ในคณิตศาสตร์และการประมวลผลสัญญาณสัญญาณเชิงวิเคราะห์คือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่ไม่มีส่วนประกอบความถี่ที่เป็นลบ^{[ 1 ]}   ส่วนจริงและส่วนจินตนาการของสัญญาณเชิงวิเคราะห์เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่สัมพันธ์กันโดยการแปลงฮิลเบิร์ต

การแสดงผลเชิงวิเคราะห์ของ ฟังก์ชัน ค่าจริงคือสัญญาณเชิงวิเคราะห์ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันดั้งเดิมและการแปลงฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันนั้น การแสดงผลแบบนี้ช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง แนวคิดพื้นฐานคือ ส่วนประกอบความถี่ลบของการแปลงฟูริเยร์ (หรือสเปกตรัม ) ของฟังก์ชันค่าจริงนั้นไม่จำเป็น เนื่องจากสมมาตรแบบเฮอร์มิเชียนของสเปกตรัมดังกล่าว ส่วนประกอบความถี่ลบเหล่านี้สามารถละทิ้งได้โดยไม่สูญเสียข้อมูล หากเรายินดีที่จะจัดการกับฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนแทน ซึ่งจะทำให้คุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันเข้าถึงได้ง่ายขึ้นและอำนวยความสะดวกในการหาอนุพันธ์ของเทคนิคการมอดูเลชั่นและการดีมอดูเลชั่น เช่น ซิงเกิลไซด์แบนด์

ตราบใดที่ฟังก์ชันที่ถูกจัดการไม่มีส่วนประกอบความถี่เชิงลบ (นั่นคือ ยังคงเป็นเชิงวิเคราะห์ ) การแปลงจากเชิงซ้อนกลับไปเป็นจำนวนจริงเป็นเพียงการละทิ้งส่วนจินตนาการ การแสดงเชิงวิเคราะห์เป็นการวางนัยทั่วไปของ แนวคิด เฟเซอร์ : ^{[ 2 ]}ในขณะที่เฟเซอร์ถูกจำกัดไว้ที่แอมพลิจูด เฟส และความถี่ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา สัญญาณเชิงวิเคราะห์อนุญาตให้มีพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาได้

ถ้าเป็น ฟังก์ชัน ค่าจริงที่มีการแปลงฟูริเยร์(โดยที่เป็นค่าจริงที่แสดงถึงความถี่) แล้วการแปลงนั้นจะมี สมมาตรเฮอ ร์มิเชียนเกี่ยวกับแกน: ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}$

โดยที่คือค่าสังยุคเชิงซ้อนของฟังก์ชัน: ${\displaystyle S(f)^{*}}$${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&\triangleq {\begin{cases}2S(f),&{\text{สำหรับ}}\ f>0,\\S(f),&{\text{สำหรับ}}\ f=0,\\0,&{\text{สำหรับ}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {u} (f)}$คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}$คือฟังก์ชันเครื่องหมาย

ประกอบด้วยเฉพาะส่วนประกอบความถี่ที่ไม่เป็นลบของ เท่านั้น และการดำเนินการนี้สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากสมมาตรแบบเฮอร์มิเชียนของ: ${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{สำหรับ}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{สำหรับ}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{สำหรับ}}\ f<0\ {\text{(สมมาตรเฮอร์มิเชียน)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}$

สัญญาณวิเคราะห์ของคือการแปลงฟูริเยร์ผกผันของ: ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{convolution}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}$คือการแปลงฮิลเบิร์ตของ;${\displaystyle s(t)}$
• ${\displaystyle *}$คือตัวดำเนินการคอนโวลูชัน แบบไบนารี
• ${\displaystyle j}$คือหน่วยจินตนาการ

โปรดทราบว่าสิ่งนี้สามารถแสดงได้ในรูปของการดำเนินการกรองที่กำจัดส่วนประกอบความถี่ลบออกไปโดยตรง:${\displaystyle s(t)=s(t)*\delta (t),}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}$

