วงโคจรวงกลมคือวงโคจรที่มีระยะห่างคงที่รอบจุดศูนย์กลาง มวล กล่าวคือ มีรูปร่างเป็นวงกลมในกรณีนี้ ไม่เพียงแต่ระยะทางเท่านั้น แต่ความเร็วความเร็วเชิงมุมพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ก็คงที่เช่นกัน ไม่มีจุดใกล้ที่สุด หรือจุดไกลที่สุด ของวงโคจร วงโคจรนี้ไม่มีเวอร์ชันรัศมี

ด้านล่างนี้คือวงโคจรวงกลมในทางดาราศาสตร์พลศาสตร์หรือกลศาสตร์ท้องฟ้าภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน โดยที่แรงสู่ศูนย์กลางคือแรงโน้มถ่วงและแกนที่กล่าวถึงข้างต้นคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางมวลและตั้งฉากกับ ระนาบวงโคจร

ความเร่งตามขวาง ( ตั้งฉากกับความเร็ว) ทำให้ทิศทางเปลี่ยนไป ถ้าความเร่งตามขวางมีขนาดคงที่และทิศทางเปลี่ยนไปตามความเร็ว จะทำให้เกิด การเคลื่อนที่แบบวงกลมการหาอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดของอนุภาคเทียบกับเวลาจะได้ความเร่งสู่ศูนย์กลาง

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\โอเมก้า ^{2}}{r}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle v\,}$คือความเร็วเชิงวงโคจรของวัตถุที่โคจรอยู่
• ${\displaystyle r\,}$รัศมีของวงกลม
• ${\displaystyle \omega \ }$คือความเร็วเชิงมุมซึ่งวัดเป็นเรเดียนต่อหน่วยเวลา

สูตรนี้ไม่มีมิติอธิบายถึงอัตราส่วนที่ใช้ได้กับหน่วยวัดทุกหน่วยที่ใช้โดยสม่ำเสมอทั่วทั้งสูตร ถ้าค่าตัวเลขวัดเป็นเมตรต่อวินาที² ค่าตัวเลขก็จะอยู่ในหน่วยเมตรต่อวินาทีเมตร และเรเดียนต่อวินาที ตามลำดับ ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle v\,}$${\displaystyle r\,}$${\displaystyle \omega \ }$

ความเร็ว (หรือขนาดของความเร็ว) เมื่อเทียบกับศูนย์กลางมวลนั้นคงที่: ^{[ 1 ] : 30}

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle G}$คือค่าคงที่ความโน้มถ่วง
• ${\displaystyle M}$คือมวลของวัตถุทั้งสองที่โคจรอยู่รอบกันแม้ว่าในทางปฏิบัติทั่วไป หากมวลที่มากกว่ามีขนาดใหญ่กว่าอย่างเห็นได้ชัด มวลที่น้อยกว่ามักจะถูกละเลย โดยที่ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$
• ${\displaystyle \mu =GM}$คือพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐาน
• ${\displaystyle r}$คือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวล

สมการวงโคจรในพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งโดยทั่วไปจะให้ค่าrในรูปของθจะลดรูปเหลือดังนี้:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle h=rv}$คือโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะของวัตถุที่โคจรอยู่

เป็นเพราะว่า${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

${\displaystyle \โอเมก้า ^{2}r^{3}=\mu }$

ดังนั้นคาบการโคจร ( ) สามารถคำนวณได้ดังนี้: ^{[ 1 ] : 28} ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

เปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่เป็นสัดส่วนกัน คือเวลาตกอิสระ (เวลาที่ใช้ในการตกจากหยุดนิ่งไปสู่จุดมวล)

${\displaystyle T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(17.7% ของคาบการโคจรในวงโคจรวงกลม)

และระยะเวลาที่จะตกลงสู่มวลจุดในวงโคจรพาราโบลาแบบรัศมี

${\displaystyle T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(7.5% ของคาบการโคจรในวงโคจรวงกลม)

