ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีตัว ดำเนินการ แนวคิดของตัวดำเนินการไร้ขอบเขตเป็นกรอบนามธรรมสำหรับการจัดการกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ปริมาณสังเกตได้ไร้ขอบเขตในกลศาสตร์ควอนตัมและกรณีอื่นๆ

คำว่า "ตัวดำเนินการไร้ขอบเขต" อาจทำให้เข้าใจผิดได้ เนื่องจาก

• บางครั้งคำว่า "ไร้ขอบเขต" ควรเข้าใจว่าหมายถึง "ไม่จำเป็นต้องมีขอบเขต"
• "ตัวดำเนินการ" ควรเข้าใจว่าเป็น " ตัวดำเนินการเชิงเส้น " (เช่นเดียวกับกรณีของ "ตัวดำเนินการที่มีขอบเขต")
• ขอบเขตของตัวดำเนินการคือปริภูมิย่อยเชิงเส้นไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิทั้งหมด
• ปริภูมิย่อยเชิงเส้นนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิปิดเสมอไป บ่อยครั้ง (แต่ไม่เสมอไป) จะถือว่ามันเป็นปริภูมิหนาแน่น
• ในกรณีพิเศษของตัวดำเนินการที่มีขอบเขต โดเมนโดยทั่วไปมักจะถือว่าเป็นปริภูมิทั้งหมด

ตรงกันข้ามกับตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ตัวดำเนินการที่ไม่มีขอบเขตบนปริภูมิที่กำหนดจะไม่ก่อให้เกิดพีชคณิตหรือแม้แต่ปริภูมิเชิงเส้น เนื่องจากแต่ละตัวดำเนินการถูกกำหนดบนโดเมนของตนเอง

โดยทั่วไป คำว่า "ตัวดำเนินการ" มักหมายถึง "ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต" แต่ในบริบทของบทความนี้ หมายถึง "ตัวดำเนินการที่ไม่มีขอบเขต" โดยมีข้อสงวนตามที่กล่าวไว้ข้างต้น

ทฤษฎีของตัวดำเนินการไร้ขอบเขตได้รับการพัฒนาในช่วงปลายทศวรรษ 1920 และต้นทศวรรษ 1930 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการพัฒนากรอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับกลศาสตร์ควอนตัม [ ^{1 ] การ}พัฒนาทฤษฎีนี้เป็นผลงานของJohn von Neumann ^{[ 2 ]}และMarshall Stone [ ^{3 ] Von} Neumann ได้นำเสนอการใช้กราฟเพื่อวิเคราะห์ตัวดำเนินการไร้ขอบเขตในปี 1932 ^{[ 4 ]}

ให้XและYเป็นปริภูมิบานาคตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดขอบเขต (หรือเรียกง่ายๆ ว่าตัวดำเนินการ ) T  : D ( T ) → Yคือแผนที่เชิงเส้นTจากปริภูมิย่อยเชิงเส้นD ( T ) ⊆ X —โดเมนของT —ไป ยังปริภูมิY ^{[ 5 ]}ตรงกันข้ามกับธรรมเนียมปฏิบัติทั่วไปTอาจไม่ได้ถูกกำหนดบนปริภูมิXทั้งหมด

กราฟΓ( T )ของตัวดำเนินการจากไปยัง เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของผลรวมโดยตรงX ⊕ Yซึ่งกำหนดเป็นเซตของคู่ทั้งหมด( x , Tx )โดยที่xวิ่งผ่านโดเมนของT ตัวดำเนินการTกล่าวได้ว่าปิดหากกราฟ Γ(T) ของมันเป็นเซตปิด [6] โดยชัดเจน นี่หมายความว่าสำหรับลำดับ {xn} ของจุดจากโดเมนของ T ใดๆ ที่ xn → x และ Txn → y จะเป็นจริงว่าx ^{อยู่ในโดเมน}ของT และ_Tx = y [ 6 _]ความเป็นปิด_ยังสามารถกำหนดได้ในแง่ของบรรทัดฐานของกราฟ^:ตัวดำเนินการT ปิดก็ต่อเมื่อโดเมนD ( T ) ของ มันเป็น ปริภูมิ ^ที่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับบรรทัดฐาน: ^{[ 7 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

