การเชื่อมต่อแบบโฮโมโลจิคัล

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การเชื่อมต่อแบบโฮโมโลจิคัล

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลยีเป็นคุณสมบัติที่อธิบายพื้นที่โทโพโลยีโดยอาศัยกลุ่มโฮโมโลยี

Q: การเชื่อมต่อ

การ เชื่อมต่อเชิงโฮโมโลยี ของ X ซึ่งแสดงด้วย conn (X) คือค่า k ≥ 0 ที่มากที่สุดที่ทำให้ X มีการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลยีแบบ k ตัวอย่าง:

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลยีเป็นคุณสมบัติที่อธิบายพื้นที่โทโพโลยีโดยอาศัยกลุ่มโฮโมโลยี^{[ 1 ]}

คำจำกัดความ

พื้นหลัง

Xจะเชื่อมต่อกันทางโฮโมโลยีก็ต่อเมื่อกลุ่มโฮโมโลยีลำดับที่ 0 ของมันเท่ากับZกล่าวคือ $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ กลุ่ม โฮโมโลจีลดรูปที่ 0 ของมันเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ : ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong 0$ .

ตัวอย่างเช่น เมื่อXเป็นกราฟ และเซตของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันคือC $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|}$ และ ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|-1}$ (ดูโฮโมโลจีของกราฟ ) ดังนั้น การเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลจีจึงเทียบเท่ากับการที่กราฟมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเพียงส่วนเดียว ซึ่งเทียบเท่ากับการเชื่อมต่อของกราฟมันคล้ายกับแนวคิดของปริภูมิที่เชื่อมต่อกัน

Xจะเชื่อมต่อกันทางโฮโมโลยี 1 ระดับก็ต่อเมื่อมันเชื่อมต่อกันทางโฮโมโลยี และนอกจากนี้ กลุ่มโฮโมโลยีลำดับที่ 1 ของมันเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่นแทรกซ้อน กล่าวคือ $H_{1}(X)\cong 0$ [ ¹^]

ตัวอย่างเช่น เมื่อXเป็นกราฟเชื่อมต่อที่มีเซตของจุดยอดVและเซตของเส้นเชื่อมE $H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|E|-|V|+1}$ ดังนั้น การเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลจี 1 มิติ จึงเทียบเท่ากับการที่กราฟเป็นต้นไม้กล่าวโดยคร่าวๆ คือXไม่มี "ช่องว่าง" ที่มีขอบเขต 1 มิติ ซึ่งคล้ายกับแนวคิดของ ปริภูมิที่ เชื่อมต่ออย่างง่าย

โดยทั่วไป สำหรับจำนวนเต็มk ใดๆ X จะเชื่อมต่อกันทางโฮโมโลยี kถ้ากลุ่มโฮโมโลยีลดรูปของ X ที่มีอันดับ 0, 1, ..., k ล้วนเป็น กลุ่มที่ไม่สำคัญ โปรดสังเกตว่ากลุ่มโฮโมโลยีลดรูปจะเท่ากับกลุ่มโฮโมโลยีสำหรับ 1,..., k (มีเพียงกลุ่มโฮโมโลยีลดรูปอันดับ 0 เท่านั้นที่แตกต่างกัน)

การเชื่อมต่อ

การเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลยีของXซึ่งแสดงด้วยconn (X)คือค่าk ≥ 0 ที่มากที่สุดที่ทำให้Xมีการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลยีแบบkตัวอย่าง:

ถ้ากลุ่มโฮโมโลยีลดรูปทั้งหมดของXเป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญแล้วconn (X) = อนันต์ตัวอย่างเช่น ข้อนี้ใช้ได้กับลูกบอลใด ๆ ก็ได้
ถ้ากลุ่มที่ 0 เป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญ แต่กลุ่มที่ 1 ไม่ใช่ แล้วconn (X) = 0ซึ่งเป็นจริงสำหรับกราฟเชื่อมต่อที่มีวัฏจักร เป็นต้น
ถ้ากลุ่มโฮโมโลจีที่ลดรูปทั้งหมดไม่ใช่กลุ่มที่ไม่สำคัญ แล้วconn (X) = -1ซึ่งเป็นจริงสำหรับปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันใดๆ
ตามธรรมเนียมแล้ว การเชื่อมต่อของพื้นที่ว่างคือconn (X) = -2

การคำนวณบางอย่างจะง่ายขึ้นหากกำหนดการเชื่อมต่อด้วยค่าชดเชย 2 นั่นคือ $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ [ ²^]ค่า eta ของพื้นที่ว่างคือ 0 ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ ค่า eta ของพื้นที่ที่ไม่เชื่อมต่อกันใดๆ คือ¹

การพึ่งพาฟิลด์ของสัมประสิทธิ์

นิยามพื้นฐานพิจารณากลุ่มโฮโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม การพิจารณากลุ่มโฮโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์อื่นๆ นำไปสู่นิยามอื่นๆ ของการเชื่อมต่อ ตัวอย่างเช่นXจะเชื่อมต่อแบบ 1-โฮ โมโล F₂ถ้ากลุ่มโฮโมโลยีแรกของมันที่มีสัมประสิทธิ์จาก F₂ ฟิลด์วัฏจักรขนาด 2) เป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ: $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ .

การเชื่อมต่อเชิงโครงสร้างในพื้นที่เฉพาะ

สำหรับความเชื่อมโยงเชิงโฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล โปรดดูที่ซิมพลิเชียลโฮโมโลยีความเชื่อมโยงเชิงโฮโมโลยีได้รับการคำนวณสำหรับปริภูมิหลายแบบ รวมถึง:

คอมเพล็กซ์อิสระของกราฟ; ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล 2 มิติแบบสุ่ม; ^{[ 1 ]}
คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล k มิติ แบบสุ่ม; ^{[ 5 ]}
ไฮ เปอร์กราฟแบบสุ่ม; ^{[ 6 ]}
คอมเพล็กซ์เช็กแบบสุ่ม^{[ 7 ]}

ความสัมพันธ์กับการเชื่อมต่อแบบโฮโมโทปิก

ทฤษฎีบทของ Hurewiczเกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลจี ${\text{conn}}_{H}(X)$ ไปยังการเชื่อมต่อแบบโฮโมโทปิกซึ่งแสดงด้วย ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ .

สำหรับX ใดๆ ที่เป็นเซตเชื่อมต่อเชิงเดียว นั่นคือ ${\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1$ การเชื่อมต่อยังคงเหมือนเดิม: ${\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)$ ถ้าXไม่ใช่เส้นเชื่อมต่อแบบง่าย ( ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0$ ถ้าเป็นเช่นนั้น อสมการจึงเป็นจริง: ${\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)$ แต่อาจมีความเข้มงวด โปรดดูที่การเชื่อมต่อแบบโฮโมโทปิก (Homotopical connectivity )

ดูเพิ่มเติม

เกมของเมชูลัมเป็นเกมที่เล่นบนกราฟ Gซึ่งสามารถใช้ในการคำนวณขอบล่างของการเชื่อมต่อเชิงโฮโมโลยีของกลุ่มอิสระของ Gได้

2

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]