ในทางคณิตศาสตร์วัตถุขนาดกะทัดรัดหรือที่เรียกว่าวัตถุที่มีการนำเสนอแบบจำกัดหรือวัตถุที่มีการนำเสนอแบบจำกัดคือ วัตถุในหมวดหมู่ที่ตรงตามเงื่อนไขความจำกัดบางประการ

วัตถุXในหมวดหมู่Cซึ่งยอมรับโคลิมิตแบบกรอง ทั้งหมด (หรือที่เรียกว่าลิมิตโดยตรง ) เรียกว่ากระชับ (compact ) ถ้าฟังก์ชัน

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Sets} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

การเดินทางด้วยโคลิมิตที่กรองแล้ว กล่าวคือ ถ้าแผนที่ธรรมชาติ

${\displaystyle \operatorname {colim} \operatorname {Hom} _{C}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{C}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})}$

เป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงสำหรับระบบวัตถุที่กรองแล้วใดๆในC ^{[ 1 ]}เนื่องจากองค์ประกอบในโคลิมิตที่กรองแล้วทางด้านซ้ายแสดงด้วยแผนที่สำหรับi บางค่า ความเป็นการส่งแบบทั่วถึงของแผนที่ข้างต้นเท่ากับ การกำหนดให้แผนที่แยกตัวประกอบเหนือบางค่า ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X\to Y_{i}}$${\displaystyle X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

คำศัพท์ดังกล่าวมีที่มาจากตัวอย่างที่กล่าวถึงด้านล่างในวิชาโทโพโลยี นอกจากนี้ ผู้เขียนหลายท่านยังใช้คำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับหมวดหมู่พีชคณิตมากกว่า เช่นAdámek & Rosický (1994)ใช้คำว่าfinitely presented objectแทนคำว่า compact object และKashiwara & Schapira (2006)เรียกสิ่งเหล่านี้ว่าobjects of finite presentation

นิยามเดียวกันนี้ยังใช้ได้หากCเป็น∞-categoryโดยมีเงื่อนไขว่าเซตของมอร์ฟิซึมข้างต้นจะถูกแทนที่ด้วยปริภูมิการแมปในC (และโคลิมิตแบบกรองจะถูกเข้าใจในความหมายของ ∞-categorical ซึ่งบางครั้งเรียกว่าโคลิมิตโฮโมโทปีแบบกรอง)

สำหรับหมวดหมู่สามเหลี่ยมCที่ยอมรับผลคูณร่วม ทั้งหมด Neeman (2001a)นิยามวัตถุว่าเป็นกระชับหาก

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Ab} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

สลับที่กับโคโปรดักต์ ความสัมพันธ์ของแนวคิดนี้กับข้างต้นมีดังนี้ สมมติว่าCเกิดขึ้นเป็นหมวดหมู่โฮโมโทปีของหมวดหมู่ ∞ ที่เสถียรซึ่งยอมรับโคลิมิตแบบกรองทั้งหมด (เงื่อนไขนี้เป็นจริงอย่างกว้างขวาง แต่ไม่ใช่โดยอัตโนมัติ) จากนั้นวัตถุในCจะกระชับในความหมายของนีแมนก็ต่อเมื่อมันกระชับในความหมายของหมวดหมู่ ∞ เหตุผลก็คือในหมวดหมู่ ∞ ที่เสถียรโคลิมิตแบบกรองจะสลับที่กับโคลิมิตแบบจำกัดเสมอ เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นลิมิต จากนั้น เราใช้การนำเสนอของโคลิมิตแบบกรองเป็นตัวปรับสมดุลร่วม (ซึ่งเป็นโคลิมิตแบบจำกัด) ของโคโปรดักต์อนันต์ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,-)}$