กล่าวได้ว่าตัวดำเนินการ T ถูก^{กำหนดอย่างหนาแน่นหากโดเมนของมันมีความหนาแน่นใน X [} 5 ] ซึ่งรวมถึงตัวดำเนินการ^{ที่กำหนด}บนปริภูมิX ทั้งหมดด้วย เนื่องจากปริภูมิทั้งหมดมีความหนาแน่นในตัวมันเอง ความหนาแน่นของโดเมนเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของตัวผกผัน (ถ้าXและYเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต) และการสลับตำแหน่ง ดูส่วนด้านล่าง

ถ้าT  : D ( T ) → Yเป็นเซตปิด มีความหนาแน่น และต่อเนื่อง บนโดเมนของมัน โดเมนของมัน คือXทั้งหมด^{[ nb 1 ]}

ให้C ([0, 1])แทนปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงหน่วย และให้C ¹ ([0, 1])แทนปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องบนช่วงหน่วย เรากำหนดนอร์มสูงสุด , , ทำให้เป็นปริภูมิบานาค กำหนดตัวดำเนินการหาอนุพันธ์แบบคลาสสิก⁠${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ง/dx: C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1])โดยใช้สูตรปกติ  :

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกฟังก์ชันล้วนต่อเนื่อง ดังนั้นC ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1])เราอ้างว่า⁠ง/dx: C ([0, 1]) →  C ( [0, 1])เป็นตัวดำเนินการไม่จำกัดขอบเขตที่กำหนดไว้อย่างดี โดยมีโดเมน C ¹ ([0, 1])เพื่อการนี้ เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่านั้น ตัวอย่างเช่น แสดงให้เห็นบางค่าที่ทำให้และ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }$

นี่คือตัวดำเนินการเชิงเส้น เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นa f + bgของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องสองฟังก์ชันf และgก็เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องเช่นกัน และ

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).}$

ตัวดำเนินการไม่มีขอบเขตจำกัด ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

ทำให้พึงพอใจ

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

แต่

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

เช่น. ${\displaystyle n\to \infty }$

ตัวดำเนินการนี้ถูกกำหนดไว้อย่างหนาแน่น (ซึ่งสามารถแสดงได้โดยทฤษฎีบทการประมาณค่าของไวเออร์สตรัส เนื่องจากเซตของฟังก์ชันพหุนามบน [0,1] บรรจุอยู่ในC ¹ ([0, 1])ในขณะเดียวกันก็มีความหนาแน่นในC ([0, 1]) ด้วย ) และปิด

ตัวดำเนินการเดียวกันสามารถถือได้ว่าเป็นตัวดำเนินการZ → ZสำหรับตัวเลือกมากมายของปริภูมิบานาคZและไม่มีขอบเขตระหว่างปริภูมิเหล่านั้น ในขณะเดียวกัน มันสามารถมีขอบเขตได้ในฐานะตัวดำเนินการX → Yสำหรับคู่ของปริภูมิบานาคX , Y อื่นๆ และในฐานะตัวดำเนินการZ → Zสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีZ บาง ปริภูมิ ตัวอย่างเช่น ให้I ⊂ Rเป็นช่วงเปิด และพิจารณา

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

ที่ไหน:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

ตัวผกผันของตัวดำเนินการไร้ขอบเขตสามารถนิยามได้สองวิธีที่เทียบเท่ากัน ให้เป็นตัวดำเนินการไร้ขอบเขตระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ต ${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}$

ประการแรก สามารถนิยามได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการนิยามตัวผกผันของตัวดำเนินการที่มีขอบเขต กล่าวคือ ตัวผกผันของTถูกนิยามเป็นตัวดำเนินการที่มีคุณสมบัติ: กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้นถูกนิยามในลักษณะต่อไปนี้ ถ้าเป็นเช่นนั้น โดยที่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนโดเมนของTแล้วจะถูกประกาศว่าเป็นสมาชิกของและหลังจากขยายฟังก์ชันเชิงเส้นไปยังปริภูมิทั้งหมดผ่านทฤษฎีบท Hahn–Banachแล้ว ก็สามารถหาบางค่าในได้เช่นนั้น เนื่องจากทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Rieszอนุญาตให้ระบุคู่ต่อเนื่องของปริภูมิ Hilbert กับเซตของฟังก์ชันเชิงเส้นที่กำหนดโดยผลคูณภายใน เวกเตอร์นี้ถูกกำหนดโดย อย่างไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดอย่างหนาแน่น หรือเทียบเท่ากับถ้าTถูกกำหนดอย่างหนาแน่น สุดท้าย การให้ จะทำให้การสร้างเสร็จสมบูรณ์ซึ่ง จำเป็นต้องเป็นแผนที่เชิงเส้น ตัวผกผันมีอยู่ก็ต่อเมื่อTถูกกำหนดอย่างหนาแน่น ${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}}$$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$$${\displaystyle T^{*}y}$${\displaystyle y\in H_{2}}$${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$${\displaystyle y}$${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$${\displaystyle z}$${\displaystyle H_{1}}$$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$${\displaystyle T^{*}y=z}$${\displaystyle T^{*},}$${\displaystyle T^{*}y}$