ข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรทั้งสองแตกต่างกันเพียงแค่ค่าคงที่นั้น เป็นสิ่งที่ชัดเจนอยู่แล้วจากการ วิเคราะห์มิติ

พลังงานวงโคจรจำเพาะ ( ) มีค่าเป็นลบ และ ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

ดังนั้นทฤษฎีบทวิเรียล^{[ 1 ] : 72} จึงใช้ได้แม้ไม่ต้องหาค่าเฉลี่ยตามเวลา:

• พลังงานจลน์ของระบบเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของพลังงานรวม
• พลังงานศักยภาพของระบบเท่ากับสองเท่าของพลังงานทั้งหมด

ความเร็วหลุดพ้นจากระยะทางใดๆ จะเป็น√2 เท่าของความเร็วในการโคจรเป็นวงกลมที่ระยะทางนั้น: พลังงานจลน์มีค่าเป็นสองเท่า ดังนั้นพลังงานรวมจึงเป็นศูนย์

การเข้าสู่วงโคจรวงกลมขนาดใหญ่ เช่นวงโคจรค้างฟ้า (geostationary orbit ) ต้องใช้ค่าdelta-v ที่ มากกว่า การเข้าสู่วงโคจรหลบหนี ( escape orbit ) แม้ว่าการเข้าสู่วงโคจรหลบหนีจะหมายถึงการออกไปไกลมาก ๆ และต้องใช้พลังงานมากกว่าที่จำเป็นสำหรับความเร็ววงโคจรของวงโคจรวงกลมก็ตาม นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องของการปรับวงโคจรเพื่อเข้าสู่วงโคจรด้วย ดูเพิ่มเติมที่วงโคจรถ่ายโอนของโฮห์มันน์ (Hohmann transfer orbit )

ในเมตริกชวาร์ซชิลด์ความเร็ววงโคจรสำหรับวงโคจรวงกลมที่มีรัศมีจะกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

รัศมี Schwarzschild ของวัตถุศูนย์กลางอยู่ ที่ใด${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

เพื่อความสะดวก การคำนวณจะเขียนในหน่วยที่. ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

ความเร็ว สี่มิติของวัตถุที่โคจรเป็นวงกลมนั้นกำหนดโดย:

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

( ค่าคงที่บนวงโคจรวงกลม และสามารถเลือกพิกัดได้เพื่อให้) จุดเหนือตัวแปรแสดงถึงอนุพันธ์เทียบกับเวลาที่แท้จริง ${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

สำหรับอนุภาคที่มีมวลมาก ส่วนประกอบของความเร็วทั้งสี่จะสอดคล้องกับสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

เราใช้สมการจีโอเดสิก:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

สมการที่ไม่ธรรมดาเพียงสมการเดียวคือสมการสำหรับ ซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

จากสิ่งนี้ เราจะได้:

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

เมื่อแทนค่านี้ลงในสมการสำหรับอนุภาคที่มีมวลจะได้:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

เพราะฉะนั้น:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

สมมติว่าเรามีผู้สังเกตการณ์อยู่ที่รัศมีซึ่งไม่ได้เคลื่อนที่เมื่อเทียบกับวัตถุศูนย์กลาง นั่นคือความเร็วสี่มิติ ของผู้สังเกตการณ์ เป็นสัดส่วนกับเวกเตอร์เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานบ่งชี้ว่ามันเท่ากับ: ${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

ผลคูณดอทของความเร็วทั้งสี่ของผู้สังเกตการณ์และวัตถุที่โคจรรอบนั้น เท่ากับค่าแกมมาของวัตถุที่โคจรรอบผู้สังเกตการณ์ ดังนั้น:

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

ซึ่งทำให้ได้ความเร็ว :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

หรือในหน่วย SI:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

• วงโคจรวงรี
• รายชื่อวงโคจร
• ปัญหาวัตถุสองชิ้น