ในการเผาไหม้สมการของคลาร์ก เป็นสม การเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้นอันดับสามซึ่งคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยจอห์น เฟรเดอริก คลาร์กในปี 1978 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}สมการนี้อธิบาย กระบวนการ ระเบิดทางความร้อนซึ่งรวมถึงผลกระทบของกระบวนการปริมาตรคงที่และความดันคงที่ ตลอดจนผลกระทบของความเร็วเสียง แบบอะเดียแบติกและไอโซเทอร์มอ ล^{[ 5 ]}สมการนี้เขียนได้ดังนี้^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left({\frac {\partial \theta }{\partial t}}-\gamma \delta e^{\theta }\right)=\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \theta }{\partial t}}-\delta e^{\theta }\right)}$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง^{[ 7 ]}

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right){\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\left(\gamma {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\delta e^{\theta }}$

โดยที่คือการรบกวนของอุณหภูมิแบบไร้มิติคืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะ และคือเลขดัมเคอเลอร์ ที่เกี่ยวข้อง เทอมอธิบายถึงการระเบิดทางความร้อนที่ความดันคงที่ และเทอมอธิบายถึงการระเบิดทางความร้อนที่ปริมาตรคงที่ ในทำนองเดียวกัน เทอมอธิบายถึงการแพร่กระจายของคลื่นที่ความเร็วเสียงแบบอะเดียแบติก และเทอมอธิบายถึงการแพร่กระจายของคลื่นที่ความเร็วเสียงแบบไอโซเทอร์มอล การขนส่งระดับโมเลกุลถูกละเลยในการคำนวณนี้${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \gamma >1}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \partial \theta /\partial te^{\theta }}$${\displaystyle \partial \theta /\partial t-\gamma e^{\theta }}$${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}-\nabla ^{2}}$${\displaystyle \gamma \partial ^{2}/\partial t^{2}-\nabla ^{2}}$

อาจดูเหมือนว่าสามารถกำจัดพารามิเตอร์ออกจากสมการได้ด้วยการแปลงแต่ในที่นี้ยังคงเก็บพารามิเตอร์นั้นไว้ เนื่องจากอาจปรากฏในเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตได้เช่นกัน${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (x,t)\to (\delta x,\delta t)}$${\displaystyle \delta }$

สมมติว่าแหล่งความร้อนที่มีสมมาตรตามแนวรัศมีถูกวางลงในส่วนผสมที่เกิดปฏิกิริยาทันที เมื่อเวลาทางเคมีเทียบได้กับเวลาทางเสียง การแพร่กระจายจะถูกละเลย ดังนั้นการจุดติดไฟจึงมีลักษณะเฉพาะด้วยการปล่อยความร้อนจากพลังงานทางเคมีและการระบายความร้อนจากคลื่นการขยายตัว ปัญหานี้ถูกควบคุมโดยสมการของคลาร์ก โดยที่คืออุณหภูมิเริ่มต้นสูงสุดคืออุณหภูมิ และคืออุณหภูมิแฟรงค์-คาเมเนตสกี ( คือค่าคงที่ของแก๊สและคือพลังงานกระตุ้น ) นอกจากนี้ ให้แทนระยะห่างจากศูนย์กลาง ซึ่งวัดเป็นหน่วยของขนาดแกนร้อนเริ่มต้น และเป็นเวลา ซึ่งวัดเป็นหน่วยของเวลาทางเสียง ในกรณีนี้ เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตจะกำหนดโดย^{[ 6 ]}${\displaystyle \theta =(T_{m}-T)/\varepsilon T_{m}}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varepsilon T_{m}\equiv RT_{m}^{2}/E\ll T_{m}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=0:\,-\theta =r^{2},\quad r=0:\,{\frac {\partial \theta }{\partial r}}=0,\quad r\gg 1:\,-\theta =r^{2}+(j+1){\frac {\gamma -1}{\gamma }}t^{2},}$

โดยที่สอดคล้องกับปัญหาในระนาบ ทรงกระบอก และทรงกลม ตามลำดับ ให้เรากำหนดตัวแปรใหม่${\displaystyle j=(0,1,2)}$

${\displaystyle \varphi (r,t)=\theta +r^{2}+(j+1){\frac {\gamma -1}{\gamma }}t^{2}}$

ซึ่งเป็นการเพิ่มขึ้นของค่าจากค่าที่อยู่ห่างไกลออกไป จากนั้น ในช่วงเวลาสั้นๆ คำตอบเชิงอะซิมโทติกจะได้รับโดย${\displaystyle \theta (r,t)}$

${\displaystyle \varphi =\gamma \delta te^{-r^{2}}+{\frac {1}{2}}(\gamma \delta t)^{2}e^{-2r^{2}}+\cdots }$

เมื่อเวลาผ่านไป ระบบจะเข้าสู่สภาวะสมดุลเมื่อและจะเกิดการระเบิดทางความร้อนเมื่อโดยที่คือพารามิเตอร์ของแฟรงก์-คาเมเนตสกี ถ้าแล้วในกรณีระนาบในกรณีทรงกระบอก และในกรณีทรงกลม สำหรับคำตอบในการประมาณค่าขั้นแรกคือ${\displaystyle \delta \leq \delta _{c}}$${\displaystyle \delta >\delta _{c}}$${\displaystyle \delta _{c}}$${\displaystyle \gamma =1.4}$${\displaystyle \delta _{c}=0.50340}$${\displaystyle \delta _{c}=0.73583}$${\displaystyle \delta _{c}=0.91448}$${\displaystyle \delta \gg \delta _{c}}$

${\displaystyle \varphi =-\ln(1-\gamma \delta te^{-r^{2}})}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการระเบิดจากความร้อนเกิดขึ้นที่โดยที่คือเวลาการจุดระเบิด${\displaystyle t=t_{i}\equiv 1/(\gamma \delta )}$${\displaystyle t_{i}}$

สำหรับรูปแบบทั่วไปของพจน์ปฏิกิริยา อาจเขียนได้ว่า

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right){\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\left(\gamma {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\delta \omega (\theta )}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันใดๆ ที่แทนพจน์ปฏิกิริยา${\displaystyle \omega (\theta )}$

• ทฤษฎีแฟรงค์-คาเมเนตสกี