เนื่องจากการคืนค่าส่วนประกอบความถี่ลบจึงเป็นเรื่องง่ายเพียงแค่ตัดทิ้งซึ่งอาจดูขัดกับสามัญสำนึก ค่าสังยุคเชิงซ้อนประกอบด้วยเฉพาะส่วนประกอบความถี่ลบเท่านั้น และด้วยเหตุนี้จึงคืนค่าส่วนประกอบความถี่บวกที่ถูกกดทับไว้ อีกมุมมองหนึ่งคือ ส่วนประกอบจินตภาพในทั้งสองกรณีเป็นพจน์ที่ลบส่วนประกอบความถี่ออกจากตัวดำเนินการจะลบการลบออก ทำให้ดูเหมือนว่ามีการเพิ่มส่วนประกอบใหม่เข้าไป ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$${\displaystyle s(t).}$${\displaystyle \operatorname {Re} }$

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$   ที่ไหน  ${\displaystyle \omega >0.}$

แล้ว:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}}$

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายคือสูตรของออยเลอร์ซึ่งมีบทสรุปคือโดยทั่วไป การแสดงผลเชิงวิเคราะห์ของคลื่นไซน์อย่างง่ายจะได้มาจากการแสดงในรูปของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน โดยตัด ส่วน ความถี่ลบ ออก และคูณส่วนความถี่บวกด้วยสองเท่า และการแสดงผลเชิงวิเคราะห์ของผลรวมของคลื่นไซน์คือผลรวมของการแสดงผลเชิงวิเคราะห์ของคลื่นไซน์แต่ละตัว ${\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$

ในที่นี้เราใช้สูตรของออยเลอร์เพื่อระบุและกำจัดความถี่ที่เป็นลบ

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}$

แล้ว:

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้วิธีการแปลงฮิลเบิร์ตเพื่อกำจัดส่วนประกอบความถี่ลบ ไม่มีอะไรขัดขวางเราจากการคำนวณสำหรับค่าเชิงซ้อนแต่การแสดงผลอาจไม่สามารถย้อนกลับได้ เนื่องจากสเปกตรัมดั้งเดิมโดยทั่วไปไม่สมมาตร ดังนั้น ยกเว้นตัวอย่างนี้ การอภิปรายทั่วไปจึงถือว่าค่าเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$, ที่ไหน.${\displaystyle \omega >0}$

แล้ว:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}$

สัญญาณเชิงวิเคราะห์สามารถแสดงในพิกัดเชิงขั้ว ได้เช่นกัน :

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

โดยมีการนำปริมาณที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาต่อไปนี้มาใช้:

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}$เรียกว่าแอมพลิจูดทันทีหรือซองสัญญาณ ;
• ${\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$เรียกว่าเฟสทันทีหรือมุมเฟส

ในแผนภาพประกอบ เส้นโค้งสีน้ำเงินแสดงถึงและเส้นโค้งสีแดงแสดงถึง ที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$

อนุพันธ์เทียบกับเวลาของ เฟสทันที ที่คลายแล้วจะมีหน่วยเป็นเรเดียน/วินาทีและเรียกว่าความถี่เชิงมุมทันที :

${\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

ดังนั้น ความถี่ขณะนั้น (ในหน่วยเฮิรตซ์ ) คือ:

${\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$  ^{[ 3 ]}

ในบางแอปพลิเคชัน แอมพลิจูดทันที เฟสทันที และความถี่ทันที จะถูกนำมาใช้ในการวัดและตรวจจับคุณลักษณะเฉพาะที่ของสัญญาณ อีกหนึ่งแอปพลิเคชันของการแสดงสัญญาณในรูปแบบเชิงวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการถอดรหัสสัญญาณที่ถูกมอดูเลต พิกัดเชิงขั้วช่วยแยกผลกระทบของการมอดูเลตแอมพลิจูดและการมอดูเลตเฟส (หรือความถี่) ได้อย่างสะดวก และสามารถถอดรหัสสัญญาณบางประเภทได้อย่างมีประสิทธิภาพ

