ตรรกศาสตร์เงื่อนไข (หรือ: ตรรกศาสตร์ของเงื่อนไข ) หมายถึงตระกูลของระบบที่เป็นทางการสำหรับการให้เหตุผลด้วยข้อความในรูปแบบ "ถ้าAแล้วB " ตรรกศาสตร์เงื่อนไขมีจุดมุ่งหมายเพื่อจับความหมายและรูปแบบของการอนุมานที่เกี่ยวข้องกับเงื่อนไขในภาษาธรรมชาติได้อย่างแม่นยำกว่าเงื่อนไขเชิงวัตถุแบบ คลาสสิก ซึ่งก่อให้เกิดความขัดแย้งที่รู้จักกันดี^{[ 1 ] [ 2 ]}ตรรกศาสตร์เงื่อนไขถูกใช้ในตรรกศาสตร์เชิงปรัชญาความหมายเชิงรูปธรรมของภาษาธรรมชาติปัญญาประดิษฐ์และจิตวิทยาของการให้เหตุผลพวกมันถูกใช้เพื่อจำลองการให้เหตุผลในชีวิตประจำวันและทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับสถานการณ์สมมติ เหตุและผล รูปแบบ และสถานการณ์สมมติที่ไม่เป็นจริง^{[ 3 ] [ 4 ]}

เงื่อนไขเชิงวัตถุเป็นฟังก์ชันความจริง ซึ่งจะเป็นจริงเสมอ ยกเว้นเมื่อเงื่อนไขก่อนหน้าเป็นจริงและเงื่อนไขที่ตามมาเป็นเท็จ ตรรกะเงื่อนไขส่วนใหญ่จะแนะนำตัวเชื่อมเงื่อนไขเพิ่มเติม (มักเขียนเป็นหรือ ในบริบทของประโยคสมมติ ) ซึ่งความจริงหรือการยอมรับอาจขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกันระหว่างโลกที่เป็นไปได้ บริบทและข้อมูลพื้นหลัง หรือการสนับสนุนเชิงความน่าจะเป็น แทนที่จะขึ้นอยู่กับตารางความจริงแบบสองค่าอย่างง่าย^{[ 5 ] [ 6 ]}ระบบเหล่านี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของหลักการพื้นฐาน เช่นmodus ponensในขณะที่จำกัดหรือทำให้แบบแผนคลาสสิก เช่น การเสริมความแข็งแกร่งของเงื่อนไขก่อนหน้า การถ่ายทอด และการผกผัน ซึ่งไม่ถูกต้องเสมอไปสำหรับประโยค "ถ้า ... แล้ว ..." ทั่วไป เป็นโมฆะ^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นเรื่องปกติที่จะแยกแยะระหว่าง เงื่อนไขบ่งชี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้ที่เปิดกว้างเมื่อเทียบกับสิ่งที่ทราบในปัจจุบัน และเงื่อนไขสมมติซึ่งอธิบายวิธีที่สิ่งต่างๆ จะเป็นหรืออาจตรงกันข้ามกับความเป็นจริง อย่างไรก็ตาม ตรรกะเงื่อนไขจำนวนมากถือว่าทั้งสองอย่างนี้เป็นรูปแบบที่แตกต่างกันของกรอบงานพื้นฐานทั่วไป^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle \mathbin {>} }$${\displaystyle \square \to }$

