คอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก เป็น คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรมชนิดหนึ่งซึ่งมีการประยุกต์ใช้งานต่างๆ ในทฤษฎีกราฟเชิงโทโพโลยีและโทโพโลยีเชิงพีชคณิต^{[ 1 ] [ 2 ]}โดยทั่วไป คอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก ( m , n ) ประกอบด้วยเซตของตำแหน่งทั้งหมดบนกระดานหมากรุก ขนาด m x n ซึ่ง สามารถวาง เรือ ได้โดยไม่โจมตีกัน หรือกล่าวอีก นัยหนึ่งคือคอมเพล็กซ์การจับคู่ของกราฟทวิภาคสมบูรณ์ ( m , n ) หรือคอมเพล็กซ์ความเป็นอิสระของกราฟเรือขนาดm x n

สำหรับจำนวนเต็มบวก mและnใดๆ คอมเพล็กซ์ กระดาน หมากรุก ( m, n )${\displaystyle \Delta _{m,n}}$คือคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรมที่มีเซตจุดยอด${\displaystyle [m]\times [n]}$ซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยS ทั้งหมด โดยที่ ถ้า${\displaystyle (i_{1},j_{1})}$และ${\displaystyle (i_{2},j_{2})}$หากเป็นองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองอย่างของSแล้ว ทั้งสองอย่างก็จะเหมือนกัน${\displaystyle i_{1}\neq i_{2}}$และ${\displaystyle j_{1}\neq j_{2}}$เซตจุดยอดสามารถมองได้ว่าเป็นตารางสองมิติ (กระดานหมากรุก) และคอมเพล็กซ์ประกอบด้วยเซตย่อยS ทั้งหมด ที่ไม่ประกอบด้วยเซลล์สองเซลล์ในแถวเดียวกันหรือในคอลัมน์เดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เซตย่อยS ทั้งหมด ที่สามารถวางหมากรุกได้โดยไม่กินกันเอง

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดคอมเพล็กซ์กระดานหมากรุกได้อย่างกระชับโดยใช้การรวมแบบลบ (deleteed join ) ให้D <sub> เป็นเซตของ จุดแยก mจุด แล้วคอมเพล็กซ์กระดานหมากรุกก็คือการรวมแบบลบ 2 เท่า (2-wise deleted join) จำนวน nเท่าของD <sub> ซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle (D_{m})_{\Delta (2)}^{*n}}$. ^{[ 3 ] : 176}

อีกนิยามหนึ่งคือเซตของการจับคู่ ทั้งหมด ในกราฟสองส่วน สมบูรณ์${\displaystyle K_{m,n}}$[ ^{1 ]​}

ในคอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก ( m , n ) ใดๆ บริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดยอดจะมีโครงสร้างของคอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก ( m − 1, n − 1) ในแง่ของหมากรุกเรือ การวางเรือหนึ่งตัวบนกระดานจะทำให้ช่องที่เหลืออยู่ในแถวและคอลัมน์เดียวกันหายไป เหลือเพียงชุดของแถวและคอลัมน์ที่เล็กลงซึ่งสามารถวางเรือเพิ่มเติมได้ วิธีนี้ทำให้สามารถศึกษาโครงสร้างทางโทโพโลยีของกระดานหมากรุกแบบลำดับชั้นได้ โดยอิงจากโครงสร้างที่มีมิติต่ำกว่า ตัวอย่างเช่น คอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก (4,5) และคอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก (3,4) และ (2,3) ภายในนั้น: ^{[ 4 ]}

• คอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก (2,3) เป็นรูปหกเหลี่ยมประกอบด้วยจุดยอดหกจุด (ช่องสี่เหลี่ยมหกช่องของกระดานหมากรุก) ที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบหกเส้น (คู่ของช่องสี่เหลี่ยมที่ไม่โจมตีกัน)
• คอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก (3,4) คือการแบ่งทอรัส ออกเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมีสามเหลี่ยม 24 รูป (กลุ่มสี่เหลี่ยมสามรูปที่ไม่โจมตีกัน) ขอบ 36 เส้น และจุดยอด 12 จุด สามเหลี่ยมหกรูปมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด ในรูปแบบหกเหลี่ยมเดียวกันกับคอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก (2,3)
• คอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก (4,5) ก่อให้เกิด ซูโดแมนิโฟลด์สามมิติ: ในบริเวณใกล้เคียงจุดยอดแต่ละจุด รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 24 รูปมาบรรจบกันในรูปแบบของทอรัส แทนที่จะเป็นรูปแบบทรงกลมที่จำเป็นสำหรับแมนิโฟลด์หากลบจุดยอดออกจากพื้นที่นี้ ผลลัพธ์สามารถแสดงโครงสร้างทางเรขาคณิตเป็นแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก 3 มิติแบบ มีจุดยอด แหลม ซึ่งเทียบเท่าทางโทโพโลยีกับส่วนเติมเต็ม ของ ลิงก์ 20 องค์ประกอบ

