่เชิงเส้น

เนื่องจากเสถียรภาพของจุดสมดุลมีความสัมพันธ์กับ "เสถียรภาพ" ของแมนิโฟลด์ การมีอยู่ของแมนิโฟลด์ศูนย์กลางจึงก่อให้เกิดคำถามเกี่ยวกับพลวัตบนแมนิโฟลด์ศูนย์กลาง ซึ่งสามารถวิเคราะห์ได้โดยการลดแมนิโฟลด์ศูนย์กลางซึ่งเมื่อรวมกับพารามิเตอร์ระบบ μ บางตัว จะนำไปสู่แนวคิดของการแตกแขนง

ตัวอย่าง

ตัวอย่างง่ายๆ

พิจารณาระบบนี้ ${\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.$ ระนาบไม่เสถียรที่จุดกำเนิดคือ แกน yและระนาบเสถียรคือเซตที่ไม่สำคัญ {(0, 0)} วงโคจรใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนระนาบเสถียรจะสอดคล้องกับสมการในรูปแบบ $y=Ae^{-1/x}$ สำหรับค่าคงที่จริงA บางค่า ดังนั้น สำหรับค่าA จริงใดๆ เราสามารถสร้างแมนิโฟลด์ศูนย์กลางได้โดยการต่อเส้นโค้งเข้าด้วยกัน $y=Ae^{-1/x}$ สำหรับx > 0 โดยมีแกน x ลบ(รวมถึงจุดกำเนิด) ^[¹⁶^]ยิ่งไปกว่านั้น แมนิโฟลด์ศูนย์กลางทั้งหมดมีศักยภาพที่ไม่เป็นเอกลักษณ์นี้ แม้ว่าบ่อยครั้งความไม่เป็นเอกลักษณ์จะเกิดขึ้นเฉพาะในค่าเชิงซ้อนที่ไม่สมจริงของตัวแปรเท่านั้น

สมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลามักมีการแตกแขนงแบบฮอปฟ์

อีกตัวอย่างหนึ่งแสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์กลางจำลองการแยกสาขาฮอปฟ์ที่เกิดขึ้นสำหรับพารามิเตอร์ อย่างไร $a\approx 4$ ในสมการเชิงอนุพันธ์หน่วงเวลา ${dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}$ โดยหลักแล้ว ความล่าช้าทำให้ DE นี้มีมิติอนันต์

โชคดีที่เราสามารถประมาณค่าความล่าช้าดังกล่าวได้โดยใช้เทคนิคต่อไปนี้ซึ่งช่วยรักษาขนาดมิติให้จำกัด กำหนดให้ $u_{1}(t)=x(t)$ และประมาณค่าตัวแปรที่มีการหน่วงเวลา $x(t-1)\approx u_{3}(t)$ โดยใช้ตัวกลาง ${du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})$ และ ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ .

สำหรับพารามิเตอร์ที่อยู่ใกล้ค่าวิกฤต $a=4+\alpha$ จากนั้น สมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลาจะถูกประมาณโดยระบบ ${\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].$ ในแง่ของแอมพลิจูดเชิงซ้อน $s(t)$ และคอนจูเกตเชิงซ้อนของมัน ${\bar {s}}(t)$ ท่อร่วมกลางคือ ${\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})$ และวิวัฒนาการบนแมนิโฟลด์กลางคือ ${\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})$ วิวัฒนาการนี้แสดงให้เห็นว่าจุดกำเนิดนั้นไม่เสถียรเชิงเส้น $\alpha >0\ (a>4)$ แต่ความไม่เป็นเชิงเส้นแบบลูกบาศก์จะช่วยรักษาเสถียรภาพของวงจรจำกัด ที่อยู่ใกล้เคียง เช่นเดียวกับการแยกสาขาแบบฮอปฟ์ แบบคลาสสิ ก

