ในวิชาดาราศาสตร์พลศาสตร์หรือกลศาสตร์ท้องฟ้าวงโคจรวงรีหรือวงโคจรแบบเยื้องศูนย์คือวงโคจรที่มีค่าความเยื้องศูนย์น้อยกว่า 1 ซึ่งรวมถึงกรณีพิเศษของวงโคจรวงกลมที่มีค่าความเยื้องศูนย์เท่ากับ 0 วงโคจรบางวงอาจถูกเรียกว่า "วงโคจรแบบยาว" หากค่าความเยื้องศูนย์ "สูง" แต่คำนั้นไม่ใช่คำอธิบายที่เหมาะสม สำหรับปัญหาวัตถุสองชิ้นอย่างง่าย วงโคจรทั้งหมดเป็นวงรี

ในปัญหาแรงโน้มถ่วงของวัตถุสองชิ้นวัตถุทั้งสองจะโคจรเป็นวงรีคล้ายกัน โดยมี คาบการโคจร เท่ากัน รอบจุดศูนย์กลาง มวลร่วมกัน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของวัตถุชิ้นหนึ่งเทียบกับอีกชิ้นหนึ่งก็โคจรเป็นวงรีเช่นกัน

ในระบบสุริยะ มวลที่โดดเด่นของดวงอาทิตย์ทำให้ดาวเคราะห์แต่ละดวงโคจรเป็นวงรีเกือบเป็นวงกลม ( eใกล้ 0) โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสหลัก ในขณะที่ดาวหาง เช่น ดาวหางฮัลเลย์ โคจรเป็นวงรีหรือวงรียาว ( eใกล้ 1) ตัวอย่างของวงโคจรหรือวิถีโคจรแบบวงรีสำหรับดาวบริวาร ได้แก่วงโคจรการถ่ายโอนของโฮห์มันน์วง โคจร ของมอลนิยาและวงโคจรทุนดรา

ภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน ไม่มีแรงอื่นใดกระทำนอกจากวัตถุสมมาตรทรงกลมสองชิ้น^และ [ 1 ^{] ความเร็ว}วงโคจร ( ) ของวัตถุหนึ่งที่เคลื่อนที่ไปตามวงโคจรวงรีสามารถคำนวณได้จากสมการวิส-วิวาดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle (m_{1})}$${\displaystyle (m_{2})}$${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mu \,}$คือค่าพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐานซึ่งมักแสดงเป็นเมื่อวัตถุหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกวัตถุหนึ่งมาก${\displaystyle G(m_{1}+m_{2})}$${\displaystyle GM}$
• ${\displaystyle r\,}$คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้งสอง
• ${\displaystyle a\,\!}$คือความยาวของแกนกึ่งเอก

สมการความเร็วสำหรับวิถีโค้งไฮเปอร์โบลาจะมีค่าเป็น หรือหรือ หรือ ซึ่งเหมือนกันโดยมีข้อตกลงว่าในกรณีนั้นจะมีค่าเป็นลบ ${\displaystyle (+{1 \over {a}})}$${\displaystyle (a)}$

ภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน คาบวงโคจร ( ) ของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามวงโคจรวงรีสามารถคำนวณได้ดังนี้: ^{[ 3 ]}${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mu }$เป็นพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐาน
• ${\displaystyle a\,\!}$คือความยาวของแกนกึ่งเอก

สรุปผล:

• คาบการโคจรเท่ากับคาบการโคจรเป็นวงกลมที่มีรัศมีวงโคจรเท่ากับแกนกึ่งเอก ( )${\displaystyle a\,\!}$
• สำหรับค่ากึ่งแกนเอกที่กำหนดไว้ คาบการโคจรจะไม่ขึ้นอยู่กับค่าความเยื้องศูนย์กลาง (ดูเพิ่มเติม: กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ )

ภายใต้สมมติฐานมาตรฐานพลังงานวงโคจรจำเพาะ ( ) ของวงโคจรวงรีจะเป็นลบ และสมการอนุรักษ์พลังงานวงโคจร ( สมการ Vis-viva ) สำหรับวงโคจรนี้สามารถมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 4 ]}${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle v\,}$คือความเร็วเชิงวงโคจรของวัตถุที่โคจรอยู่
• ${\displaystyle r\,}$คือระยะห่างของวัตถุที่โคจรจากวัตถุศูนย์กลาง
• ${\displaystyle a\,}$คือความยาวของแกนกึ่งเอก
• ${\displaystyle \mu \,}$เป็นพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐาน

สรุปผล:

• สำหรับค่ากึ่งแกนเอกที่กำหนด พลังงานวงโคจรจำเพาะจะไม่ขึ้นอยู่กับค่าความเยื้องศูนย์กลาง

ใช้ทฤษฎีบทวิเรียลเพื่อหา:

• ค่าเฉลี่ยของพลังงานศักย์จำเพาะในช่วงเวลาเท่ากับ −2ε
  • ค่าเฉลี่ยเวลาของr ⁻¹คือa ⁻¹
• ค่าเฉลี่ยของพลังงานจลน์จำเพาะในช่วงเวลาเท่ากับ ε

การทราบพลังงานในแง่ของแกนกึ่งเอก (และมวลที่เกี่ยวข้อง) อาจเป็นประโยชน์ พลังงานรวมของวงโคจรคำนวณได้จากสูตร

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$,

โดยที่ a คือแกนกึ่งเอก

เนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง โมเมนตัมเชิงมุมจึงคงที่:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

เมื่อเข้าใกล้ที่สุดและไกลที่สุด โมเมนตัมเชิงมุมจะตั้งฉากกับระยะห่างจากมวลที่โคจร ดังนั้น:

${\displaystyle L=rp=rmv}$.

พลังงานรวมของวงโคจรกำหนดโดย^{[ 5 ]}

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

เมื่อแทนค่า v ลงในสมการ จะได้เป็น

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

นี่เป็นความจริงสำหรับ r ซึ่งเป็นระยะทางที่ใกล้ที่สุด/ไกลที่สุด ดังนั้นจึงมีสมการสองสมการพร้อมกัน ซึ่งเมื่อแก้หาค่า E แล้วจะได้ดังนี้:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

เนื่องจากและโดยที่เอปซิลอนคือค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร จึงได้ผลลัพธ์ตามที่ระบุไว้ ${\textstyle r_{1}=a+a\เอปไซลอน }$${\displaystyle r_{2}=aa\เอปไซลอน }$

มุมเส้นทางการบินคือมุมระหว่างเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุที่โคจร (เท่ากับเวกเตอร์สัมผัสวงโคจร ณ ขณะนั้น) และแนวนอนท้องถิ่น ภายใต้สมมติฐานมาตรฐานของการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม มุมเส้นทางการบินจะสอดคล้องกับสมการ: ^{[ 6 ]}${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle h\,}$คือโมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะของวงโคจร
• ${\displaystyle v\,}$คือความเร็วเชิงวงโคจรของวัตถุที่โคจรอยู่
• ${\displaystyle r\,}$คือระยะรัศมีของวัตถุที่โคจรจากวัตถุศูนย์กลาง
• ${\displaystyle \phi \,}$มุมวิถีการบิน

${\displaystyle \psi }$คือมุมระหว่างเวกเตอร์ความเร็ววงโคจรกับแกนกึ่งเอกคือค่าความผิดปกติจริงเฉพาะที่ ดังนั้น ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

ความแปลกประหลาดอยู่ ที่ไหน${\displaystyle e}$

โมเมนตัมเชิงมุมมีความสัมพันธ์กับผลคูณเวกเตอร์ของตำแหน่งและความเร็ว ซึ่งเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองนี้ ในที่นี้ θ ถูกกำหนดให้เป็นมุมที่ต่างจากมุมนี้ 90 องศา ดังนั้นจึงใช้โคไซน์แทนไซน์${\displaystyle \phi }$

