ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในพีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีเมทริกซ์ เมทริกซ์การสลับตำแหน่งถูกใช้เพื่อแปลง รูปแบบ เวกเตอร์ของเมทริกซ์ไปเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของ เมทริกซ์ท รานสโพสโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์การสลับตำแหน่งK ^{( m , n )}คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนขนาดnm × mn ซึ่งสำหรับเมทริกซ์A ขนาด m × n ใดๆ จะแปลง vec( A ) ไปเป็น vec( AT ) ดังนี้ ^:

K ^{( m , n )} vec( A ) = vec( A ^T ) .

ในที่นี้ vec( A ) คือเวกเตอร์คอลัมน์ขนาด mn × 1 ที่ได้จากการเรียงคอลัมน์ของAซ้อนกัน:

${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} )=[\mathbf {A} _{1,1},\ldots ,\mathbf {A} _{m,1},\mathbf {A} _{1,2},\ldots ,\mathbf {A} _{m,2},\ldots ,\mathbf {A} _{1,n},\ldots ,\mathbf {A} _{m,n}]^{\mathrm {T} }}$

โดยที่A = [ A ] กล่าวอีกนัยหนึ่ง vec( A ) คือเวกเตอร์ที่ได้จากการแปลงA เป็นเวกเตอร์ ตามลำดับคอลัมน์หลัก ในทำนอง เดียวกัน vec( A ^T ) คือเวกเตอร์ที่ได้จากการแปลงA เป็นเวกเตอร์ ตามลำดับแถวหลักวงจรและคุณสมบัติอื่นๆ ของการเรียงสับเปลี่ยนนี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางสำหรับอัลกอริทึม การสลับตำแหน่งเมทริกซ์แบบในตัว

ในบริบทของทฤษฎีข้อมูลควอนตัมเมทริกซ์การสลับบางครั้งเรียกว่าเมทริกซ์การสลับหรือตัวดำเนินการสลับ^{[ 1 ]}

• เมทริกซ์การสลับตำแหน่งเป็น เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนชนิดพิเศษและดังนั้นจึงเป็น เมทริก ซ์ตั้งฉาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งK ^{( m , n )}เท่ากับโดยที่คือการเรียงสับเปลี่ยนเหนือซึ่ง${\displaystyle \mathbf {P} _{\pi }}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{1,\dots ,mn\}}$

${\displaystyle \pi (i+m(j-1))=j+n(i-1),\quad i=1,\dots ,m,\quad j=1,\dots ,n.}$

• ดีเทอร์มิแนนต์ของK ^{( m , n )}คือ.${\displaystyle (-1)^{{\frac {1}{4}}n(n-1)m(m-1)}}$
• การแทนที่Aด้วยA ^Tในนิยามของเมทริกซ์การสลับแสดงให้เห็นว่าK ^{( m , n )} = ( K ^{( n , m )} ) ^Tดังนั้น ในกรณีพิเศษที่m = nเมทริกซ์การสลับจะเป็นเมทริกซ์ผกผันและสมมาตร
• การใช้งานหลักของเมทริกซ์การสลับตำแหน่ง และที่มาของชื่อ คือการสลับตำแหน่งของผลคูณโครเนกเกอร์ : สำหรับเมทริกซ์A ขนาด m × n ทุกตัว และเมทริกซ์Bขนาดr × q ทุกตัว

${\displaystyle \mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {K} ^{(n,q)}=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} .}$

คุณสมบัตินี้มักใช้ในการพัฒนาสถิติลำดับสูงของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของ Wishart ^{[ 2 ]}

• กรณีn=q=1สำหรับสมการข้างต้นระบุว่า สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์v, w ใดๆ ที่มีขนาดm, rตามลำดับ

${\displaystyle \mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} .}$

คุณสมบัตินี้เป็นเหตุผลที่ทำให้เมทริกซ์นี้ถูกเรียกว่า "ตัวดำเนินการสลับ" ในบริบทของทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม

• รูปแบบที่ชัดเจนสองแบบสำหรับเมทริกซ์การสลับตำแหน่งมีดังนี้: ถ้าe แทน เวกเตอร์แคนอนิกที่ jที่มีมิติr (กล่าวคือ เวกเตอร์ที่มีค่า 1 ใน พิกัดที่ jและ 0 ในที่อื่น) แล้ว

