สูตรในพีชคณิตเบื้องต้นสำหรับการคำนวณกำลังสองของพหุนามทวินามคือ: $${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

ในจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ใดๆสัมประสิทธิ์ของx จะ มี^ค่าเป็นสองเท่าของจำนวนpและพจน์คงที่จะมีค่าเท่ากับp²

พิจารณาพหุนาม กำลังสองต่อไปนี้ : $${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

สมการกำลังสองนี้ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจาก 28 ไม่ใช่กำลังสองของ 5: $${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

อย่างไรก็ตาม สามารถเขียนสมการกำลังสองดั้งเดิมให้เป็นผลรวมของกำลังสองนี้กับค่าคงที่ได้: $${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

นี่เรียกว่าการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

กำหนดโมนิกกำลัง สองใดๆ$${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$ สามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีสองพจน์แรกเหมือนกันได้: $${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

รูปกำลังสองนี้แตกต่างจากรูปกำลังสองเดิมเพียงแค่ค่าของพจน์คงที่เท่านั้น ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า $${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$ ที่ไหน${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$การดำเนินการนี้เรียกว่าการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

กำหนดให้พหุนามกำลังสองที่มีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$ สามารถดึงสัมประสิทธิ์a ออกมาเป็นตัวร่วมได้ จากนั้นจึงทำการจัดเรียงตัวใหม่ให้สมบูรณ์เพื่อสร้างพหุนามเอกลักษณ์ ที่ได้

ตัวอย่าง: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$ กระบวนการแยกตัวประกอบสัมประสิทธิ์a นี้ สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกโดยการแยกตัวประกอบออกจากพจน์ 2 พจน์แรกเท่านั้น พจน์คงที่ที่อยู่ท้ายพหุนามไม่จำเป็นต้องรวมอยู่ด้วย

ตัวอย่าง: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

วิธีนี้ทำให้สามารถเขียนพหุนามกำลังสองใดๆ ในรูปแบบได้ $${\displaystyle a(xh)^{2}+k.}$$

ต่างจากวิธีการแยกตัวประกอบสมการ ซึ่งเชื่อถือได้เฉพาะเมื่อรากเป็นจำนวนตรรกยะ เท่านั้น การใช้วิธีการกำลังสองสมบูรณ์จะสามารถหารากของสมการกำลังสองได้แม้ว่ารากเหล่านั้นจะเป็นจำนวนอตรรกยะหรือจำนวนเชิงซ้อนก็ตาม ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการต่อไปนี้ $${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จะได้ $${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$ ดังนั้น $${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$ จากนั้นก็อย่างใดอย่างหนึ่ง $${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

กล่าวโดยสรุป: $${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$ ดังนั้น $${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

สมการที่มีรากเชิงซ้อนสามารถจัดการได้ในลักษณะเดียวกัน ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์สามารถใช้ในการประเมินค่าอินทิกรัลใดๆ ที่มีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$ โดยใช้ปริพันธ์พื้นฐาน $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัล $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

เมื่อทำการทำให้ตัวส่วนเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

ตอนนี้สามารถประเมินค่าได้โดยใช้การแทนที่u  = x + 3 ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้    $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

พิจารณานิพจน์นี้ $${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$ โดยที่zและbเป็นจำนวนเชิงซ้อน z *และb ^*เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของzและbตามลำดับ และcเป็นจำนวนจริง โดยใช้ ^{เอกลักษณ์} | u | ^² = uu ^*เราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ $${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$ ซึ่งเป็นปริมาณจริงอย่างชัดเจน เนื่องจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ สำนวน $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$ โดยที่a , b , c , xและyเป็นจำนวนจริง โดยที่a > 0 และb > 0 สามารถแสดงได้ในรูปของกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน นิยาม     $${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

แล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$ ดังนั้น $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

เมทริกซ์Mเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ (idempotent matrix ⁾เมื่อM² = Mเมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นการขยายคุณสมบัติของเมทริกซ์เอกลักษณ์ของ 0 และ 1 วิธีการเติมเต็มกำลังสอง (completed of the square method) ใช้ในการแก้สมการนี้ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$ แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์ 2×2 ที่มีคุณสมบัติเอกลักษณ์บางส่วนสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยวงกลมในระนาบ ( a , b ):

เมทริกซ์${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$จะเป็นสถานะที่ไม่เปลี่ยนแปลงหาก...${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$ซึ่งเมื่อทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้วจะได้เป็น $${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$ ในระนาบ ( a , b ) นี่คือสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (1/2, 0) และรัศมี 1/2

โดยการเขียน $${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$ เราแสดงให้เห็นว่าผลรวมของจำนวนบวกxและส่วนกลับของมันจะมากกว่าหรือเท่ากับ 2 เสมอ กำลังสองของนิพจน์จำนวนจริงจะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ ซึ่งให้ขอบเขตที่กล่าวไว้ และในที่นี้เราจะได้ 2 ก็ต่อเมื่อxเท่ากับ 1 ทำให้กำลังสองมีค่าเป็นศูนย์

พิจารณาปัญหาการแยกตัวประกอบพหุนาม $${\displaystyle x^{4}+324.}$$

นี่คือ $${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$ ดังนั้นพจน์กลางคือ 2( x ² )(18)  =  36 x ²ดังนั้นเราจึงได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$ (บรรทัดสุดท้ายถูกเพิ่มเข้ามาเพียงเพื่อให้เป็นไปตามธรรมเนียมการเรียงลำดับขั้นของพจน์ที่ลดลง)

ข้อโต้แย้งเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่า${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$สามารถแยกตัวประกอบได้เสมอ เนื่องจาก $${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$ (หรือที่รู้จักกันในชื่อตัวตนของโซฟี แชร์แมง )