ทุกแง่มุมของ${\displaystyle \Delta _{m,n}}$ประกอบด้วย${\displaystyle \min(m,n)}$องค์ประกอบ ดังนั้น มิติของ${\displaystyle \Delta _{m,n}}$เป็น${\displaystyle \min(m,n)-1}$.

การเชื่อมต่อแบบโฮโมโทปิกของกลุ่มกระดานหมากรุกนั้นมีอย่างน้อยที่สุด${\displaystyle \min \left(m,n,{\frac {m+n+1}{3}}\right)-2}$(ดังนั้น${\displaystyle \eta \geq \min \left(m,n,{\frac {m+n+1}{3}}\right)}$). ^{[ 1 ] :มาตรา 1}

ตัวเลขของ เบ็ตตี้${\displaystyle b_{r-1}}$จำนวนหมากรุกที่ซับซ้อนจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (mr)(nr)>r}$[ ^{5 ] : 200}ค่าลักษณะเฉพาะของลาปลาเซียนเชิงคอมบินาทอริก^ของคอมเพล็กซ์กระดานหมากรุกเป็นจำนวนเต็ม^{[ 5 ] : 193}

กระดานหมากรุกที่ซับซ้อนนี้คือ${\displaystyle (\nu _{m,n}-1)}$-เชื่อมต่อกัน ที่${\displaystyle \nu _{m,n}:=\min\{m,n,\lfloor {\frac {m+n+1}{3}}\rfloor \}}$[ ^{6 ] : 527}กลุ่มโฮโมโล^ยี${\displaystyle H_{\nu _{m,n}}(M_{m,n})}$เป็นกลุ่ม 3ที่มีเลขชี้กำลังไม่เกิน 9 และเป็นที่ทราบกันว่าเป็นกลุ่มวัฏจักรบน 3 องค์ประกอบเมื่อ${\displaystyle m+n\equiv 1{\pmod {3}}}$. ^{[ 6 ] : 543–555}

เดอะ${\displaystyle (\lfloor {\frac {n+m+1}{3}}\rfloor -1)}$-โครงร่างของโครงสร้างเชิงซ้อนกระดานหมากรุกสามารถแยกส่วนตามจุดยอดได้ในความหมายของ Provan และ Billera (และดังนั้นจึงสามารถแบ่งเป็นชั้นได้ ) และโครงสร้างเชิงซ้อนทั้งหมดสามารถแยกส่วนตามจุดยอดได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle n\geq 2m-1}$[ ^{7 ] : 3}ผลที่ตามมาคือ ตำแหน่งใดๆ ของ^เรือ kตัวบน กระดานหมากรุกขนาด m x nซึ่ง${\displaystyle k\leq \lfloor {\frac {m+n+1}{3}}\rfloor }$สามารถแปลงเป็นตำแหน่งอื่นใดก็ได้โดยใช้ค่าสูงสุด${\displaystyle mn-k}$การเดินเรือเดี่ยว (โดยที่ตำแหน่งกลางแต่ละตำแหน่งก็ไม่ใช่การกินเรือเช่นกัน) ^{[ 7 ] : 3}

คอมเพล็กซ์${\displaystyle \Delta _{n_{1},\ldots ,n_{k}}}$คือ "คอมเพล็กซ์กระดานหมากรุก" ที่กำหนดขึ้นสำหรับ กระดานหมากรุกมิติ kหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นเซตของการจับคู่ในไฮเปอร์กราฟkส่วน ที่สมบูรณ์ คอมเพล็กซ์นี้มีอย่างน้อย${\displaystyle (\nu -2)}$-เชื่อมต่อแล้ว สำหรับ${\displaystyle \nu$ :=\min\{n_{1},\lfloor {\frac {n_{1}+n_{2}+1}{3}}\rfloor ,\dots ,\lfloor {\frac {n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}+1}{2k+1}}\rfloor \}} ^{[ 1 ] : 33}