• รูสองมิติ (รูที่มีขอบเขตหนึ่งมิติ) คือวงกลม (S ¹ ) ในXที่ไม่สามารถหดตัวอย่างต่อเนื่องไปยังจุดหนึ่งในXได้ ตัวอย่างแสดงในรูปทางด้านขวา บริเวณสีเหลืองคือปริภูมิเชิงทอพอโลยีXซึ่งเป็นรูปห้าเหลี่ยมที่ตัดสามเหลี่ยมออกไปหนึ่งรูป วงกลมสีน้ำเงินคือทรงกลมหนึ่งมิติในXมันไม่สามารถหดตัวอย่างต่อเนื่องไปยังจุดหนึ่งใน X ได้ ดังนั้น X จึงมีรูสองมิติ อีกตัวอย่างหนึ่งคือระนาบที่ถูกเจาะ – ระนาบยุคลิดที่ตัดจุดเดียวออกไป${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$. ในการสร้างรู 2 มิติในลูกบอล 3 มิติ ให้สร้างอุโมงค์ผ่านมัน^{[ 1 ]}โดยทั่วไป พื้นที่จะมีรูขอบเขต 1 มิติก็ต่อเมื่อมันไม่เชื่อมต่อแบบง่าย เท่านั้น ดังนั้น การเชื่อมต่อแบบง่ายจึงเทียบเท่ากับการเชื่อมต่อแบบ 1 มิติXเชื่อมต่อแบบ 0 มิติ แต่ไม่เชื่อมต่อแบบ 1 มิติ ดังนั้น ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ขนาดที่เล็กที่สุดของรูคือ 2 ดังนั้น ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=2}$.

  

• รูปทางด้านขวาแสดงรูสามมิติ (รูที่มีขอบเขตสองมิติ) โดยที่Xคือลูกบาศก์ (สีเหลือง) ที่เอาลูกบอลออกไปหนึ่งลูก (สีขาว) ทรงกลมสองมิติ (สีน้ำเงิน) ไม่สามารถหดลงอย่างต่อเนื่องจนเหลือเพียงจุดเดียวได้X เป็นทรง กลมที่เชื่อมต่ออย่างง่าย แต่ไม่ใช่ทรงกลมที่เชื่อมต่อสองมิติ ดังนั้น${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=1}$ขนาดที่เล็กที่สุดของรูคือ 3 ดังนั้น${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=3}$.

• สำหรับรู 1 มิติ (รูที่มีขอบเขตเป็น 0 มิติ) เราจำเป็นต้องพิจารณา${\displaystyle S^{0}}$- ทรงกลมมิติศูนย์ ทรงกลมมิติศูนย์คืออะไร? - สำหรับจำนวนเต็มd ทุกตัว ทรงกลม${\displaystyle S^{d}}$คือขอบเขตของ ทรงกลมมิติ ( d +1)${\displaystyle B^{d+1}}$. ดังนั้น${\displaystyle S^{0}}$คือขอบเขตของ${\displaystyle B^{1}}$ซึ่งก็คือช่วง [0,1] ดังนั้น${\displaystyle S^{0}}$คือเซตของจุดสองจุดที่ไม่ซ้ำกัน {0, 1} ทรงกลมศูนย์มิติในXก็คือเซตของจุดสองจุดในXนั่นเอง ถ้ามีเซตดังกล่าวที่ไม่สามารถหดอย่างต่อเนื่องไปยังจุดเดียวในX (หรือขยายอย่างต่อเนื่องไปยังส่วนของเส้นตรงในX ) ได้ นั่นหมายความว่าไม่มีเส้นทางระหว่างจุดสองจุดนั้น นั่นคือ X ไม่ใช่ปริภูมิที่เชื่อมต่อด้วยเส้นทางดูรูปทางด้านขวา ดังนั้น การเชื่อมต่อด้วยเส้นทางจึงเทียบเท่ากับการเชื่อมต่อด้วยศูนย์Xไม่ใช่ปริภูมิที่เชื่อมต่อด้วยศูนย์ ดังนั้น ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-1}$ขนาดที่เล็กที่สุดของรูคือ 1 ดังนั้น ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=1}$.
• รูมิติศูนย์ คือ ลูกบอลมิติศูนย์ที่หายไป ลูกบอลมิติศูนย์ คือ จุดเดียว; ขอบเขตของมัน${\displaystyle S^{-1}}$เป็นเซตว่าง ดังนั้น การมีอยู่ของรูมิติศูนย์จึงเทียบเท่ากับการที่ปริภูมิว่างเปล่า ดังนั้น ปริภูมิที่ไม่ว่างเปล่าจึงเทียบเท่ากับปริภูมิที่เชื่อมต่อกันแบบ (−1) สำหรับปริภูมิว่างX${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-2}$และ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=0}$ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
• ลูกบอลไม่มีรูในมิติใดๆ ดังนั้น การเชื่อมต่อของมันจึงไม่มีที่สิ้นสุด:${\displaystyle \eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty }$.