แนวทางความหมายที่หลากหลายได้รับการพัฒนาสำหรับตรรกะดังกล่าว รวมถึงระบบสามค่าและระบบหลายค่าอื่นๆ ที่ถือว่าเงื่อนไขที่มีเงื่อนไขเท็จเป็นโมฆะโลกที่เป็นไปได้และแบบจำลองฟังก์ชันการเลือกในแบบฉบับของ Stalnaker และ Lewis ความหมายแหล่งที่มาของข้อสันนิษฐานหรือลำดับ บัญชีความน่าจะเป็นและสมมติฐานที่เชื่อมโยงการยอมรับกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข และกรอบการแก้ไขความเชื่อตาม การ ทดสอบRamsey ^{[ 2 ] [ 4 ]}ระบบทฤษฎีการพิสูจน์ที่สอดคล้องกันมีตั้งแต่ตรรกะพื้นฐานCkและCK ของ Chellas ไปจนถึงระบบที่แข็งแกร่งกว่า เช่นB ของ Burgess และ V , VWและVCของ Lewis หรือC2 ของ Stalnaker ซึ่งตรวจสอบหลักการโครงสร้างที่แตกต่างกันสำหรับตัวเชื่อมเงื่อนไข และมักเกี่ยวข้องกับกรอบความหมายพื้นฐานโดยทฤษฎีบทความถูกต้องและความสมบูรณ์^{[ 2 ] [ 7 ] [ 6 ]}ตรรกะเงื่อนไขยังเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับความสัมพันธ์ของผลลัพธ์ที่ไม่เป็นไปตามลำดับและระบบการให้เหตุผลเริ่มต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบสะสมและระบบลำดับความสำคัญCและPของ Kraus, Lehmann และ Magidor ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายใน AI เพื่อกำหนดกฎเกณฑ์อย่างเป็นทางการที่มีข้อยกเว้น^{[ 8 ]}

ในเชิงประวัติศาสตร์ ตรรกศาสตร์แบบมีเงื่อนไขพัฒนามาจากการพยายามปรับปรุงแนวคิดก่อนหน้านี้ เช่นการบ่งชี้อย่างเข้มงวด ของ CI Lewis และสาขาในปัจจุบันมักจะสืบย้อนไปถึงทฤษฎีโลกที่เป็นไปได้ของเงื่อนไขของ Robert Stalnaker ในปี 1968 และการพัฒนาตรรกศาสตร์ที่เข้มงวดแบบแปรผันสำหรับข้อเท็จจริงที่ตรงกันข้ามของ David Lewis ในเวลาต่อมา^{[ 5 ] [ 6 ]}งานในภายหลังโดย Nute, Burgess, Kratzer, Gärdenfors และคนอื่นๆ อีกมากมายได้ขยายขอบเขต ทำให้เกิดกลุ่มของกรอบการทำงานที่เกี่ยวโยงกันมากกว่าระบบมาตรฐานเดียว และเชื่อมโยงตรรกศาสตร์ของ "ถ้า ... แล้ว ..." กับหัวข้อต่างๆ เช่นตรรกศาสตร์ที่ไม่เป็นไปตามแบบแผนการแก้ไขความเชื่อ ความ น่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและวัจนปฏิบัติศาสตร์ของการยืนยัน การตั้งคำถาม และการตัดสินใจ^{[ 2 ] [ 9 ]}

ตรรกศาสตร์เงื่อนไขเป็นกลุ่มของระบบที่เป็นทางการสำหรับการให้เหตุผลด้วยประโยคในรูปแบบ "ถ้าAแล้วB " จุดประสงค์คือเพื่ออธิบายว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นที่ยอมรับได้เมื่อใด มีปฏิสัมพันธ์กับตัวดำเนินการทางตรรกะอื่นๆ อย่างไร และข้อโต้แย้งใดที่เกี่ยวข้องกับเงื่อนไขเหล่านั้นควรนับว่าถูกต้องหรือสมเหตุสมผล ตรงกันข้ามกับเงื่อนไขเชิงวัตถุแบบคลาสสิก ตรรกศาสตร์เงื่อนไขส่วนใหญ่จะสร้างแนวคิดของการพึ่งพากันระหว่างเหตุการณ์ก่อนหน้าและเหตุการณ์ที่ตามมาในความหมาย และอนุญาตให้ความถูกต้องของการอนุมานด้วยเงื่อนไขมีความไวต่อบริบท ข้อมูลพื้นหลัง หรือสมมติฐานปกติ^{[ 2 ] [ 1 ]}${\displaystyle A\supset B}$