วัตถุขนาดกะทัดรัดในหมวดหมู่ของเซตก็คือเซตจำกัดนั่นเอง

สำหรับริงRวัตถุกระชับในหมวดหมู่ของโมดูลRคือโมดูลR ที่นำเสนอแบบจำกัด นั่นเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า Rเป็นฟิลด์ วัตถุกระชับก็คือปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับโครงสร้างพีชคณิตทุกประเภทที่กำหนดโดยการดำเนินการบนเซตที่ปฏิบัติตามกฎสมการ หมวดหมู่เหล่านี้เรียกว่าวาไรตี้ซึ่งสามารถศึกษาได้อย่างเป็นระบบโดยใช้ทฤษฎีลอว์เวียร์สำหรับทฤษฎีลอว์เวียร์T ใดๆ จะมีหมวดหมู่ Mod( T ) ของแบบจำลองของTและวัตถุขนาดกะทัดรัดใน Mod( T ) ก็คือแบบจำลองที่นำเสนออย่างจำกัดนั่นเอง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าTคือทฤษฎีของกลุ่ม แล้ว Mod( T ) ก็คือหมวดหมู่ของกลุ่มและวัตถุขนาดกะทัดรัดใน Mod( T ) ก็คือกลุ่มที่นำเสนออย่างจำกัด

วัตถุขนาดกะทัดรัดในหมวดหมู่ที่ได้มา ของ โมดูล Rคือคอมเพล็กซ์ที่สมบูรณ์แบบนั่นเอง ${\displaystyle D(R-{\text{Mod}})}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบกระชับไม่ใช่วัตถุแบบกระชับในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแต่เป็นเซตจำกัดที่มีทอพอโลยีแบบไม่ ต่อเนื่อง ^{[ 2 ]}ความเชื่อมโยงระหว่างความกระชับในทอพอโลยีและแนวคิดเชิงหมวดหมู่ของความกระชับข้างต้นมีดังนี้: สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กำหนดไว้จะมีหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นเซตย่อยเปิดของ(และการรวมเป็นมอร์ฟิซึม) ดังนั้นจะเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบกระชับก็ต่อเมื่อเป็นวัตถุแบบกระชับใน ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{เปิด}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{เปิด}}(X)}$

ถ้าเป็นหมวดหมู่ใดๆ หมวดหมู่ของพรีชีฟ (กล่าวคือ หมวดหมู่ของฟังก์ชันจากไปยังเซต) จะมีโคลิมิตทั้งหมด หมวดหมู่ดั้งเดิมเชื่อมต่อกับโดยการฝังโยเนดะสำหรับวัตถุใดๆของจะเป็นวัตถุคอมแพ็กต์ (ของ) ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$${\displaystyle C^{op}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$${\displaystyle h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle h_{X}}$${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$

ในทำนองเดียวกัน หมวดหมู่ใดๆก็สามารถถือได้ว่าเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของวัตถุ indในเมื่อพิจารณาว่าเป็นวัตถุของหมวดหมู่ที่ใหญ่กว่านี้วัตถุใดๆ ของ จึงมีความกะทัดรัด อันที่จริง วัตถุที่กะทัดรัดของ ก็คือวัตถุของ(หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นก็คือ ภาพของวัตถุเหล่านั้นใน) ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$

ในหมวดหมู่อนุพันธ์ ที่ไม่จำกัด ของชีฟของกลุ่มอาเบเลียนสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่กระชับนั้น โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่หมวดหมู่ที่สร้างขึ้นอย่างกระชับ หลักฐานบางอย่างสำหรับเรื่องนี้สามารถพบได้โดยการพิจารณาการคลุมแบบเปิด (ซึ่งไม่สามารถปรับปรุงให้ละเอียดขึ้นเป็นการคลุมย่อยแบบจำกัดโดยใช้คุณสมบัติที่ไม่กระชับของ) และการใช้แผนที่${\displaystyle D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi \in {\text{Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\underset {i\in I}{\text{colim}}}\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

สำหรับบางส่วนจากนั้น เพื่อให้แผนที่นี้ยกขึ้นเป็นองค์ประกอบ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in {\text{Ob}}(D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}})))}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \psi \in {\underset {i\in I}{\text{colim}}}{\text{ Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

จะต้องแยกตัวประกอบผ่านบางส่วนซึ่งไม่รับประกัน การพิสูจน์สิ่งนี้ต้องแสดงให้เห็นว่าวัตถุขนาดกะทัดรัดใด ๆ มีส่วนรองรับในเซตย่อยขนาดกะทัดรัดบางส่วนของและจากนั้นแสดงให้เห็นว่าเซตย่อยนี้ต้องว่างเปล่า^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{U_{i}}}$${\displaystyle X}$