โดยทั่วไป สำหรับจำนวนเต็มd ทุก ตัว${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1}$(และ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{d})=d+1}$) ^{[ 1 ] : 79, ทฤษฎีบท 4.3.2}การพิสูจน์ต้องใช้สองทิศทาง:

• พิสูจน์ว่า${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d}$นั่นคือ${\displaystyle S^{d}}$ไม่สามารถย่อขนาดลงเหลือเพียงจุดเดียวได้อย่างต่อเนื่อง สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทบอร์ซุก-อูแลม
• พิสูจน์ว่า${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1}$นั่นคือ นั่นคือ แผนที่ต่อเนื่องทุกแผนที่${\displaystyle S^{k}\to S^{d}}$สำหรับ${\displaystyle k<d}$สามารถหดตัวลงอย่างต่อเนื่องจนเหลือเพียงจุดเดียวได้

• ปริภูมิXจะเชื่อมต่อแบบ (−1) ก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นไม่ว่างเปล่า
• พื้นที่Xจะเรียกว่า 0-เชื่อมต่อได้ ก็ต่อเมื่อมันไม่ว่างเปล่าและ เชื่อมต่อกัน ได้ด้วยเส้นทาง
• พื้นที่หนึ่งจะเรียกว่าเป็นพื้นที่เชื่อมต่อแบบ 1 ได้ ก็ต่อเมื่อพื้นที่นั้นเป็นพื้นที่เชื่อมต่อแบบง่ายเท่านั้น
• ทรง กลม nมิติ เชื่อมต่อกัน แบบ ( n  −  1)

นี่เป็นตัวอย่างที่ดีสำหรับเซตย่อย: การรวมที่เชื่อมต่อกัน แบบ n${\displaystyle A\hookrightarrow X}$เป็นปริภูมิหนึ่งที่มีคุณสมบัติว่า โฮโมโทปีในปริภูมิ Xที่ใหญ่กว่าสามารถแปลงเป็นโฮโมโทปีในเซตย่อยAได้โดยไม่เกินมิติn  − 1 

ตัวอย่างเช่น สำหรับแผนที่แสดงการรวมกลุ่ม${\displaystyle A\hookrightarrow X}$เพื่อให้เป็นอุปกรณ์ที่เชื่อมต่อแบบ 1 จะต้องมีคุณสมบัติดังนี้:

• บน${\displaystyle \pi _{0}(X),}$
• หนึ่งต่อหนึ่ง${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),}$และ
• บน${\displaystyle \pi _{1}(X).}$

การสนทนาแบบตัวต่อตัว${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)}$หมายความว่าหากมีเส้นทางเชื่อมต่อระหว่างสองจุด${\displaystyle a,b\in A}$โดยการผ่านจุดXจะมีเส้นทางในAที่เชื่อมต่อพวกเขาทั้งสอง ในขณะที่ไปยัง${\displaystyle \pi _{1}(X)}$หมายความว่าเส้นทางในXนั้นเป็นโฮโมโทปิกกับเส้นทางในA อย่างแท้จริง

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมบน${\displaystyle \pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)}$หมายความเพียงว่าองค์ประกอบใด ๆ ของ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)}$ที่เป็นโฮโมโทปีในXจะเป็น โฮโมโทปี เชิงนามธรรมในA ด้วย – โฮโมโทปีในAอาจไม่เกี่ยวข้องกับโฮโมโทปีในX – ในขณะเดียวกันก็เป็นn-เชื่อมต่อ (ดังนั้นจึงเป็นทั่วถึงด้วย)${\displaystyle \pi _{n}(X)}$หมายความว่า (จนถึงมิติn  −  1) โฮโมโทปีในXสามารถถูกผลักเข้าไปในโฮโมโทปีในAได้

นี่เป็นการอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับประโยชน์ของนิยามของ การเชื่อมต่อแบบ n : ตัวอย่างเช่น พื้นที่ที่การรวมโครง ร่าง kเป็นการ เชื่อมต่อแบบ n (สำหรับn  > k ) – เช่น การรวมจุดใน ทรงกลม n – มีคุณสมบัติที่ว่าเซลล์ใด ๆ ในมิติระหว่างkและnจะไม่ส่งผลกระทบต่อประเภทโฮโมโทปีในมิติที่ต่ำกว่า 

