ลูกบาศก์ที่ไม่ลบมุม, ลบมุมเล็กน้อย, และลบมุม

แบบจำลองผลึกทางประวัติศาสตร์ ของ ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตที่มีมุมตัดเฉียงเล็กน้อย

ในทางเรขาคณิตการตัดขอบหรือการลบมุมเป็นตัวดำเนินการทางโทโพโลยีที่ปรับเปลี่ยนรูปทรงหลายเหลี่ยม หนึ่ง ไปเป็นอีกรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่ง โดยจะแยกหน้า ตัดออก จากกันด้วยการลดขนาด และเพิ่มหน้าตัดใหม่ระหว่างหน้าตัดที่อยู่ติดกันสองหน้า (โดยเคลื่อนจุดยอดเข้าด้านใน) ในทางตรงกันข้าม คล้ายกับการขยายแต่จะเคลื่อนหน้าตัดออกจากกันออกไปด้านนอก และเพิ่มหน้าตัดใหม่ระหว่างหน้าตัดที่อยู่ติดกันสองหน้า แต่ตรงกันข้ามกับการขยายตรงที่มันจะคงจุดยอด เดิม ไว้

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม การดำเนินการนี้จะเพิ่ม หน้า หกเหลี่ยม ใหม่ เข้าไปแทนที่ขอบ เดิมแต่ละ ด้าน

ในสัญลักษณ์รูปทรงหลายเหลี่ยมของคอนเวย์การลบมุมจะใช้ตัวอักษร "c" แทน รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มี ขอบ eขอบ จะมีรูปทรงที่ลบมุมแล้วซึ่งประกอบด้วยจุดยอดใหม่2e จุด ขอบใหม่ 3e ขอบและหน้าหกเหลี่ยมใหม่ e หน้า

จากซ้ายไปขวา: ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบมีมุมตัดเฉียง, ทรงลูกบาศก์, ทรงแปดเหลี่ยม, ทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงยี่สิบเหลี่ยม

ต่อไปนี้จะอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับ การลบมุมของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้ง ห้าแบบ

• ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบเฉียงหรือลูกบาศก์ตัดสลับ: จากทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ โดยแทนที่ขอบ ทั้งหกด้วยรูปหกเหลี่ยมแบนที่เท่ากันทุกประการ หรือ ตัดลูกบาศก์สลับกัน โดยแทนที่จุดยอดสี่จุดจากแปดจุดด้วยหน้าสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เท่ากันทุกประการ นี่เป็นตัวอย่างของทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก GP _III (2,0) หรือ {3+,3} _2,0ซึ่งประกอบด้วยหน้าสามเหลี่ยมและหน้าหกเหลี่ยม คู่กันของมันคือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าไตรอากิสแบบสลับ^{[ 2 ]}
• ลูกบาศก์มุมตัด: จากลูกบาศก์ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะมีหน้าหกเหลี่ยมสิบสองหน้าและหน้าสี่เหลี่ยมสมมาตรตรงกลาง หกหน้า เรียกว่า โซโนเฮดรอน [ ^{3 ] นี่}เป็นตัวอย่างหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก GP _IV (2,0) หรือ {4+,3} _2,0 รูป ทรงคู่ของมันคือ เตตระคิส คิวบอกตาเฮดรอน ปริศนาบิดเบี้ยวของ DaYan Gem 7 มีรูปร่างเป็นลูกบาศก์มุมตัด^{[ 4 ]}
• ทรงแปดเหลี่ยมมุมตัดหรือทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตัดสามส่วน: จากทรงแปดเหลี่ยมปกติโดยการตัดมุม^{[ 5 ]}หรือโดยการตัด จุด ยอดลำดับที่ 3 ทั้งแปดจุดของ ทรง สิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งจะกลายเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เท่ากันทุกประการ และหน้าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ทั้งสิบสองหน้าเดิมจะกลายเป็นรูปหกเหลี่ยมแบน ที่เท่ากันทุกประการเป็นทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก GP _V (2,0) หรือ {5+,3} _2,0ทรงคู่ของมันคือทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมไตรอากิส^{[ 2 ]}

เพนทาคิส ไอโคซิโดเดคาเฮดรอนและ ไตรอาคิส ไอโคซิโดเดคาเฮดรอน

• ทรงสิบสองเหลี่ยมมุมตัด : โดยการตัดมุมของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะมีจุดยอด 80 จุด ขอบ 120 เส้น และหน้า 42 หน้า: รูปห้าเหลี่ยม ปกติ ที่เหมือนกัน 12 รูป และรูปหกเหลี่ยมแบน ที่เหมือนกัน 30 รูป GP _V (2,0) = {5+,3} _{2,0 โครงสร้างนี้คล้ายกับ} ฟูลเลอรีน C 60 _[ ^{6 ] รูป}ทรงคู่ของมันคือทรงสิบสองเหลี่ยมเพนทาคิส^{[ 2 ]}
• ไอโคซาเฮดรอนแบบตัดมุมหรือไตรคอนทาเฮดรอนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบตัดมุม: โดยการตัดมุมไอโคซาเฮดรอนปกติหรือการตัดจุดยอดลำดับที่ 3 จำนวน 20 จุดของไตรคอนทาเฮดรอน รูป สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หน้าหกเหลี่ยมของไอโคซาเฮดรอนสามารถทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้แต่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมปกติด้วยความลึกของการตัดมุมที่แน่นอน รูปทรงคู่ของมันคือไตรอาคิสไอโคซิโดเดคาเฮดรอน^{[ 2 ]}

กระเบื้องปูพื้นแบบปกติและกึ่งปกติที่มีมุมลบเหลี่ยม

การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส , Q {4,4}	การปูพื้นด้วยรูปสามเหลี่ยม , Δ {3,6}	การปูกระเบื้องหกเหลี่ยม , H {6,3}	Rhombille , daH dr{6,3}
ซีคิว	ซีΔ	ซีเอช	ซีดาเอช

การดำเนินการลบมุมที่ใช้ต่อเนื่องกันจะสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ โดยมีหน้าใหม่เป็นรูปหกเหลี่ยม แทนที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปัจจุบัน ตัวดำเนินการลบมุมจะแปลง GP(m,n) เป็น GP(2m,2n)

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ GP(1,0) สร้าง ลำดับรูป ทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก : GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)...

