ในทาง โทโพโล ยีเซตโคลโอเพน ( คำผสมระหว่างเซตปิดและเซตเปิด ) ในปริภูมิโทโพโลยีคือเซตที่เป็นทั้งเซตเปิดและ เซต ปิดความเป็นไปได้นี้อาจดูขัดกับสัญชาตญาณ เนื่องจากความหมายทั่วไปของคำว่าเปิดและปิดเป็นคำตรงข้ามกัน แต่คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของคำทั้งสองไม่ได้ขัดแย้งกันเซตหนึ่งเป็นเซตปิดหากเซตส่วนเติมเต็ม ของมัน เป็นเซตเปิด ซึ่งทำให้เซตเปิดที่มีเซตส่วนเติมเต็มเป็นเซตเปิดเช่นกัน กลายเป็นเซตที่ทั้งเปิดและปิด และดังนั้นจึงเป็นเซตโคลโอเพน ดังที่นักโทโพโลยี เจมส์ มัน เครส อธิบายไว้ ว่า ต่างจากประตู "เซตสามารถเป็นได้ทั้งเซตเปิด เซตปิด เซตทั้งสอง หรือเซตที่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง!" ^{[ 1 ]}ซึ่งเน้นย้ำว่าความหมายของ "เปิด"/"ปิด" สำหรับประตูนั้นไม่เกี่ยวข้องกับความหมายของเซต (ดังนั้นการแบ่งแยกประตูแบบเปิด/ปิดจึงไม่สามารถนำไปใช้กับเซตแบบเปิด/ปิดได้) ความแตกต่างกับประตูนี้ทำให้กลุ่มของปริภูมิโทโพโลยีที่เรียกว่า " ปริภูมิประตู " ได้รับชื่อนี้

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ${\displaystyle X,}$เซตว่างและพื้นที่ทั้งหมด${\displaystyle X}$ทั้งคู่เป็น clopen ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ลองพิจารณาพื้นที่ดูสิ${\displaystyle X}$ซึ่งประกอบด้วยการรวมกันของช่วงเปิดสองช่วง${\displaystyle (0,1)}$และ${\displaystyle (2,3)}$ของ${\displaystyle \mathbb {R} .}$โทโพโลยีบน${\displaystyle X}$สืบทอดมาเป็นโทโพโลยีของปริภูมิย่อยจากโทโพโลยีปกติบนเส้นจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} .}$ใน${\displaystyle X,}$ชุด${\displaystyle (0,1)}$เป็น clopen เช่นเดียวกับเซต${\displaystyle (2,3).}$นี่เป็นตัวอย่างที่ค่อนข้างทั่วไป: เมื่อใดก็ตามที่พื้นที่ประกอบด้วยส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันและไม่ทับซ้อนกัน จำนวนจำกัด ในลักษณะนี้ ส่วนประกอบเหล่านั้นจะเป็นแบบปิดและเปิด (clopen)

เอาล่ะ ปล่อยให้${\displaystyle X}$เป็นเซตอนันต์ภายใต้เมตริกแบบ ไม่ต่อเนื่อง –นั่นคือ สองจุด ${\displaystyle p,q\in X}$ระยะห่างระหว่างจุดจะเป็น 1 ถ้าไม่ใช่จุดเดียวกัน และ 0 ถ้าเป็นจุดเดียวกัน ภายใต้ปริภูมิเมตริก ที่ได้ เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวจะเป็นเซตเปิด ดังนั้นเซตใดๆ ที่เป็นผลรวมของจุดเดี่ยวๆ จึงเป็นเซตเปิด เนื่องจากเซตใดๆ เป็นเซตเปิด ส่วนเติมเต็มของเซตใดๆ ก็เป็นเซตเปิดเช่นกัน และด้วยเหตุนี้เซตใดๆ จึงเป็นเซตปิด ดังนั้นเซตทั้งหมดในปริภูมิเมตริกนี้เป็นเซตปิด-เปิด

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้น ลองพิจารณาเรื่องพื้นที่ว่างดู${\displaystyle \mathbb {Q} }$ของ จำนวนตรรกยะทั้งหมดที่มีโทโพโลยีปกติ และเซต${\displaystyle A}$ของจำนวนตรรกยะบวกทั้งหมดที่มีกำลังสองมากกว่า 2 โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ไม่ได้อยู่ใน${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่า${\displaystyle A}$เป็นเซตย่อยแบบปิดและเปิดของ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$(${\displaystyle A}$ไม่ใช่ เซตย่อยปิดและเปิด ของเส้นจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$มันไม่เปิดและไม่ปิด${\displaystyle \mathbb {R} .}$)

• ปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$เซต เชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อเซตปิดและเซตเปิดมีเพียงเซตว่างและเซตปิดเท่านั้น${\displaystyle X}$ตัวมันเอง
• เซตจะเรียกว่าเซตปิดก็ต่อเมื่อขอบเขต ของเซตนั้น ว่างเปล่า^{[ 4 ]}
• เซตย่อยปิดเปิดใดๆ ของปริภูมิ${\displaystyle X}$คือการรวมกันของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน (อาจมีจำนวนอนันต์ก็ได้) ของ${\displaystyle X}$.
• หาก ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อทั้งหมดของ${\displaystyle X}$เปิดอยู่ (ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle X}$มีส่วนประกอบเพียงจำนวนจำกัด หรือถ้า${\displaystyle X}$( เชื่อมต่อในระดับท้องถิ่น ) จากนั้นเซตจะถูกปิดและเปิดใน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อมันเป็นการรวมกันของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเท่านั้น
• ปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$จะเป็นเซตไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเซตย่อยทั้งหมดของมันเป็นเซตปิดและเซตเปิด
• โดยใช้การรวมและการตัดกันเป็นตัวดำเนินการ เซตย่อยแบบปิดและเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กำหนดให้${\displaystyle X}$สร้างพีชคณิตบูลีนพีชคณิต บูลีน ทุกตัวสามารถได้มาด้วยวิธีนี้จากปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เหมาะสม: ดูทฤษฎีบทการแทนของสโตนสำหรับพีชคณิตบูลีน

• รายการเอกลักษณ์และความสัมพันธ์ของเซต– ความเท่าเทียมกันสำหรับการรวมกันของเซต