แทนที่จะใช้แคลคูลัสมาตรฐานเดียว ปัจจุบัน ตรรกะแบบมีเงื่อนไขถูกใช้เป็นคำรวมสำหรับระบบที่เกี่ยวข้องกันหลายตระกูล ประเพณีที่โดดเด่น ได้แก่ ตรรกะสามค่าและตรรกะหลายค่าอื่นๆ ที่ถือว่าเงื่อนไขที่มีเงื่อนไขเท็จเป็นโมฆะ โลกที่เป็นไปได้และตรรกะฟังก์ชันการเลือกที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก Stalnaker และ Lewis ความหมายแหล่งที่มาของข้อสันนิษฐานหรือลำดับที่ทำงานกับชุดของสมมติฐานพื้นหลัง บัญชีความน่าจะเป็นและสมมติฐานที่เชื่อมโยงการยอมรับกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข และการแก้ไขความเชื่อและแนวทางที่ไม่เป็นไปตามลำดับซึ่งมีพื้นฐานมาจากการทดสอบ Ramsey [ ^{2 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 4 ] [ 9 ]}สโลแกนทั่วไปคือการประเมิน "ถ้าAแล้วB " ควรเพิ่มAสมมติฐานลงในสถานะข้อมูลของตนเองและถามว่าBจะได้รับการยอมรับ ^{หรือ ไม่}

ผู้เขียนส่วนใหญ่แยกแยะระหว่างเงื่อนไขบ่งชี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้ที่เปิดกว้างเมื่อเทียบกับสถานะของข้อมูล และเงื่อนไขสมมติซึ่งอธิบายวิธีที่สิ่งต่างๆจะเป็นหรืออาจขัดแย้งกับความเป็นจริง (ตัวอย่างเช่น "ถ้าไม้ขีดไฟถูกจุด มันก็จะติดไฟ") อย่างไรก็ตาม กรอบการทำงานที่เป็นทางการหลายกรอบถือว่าสิ่งเหล่านี้เป็นรูปแบบต่างๆ ของแกนความหมายทั่วไป โดยมีพารามิเตอร์ตามประเภทของรูปแบบหรือข้อสมมติพื้นฐานที่เกี่ยวข้อง^{[ 1 ] [ 3 ] [ 2 ]}บทความนี้ปฏิบัติตามแนวทางปฏิบัตินั้นและสำรวจระบบต่างๆ ที่ได้รับการเสนอสำหรับทั้งการอ่านแบบบ่งชี้และแบบสมมติ

เงื่อนไขที่ศึกษาโดยตรรกะเงื่อนไขที่กำหนดไว้ในที่นี้จะถูกแสดงด้วยเช่น แทน"ถ้า A แล้ว B" เงื่อนไข "มุม" นี้ ซึ่งไม่ควรสับสนกับเครื่องหมายมากกว่าที่ เขียนเหมือนกัน เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในบทความของRobert Stalnakerซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของสาขานี้ (ดู§ ประวัติด้านล่าง) ^{[ 5 ]}และได้รับการนำไปใช้ในเอกสารอ้างอิงอื่นๆ อีกหลายฉบับ^{[ 10 ] [ 2 ]}ตรรกะเงื่อนไขบางอย่างได้รับการศึกษาในบริบทเฉพาะของเงื่อนไขเชิงสมมติและในบริบทนั้น สัญลักษณ์ ของDavid Lewisสำหรับเงื่อนไขเชิงสมมติ (อ่านว่า "ถ้า A เป็นจริง B ก็จะเป็นจริง") ก็เป็นที่นิยมเช่นกัน^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbin {>} }$${\displaystyle A\mathbin {>} B}$${\displaystyle A\;\square \to B}$