สำหรับสแต็กพีชคณิต เหนือลักษณะเฉพาะที่เป็นบวก หมวดหมู่อนุพันธ์ที่ไม่จำกัดของชีฟกึ่งสอดคล้องกันโดยทั่วไปจะไม่ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด แม้ว่าจะกึ่งกะทัดรัดและกึ่งแยกออกจากกันก็ตาม^{[ 4 ]}ในความเป็นจริง สำหรับสแต็กพีชคณิตไม่มีวัตถุที่กะทัดรัดอื่นใดนอกจากวัตถุศูนย์ ข้อสังเกตนี้สามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้: ถ้าสแต็กมีกลุ่มเสถียรภาพเช่นนั้น ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle G}$ถูกกำหนดขึ้นจากขอบเขตของลักษณะเชิงบวก${\displaystyle k}$
2. ${\displaystyle {\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}}$มีกลุ่มย่อยที่สมมาตรกับ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

ดังนั้น วัตถุขนาดกะทัดรัดเพียงอย่างเดียวในนั้นคือวัตถุศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมวดหมู่นี้ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด ${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้ ตัวอย่างเช่นกับการฝังจุดโดยส่งจุดไปยังเมทริกซ์เอกลักษณ์บวกที่คอลัมน์ที่ ในแถวแรก ${\displaystyle G=GL_{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}\to GL_{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {G} _{a}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

ในหมวดหมู่ส่วนใหญ่ เงื่อนไขของการเป็นคอมแพ็กต์นั้นค่อนข้างเข้มงวด ดังนั้นวัตถุส่วนใหญ่จึงไม่เป็นคอมแพ็กต์ หมวดหมู่จะถูกสร้างขึ้นอย่างคอมแพ็กต์ได้ก็ต่อเมื่อวัตถุใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปของโคลิมิตแบบกรองของวัตถุคอมแพ็กต์ใน หมวดหมู่นั้น ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์V ใดๆ ก็ คือโคลิมิตแบบกรองของปริภูมิย่อยมิติจำกัด (เช่น คอมแพ็กต์) ดังนั้น หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือฟิลด์คงที่) จึงถูกสร้างขึ้นอย่างคอมแพ็กต์ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

หมวดหมู่ที่ถูกสร้างขึ้นอย่างกระชับและยอมรับลิมิตร่วมทั้งหมดเรียกว่าหมวดหมู่ที่เข้าถึงได้

สำหรับหมวดหมู่Cที่มีผลคูณเทนเซอร์ที่มีพฤติกรรมที่ดี (กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นคือCต้องเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัล ) จะมีเงื่อนไขอีกประการหนึ่งที่กำหนดความจำกัดบางอย่าง นั่นคือเงื่อนไขที่ว่าวัตถุนั้นสามารถแปลงเป็นคู่ได้หากหน่วยโมโนอิดัลในCเป็นคอมแพ็กต์ วัตถุที่แปลงเป็นคู่ได้ใดๆ ก็จะเป็นคอมแพ็กต์เช่นกัน ตัวอย่างเช่นRเป็นคอมแพ็กต์ในฐานะ โมดูล Rดังนั้นข้อสังเกตนี้จึงสามารถนำไปใช้ได้ อันที่จริง ในหมวดหมู่ของ โมดูล Rวัตถุที่แปลงเป็นคู่ได้คือโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ที่นำเสนอ แบบจำกัด ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นคอมแพ็กต์ ในบริบทของหมวดหมู่อนันต์ วัตถุที่แปลงเป็นคู่ได้และคอมแพ็กต์มักจะเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิดมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่อนันต์ของคอมเพล็กซ์ของ โมดูล Rวัตถุคอมแพ็กต์และวัตถุที่แปลงเป็นคู่ได้จะสอดคล้องกัน ตัวอย่างนี้และตัวอย่างทั่วไปที่วัตถุที่แปลงเป็นคู่ได้และคอมแพ็กต์สอดคล้องกันนั้นได้มีการกล่าวถึงในBen-Zvi, Francis & Nadler (2010 )