สัญญาณวิเคราะห์มักจะถูกเลื่อนความถี่ (แปลงลง) ไปทาง 0 Hz ซึ่งอาจทำให้เกิดส่วนประกอบความถี่ลบ [ไม่สมมาตร] โดยที่เป็นความถี่เชิงมุมอ้างอิงที่กำหนด^{[ 2 ]}$${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$$${\displaystyle \omega _{0}}$

ฟังก์ชันนี้มีชื่อเรียกหลายอย่าง เช่นcomplex envelopeและcomplex baseband complex envelope ไม่ได้มีเพียงค่าเดียว แต่ถูกกำหนดโดยการเลือกค่าแนวคิดนี้มักใช้เมื่อจัดการกับสัญญาณ passbandถ้าเป็นสัญญาณที่ถูกมอดูเลต ค่าอาจเทียบเท่ากับความถี่พาหะ ของ มัน ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle \omega _{0}}$

ในบางกรณี ความถี่จะถูกเลือกให้อยู่ตรงกลางของย่านความถี่ที่ต้องการ จากนั้นตัวกรองความถี่ต่ำ แบบง่าย ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงสามารถตัดส่วนที่สนใจออกไปได้ อีกเหตุผลหนึ่งคือการลดความถี่สูงสุด ซึ่งจะลดอัตราขั้นต่ำสำหรับการสุ่มตัวอย่างแบบปราศจากเอเลียส การเลื่อนความถี่ไม่ได้บั่นทอนความสามารถในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของการแสดงสัญญาณเชิงซ้อน ดังนั้นในแง่นั้น สัญญาณที่แปลงความถี่ลงยังคงเป็นเชิงวิเคราะห์อย่างไรก็ตาม การกู้คืนการแสดงค่าจริงนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป เพียงแค่ดึงส่วนประกอบที่เป็นจำนวนจริงออกมา อาจจำเป็นต้องมีการแปลงความถี่ขึ้น และหากสัญญาณได้รับการสุ่มตัวอย่าง (เวลาไม่ต่อเนื่อง) อาจจำเป็นต้องมี การแทรกสอด ( การเพิ่มความถี่ ) เพื่อหลีกเลี่ยงเอเลียส ${\displaystyle \omega _{0}}$

ถ้าเลือกค่าที่มากกว่าความถี่สูงสุดของค่าดังกล่าว จะไม่มีความถี่บวก ในกรณีนั้น การแยกส่วนประกอบจริงจะทำให้ความถี่เหล่านั้นกลับคืนมา แต่ในลำดับย้อนกลับ ส่วนประกอบความถี่ต่ำจะกลายเป็นความถี่สูง และในทางกลับกัน วิธีนี้สามารถใช้เพื่อถอดรหัส สัญญาณ แบบ แถบข้างเดียวชนิดหนึ่ง ที่เรียกว่า แถบข้างล่างหรือแถบข้างกลับด้านได้ ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}$${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}$

บางครั้งอาจมีการพิจารณาความถี่อ้างอิงทางเลือกอื่นๆ:

• บางครั้งถูกเลือกเพื่อลดให้น้อยที่สุด${\displaystyle \omega _{0}}$$${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$$
• อีกทางเลือกหนึ่ง^{[ 4 ]} สามารถเลือกเพื่อลดข้อผิดพลาดกำลังสองเฉลี่ยในการประมาณเฟสทันทีที่คลายออก เชิงเส้น :${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \phi (t)}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$$
• หรือทางเลือกอื่น (เพื่อผลลัพธ์ที่ดีที่สุด):${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$$

ในสาขาการประมวลผลสัญญาณเวลา-ความถี่ พบว่าจำเป็นต้องใช้สัญญาณวิเคราะห์ในการกำหนดการกระจาย Wigner–Villeเพื่อให้วิธีการนี้มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์ที่จำเป็นสำหรับการใช้งานจริง^{[ 5 ]}