ทฤษฎีบทของฮูเรวิคซ์เกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อแบบโฮโมโทปิก${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$ไปยังการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลจีซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$วิธีนี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณการเชื่อมต่อแบบโฮโมโทปิก เนื่องจากสามารถคำนวณกลุ่มโฮโมโลจิคัลได้ง่ายขึ้น

สมมติก่อนว่าXเป็นเซตเชื่อมต่อเชิงเดียว นั่นคือ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$. อนุญาต${\displaystyle n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2}$; ดังนั้น${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i<n}$, และ${\displaystyle \pi _{n}(X)\neq 0}$ทฤษฎีบทของ Hurewicz ^{[ 5 ] : 366, Thm.4.32} กล่าวว่า ในกรณีนี้ ${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i<n}$, และ${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$, ดังนั้น${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0}$เช่นกัน ดังนั้น:$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).}$$ถ้าXไม่ใช่เส้นเชื่อมต่อแบบง่าย (${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$), แล้ว$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$ยังคงใช้ได้อยู่ เมื่อ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1}$เรื่องนี้เป็นเรื่องเล็กน้อย เมื่อ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$(ดังนั้นXจึงเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางแต่ไม่เชื่อมต่อกันแบบง่าย) จึงต้องพิสูจน์ว่า${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)=0}$.

ความไม่เท่าเทียมอาจเป็นไปอย่างเข้มงวด: มีพื้นที่บางแห่งที่${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$แต่${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)=\infty }$[ ^{6 ]​}

ตามนิยาม กลุ่มโฮโมโลยีลำดับที่ kของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลขึ้นอยู่กับซิมเพล็กซ์ที่มีมิติไม่เกินk + 1 เท่านั้น (ดูโฮโมโลยีเชิงซิมพลิเชียล ) ดังนั้น ทฤษฎีบทข้างต้นจึงบ่งชี้ว่าคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลKเป็น แบบ k-เชื่อมต่อก็ต่อเมื่อโครง ร่างมิติ ( k + 1) ของมัน (เซตย่อยของKที่มีเฉพาะซิมเพล็กซ์ที่มีมิติไม่เกินk + 1 เท่านั้น) เป็น แบบ k-เชื่อมต่อ^{[ 1 ] : 80, Prop.4.4.2}

ให้KและLเป็นคอมเพล็กซ์เซลล์ ที่ไม่ว่างเปล่า โดยทั่วไปแล้ว การเชื่อมต่อของคอมเพล็กซ์ทั้งสองจะใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย${\displaystyle K*L}$จากนั้น: ^{[ 1 ] : 81, ข้อเสนอ 4.4.3}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.}$$

เอกลักษณ์นี้จะง่ายขึ้นเมื่อใช้สัญลักษณ์อีตา: $${\displaystyle \eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L)}$$ ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่า${\displaystyle K=L=S^{0}=}$จุดสองจุดที่ไม่เชื่อมต่อกัน มีช่องว่าง 1 มิติอยู่ระหว่างจุดทั้งสอง ดังนั้นค่า eta จึงเท่ากับ1การเชื่อมต่อ${\displaystyle K*L}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีโครงสร้างสมมาตรกับวงกลม ดังนั้นค่า eta ของมันจึงเท่ากับ2 การเชื่อมต่อของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้กับ Kอีกหนึ่งรูปจะได้รูปทรงแปดเหลี่ยมซึ่งมีโครงสร้างสมมาตรกับ${\displaystyle S^{2}}$และค่า eta ของมันคือ 3 โดยทั่วไป การรวมกันของ สำเนา nชุดของ${\displaystyle S^{0}}$เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับ${\displaystyle S^{n-1}}$และค่า eta ของมันคือn

การพิสูจน์โดยทั่วไปนั้นอิงตามสูตรที่คล้ายกันสำหรับการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลจี

ให้K ,..., K เป็นคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมและใช้สัญลักษณ์K แทนการรวมกันของ คอมเพล็กซ์ เหล่านี้

ให้Nแทนกลุ่มเส้นประสาทของ { K , ... , K } (กลุ่มนามธรรมที่บันทึกรูปแบบการตัดกันของK )

ถ้าสำหรับแต่ละช่องที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle J\subset I}$จุดตัด${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ถ้ากลุ่มโฮโมโทปี N ว่างเปล่าหรือเชื่อมต่อด้วย ( k − | J | + 1) แล้วสำหรับทุกj ≤ kกลุ่มโฮโมโทปีที่jของNจะสมสัณฐานกับกลุ่มโฮโมโทปีที่jของK

โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง Nจะ เชื่อมต่อ kก็ต่อเมื่อKเชื่อมต่อk ^{[ 7 ] :ทฤษฎีบท 6}