ตามนิยาม โดเมนของประกอบด้วยองค์ประกอบในลักษณะที่ต่อเนื่องบนโดเมนของTดังนั้น โดเมนของอาจเป็นอะไรก็ได้ อาจเป็นโดเมนที่ไม่สำคัญ (นั่นคือ มีเพียงศูนย์) ^{[ 8 ]}อาจเกิดขึ้นได้ว่าโดเมนของ เป็น ระนาบปิดและหายไปทุกที่บนโดเมน^{[ 9 ] [ 10 ]}ดังนั้น ความมีขอบเขตของบนโดเมนของมันจึงไม่ได้หมายความถึงความมีขอบเขตของTในทางกลับกัน ถ้าถูกกำหนดบนปริภูมิทั้งหมดTจะมีขอบเขตบนโดเมนของมัน และด้วยเหตุนี้จึงสามารถขยายโดยความต่อเนื่องไปยังตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิทั้งหมดได้^{[หมายเหตุ 2 ]}ถ้าโดเมนของมีความหนาแน่น มันจะมีตัวผกผัน^{[ 11 ]}ตัวดำเนินการปิดที่กำหนดอย่างหนาแน่นTจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อมีขอบเขต^{[หมายเหตุ 3 ]}${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T^{**}.}$${\displaystyle T^{*}}$

นิยามที่เทียบเท่ากันอีกประการหนึ่งของตัวผกผันสามารถได้มาจากการสังเกตข้อเท็จจริงทั่วไป กำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นดังต่อไปนี้: ^{[ 11 ]} เนื่องจากเป็นการฉายภาพไอโซเมตริก ดังนั้นจึงเป็นเอกภาพ ดังนั้น: เป็นกราฟของตัวดำเนินการบางตัวก็ต่อเมื่อTถูกกำหนดอย่างหนาแน่น^{[ 12 ]}การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่า "บางตัว" นี้สอดคล้องกับ: สำหรับทุกxในโดเมนของTดังนั้น จึงเป็นตัวผกผันของ T${\displaystyle J}$$${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$$${\displaystyle J}$${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$$${\displaystyle S}$

จากนิยามข้างต้นจึงสรุปได้ทันทีว่าตัวดำเนินการผกผันปิด^{[ 11 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวดำเนินการผกผันตัวเอง (หมายถึง) ปิด ตัวดำเนินการTปิดและกำหนดอย่างหนาแน่นก็ต่อเมื่อ^{[ nb 4 ]}${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T=T^{*}}$${\displaystyle T^{**}=T.}$

คุณสมบัติที่รู้จักกันดีบางประการสำหรับตัวดำเนินการที่มีขอบเขตสามารถขยายไปสู่ตัวดำเนินการปิดที่มีขอบเขตหนาแน่นได้ เคอร์เนลของตัวดำเนินการปิดนั้นเป็นเคอร์เนลปิด ยิ่งไปกว่านั้น เคอร์เนลของตัวดำเนินการปิดที่มีขอบเขตหนาแน่นจะตรงกับส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของช่วงของตัวผกผัน นั่นคือ^{[ 13 ]}ทฤษฎีบทของฟอน นอยมันน์ระบุว่าและเป็นตัวผกผันในตัวเอง และและต่างก็มีตัวผกผันที่มีขอบเขต^{[ 14 ]}ถ้ามีเคอร์เนลที่ไม่สำคัญTจะมีช่วงที่หนาแน่น (ตามเอกลักษณ์ข้างต้น) ยิ่งไปกว่านั้น: ${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$$${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$$${\displaystyle T^{*}T}$${\displaystyle TT^{*}}$${\displaystyle I+T^{*}T}$${\displaystyle I+TT^{*}}$${\displaystyle T^{*}}$