ในหลายภาษาประโยคเงื่อนไขจะโต้ตอบอย่างใกล้ชิดกับการแสดงออกเชิงกริยาช่วยแบบเปิดเผยหรือแบบซ่อนเร้น เช่นmust , mightหรือwouldตามมุมมอง "ตัวจำกัด" ที่มีอิทธิพล ประโยคเงื่อนไขไม่ได้นำเสนอตัวเชื่อมแบบไบนารีด้วยตัวเอง แต่จำกัดขอบเขตของตัวดำเนินการเชิงกริยาช่วยหรือเชิงปริมาณที่ตามมา ซึ่งช่วยอธิบายการสลับกันที่เห็นได้ชัดของเงื่อนไขและกริยาช่วยในประโยคเช่น "ถ้าAจะต้องเป็นB " และ "จะต้องเป็นว่าถ้าAแล้วB " ^{[ 11 ]}

แนวคิดแบบไดนามิกและแบบแสดงออกสร้างขึ้นจากแนวคิดนี้โดยถือว่าเงื่อนไขบ่งชี้หรือเงื่อนไขสมมติเป็นการอัปเดตสถานะข้อมูลหรือกระดานคะแนนการสนทนา ในมุมมองดังกล่าว ความไม่เข้ากันระหว่าง "ถ้าA , B " และ "ถ้าA , อาจจะไม่B " เกิดขึ้นเนื่องจากการอัปเดตทั้งสองวางข้อจำกัดที่ขัดแย้งกันบนชุดข้อมูลที่ใช้ร่วมกันเดียวกัน กลไกเดียวกันนี้ขยายไปสู่คำถามแบบมีเงื่อนไข ( ถ้า A, B จะเกิดขึ้นหรือไม่? ) และคำสั่งแบบมีเงื่อนไข ( ถ้า A, ทำ B ) ซึ่งจำลองเป็นการเปลี่ยนแปลงสถานะการสอบถามหรือปัญหาการตัดสินใจมากกว่าการประเมินความจริงอย่างง่าย^{[ 12 ] [ 3 ]}

ด้วยวิธีนี้ ตรรกะเงื่อนไขจึงถูกนำมาใช้ไม่เพียงแต่เพื่อจำลองเงื่อนไขความจริงของ ประโยค ifเท่านั้น แต่ยังเพื่อบันทึกบทบาทของประโยคเหล่านี้ในการสนทนา การวางแผน และการตัดสินใจ และเพื่อเชื่อมโยงความหมายของเงื่อนไขกับการใช้งานจริงของการยืนยัน การตั้งคำถาม และการสั่งการ^{[ 2 ]}

การอนุมานเชิงวัสดุแบบคลาสสิกยืนยันหลักการหลายประการที่ดูเหมือนจะสมเหตุสมผลในตอนแรก แต่ดูเหมือนจะมีปัญหาสำหรับ ประโยค if ทั่วไป งานในช่วงแรกของ Adams, Stalnaker และ Lewis เน้นย้ำถึงตัวอย่างค้านต่อการเสริมความแข็งแกร่งของส่วนนำหน้า (จาก "ถ้าAแล้วC " อนุมานว่า "ถ้าAและBแล้วC ") ต่อการถ่ายทอด (การเชื่อมโยงเงื่อนไข) และต่อการผกผัน (จาก "ถ้าAแล้วB " อนุมานว่า "ถ้าไม่ใช่Bแล้วไม่ใช่A ") ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 1 ] [ 3 ]}

ตรรกะแบบมีเงื่อนไขสมัยใหม่มักจะทำให้หลักการเหล่านี้อย่างน้อยบางส่วนเป็นโมฆะ นอกจากนี้ยังมีความแตกต่างกันในแง่ของรูปแบบเฉพาะเจาะจงมากขึ้น เช่น:

• หรือเปลี่ยนเป็น ถ้า (จากอนุมาน);${\displaystyle A\lor B}$${\displaystyle \neg A\mathbin {>} B}$
• การนำเข้า-ส่งออก ( เทียบเท่ากับ);${\displaystyle A\mathbin {>} (B\mathbin {>} C)}$${\displaystyle (A\land B)\mathbin {>} C}$
• การลดรูปประโยคเงื่อนไขแบบแยกส่วน (จากinfer both and )${\displaystyle (A\lor B)\mathbin {>} C}$${\displaystyle A\mathbin {>} C}$${\displaystyle B\mathbin {>} C}$

