ความยาวคลื่นคอมป์ตันถูกกำหนดให้เป็นความยาวคลื่นของโฟตอนที่มีพลังงานเท่ากับพลังงานนิ่งของอนุภาคนั้น^{[ 1 ] : 237} ความยาวคลื่นกำหนดพื้นที่ขั้นต่ำที่จำเป็นสำหรับอนุภาคสัมพัทธภาพอิสระ^{[ 2 ]}และใช้เป็นเส้นแบ่งระหว่างการรวมกันของมวลและขนาดที่ต้องใช้กลศาสตร์ควอนตัมและที่สามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีคลาสสิก^{[ 3 ]}

ทฤษฎีนี้ได้รับการนำเสนอโดยอาร์เธอร์ คอมป์ตันในปี พ.ศ. 2466 ในคำอธิบายเกี่ยวกับการกระเจิงของโฟตอนโดยอิเล็กตรอน (กระบวนการที่เรียกว่าการกระเจิงของคอมป์ตัน ) ความยาวคลื่นของโฟตอนที่ออกมาจะเปลี่ยนไปจากความยาวคลื่นของโฟตอนที่ตกกระทบเป็นปริมาณที่กำหนดโดย โดย ที่ โดยที่hคือ ค่าคงที่ ของพลังค์และcคือความเร็วแสง^{[ 1 ]}${\displaystyle \lambda '}$${\displaystyle \lambda _{0}}$$${\displaystyle \lambda '-\lambda _{0}=\lambda _{c}(1-\cos \theta )}$$${\displaystyle \lambda _{c}={h}/{mc}}$

ความยาวคลื่นคอมป์ตันที่ลดลงƛ ( แลมบ์ดาแบบมีขีด ) ของอนุภาคถูกกำหนดให้เป็นความยาวคลื่นคอมป์ตันหารด้วย2πโดยที่ ħ คือค่าคงที่พลังค์ที่ลดลงความยาวคลื่นคอมป์ตันที่ลดลงเป็นการแสดงมวลตามธรรมชาติในระดับควอนตัมและใช้ในสมการที่เกี่ยวข้องกับมวลเฉื่อย เช่น สมการไคลน์-กอร์ดอนและสมการชโรดิงเกอร์^{[ 4 ]}$${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},}$$

สมการที่เกี่ยวข้องกับความยาวคลื่นของโฟตอนที่ปฏิสัมพันธ์กับมวลจะใช้ความยาวคลื่นคอมป์ตันแบบไม่ลดทอน อนุภาคที่มีมวล^mมีพลังงานนิ่งE = mc²ความยาวคลื่นคอมป์ตันสำหรับอนุภาคนี้คือความยาวคลื่นของโฟตอนที่มีพลังงานเท่ากัน สำหรับโฟตอนที่มีความถี่fพลังงานจะกำหนดโดย ซึ่งจะได้สูตรความยาวคลื่นคอมป์ตันหากแก้หาค่า λ$${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$

ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดรูปผกผันเป็นตัวแทนตามธรรมชาติของมวลในระดับควอนตัม และด้วยเหตุนี้จึงปรากฏในสมการพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัม ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดรูปปรากฏในสมการไคลน์-กอร์ดอนเชิงสัมพัทธภาพสำหรับอนุภาคอิสระ : $${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

สม การนี้ปรากฏอยู่ในสมการของ Dirac (ต่อไปนี้เป็น รูปแบบ โคแวเรียนต์ โดยชัดแจ้ง โดยใช้หลักการรวมผลของ Einstein ): $${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

ความยาวคลื่นคอมป์ตันที่ลดลงนั้นปรากฏอยู่ในสมการชโรดิงเกอร์สำหรับอิเล็กตรอนในอะตอมที่คล้ายไฮโดรเจนด้วยเช่นกัน แม้ว่าจะไม่ปรากฏชัดเจนในรูปแบบการแสดงสมการแบบดั้งเดิมก็ตาม ต่อไปนี้คือการแสดงสมการชโรดิงเกอร์แบบดั้งเดิม: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

เมื่อหารด้วยħcและเขียนใหม่ในรูปของค่าคงที่โครงสร้างละเอียดจะได้ว่า: $${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

ความยาวอะตอมทั่วไป เลขคลื่น และพื้นที่ในฟิสิกส์สามารถเชื่อมโยงกับความยาวคลื่นคอมป์ตันที่ลดลงสำหรับอิเล็กตรอน ( ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \lambda \!\!\!{\bar {}__{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq \mathrm {386~fm} }$ ) และค่าคงที่โครงสร้างละเอียด ทางแม่เหล็กไฟฟ้า ( ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$ )

รัศมีอิเล็กตรอนแบบคลาสสิกมีขนาดใหญ่กว่ารัศมีโปรตอน ประมาณ 3 เท่า และเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

รัศมี ของโบร์มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันดังนี้: $${\displaystyle a_{0}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

เลขคลื่นเชิงมุมของโฟตอนที่มีพลังงาน 1 ฮาร์ทรี ( หน่วยพลังงานอะตอม⁠ ⁠${\displaystyle E_{\text{h}}=4\pi \hbar cR_{\infty }}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle R_{\infty }}$คือค่าคงที่ของริดเบิร์ก ) มีค่า (โดยประมาณ) เป็นพลังงานศักย์ลบของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจน และเป็นสองเท่าของพลังงานที่จำเป็นในการแตกตัวเป็นไอออน คือ: $${\displaystyle {\frac {\hbar c}{E_{\text{h}}}}={\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 7.25~{\textrm {nm}}}$$

ซึ่งจะได้ลำดับดังนี้: $${\displaystyle \alpha ^{-1}r_{\text{e}}=\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}=\alpha a_{0}=\alpha ^{2}{\hbar c/E_{\text{h}}}.}$$

สำหรับเฟอร์มิออนรัศมีแบบคลาสสิก (แม่เหล็กไฟฟ้า) จะกำหนดพื้นที่หน้าตัดของการปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าของอนุภาค ตัวอย่างเช่น พื้นที่หน้าตัดสำหรับการกระเจิงแบบ ทอมสัน ของโฟตอนจากอิเล็กตรอนมีค่าเท่ากับ ซึ่งโดยประมาณแล้วเท่ากับพื้นที่หน้าตัดของนิวเคลียสเหล็ก-56 $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {e} }={\frac {8\pi }{3}}r_{\text{e}}{}^{2}\simeq \mathrm {66.5~fm^{2}} ,}$$

ได้มีการสาธิตต้นกำเนิดทางเรขาคณิตของความยาวคลื่นคอมป์ตันโดยใช้สมการกึ่งคลาสสิกที่อธิบายการเคลื่อนที่ของกลุ่มคลื่น^{[ 11 ]}ในกรณีนี้ ความยาวคลื่นคอมป์ตันจะเท่ากับรากที่สองของเมตริกควอนตัม ซึ่งเป็นเมตริกที่อธิบายพื้นที่ควอนตัม: ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$ .

• ความยาวคลื่นเดอ บรอยล์
• ความสัมพันธ์ของแพลงค์

• มาตราส่วนความยาวในฟิสิกส์: ความยาวคลื่นคอมป์ตัน