${\displaystyle \mathbf {K} ^{(r,m)}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}{\mathbf {e} _{m,j}}^{\mathrm {T} }\right)\otimes \left(\mathbf {e} _{m,j}{\mathbf {e} _{r,i}}^{\mathrm {T} }\right)=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}\otimes \mathbf {e} _{m,j}\right)\left(\mathbf {e} _{m,j}\otimes \mathbf {e} _{r,i}\right)^{\mathrm {T} }.}$

• เมทริกซ์การสลับสามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์บล็อกดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathbf {K} ^{(m,n)}={\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{1,1}&\cdots &\mathbf {K} _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {K} _{m,1}&\cdots &\mathbf {K} _{m,n},\end{bmatrix}},}$

โดยที่ ค่า p,qของเมทริกซ์บล็อกnxm K กำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {K} _{ij}(p,q)={\begin{cases}1&i=q{\text{ และ }}j=p,\\0&{\text{มิฉะนั้น}}.\end{cases}}}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle \mathbf {K} ^{(3,4)}=\left[{\begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\\hline 0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].}$

สำหรับเมทริกซ์ทั้งแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีทั้งmแถวและnคอลัมน์ สามารถสร้างเมทริกซ์การสลับตำแหน่งได้โดยใช้โค้ดด้านล่าง

import numpy as npdef comm_mat ( m , n ): # กำหนดการเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้โดย K w = np . arange ( m * n ) . reshape (( m , n ), order = "F" ) . T . ravel ( order = "F" )# นำการเรียงสับเปลี่ยนนี้ไป ใช้กับแถว (เช่น แต่ละคอลัมน์) ของเมทริกซ์เอกลักษณ์และส่งคืนผลลัพธ์return np.eye ( m * n )[ w , :]

หรืออีกทางเลือกหนึ่งคือ เวอร์ชันที่ไม่ต้องนำเข้าข้อมูล:

# Kronecker delta def delta ( i , j ): กลับint ( i == j )def comm_mat ( m , n ): # กำหนดการเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้โดย K v = [ m * j + i for i in range ( m ) for j in range ( n )]# นำการเรียงสับเปลี่ยนนี้ไปใช้กับแถว (เช่น แต่ละคอลัมน์) ของเมทริกซ์เอกลักษณ์I = [[ delta ( i , j ) for j in range ( m * n )] for i in range ( m * n )] return [ I [ i ] for i in v ]

ฟังก์ชัน P = com_mat ( m, n )% กำหนดการเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้โดย K A = reshape ( 1 : m * n , m , n ); v = reshape ( A ' , 1 , []);% นำการเรียงสับเปลี่ยนนี้ไปใช้กับแถว (เช่น แต่ละคอลัมน์) ของเมทริกซ์เอกลักษณ์P = eye ( m * n ); P = P ( v ,:);

# เวอร์ชันเมทริกซ์แบบสปาร์ส comm_mat = function ( m , n ){ i = 1 : ( m * n ) j = NULL for ( k in 1 : m ) { j = c ( j , m * 0 : ( n -1 ) + k ) } Matrix :: sparseMatrix ( i = i , j = j , x = 1 ) }

ให้แทนเมทริกซ์ต่อไปนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle 3\times 2}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle A}$มีการแปลงเป็นเวกเตอร์แบบเรียงตามคอลัมน์และเรียงตามแถว ดังต่อไปนี้ (ตามลำดับ):

${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{col}}=\operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\text{row}}=\operatorname {vec} (A^{\mathrm {T} })={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\5\\3\\6\\\end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์การสลับที่เกี่ยวข้องคือ

${\displaystyle K=\mathbf {K} ^{(3,2)}={\begin{bmatrix}1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot \\\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot \\\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1\\\end{bmatrix}},}$

(โดยแต่ละค่าหมายถึงศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้เป็นไปตามที่คาดไว้ดังนี้: ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle K^{\mathrm {T} }K=KK^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{6}}$

${\displaystyle K\mathbf {v} _{\text{col}}=\mathbf {v} _{\text{row}}}$