สถานะของสคีมาเหล่านี้เชื่อมโยงกับประเด็นปลีกย่อยเกี่ยวกับวิธีการจัดลำดับความคล้ายคลึงหรือฟังก์ชันการเลือก วิธีการอัปเดตบริบท และวิธีการที่เงื่อนไขโต้ตอบกับสมมติฐานพื้นหลัง ตัวอย่างเช่น ความหมายที่เข้มงวดแปรผันที่ประเมินเงื่อนไขในโลกของสิ่งนำหน้า "ที่ใกล้ที่สุด" มักจะไม่เป็นแบบโมโนโทนิกทางด้านซ้าย: การเพิ่มเงื่อนไขพิเศษให้กับสิ่งนำหน้าสามารถเปลี่ยนความสนใจไปยังโลกที่ห่างไกลออกไปและทำให้การอนุมานล้มเหลวได้^{[ 2 ] [ 3 ]}คำถามเกี่ยวกับสคีมาที่จะนำมาใช้เป็นหัวใจสำคัญของการจำแนกตรรกะแบบมีเงื่อนไข และช่วยกระตุ้นระบบต่างๆ ( CK , B , V , VC , C2และอื่นๆ) ที่กล่าวถึงในส่วนต่อๆ ไป^{[ 2 ] [ 13 ]}

ตรรกะเงื่อนไขมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับตรรกะที่ไม่ใช่แบบโมโนโทนิกและรูปแบบ AI สำหรับการให้เหตุผลแบบค่าเริ่มต้นและแบบหักล้างได้ แบบจำลองลำดับความสำคัญและแบบจัดอันดับสำหรับความสัมพันธ์ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่แบบโมโนโทนิก ซึ่งแนะนำโดย Kraus, Lehmann และ Magidor สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการสรุปจากตัวเชื่อมเงื่อนไขที่ชัดเจนและทำงานโดยตรงกับความสัมพันธ์ผลลัพธ์ที่เข้ารหัสค่าเริ่มต้นในรูปแบบ "โดยปกติ ถ้าAแล้วB " ระบบPของการอนุมานลำดับความสำคัญ และระบบเหตุผลที่แข็งแกร่งกว่าRสอดคล้องกับส่วนย่อย "แบนราบ" ของตรรกะเงื่อนไขที่เข้มงวดแปรผันได้หลายแบบ รวมถึงระบบB ของ Burgess และระบบของ Lewis สำหรับข้อเท็จจริงเชิงสมมติ^{[ 8 ] [ 2 ]}${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$

จากมุมมองของปัญญาประดิษฐ์ ตรรกะเหล่านี้สนับสนุนการแสดงและการให้เหตุผลอัตโนมัติด้วยกฎที่มีข้อยกเว้น เช่น นกบินได้ตามปกติ หรือส่วนประกอบทำงานได้ตามปกติ เว้นแต่จะทราบว่ามีข้อบกพร่อง ความสอดคล้องกันระหว่างตรรกะแบบมีเงื่อนไขและความสัมพันธ์ของผลลัพธ์ที่ไม่เป็นไปตามลำดับได้ถูกนำมาใช้เพื่อถ่ายโอนผลลัพธ์และเทคนิคระหว่างสองด้าน เพื่อออกแบบตัวพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับตรรกะแบบมีเงื่อนไข และนำไปใช้ในการวินิจฉัย การวางแผน และการแสดงความรู้^{[ 8 ] [ 14 ] [ 15 ]}