สมการวงโคจรจะกำหนดเส้นทางของวัตถุที่โคจร รอบวัตถุศูนย์กลางโดยสัมพันธ์กับแกนx โดยไม่ระบุตำแหน่งเป็นฟังก์ชันของเวลา หากค่าความเยื้องศูนย์กลางน้อยกว่า 1 สมการการเคลื่อนที่จะอธิบายวงโคจรแบบวงรี เนื่องจากสมการของเคปเลอร์ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด ทั่วไป สำหรับค่าความเยื้องศูนย์กลาง (E) ในรูปของค่าความเยื้องศูนย์กลางเฉลี่ย (M) ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ที่เป็นฟังก์ชันของเวลาจึงไม่มีคำตอบในรูปแบบปิดเช่นกัน (แม้ว่าจะมีคำตอบเชิงตัวเลขสำหรับทั้งสองกรณีก็ตาม) ${\displaystyle m_{2}\,\!}$${\displaystyle m_{1}\,\!}$${\displaystyle m_{1}\,\!}$${\displaystyle M=Ee\sin E}$

อย่างไรก็ตาม สมการเส้นทางแบบปิดที่ไม่ขึ้นกับเวลาของวงโคจรวงรีที่สัมพันธ์กับวัตถุศูนย์กลางสามารถกำหนดได้จากตำแหน่งเริ่มต้น ( ) และความเร็ว ( ) เพียงอย่างเดียว${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

ในกรณีนี้ การใช้สมมติฐานต่อไปนี้จะสะดวกกว่า ซึ่งแตกต่างจากสมมติฐานมาตรฐานข้างต้นเล็กน้อย:

1. ตำแหน่งของวัตถุศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและเป็นจุดโฟกัสหลัก ( ) ของวงรี (หรืออาจใช้จุดศูนย์กลางมวลแทนได้หากวัตถุที่โคจรมีมวลมาก)${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. มวลของวัตถุศูนย์กลาง (m1) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว
3. ตำแหน่งเริ่มต้น ( ) และความเร็วเริ่มต้น ( ) ของวัตถุที่โคจร เป็นที่ทราบแล้ว${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. วงรีนั้นอยู่ภายในระนาบ XY

ข้อสมมติฐานที่สี่สามารถตั้งได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เนื่องจากจุด (หรือเวกเตอร์) สามจุดใดๆ จะต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน ภายใต้ข้อสมมติฐานเหล่านี้ จุดโฟกัสที่สอง (บางครั้งเรียกว่าจุดโฟกัส "ว่าง") จะต้องอยู่บนระนาบ XY ด้วยเช่นกัน: . ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

สมการทั่วไปของวงรีภายใต้สมมติฐานเหล่านี้โดยใช้เวกเตอร์คือ:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle a\,\!}$คือความยาวของแกนกึ่งเอก
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$คือจุดโฟกัสที่สอง ("ว่างเปล่า")
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$คือค่า (x,y) ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการ

ความยาวของแกนกึ่งเอก (a) สามารถคำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

ค่าพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐาน อยู่ที่ไหน${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

จุดโฟกัสว่าง ( ) สามารถหาได้โดยการกำหนดเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ ก่อน : ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

โมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะของวัตถุที่โคจรอยู่ที่ใด : ^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

แล้ว

${\displaystyle \mathbf {F2} =-2a\mathbf {e} }$

สามารถดำเนินการนี้ได้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

สมการทั่วไปของวงรีภายใต้สมมติฐานข้างต้นคือ:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

ที่ให้ไว้:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$พิกัดตำแหน่งเริ่มต้น

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$พิกัดความเร็วเริ่มต้น

และ

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$พารามิเตอร์แรงโน้มถ่วง

แล้ว:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$โมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$ระยะห่างเริ่มต้นจาก F1 (ที่จุดกำเนิด)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$ความยาวของแกนกึ่งเอก

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$พิกัดเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