Tเป็นฟังก์ชันทั่วถึงก็ต่อเมื่อมีที่ทำให้สำหรับทุกใน^{[ nb 5 ]} (นี่เป็นรูปแบบหนึ่งของ ทฤษฎีบทช่วงปิดที่เรียกว่า) โดยเฉพาะอย่างยิ่งTมีช่วงปิดก็ต่อเมื่อมีช่วงปิด${\displaystyle K>0}$${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D\left(T^{*}\right).}$${\displaystyle T^{*}}$

ตรงกันข้ามกับกรณีที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นว่าเนื่องจากตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ด้วยซ้ำว่าไม่มีอยู่จริง อย่างไรก็ตาม กรณีนี้เกิดขึ้นหากTมีขอบเขต^{[ 15 ]}${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}$${\displaystyle (TS)^{*}}$

ตัวดำเนินการปิดT ที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่น เรียกว่าปกติหากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้: ^{[ 16 ]}

• ${\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}$;
• โดเมนของTเท่ากับโดเมนของและสำหรับทุกxในโดเมนนี้${\displaystyle T^{*},}$${\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|}$
• มีตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองอยู่ซึ่งและสำหรับทุกxในโดเมนของT${\displaystyle A,B}$${\displaystyle T=A+iB,}$${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}$

ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองทุกตัวเป็นตัวดำเนินการปกติ

ให้เป็นตัวดำเนินการระหว่างปริภูมิบานาค จากนั้นทรานสโพส (หรือคู่ ) ของคือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่สอดคล้องกับ: สำหรับทุกและที่นี่ เราใช้สัญลักษณ์: ^{[ 17 ]}${\displaystyle T:B_{1}\to B_{2}}$${\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle }$$${\displaystyle x\in B_{1}}$${\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของเมทริกซ์สลับตำแหน่งของ คือ เมทริกซ์นั้นถูกกำหนดอย่างหนาแน่น (ด้วยเหตุผลพื้นฐานเดียวกันกับเมทริกซ์ผกผัน ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น) ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตใดๆจะมีไอโซมอร์ฟิซึมแบบแอนติเชิงเส้น: กำหนดโดย โดยที่ ผ่านไอโซมอร์ฟิซึมนี้ ทรานสโพสจะสัมพันธ์กับแอดจอยต์ในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 18 ]} โดยที่. (สำหรับกรณีมิติจำกัด สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าแอดจอยต์ของเมทริกซ์คือทรานสโพสสังยุคของมัน) โปรดทราบว่าสิ่งนี้ให้คำจำกัดความของแอดจอยต์ในแง่ของทรานสโพส ${\displaystyle H,}$$${\displaystyle J:H^{*}\to H}$$${\displaystyle Jf=y}$${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).}$${\displaystyle {}^{t}T}$${\displaystyle T^{*}}$$${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},}$$${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบปิดเป็นกลุ่มของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิบานาคพวกมันมีความทั่วไปมากกว่าตัวดำเนินการแบบมีขอบเขตและดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องแต่พวกมันยังคงรักษาคุณสมบัติที่ดีพอที่จะสามารถกำหนดสเปกตรัมและ (ภายใต้สมมติฐานบางประการ) แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันสำหรับตัวดำเนินการดังกล่าวได้ ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่สำคัญหลายตัวซึ่งไม่สามารถมีขอบเขตได้ กลับกลายเป็นตัวดำเนินการแบบปิด เช่นอนุพันธ์ และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์จำนวนมาก

ให้XและYเป็นปริภูมิบานาค สองปริภูมิ ตัวดำเนินการเชิงเส้นA  : D ( A ) ⊆ X → Yจะปิดถ้าสำหรับทุกลำดับ{ xn _}ในD ( A ) ที่ลู่เข้าสู่xในXโดยที่Axn _→ y ∈ Yเมื่อn → ∞จะได้ว่าx ∈ D ( A )และ Ax = y หรือกล่าวอีก นัย หนึ่งA จะ ปิดถ้ากราฟ ของมัน ปิดในผลรวมโดยตรงX ⊕ Y