ตรรกศาสตร์สมัยใหม่ตอนต้นระบุว่า "ถ้าAแล้วB " เป็นการบ่งชี้เชิงวัตถุที่เป็นจริงในทุกกรณี ยกเว้นเมื่อAเป็นจริงและBเป็นเท็จ แม้ว่าจะน่าสนใจสำหรับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่สิ่งนี้นำไปสู่ความขัดแย้งของการบ่งชี้เชิงวัตถุ ( B เป็นจริง หรือA เป็นเท็จใดๆ ก็ ทำให้A ⊃ Bเป็นจริง) และพฤติกรรมที่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณของการปฏิเสธและการไม่ยอมรับ การวิเคราะห์แบบคลาสสิกยังตรวจสอบความถูกต้องของข้อความสมมติโดยปริยายด้วยเงื่อนไขที่เป็นเท็จ^{[ 16 ] [ 17 ]}ปัญหาเหล่านี้กระตุ้นให้เกิดการอธิบายที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โดยแยกแยะเงื่อนไขบ่ง ชี้ออก จากเงื่อนไขสมมติและจำลองความสัมพันธ์ระหว่างเงื่อนไขและผลลัพธ์

แม้ว่าระบบการให้เหตุผลด้วยเงื่อนไขจะย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงการบ่งชี้ที่เข้มงวดของCI Lewis และตรรกะโมดอลที่เกี่ยวข้อง แต่สาขา ตรรกะเงื่อนไข ร่วมสมัย มักจะสืบย้อนไปถึง บทความ A Theory of ConditionalsของRobert Stalnaker ในปี 1968 ^{[ 5 ]}โดยอาศัยแนวคิดของRamsey ในการเพิ่มเงื่อนไขสมมติฐานลงในสถานะความเชื่อ ( การทดสอบ Ramsey ) Stalnaker ได้เสนอความหมายของโลกที่เป็นไปได้ซึ่งเงื่อนไขบ่งชี้หรือเงื่อนไขสมมติจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อผลลัพธ์ของมันเป็นจริงในโลกเงื่อนไขที่ "ใกล้ที่สุด" สิ่งนี้ให้คำอธิบายที่เป็นเอกภาพของเงื่อนไขธรรมดาและเงื่อนไขสมมติ อธิบายความล้มเหลวของหลักการต่างๆ เช่น การถ่ายทอดและการเสริมความแข็งแกร่งของเงื่อนไข และแนะนำตรรกะโมดอลที่สอดคล้องกันของตัวเชื่อมเงื่อนไขที่ไม่ใช่วัตถุ

กรอบงานของ Stalnaker ได้รับการขยายความและทำให้เป็นระบบมากขึ้นในไม่ช้า ในบทความร่วมกัน Stalnaker และRichmond Thomasonได้ให้ความหมายและสัจพจน์ที่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์สำหรับตรรกะเงื่อนไขในแง่ของฟังก์ชันการเลือกที่เลือกชุดของโลกเงื่อนไขที่ใกล้เคียงที่สุดสำหรับแต่ละโลกและข้อเสนอเบื้องต้น ซึ่งทำให้ข้อเสนอที่ไม่เป็นทางการของ Stalnaker กลายเป็นตระกูลของระบบที่เป็นทางการที่มีพฤติกรรมที่ดี^{[ 7 ]}ในเวลาเดียวกัน David Lewis ได้พัฒนาบัญชี "เข้มงวดแปรผัน" ทางเลือกแต่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดโดยใช้ลำดับความคล้ายคลึงเชิงเปรียบเทียบเหนือโลกที่เป็นไปได้ ซึ่งจบลงด้วยงานเขียนของเขาเรื่องCounterfactualsและลำดับชั้นของระบบ (V, VW, VC) สำหรับเงื่อนไขเชิงสมมติ^{[ 6 ]}งานเหล่านี้ได้สร้างภาพมาตรฐานของเงื่อนไขที่ประเมินโดยสัมพันธ์กับความคล้ายคลึงหรือการเลือกในหมู่โลกที่เป็นไปได้ และพวกเขากำหนดกรอบคำถามสำคัญหลายข้อเกี่ยวกับหลักการเชิงโครงสร้างที่ตรรกะดังกล่าวควรตรวจสอบ