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Roberts, AJ (1993). "ระนาบไม่แปรเปลี่ยนของการเสียรูปของคาน ตอนที่ 1: แท่งกลมธรรมดา" J. Elast . 30 : 1– 54. doi : 10.1007/BF00041769 . S2CID 123743932 .
↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "ทฤษฎีบท Hartman–Grobman สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภท Caratheodory ในปริภูมิ Banach" การวิเคราะห์ แบบไม่เชิงเส้น40 ( 1– 8): 91– 104. doi : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
↑ Carr, Jack (1981). การประยุกต์ใช้ทฤษฎีแมนิโฟลด์ศูนย์กลางวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ประยุกต์ เล่มที่35 Springer -Verlag doi : 10.1007 /978-1-4612-5929-9 ISBN 978-0-387-90577-8.
↑ Kelley, A. (1967). "แมนิโฟลด์ที่เสถียร เสถียรที่ศูนย์กลาง ศูนย์กลางไม่เสถียรที่ศูนย์กลาง และไม่เสถียร" . J. Differential Equations . 3 (4): 546– 570. Bibcode : 1967JDE.....3..546K . doi : 10.1016/0022-0396(67)90016-2 .
↑กุกเคนไฮเมอร์แอนด์โฮล์มส์ (1997) , ตอนที่ 3.2
↑ Guckenheimer & Holmes (1997) , ทฤษฎีบท 3.2.1
↑ Murdock, James (2003). รูปแบบปกติและการคลี่คลาย สำหรับระบบพลวัตเฉพาะที่Springer-Verlag .
↑ Iooss, G.; Adelmeyer, M. (1992). หัวข้อในทฤษฎีการแยกสาขาหน้า7.
↑ Roberts, AJ (1988). "การประยุกต์ใช้ทฤษฎีศูนย์กลางแมนิโฟลด์กับการวิวัฒนาการของระบบที่เปลี่ยนแปลงช้าในอวกาศ" . J. Austral. Math. Soc . B. 29 (4): 480– 500. doi : 10.1017/S0334270000005968 .
↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". ใน Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems . สิงคโปร์: World Scientific. หน้า45–119 . ISBN 9789810225483.
↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "การแบ่งส่วนแบบไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภท Caratheodory ในปริภูมิ Banach" ใน Lakshmikantham, V.; Martynyuk, AA (บรรณาธิการ). ความก้าวหน้าของทฤษฎีเสถียรภาพในช่วงปลายศตวรรษที่ 20. Gordon & Breach.
↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "ทฤษฎีบท Hartman–Grobman สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภท Caratheodory ในปริภูมิ Banach" การวิเคราะห์ แบบไม่เชิงเส้น40 ( 1– 8): 91– 104. doi : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
↑ Potzsche, C.; Rasmussen, M. (2006). "การประมาณค่าเทย์เลอร์ของแมนิโฟลด์เชิงอินทิกรัล". วารสารพลศาสตร์และสมการเชิงอนุพันธ์18 (2): 427– 460. Bibcode : 2006JDDE...18..427P . doi : 10.1007/s10884-006-9011-8 . S2CID 59366945 .
↑ Roberts, AJ (2019). "ทฤษฎีย้อนกลับสนับสนุนการสร้างแบบจำลองผ่านแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนสำหรับระบบพลวัตที่ไม่เป็นอิสระ" arXiv : 1804.06998 [ math.DS ]
↑ Hochs, Peter; Roberts, AJ (2019). "รูปแบบปกติและแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนสำหรับ PDE แบบไม่เชิงเส้นและไม่เป็นอิสระ ซึ่งมองเป็น ODE ในมิติอนันต์" J. Differential Equations . 267 (12): 7263– 7312. arXiv : 1906.04420 . Bibcode : 2019JDE...267.7263H . doi : 10.1016/j.jde.2019.07.021 . S2CID 184487247 .
↑ชิโคน 2010 , หน้า 344.

อ่านเพิ่มเติม

Jack Carr (บรรณาธิการ). "ท่อร่วมกลาง" . Scholarpedia .
ชิโคน, คาร์เมน (2010). สมการเชิงอนุพันธ์สามัญพร้อมการประยุกต์ใช้ . ตำราคณิตศาสตร์ประยุกต์ ( ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-35794-2.
Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1997), การสั่นแบบไม่เชิงเส้น ระบบพลวัต และการแตกแขนงของสนามเวกเตอร์ , วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ประยุกต์, เล่มที่ 42, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90819-9แก้ไขแล้วในการพิมพ์ครั้งที่ห้า.