กำหนดให้ตัวดำเนินการเชิงเส้นAซึ่งไม่จำเป็นต้องปิด หากการปิดของกราฟของตัวดำเนินการนี้ในX ⊕ Yบังเอิญเป็นกราฟของตัวดำเนินการบางตัว ตัวดำเนินการนั้นเรียกว่าการ ปิดของAและเรากล่าวว่าAสามารถ ปิด ได้ให้AแทนการปิดของAดังนั้นAจึงเป็นการจำกัดของAบนD ( A )

แกนหลัก (หรือโดเมนสำคัญ ) ของตัวดำเนินการปิดได้คือเซต ย่อยCของD ( A )โดยที่การปิดของการจำกัดของAไปยังCคือA

พิจารณาตัวดำเนินการอนุพันธ์A = ⁠ง/dxโดยที่ X = Y = C ([ a , b ])คือปริภูมิ Banach ของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งหมด บนช่วง[ a , b ]หากเราเลือกโดเมน D ( A )เป็น C ¹ ([ a , b ])แล้ว Aจะเป็นตัวดำเนินการปิดที่ไม่ถูกจำกัด ^{[ 19 ]} ในทางกลับกัน หาก D ( A ) = C ^∞ ([ a , b ])แล้ว Aจะไม่เป็นตัวดำเนินการปิดอีกต่อไป แต่จะสามารถปิดได้ โดยการปิดจะเป็นส่วนขยายที่กำหนดบน C ¹ ([ a , b ] )

ตัวดำเนินการTบนปริภูมิฮิลเบิร์ตจะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อสำหรับแต่ละxและyในโดเมนของTเรามีตัวดำเนินการT ที่กำหนดอย่างหนาแน่น จะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับตัวดำเนินการผกผัน^T ∗ ^ที่จำกัดอยู่ในโดเมนของTกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเมื่อT ^∗เป็นส่วนขยายของT ^{[ 20} ]${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$

โดยทั่วไป ถ้าTถูกกำหนดไว้อย่างหนาแน่นและสมมาตร โดเมนของตัวผกผันT ^∗ไม่จำเป็นต้องเท่ากับโดเมนของTถ้าTสมมาตรและโดเมนของTและโดเมนของตัวผกผันตรงกัน เราจะกล่าวว่าTเป็นตัวผกผันในตัวเอง [ ^{21 ] โปรด} ทราบว่า เมื่อTเป็นตัวผกผันในตัวเอง การมีอยู่ของตัวผกผันหมายความว่าTถูกกำหนดไว้อย่างหนาแน่น และเนื่องจากT ^∗จำเป็นต้องปิด ดังนั้นTจึงปิด

ตัวดำเนินการT ที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่น จะเป็นสมมาตรหากปริภูมิย่อยΓ( T ) (ที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้า) ตั้งฉากกับภาพJ (Γ( T ))ภายใต้J (โดยที่J ( x , y ):=( y ,- x )) ^{[ nb 6 ]}

ในทำนองเดียวกัน ตัวดำเนินการTเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองหากมันถูกกำหนดอย่างหนาแน่น ปิด สมมาตร และเป็นไปตามเงื่อนไขที่สี่: ตัวดำเนินการT – iและT + i ทั้งสองตัว เป็นฟังก์ชันทั่วถึง นั่นคือ แมปโดเมนของT ไปยัง ^{ปริภูมิ} Hทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สำหรับทุกxในHจะมีyและzในโดเมนของTเช่นนั้นTy – iy = xและTz + iz = x ^{[ 22} ]

ตัวดำเนินการTเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง หากปริภูมิย่อย Γ( T ) , J (Γ( T ))ทั้งสองตั้งฉากกัน และผลรวมของปริภูมิย่อยทั้งสองเท่ากับปริภูมิทั้งหมด^{[ 11 ]}${\displaystyle H\oplus H.}$

วิธีการนี้ไม่ครอบคลุมถึงตัวดำเนินการปิดที่ไม่ถูกกำหนดอย่างหนาแน่น ตัวดำเนินการสมมาตรที่ไม่ถูกกำหนดอย่างหนาแน่นสามารถกำหนดได้โดยตรงหรือผ่านกราฟ แต่ไม่สามารถกำหนดผ่านตัวดำเนินการผกผันได้

โดยทั่วไปแล้ว ตัวดำเนินการสมมาตรมักถูกศึกษาผ่านการแปลงเคย์ลีย์ (Cayley transform ) ของมัน

ตัวดำเนินการTบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนจะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อจำนวนนั้น เป็น ^{จำนวน}จริงสำหรับx ทั้งหมด ในโดเมนของT ^{[ 20} ]${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$

ตัวดำเนินการสมมาตรปิดที่กำหนดอย่างหนาแน่นTจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองก็ต่อเมื่อT ^∗เป็นสมมาตร^{[ 23 ]}อาจเกิดขึ้นได้ว่าไม่ใช่^{[ 24 ] [ 25 ]}

ตัวดำเนินการT ที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่น เรียกว่าเป็นบวก^{[ 26 ]} (หรือไม่เป็นลบ^{[ 27 ]} ) หากรูปแบบกำลังสองของมันเป็นไม่เป็นลบ นั่นคือ สำหรับ xทั้งหมดในโดเมนของTตัวดำเนินการดังกล่าวจะต้องสมมาตร ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$

ตัวดำเนินการT ^∗ Tเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง^{[ 28 ]}และเป็นบวก^{[ 26 ]}สำหรับTปิด ที่กำหนดอย่างหนาแน่นทุกตัว

ตัวดำเนินการสมมาตรT ที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่น บนปริภูมิฮิลเบิร์ต Hเรียกว่ามีขอบเขตล่างถ้าT + aเป็นตัวดำเนินการบวกสำหรับจำนวนจริงa บางตัว นั่นคือ⟨ Tx | x ⟩ ≥ − a || x || ²สำหรับทุกxในโดเมนของT (หรืออีกทางหนึ่ง⟨ Tx | x ⟩ ≥ a || x || ²เนื่องจากaเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้) ^{[ 26 ]}ถ้าทั้งTและ− Tมีขอบเขตล่างแล้วTก็มีขอบเขตเช่นกัน^{[ 26 ]}

ทฤษฎีบทสเปกตรัมใช้ได้กับตัวดำเนินการสมมาตรตัวเอง^{[ 29 ]}และยิ่งไปกว่านั้นยังใช้ได้กับตัวดำเนินการปกติ^{[ 30 ] [ 31 ]}แต่ไม่สามารถใช้ได้กับตัวดำเนินการปิดที่กำหนดอย่างหนาแน่นโดยทั่วไป เนื่องจากในกรณีนี้สเปกตรัมอาจว่างเปล่า^{[ 32 ] [ 33 ]}

ตัวดำเนินการสมมาตรที่กำหนดไว้ทุกที่นั้นปิด ดังนั้นจึงมีขอบเขต^{[ 6 ]}ซึ่งก็คือทฤษฎีบทของ Hellinger–Toeplitz ^{[ 34 ]}

ตามนิยาม ตัวดำเนินการTเป็นส่วนขยายของตัวดำเนินการSถ้าΓ( S ) ⊆ Γ( T ) [ ^{35 ]}นิยามโดยตรงที่เทียบเท่ากัน: สำหรับทุก^xในโดเมนของS , x อยู่ ^ในโดเมนของTและSx = Tx ^{[ 5 ]} [ ^{35 ]}

โปรดทราบว่าส่วนขยายที่กำหนดไว้ทุกที่นั้นมีอยู่สำหรับตัวดำเนินการทุกตัว ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงทางพีชคณิตล้วนๆ ที่อธิบายไว้ในหัวข้อ แผนที่เชิงเส้นไม่ต่อเนื่อง § ทฤษฎีบทการมีอยู่ทั่วไปและอิงตามสัจพจน์ของการเลือกหากตัวดำเนินการที่กำหนดไม่ถูกจำกัด ส่วนขยายนั้นจะเป็นแผนที่เชิงเส้นไม่ต่อเนื่องซึ่งมีประโยชน์น้อย เนื่องจากไม่สามารถรักษาคุณสมบัติที่สำคัญของตัวดำเนินการที่กำหนดได้ (ดูด้านล่าง) และโดยปกติแล้วจะไม่มีเอกลักษณ์อย่างมาก

ตัวดำเนินการTเรียกว่าสามารถปิดได้หากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้: ^{[ 6 ] [ 35 ] [ 36 ]}

• Tมีส่วนขยายแบบปิด
• ส่วนปิดของกราฟของTคือกราฟของตัวดำเนินการบางตัว
• สำหรับลำดับจุด ( x _n ) ทุกชุดจากโดเมนของTที่x _n → 0 และTx _n → yจะเป็นจริงว่าy = 0