ในช่วงกลางทศวรรษ 1970 และต้นทศวรรษ 1980 นักวิจัยที่ทำงานในแนวทางของ Stalnaker–Lewis ได้พัฒนาชุดเครื่องมือเชิงสัจพจน์และเชิงความหมายร่วมกัน Brian Chellas ได้แนะนำระบบCK (และรูปแบบไฮเปอร์อินเทนชันแนล Ck ) ในฐานะ "ตรรกะเงื่อนไขพื้นฐาน" ซึ่งสอดคล้องกับความหมายของฟังก์ชันการเลือกหลักและทำหน้าที่เป็นอนาล็อกของตรรกะโมดอลปกติ K สำหรับเงื่อนไข^{[ 13 ]}ต่อมา John Burgess ได้จัดเตรียมการพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบง่ายสำหรับตรรกะเงื่อนไขหลายประเภทและแนะนำระบบBซึ่งเชื่อมโยงกับความหมายของการเรียงลำดับ^{[ 18 ]} เอกสาร ทางวิชาการของ Donald Nute เรื่อง Topics in Conditional Logic (1980) ได้สังเคราะห์พัฒนาการเหล่านี้ โดยจัดระบบฟังก์ชันการเลือก การเรียงลำดับ และกรอบงานโมดอลเชิงสัมพัทธ์ และกำหนดขอบเขตของตรรกะเงื่อนไขปกติที่ขยาย CK ในรูปแบบต่างๆ^{[ 19 ]}

ในช่วงปลายทศวรรษ 1980 และ 1990 ตรรกะแบบมีเงื่อนไขได้เชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นกับงานเกี่ยวกับการให้เหตุผลแบบไม่เป็นไปตามลำดับและเงื่อนไขเชิงความน่าจะเป็น Ernest W. Adams ได้เสนอความสัมพันธ์ของผลลัพธ์ที่มีความน่าจะเป็นสูงสำหรับเงื่อนไขแบบบ่งชี้อย่างง่าย โดยอาศัยการระบุการยอมรับของ "ถ้าAแล้วB " ด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสูงP(B|A) [ ^{4 ] โดย}อาศัยทั้งความหมายเชิงความหมายของ Stalnaker–Lewisและแนวคิดของ Adams Kraus, Lehmann และ Magidor ได้นำเสนอแบบจำลองความชอบและการสะสมสำหรับเงื่อนไขที่สามารถหักล้างได้ และกำหนดระบบผลลัพธ์แบบไม่เป็นไปตามลำดับP ซึ่งสามารถมองได้ว่าสอดคล้องกับส่วนย่อย "แบน" (ไม่ซ้อนกัน) ของตรรกะแบบมีเงื่อนไขที่เข้มงวดแปรผันได้หลายแบบและระบบ BของBurgess ^{[ 20 ]}งานนี้ยืนยันบทบาทของตรรกะเงื่อนไขในฐานะตัวเชื่อมระหว่างการวิเคราะห์เชิงปรัชญาของ "ถ้า ... แล้ว..." และรูปแบบ AI สำหรับการอนุมานแบบค่าเริ่มต้นและแบบหักล้างได้

