ในเรขาคณิตเมตริกสามเหลี่ยมเปรียบเทียบเป็นโครงสร้างที่ใช้ในการกำหนดขอบเขตบนของความโค้งในกรอบของปริภูมิเมตริกเชิงจีโอเดสิกเฉพาะที่ ซึ่งมีบทบาทคล้ายคลึงกับขอบเขตบนของ ความโค้ง ภาคตัดขวางในเรขาคณิตแบบรีมันน์

ให้เป็นระนาบยุคลิดเป็นทรงกลม 2 มิติหน่วยและเป็น ระนาบ ไฮเปอร์โบลิกสำหรับให้และแทนปริภูมิที่ได้จากและ ตามลำดับ โดยการคูณระยะทางด้วยสำหรับใดๆคือแมนิโฟลด์รีมันน์ 2 มิติ ที่ สมบูรณ์เชื่อมต่อกันอย่างง่ายและมี ความโค้ง ภาคตัดขวางคงที่ เพียงหนึ่งเดียว${\textstyle M_{0}^{2}=\mathbb {E} ^{2}}$${\textstyle M_{1}^{2}=\mathbb {S} ^{2}}$${\textstyle M_{-1}^{2}=\mathbb {H} ^{2}}$${\textstyle k>0}$${\textstyle M_{k}^{2}}$${\textstyle M_{-k}^{2}}$${\textstyle M_{1}^{2}}$${\textstyle M_{-1}^{2}}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {|k|}}}}$${\textstyle k\in \mathbb {R} }$${\textstyle M_{k}^{2}}$${\textstyle k}$

ให้เป็นปริภูมิเมตริกให้เป็นรูปสามเหลี่ยมจีโอเดสิกใน กล่าว คือ มี จุดสามจุด คือ, และและส่วนของเส้นตรงจีโอเดสิกสามส่วน คือ , และรูปสามเหลี่ยมเปรียบเทียบในสำหรับคือรูปสามเหลี่ยมจีโอเดสิกในที่มีจุดยอด คือ, และโดยที่, และ${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\textstyle [p,q]}$${\textstyle [q,r]}$${\textstyle [r,p]}$${\displaystyle T*}$${\textstyle M_{k}^{2}}$${\displaystyle T}$${\textstyle M_{k}^{2}}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle q'}$${\displaystyle r'}$${\textstyle d(p,q)=d(p',q')}$${\textstyle d(p,r)=d(p',r')}$${\textstyle d(r,q)=d(r',q')}$

รูปสามเหลี่ยมดังกล่าว เมื่อมีอยู่จริง จะมีลักษณะเฉพาะตัวเมื่อพิจารณาจากสมมาตรการมีอยู่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นจริงเสมอสำหรับ สำหรับสามารถยืนยันได้ด้วยเงื่อนไขเพิ่มเติม(กล่าวคือ ความยาวของรูปสามเหลี่ยมต้องไม่เกินความยาวของวงกลมใหญ่ของทรงกลม) ${\textstyle k\leq 0}$${\textstyle k>0}$${\textstyle d(p,q)+d(q,r)+d(r,p)\leq {\frac {2\pi }{\sqrt {k}}}}$${\textstyle M_{k}^{2}}$

มุมภายในของat เรียกว่ามุมเปรียบเทียบระหว่าง at และat ซึ่งนิยามได้ชัดเจนก็ต่อเมื่อ at และ at แตกต่างกันและขึ้นอยู่กับความยาวเท่านั้นให้เราใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยโดยใช้ตรีโกณมิติผกผัน จะได้สูตรดังนี้:${\textstyle T*}$${\textstyle p'}$${\textstyle q}$${\textstyle r}$${\textstyle p}$${\textstyle q}$${\textstyle r}$${\textstyle p}$${\textstyle d(p,q),d(q,r),d(p,r)}$${\textstyle {\overline {\angle }}_{p,q,r}^{(k)}}$$${\displaystyle \cos({\overline {\angle }}_{p,q,r}^{(0)})={\frac {d(q,r)^{2}-d(p,q)^{2}-d(p,r)^{2}}{2d(p,q)d(p,r)}},}$$$${\displaystyle \cos({\overline {\angle }}_{p,q,r}^{(k)})={\frac {\cos({\sqrt {k}}d(q,r))-\cos({\sqrt {k}}d(p,q))\cos({\sqrt {k}}d(p,r))}{\sin({\sqrt {k}}d(p,q))\sin({\sqrt {k}}d(p,r))}}~~{\text{for}}~~k>0,}$$$${\displaystyle \cos({\overline {\angle }}_{p,q,r}^{(k)})={\frac {\cosh({\sqrt {-k}}d(p,q))\cosh({\sqrt {-k}}d(p,r))-\cosh({\sqrt {-k}}d(q,r))}{\sinh({\sqrt {-k}}d(p,q))\sinh({\sqrt {-k}}d(p,r))}}~~{\text{for}}~~{k<0}.}$$