	GP(1,0)	GP(2,0)	GP(4,0)	GP(8,0)	GP(16,0)	...
GP IV {4+,3}	ซี	ซีซี	ซีซีซี	ซีซีซี	ซีซีซีซี	...
GP V {5+,3}	ดี	ซีดี	ซีซีดี	ซีซีซีดี	ซีซีซีดี	...
GP VI {6+,3}	ชม	ซีเอช	ซีซีเอช	ซีซีเอช	ซีซีซีเอช	...

ทรงแปดเหลี่ยมตัดยอดหรือทรงยี่สิบเหลี่ยมตัดยอด GP(1,1) สร้างลำดับโกลด์เบิร์ก: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)...

	GP(1,1)	GP(2,2)	GP(4,4)	...
GP IV {4+,3}	ถึง	ซีทีโอ	cctO	...
GP V {5+,3}	ทีไอ	ctI	ซีซีทีไอ	...
GP VI {6+,3}	tΔ	ctΔ	cctΔ	...

ทรงหกเหลี่ยมตัดยอดเททราคิสหรือทรงสิบสองเหลี่ยมเพนทาคิส GP(3,0) สร้างลำดับโกลด์เบิร์ก: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

	GP(3,0)	GP(6,0)	GP(12,0)	...
GP IV {4+,3}	ทีเคซี	ซีทีเคซี	ซีซีทีเคซี	...
GP V {5+,3}	ทีเคดี	ctkD	ซีซีทีเคดี	...
GP VI {6+,3}	tkH	ctkH	cctkH	...

• การนับเลข (เรขาคณิต)
• สัญกรณ์ทรงหลายเหลี่ยมของคอนเวย์
• จอห์นสันเกือบพลาดแล้ว แข็งแกร่งมาก
• โพลีโทป 4 รูปทรงสม่ำเสมอ
• ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ

• โกลด์เบิร์ก, ไมเคิล (1937). "กลุ่มของทรงหลายเหลี่ยมสมมาตร"วารสารคณิตศาสตร์โทโฮคุ 43 : 104– 108 .
• โจเซฟ ดี. คลินตัน, สมมติฐานมุมศูนย์กลางเท่ากันของคลินตัน[1]
• ฮาร์ท, จอร์จ (2012). "รูปทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก". ในเซเนชัล, มาร์จอรี (บรรณาธิการ). การกำหนดรูปร่างของพื้นที่ (ฉบับที่ 2). สปริงเกอร์. หน้า  125–138 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN 978-0-387-92713-8.
• ฮาร์ท, จอร์จ (18 มิถุนายน 2013). "ความประทับใจทางคณิตศาสตร์: รูปทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก" . Simons Science News.
• Deza, A.; Deza, M. ; Grishukhin, V. (1998). "ฟูลเลอรีนและโพลีเฮดราเชิงการประสานงานเทียบกับการฝังครึ่งลูกบาศก์" คณิตศาสตร์ดิสครีต 192 ( 1): 41– 80. doi : 10.1016/S0012-365X(98)00065-X ..
• Gelişgen, Özcan; Yavuz, Serhat (2019a). "หมายเหตุเกี่ยวกับกลุ่มไอโซเมตรีของปริภูมิทรงสิบสองเหลี่ยมมุมตัดและทรงยี่สิบเหลี่ยมมุมตัด" (PDF)วารสารเรขาคณิตนานาชาติ8 (2): 33– 45.
• Gelişgen, Özcan; Yavuz, Serhat (2019b). "กลุ่มไอโซเมตรีของปริภูมิลูกบาศก์และทรงแปดเหลี่ยมที่มีมุมตัดเฉียง" . Mathematical Sciences and Applications E-Notes . 7 (2): 174– 182. doi : 10.36753/mathenot.542272 .
• Spencer, Leonard James (1911). "Crystallography" ในChisholm, Hugh (บรรณาธิการ). Encyclopædia Britannica . เล่มที่ 7 (ฉบับที่ 11). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า  569–591 .

• ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบมีมุมตัด
• ของแข็งที่มีมุมลบเหลี่ยม
• การตัดจุดยอดและขอบของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตและอาร์คิมีเดียนที่นำไปสู่ทรงหลายเหลี่ยมที่จุดยอดสลับกันได้ลิวิโอ เซฟิโร
• ตัวสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยม VRML ( สัญกรณ์รูปทรงหลายเหลี่ยมของคอนเวย์ )
  • แบบจำลองVRML ลูกบาศก์มุมลบเหลี่ยม
• 3.2.7. การกำหนดหมายเลขอย่างเป็นระบบสำหรับฟูลเลอรีน (C80-Ih) [5,6]
• ฟูลเลอรีน C80
  1. [2] (หมายเลข 7 -Ih)
  2. [3]
• วิธีการทำลูกบาศก์ที่มีมุมลบเหลี่ยม