ไม่ใช่ว่าตัวดำเนินการทั้งหมดจะสามารถปิดได้^{[ 37 ]}

ตัวดำเนินการปิดTมีส่วนขยายปิดที่เล็กที่สุดที่เรียกว่าการปิดของTการปิดของกราฟของTเท่ากับกราฟของ^{[ 6 ] [ 35 ]}อาจมีส่วนขยายปิดอื่นๆ ที่ไม่ใช่ขั้นต่ำ^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle {\overline {T}}.}$

ตัวดำเนินการT ที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่น จะปิดได้ก็ต่อเมื่อT ^∗ถูกกำหนดไว้อย่างหนาแน่น ในกรณีนี้และ^{[ 11 ] [ 38 ]}${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$

ถ้าSถูกกำหนดอย่างหนาแน่นและ^Tเป็นส่วนขยายของSแล้วS ^∗จะเป็นส่วนขยายของT ^{∗ [} 39 ^]

ตัวดำเนินการสมมาตรทุกตัวสามารถปิดได้^{[ 40 ]}

ตัวดำเนินการสมมาตรเรียกว่าสมมาตรสูงสุดหากไม่มีส่วนขยายสมมาตรอื่นใดนอกจากตัวมันเอง^{[ 20 ]}ตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองทุกตัวเป็นสมมาตรสูงสุด^{[ 20 ]}บทกลับเป็นเท็จ^{[ 41 ]}

ตัวดำเนินการเรียกว่าเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานถ้าการปิดของมันเป็นสมมาตรในตัวเอง^{[ 40 ]}ตัวดำเนินการจะเป็นสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานก็ต่อเมื่อมีส่วนขยายสมมาตรในตัวเองเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น^{[ 23 ]}

ตัวดำเนินการสมมาตรอาจมีส่วนขยายที่สมมาตรในตัวเองมากกว่าหนึ่งรายการ และอาจมีส่วนขยายต่อเนื่องกันหลายรายการ^{[ 25 ]}

ตัวดำเนินการสมมาตร Tที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่นจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการT – i , T + i ทั้งสอง มีช่วงที่หนาแน่น^{[ 42 ]}

ให้Tเป็นตัวดำเนินการที่กำหนดไว้อย่างหนาแน่น เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ " Tเป็นส่วนขยายของS " โดยS ⊂ T (ซึ่งเป็นตัวย่อตามธรรมเนียมสำหรับ Γ( S ) ⊆ Γ( T )) จะได้ดังต่อไปนี้^{[ 43 ]}

• ถ้าT เป็นเมทริก ซ์สมมาตรแล้วT ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗
• ถ้าTเป็นเซตปิดและสมมาตรแล้วT = T ^∗∗ ⊂ T ^∗
• ถ้าTเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองแล้วT = T ^∗∗ = T ^∗
• ถ้าT เป็นตัวดำเนินการสมมาตรตัว เองโดยพื้นฐานแล้วT ⊂ T ^∗∗ = T ^∗

กลุ่มของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองมีความสำคัญอย่างยิ่งในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองทุกตัวมีนิยามที่หนาแน่น ปิด และสมมาตร ส่วนข้อความกลับนั้นใช้ได้กับตัวดำเนินการที่มีขอบเขต แต่ใช้ไม่ได้ในกรณีทั่วไป คุณสมบัติสมมาตรในตัวเองนั้นเข้มงวดกว่าคุณสมบัติทั้งสามนี้มากทฤษฎีบทสเปกตรัม อันโด่งดัง ใช้ได้กับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง เมื่อรวมกับทฤษฎีบทของสโตนเกี่ยวกับกลุ่มเอกภาพพารามิเตอร์เดียวจะแสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองเป็นตัวสร้างอนันต์ของกลุ่มเอกภาพพารามิเตอร์เดียวที่มีความต่อเนื่องอย่างเข้มข้น กลุ่มเอกภาพดังกล่าวมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการอธิบายวิวัฒนาการของเวลาในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม

• ปริภูมิฮิลเบิร์ต § ตัวดำเนินการไร้ขอบเขต
• ทฤษฎีบทสโตน-ฟอน นอยมันน์
• ตัวดำเนินการที่มีขอบเขต