มุมเปรียบเทียบให้แนวคิดเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นโค้งจีโอเดสิกที่สมเหตุสมผลในปริภูมิเมตริกใดๆมุมอเล็กซานดรอฟหรือมุมภายนอกระหว่างเส้นโค้ง จีโอเดสิกที่ ไม่ใช่ เส้นโค้งศูนย์สองเส้น ถูกกำหนดดังนี้${\textstyle c,c'}$${\textstyle c(0)=c'(0)}$$${\displaystyle \angle _{c,c'}=\limsup _{t,t'\rightarrow 0}{\overline {\angle }}_{c(0),c(t),c'(t')}.}$$

โครงสร้างที่คล้ายกันต่อไปนี้ ซึ่งปรากฏในคำจำกัดความที่เป็นไปได้บางประการของความเป็นไฮเปอร์โบลิกของโกรโมฟ อาจถือได้ว่าเป็นกรณีจำกัดเมื่อ ${\textstyle k\rightarrow -\infty }$

สำหรับจุดสามจุดในปริภูมิเมตริกผลคูณ Gromovของและที่คือครึ่งหนึ่งของ ข้อบกพร่อง ของอสมการสามเหลี่ยม : กำหนดให้สามเหลี่ยมจีโอเดสิกในที่มีจุดยอด ขา ตั้งสามขา สำหรับการเปรียบเทียบคือกราฟเมตริกที่ได้จากการเชื่อมส่วนของเส้นตรงสามเส้นที่มีความยาว ตามลำดับ ตามจุดยอดโดยกำหนดให้ ${\textstyle x,y,z}$${\textstyle X}$${\textstyle x}$${\textstyle y}$${\textstyle z}$$${\displaystyle (x,y)_{z}={\frac {1}{2}}(d(x,z)+d(y,z)-d(x,y))}$$${\textstyle \Delta }$${\textstyle X}$${\textstyle (p,q,r)}$${\textstyle T_{\Delta }}$${\textstyle \Delta }$${\textstyle [p',c_{p}],[q',c_{q}],[r',c_{r}]}$${\textstyle (q,r)_{p},(r,p)_{q},(p,q)_{r}}$${\textstyle c}$${\textstyle c_{p}=c_{q}=c_{r}=c}$

หนึ่งคือและเป็นผลรวมของส่วนโค้งจีโอเดสิกที่ไม่ซ้ำกันสามส่วนยิ่งไปกว่านั้น มีแผนที่เปรียบเทียบที่กำหนดไว้อย่างดีโดยที่เป็นไอโซเมตริกในแต่ละด้านของจุดยอดเรียกว่าจุดศูนย์กลางของและภาพย้อนกลับของมันภายใต้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของจุดต่างๆ ของมัน เรียกว่าจุด ภายในของและเส้นผ่านศูนย์กลาง ของมันเรียก ว่า ขนาดภายในของ${\textstyle d(p',q')=d(p,q),~~d(q',r')=d(q,r),~~d(r',p')=d(r,p),}$${\textstyle T_{\Delta }}$${\textstyle [p',q'],[q',r'],[r',p']}$${\textstyle f_{\Delta }:\Delta \longrightarrow T_{\Delta }}$${\textstyle f_{\Delta }(p)=p',f_{\Delta }(q)=q',f_{\Delta }(r)=r',}$${\textstyle f_{\Delta }}$${\textstyle \Delta }$${\textstyle c}$${\textstyle T_{\Delta }}$${\textstyle f_{\Delta }}$${\textstyle \Delta }$${\textstyle \Delta }$${\textstyle \Delta }$

วิธีหนึ่งในการกำหนดคุณสมบัติไฮเปอร์โบลิกของโกรโมฟคือการกำหนดให้ระยะทางต้องไม่เปลี่ยนแปลงเกินกว่าค่าคงที่อีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดให้ขนาดด้านในของสามเหลี่ยม ต้องมีขอบเขตบนที่จำกัดด้วยค่า คง ที่สม่ำเสมอ${\textstyle f_{\Delta }}$${\textstyle \delta \geq 0}$${\textstyle \Delta }$${\textstyle \delta '\geq 0}$

^{ใน ทำนอง}เดียวกัน ขาตั้งสามขาคือสามเหลี่ยมเปรียบเทียบในต้นไม้จริง สากล ของวาเลนซ์ต้นไม้ดังกล่าวปรากฏเป็นขีดจำกัดสูงสุดของas [ ^{1 ]}${\textstyle \geq 3}$${\textstyle M_{k}^{2}}$${\textstyle k\rightarrow -\infty }$

ในสถานการณ์ต่างๆบทพิสูจน์ของ Alexandrov (หรือที่เรียกว่าบทพิสูจน์การต่อสามเหลี่ยม ) ช่วยให้สามารถแยกสามเหลี่ยมทางเรขาคณิตออกเป็นสามเหลี่ยมขนาดเล็กกว่า ซึ่งการพิสูจน์เงื่อนไข CAT(k) จะง่ายกว่า จากนั้นจึงอนุมานเงื่อนไข CAT(k) สำหรับสามเหลี่ยมขนาดใหญ่กว่า โดยทำได้โดยการต่อสามเหลี่ยมเปรียบเทียบสำหรับสามเหลี่ยมขนาดเล็กเข้าด้วยกัน แล้ว "คลี่" รูปนั้นออกเป็นสามเหลี่ยมเปรียบเทียบสำหรับสามเหลี่ยมขนาดใหญ่กว่า