ลิงก์ภายนอก

บริการเว็บออนไลน์สำหรับแยกแมนิโฟลด์ศูนย์กลางจากระบบที่กำหนดโดยใช้พีชคณิตคอมพิวเตอร์:
- บริการง่ายๆ สำหรับสร้างท่อร่วมศูนย์กลางสำหรับระบบอัตโนมัติเก็บถาวรเมื่อ 2020-03-21 ที่Wayback Machine
- บริการที่ซับซ้อนกว่าในการแปลงระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่กำหนดไปเป็นรูปแบบมาตรฐาน

[Roberts93-1] Roberts, AJ (1993). "ระนาบไม่แปรเปลี่ยนของการเสียรูปของคาน ตอนที่ 1: แท่งกลมธรรมดา" J. Elast . 30 : 1– 54. doi : 10.1007/BF00041769 . S2CID 123743932 .

[2] Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "ทฤษฎีบท Hartman–Grobman สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภท Caratheodory ในปริภูมิ Banach" การวิเคราะห์ แบบไม่เชิงเส้น40 ( 1– 8): 91– 104. doi : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .

[Carr81-3] Carr, Jack (1981). การประยุกต์ใช้ทฤษฎีแมนิโฟลด์ศูนย์กลางวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ประยุกต์ เล่มที่35 Springer -Verlag doi : 10.1007 /978-1-4612-5929-9 ISBN 978-0-387-90577-8.

[Kelley67b-4] Kelley, A. (1967). "แมนิโฟลด์ที่เสถียร เสถียรที่ศูนย์กลาง ศูนย์กลางไม่เสถียรที่ศูนย์กลาง และไม่เสถียร" . J. Differential Equations . 3 (4): 546– 570. Bibcode : 1967JDE.....3..546K . doi : 10.1016/0022-0396(67)90016-2 .

[5] กุกเคนไฮเมอร์แอนด์โฮล์มส์ (1997) , ตอนที่ 3.2

[6] Guckenheimer & Holmes (1997) , ทฤษฎีบท 3.2.1

[7] Murdock, James (2003). รูปแบบปกติและการคลี่คลาย สำหรับระบบพลวัตเฉพาะที่Springer-Verlag .

[8] Iooss, G.; Adelmeyer, M. (1992). หัวข้อในทฤษฎีการแยกสาขาหน้า7.

[9] Roberts, AJ (1988). "การประยุกต์ใช้ทฤษฎีศูนย์กลางแมนิโฟลด์กับการวิวัฒนาการของระบบที่เปลี่ยนแปลงช้าในอวกาศ" . J. Austral. Math. Soc . B. 29 (4): 480– 500. doi : 10.1017/S0334270000005968 .

[10] Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". ใน Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems . สิงคโปร์: World Scientific. หน้า45–119 . ISBN 9789810225483.

[11] Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "การแบ่งส่วนแบบไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภท Caratheodory ในปริภูมิ Banach" ใน Lakshmikantham, V.; Martynyuk, AA (บรรณาธิการ). ความก้าวหน้าของทฤษฎีเสถียรภาพในช่วงปลายศตวรรษที่ 20. Gordon & Breach.

[12] Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "ทฤษฎีบท Hartman–Grobman สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภท Caratheodory ในปริภูมิ Banach" การวิเคราะห์ แบบไม่เชิงเส้น40 ( 1– 8): 91– 104. doi : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .

[13] Potzsche, C.; Rasmussen, M. (2006). "การประมาณค่าเทย์เลอร์ของแมนิโฟลด์เชิงอินทิกรัล". วารสารพลศาสตร์และสมการเชิงอนุพันธ์18 (2): 427– 460. Bibcode : 2006JDDE...18..427P . doi : 10.1007/s10884-006-9011-8 . S2CID 59366945 .

[Roberts2018a-14] Roberts, AJ (2019). "ทฤษฎีย้อนกลับสนับสนุนการสร้างแบบจำลองผ่านแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนสำหรับระบบพลวัตที่ไม่เป็นอิสระ" arXiv : 1804.06998 [ math.DS ]

[15] Hochs, Peter; Roberts, AJ (2019). "รูปแบบปกติและแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนสำหรับ PDE แบบไม่เชิงเส้นและไม่เป็นอิสระ ซึ่งมองเป็น ODE ในมิติอนันต์" J. Differential Equations . 267 (12): 7263– 7312. arXiv : 1906.04420 . Bibcode : 2019JDE...267.7263H . doi : 10.1016/j.jde.2019.07.021 . S2CID 184487247 .

[FOOTNOTEChicone2010344-16] ชิโคน 2010 , หน้า 344.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

]แมนิ

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[