สุดท้ายนี้ พิกัดโฟกัสที่ว่างเปล่า

${\displaystyle f_{x}=-2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=-2ae_{y}\quad }$

ตอนนี้ค่าผลลัพธ์fx, fyและaสามารถนำไปใช้กับสมการวงรีทั่วไปข้างต้นได้แล้ว

สถานะของวัตถุที่โคจรอยู่ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งนั้น กำหนดโดยตำแหน่งและความเร็วของวัตถุที่โคจรอยู่เมื่อเทียบกับวัตถุศูนย์กลาง ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน สามมิติ (ตำแหน่งของวัตถุที่โคจรอยู่แทนด้วย x, y และ z) และส่วนประกอบคาร์ทีเซียนที่คล้ายกันของความเร็วของวัตถุที่โคจรอยู่ ชุดตัวแปรทั้งหกนี้ ร่วมกับเวลา เรียกว่าเวกเตอร์สถานะวงโคจรเมื่อทราบมวลของวัตถุทั้งสองแล้ว ตัวแปรเหล่านี้จะกำหนดวงโคจรทั้งหมด กรณีทั่วไปที่สุดสองกรณีที่มีองศาอิสระทั้ง 6 นี้ คือ วงโคจรวงรีและวงโคจรไฮเปอร์โบลา กรณีพิเศษที่มีองศาอิสระน้อยกว่า คือ วงโคจรวงกลมและวงโคจรพาราโบลา

เนื่องจากจำเป็นต้องใช้ตัวแปรอย่างน้อยหกตัวเพื่อแสดงวงโคจรวงรีได้อย่างสมบูรณ์ด้วยชุดพารามิเตอร์นี้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ตัวแปรหกตัวเพื่อแสดงวงโคจรด้วยชุดพารามิเตอร์ใดๆ ก็ตาม ชุดพารามิเตอร์หกตัวอีกชุดหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปคือองค์ประกอบ ของวง โคจร

ในระบบสุริยะดาวเคราะห์ดาวเคราะห์น้อยดาวหางส่วนใหญ่และเศษซากอวกาศบางส่วนมีวงโคจรเป็นรูปวงรีโดยประมาณรอบดวงอาทิตย์ โดยทั่วไปแล้ว วัตถุทั้งสองจะโคจรรอบจุดโฟกัสเดียวกันของวงรี โดยจุดโฟกัสจะอยู่ใกล้กับวัตถุที่มีมวลมากกว่า แต่เมื่อวัตถุหนึ่งมีมวลมากกว่าอย่างเห็นได้ชัด เช่น ดวงอาทิตย์เมื่อเทียบกับโลก จุดโฟกัสอาจอยู่ภายในวัตถุที่มีมวลมากกว่า ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าวัตถุที่มีมวลน้อยกว่าโคจรรอบวัตถุที่มีมวลมากกว่า แผนภูมิแสดงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดและจุดไกลดวงอาทิตย์ ที่สุด ของดาวเคราะห์ดาวเคราะห์แคระและดาวหางฮัลเลย์แสดงให้เห็นถึงความแปรผันของค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรวงรี สำหรับระยะทางที่ใกล้เคียงกันจากดวงอาทิตย์ แท่งกราฟที่กว้างกว่าแสดงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางที่มากกว่า โปรดสังเกตค่าความเยื้องศูนย์กลางที่เกือบเป็นศูนย์ของโลกและดาวศุกร์ เมื่อเทียบกับค่าความเยื้องศูนย์กลางมหาศาลของดาวหางฮัลเลย์และอีริส

ระยะห่างของวัตถุที่เลือกไว้ในระบบสุริยะจากดวงอาทิตย์ ขอบด้านซ้ายและด้านขวาของแต่ละแท่งแสดงถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดและจุดไกลดวง อาทิตย์ที่สุด ของวัตถุตามลำดับ ดังนั้นแท่งยาวแสดงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร สูง รัศมีของดวงอาทิตย์คือ 0.7 ล้านกิโลเมตร และรัศมีของดาวพฤหัสบดี (ดาวเคราะห์ที่ใหญ่ที่สุด) คือ 0.07 ล้านกิโลเมตร ซึ่งเล็กเกินกว่าจะมองเห็นได้ชัดเจนในภาพนี้