บางครั้งวลี "ซองสัญญาณเชิงซ้อน" จะถูกตีความในความหมายที่ง่ายกว่าคือแอมพลิจูดเชิงซ้อนของเฟเซอร์ (ความถี่คงที่) ^{[ a ] [ b ]} ในบางครั้งซองสัญญาณเชิงซ้อนตามที่กำหนดไว้ข้างต้นจะถูกตีความว่าเป็นการขยายแอมพลิจูดเชิงซ้อนแบบขึ้นอยู่กับเวลา^{[ c ]}ความสัมพันธ์ของทั้งสองไม่ต่างจากกรณีค่าจริง: ซองสัญญาณ ที่เปลี่ยนแปลง เป็นการขยายแอมพลิจู ดคง ที่ ${\displaystyle s_{m}(t)}$

แนวคิดของสัญญาณเชิงวิเคราะห์นั้นมีความชัดเจนสำหรับสัญญาณที่มีตัวแปรเดียว ซึ่งโดยทั่วไปคือเวลา สำหรับสัญญาณที่มีตัวแปรสองตัวขึ้นไป สัญญาณเชิงวิเคราะห์สามารถกำหนดได้หลายวิธี และสองแนวทางจะนำเสนอไว้ด้านล่าง

การสรุปสัญญาณเชิงวิเคราะห์แบบตรงไปตรงมาสำหรับสัญญาณหลายมิติสามารถทำได้เมื่อกำหนดความหมายของความถี่ลบในกรณีนี้แล้ว สามารถทำได้โดยการแนะนำเวกเตอร์หน่วย ในโดเมนฟูริเยร์ และกำหนดให้เวกเตอร์ความถี่ใดๆเป็นลบหากสัญญาณเชิงวิเคราะห์จะถูกสร้างขึ้นโดยการลบความถี่ลบทั้งหมดออกและคูณผลลัพธ์ด้วย 2 ตามขั้นตอนที่อธิบายไว้สำหรับกรณีของสัญญาณตัวแปรเดียว อย่างไรก็ตาม ไม่มีทิศทางเฉพาะเจาะจงสำหรับที่ต้องเลือกเว้นแต่จะมีข้อจำกัดเพิ่มเติม ดังนั้น การเลือก จึงขึ้นอยู่กับสถานการณ์หรือเฉพาะการใช้งาน ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$

ส่วนจริงและส่วนจินตนาการของสัญญาณวิเคราะห์สอดคล้องกับองค์ประกอบทั้งสองของสัญญาณโมโนจีนิก แบบเวกเตอร์ ตามที่กำหนดไว้สำหรับสัญญาณตัวแปรเดียว อย่างไรก็ตาม สัญญาณโมโนจีนิกสามารถขยายไปยังจำนวนตัวแปรใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ทำให้เกิดฟังก์ชันเวกเตอร์แบบมิติ( n + 1)สำหรับกรณีของสัญญาณ n ตัวแปร

• ข้อควรพิจารณาเชิงปฏิบัติสำหรับการคำนวณการแปลงฮิลเบิร์ต
• ข้อมูล I/Q
• ความถี่เชิงลบ

• การมอดูเลชั่นแบบแถบข้างเดียว
• ตัวกรองควอดราเจอร์
• ตัวกรองเชิงสาเหตุ

• Leon Cohen, การวิเคราะห์เวลา-ความถี่ , Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
• Frederick W. King, Hilbert Transforms , เล่ม 2, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์, 2009.
• B. Boashash, การวิเคราะห์และประมวลผลสัญญาณเวลา-ความถี่: เอกสารอ้างอิงฉบับสมบูรณ์ , Elsevier Science, อ็อกซ์ฟอร์ด, 2003

• สัญญาณวิเคราะห์และตัวกรองการแปลงฮิลเบิร์ต