วิถีโคจรแบบรัศมีอาจเป็นส่วนของเส้นตรงคู่ซึ่งเป็นวงรีเสื่อมสภาพที่มีแกนกึ่งเล็กเท่ากับ 0 และความเยื้องศูนย์เท่ากับ 1 แม้ว่าความเยื้องศูนย์จะเป็น 1 แต่นี่ไม่ใช่เส้นทางโคจรแบบพาราโบลา คุณสมบัติและสูตรส่วนใหญ่ของเส้นทางโคจรแบบวงรีสามารถนำมาใช้ได้ อย่างไรก็ตาม เส้นทางโคจรนี้ไม่สามารถเป็นวงโคจรปิดได้ มันเป็นเส้นทางโคจรเปิดที่สอดคล้องกับส่วนหนึ่งของวงรีเสื่อมสภาพตั้งแต่ช่วงเวลาที่วัตถุสัมผัสกันและเคลื่อนห่างจากกันจนกระทั่งสัมผัสกันอีกครั้ง ในกรณีของมวลจุด เส้นทางโคจรหนึ่งรอบสมบูรณ์เป็นไปได้ โดยเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดเอกฐาน ความเร็วที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นอนันต์ในทิศทางตรงกันข้าม และพลังงานศักย์เท่ากับลบอนันต์

วิถีโค้งวงรีรัศมีเป็นคำตอบของปัญหาสองวัตถุที่มีความเร็วเป็นศูนย์ ณ ช่วงเวลาหนึ่ง เช่น ในกรณีของการปล่อยวัตถุ (โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศ)

ชาวบาบิโลนเป็นกลุ่มแรกที่ตระหนักว่าการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ตามระนาบสุริยวิถีไม่สม่ำเสมอ แม้ว่าพวกเขาจะไม่ทราบสาเหตุ ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นเพราะโลกโคจรเป็นวงรีรอบดวงอาทิตย์ โดยโลกจะเคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด ( perihelion)และเคลื่อนที่ช้าลงเมื่ออยู่ไกลจากดวงอาทิตย์ที่สุด (aphelion ) ^{[ 8 ]}

ในศตวรรษที่ 17 โยฮันเนส เคปเลอร์ ค้นพบว่าวงโคจรที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่ง และได้อธิบายสิ่งนี้ไว้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ข้อแรก ของเขา ต่อมาไอแซค นิวตันได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากกฎแรงโน้มถ่วงสากล ของ เขา

• อัปซิส
• พลังงานลักษณะเฉพาะ
• วงรี
• รายชื่อวงโคจร
• ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร
• สมการวงโคจร
• วิถีโค้งพาราโบลา

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "สมการวงโคจรอันดับแรก". American Journal of Physics . 75 (4): 352– 355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119/1.2432126 .
• D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "วงรีแรงโน้มถ่วง". วารสารฟิสิกส์คณิตศาสตร์50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP....50a2901M . doi : 10.1063/1.3078419 .
• เคอร์ติส, ฮาวาร์ด ดี. (2019). กลศาสตร์วงโคจรสำหรับนักศึกษาวิศวกรรม (ฉบับที่ 4). บัตเตอร์เวิร์ธ-ไฮเนมันน์ . ISBN 978-0-08-102133-0.

• การเปรียบเทียบภาพถ่ายดวงจันทร์จากจุดไกลสุดและจุดใกล้สุด
• การเปรียบเทียบภาพถ่ายดวง อาทิตย์ ณ จุดไกลสุดจากดวง อาทิตย์ (Aphelion) และจุดใกล้สุดจากดวงอาทิตย์ (Perihelion)
• โครงการดาราศาสตร์ การติดตามดาวเทียม และการวิจัยเชิงแสงของแคนาดา (CASTOR)