ในขณะเดียวกัน แนวทางโลกที่เป็นไปได้ได้ก่อให้เกิดมุมมองทางเลือกแต่เทียบเท่ากัน ความหมายเชิงสมมติฐานและ "แหล่งที่มาของการเรียงลำดับ" ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจาก Frank Veltman และได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดย Lewis และ Angelika Kratzer ได้ตีความเงื่อนไขใหม่ในแง่ของชุดของสมมติฐานพื้นหลังหรือแหล่งที่มาของการเรียงลำดับที่ได้รับการปรับปรุงหรือจำกัดโดยเงื่อนไขก่อนหน้า แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองตามความคล้ายคลึงกันสามารถถูกปรับเปลี่ยนใหม่ในแง่ของความรู้และพลวัตที่ชัดเจนยิ่งขึ้น^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}ในขณะเดียวกัน นักทฤษฎีการแก้ไขความเชื่อเช่นPeter Gärdenforsได้ตรวจสอบเงื่อนไขผ่านการแก้ไข AGMและการทดสอบ Ramseyในขณะที่นักทฤษฎีการพิสูจน์ได้พัฒนาแคลคูลัสลำดับและตารางสำหรับระบบตรรกะเงื่อนไขหลักหลายระบบ^{[ 9 ] [ 15 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ บทความสำรวจและคู่มือต่างๆ ได้เน้นย้ำว่าตรรกะเงื่อนไขไม่ใช่ระบบเดียว แต่เป็นกลุ่มของกรอบการทำงานที่เกี่ยวข้องกัน ได้แก่ ตรรกะแบบไตรภาค ตรรกะแบบโลกที่เป็นไปได้ ตรรกะแบบอิงตามสมมติฐาน ตรรกะแบบความน่าจะเป็น และตรรกะแบบอิงตามการแก้ไขความเชื่อ ซึ่งมักจะสามารถแปลความหมายระหว่างกันได้ หรือแสดงให้เห็นว่ามีส่วนประกอบ "แบนราบ" ร่วมกัน ตัวอย่างเช่น บทความในสารานุกรม ปรัชญาของสแตนฟอร์ดเกี่ยวกับตรรกะเงื่อนไข ได้วางตำแหน่งข้อเสนอของ Stalnaker ในปี 1968 ไว้เป็นบรรพบุรุษหลักของตรรกะเงื่อนไขสมัยใหม่ และเน้นให้เห็นว่างานในภายหลังโดย Lewis, Nute, Burgess, Kratzer, Kraus–Lehmann–Magidor และคนอื่นๆ ได้ทำให้สาขานี้มีความหลากหลายและละเอียดขึ้นในช่วงครึ่งศตวรรษที่ผ่านมา^{[ 2 ]}

ตรรกะแบบมีเงื่อนไขมักถูกจัดกลุ่มตามกรอบความหมายของมัน

บางระบบยังคงเป็นฟังก์ชันความจริง แต่ใช้ค่าความจริงมากกว่าสองค่า Łukasiewicz ได้นำเสนอตรรกะสามค่า ต่อมา de Finetti ได้โต้แย้งว่า "ถ้าAแล้วB " ควรเป็นโมฆะเมื่อAเป็นเท็จ (การเดิมพันถูกยกเลิก) ระบบไตรค่าสมัยใหม่ (เช่น ตรรกะของ Cooper/Cantwell และตรรกะที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก de Finetti) โดยทั่วไปจะตรวจสอบความ ถูกต้อง ของ modus ponensแต่ทำให้modus tollensและcontraposition เป็น โมฆะ พวกมันมุ่งเป้าไปที่การปิดกั้นความขัดแย้งของการบ่งชี้เชิงวัตถุและเชื่อมโยงกับสัญชาตญาณเชิงสมมติฐาน/ความน่าจะเป็น^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

แนวคิดเชิงความหมายที่โดดเด่นถือว่าประโยคเงื่อนไขเป็นการวัดปริมาณของโลกที่เข้าถึงได้หรือคล้ายคลึงกัน

• เงื่อนไขที่เข้มงวด (CI Lewis): . ทรงพลัง แต่แข็งแกร่งเกินไปสำหรับภาษาธรรมชาติ (ตรวจสอบการเสริมความแข็งแกร่ง การถ่ายทอด และการผกผัน) ^{[ 27 ]}${\displaystyle A\mathbin {>} B\;\equiv \;\Box (A\supset B)}$
• เข้มงวดแปรผันได้ (Stalnaker–Lewis): ความจริงขึ้นอยู่กับ โลก A ที่ใกล้ที่สุด (โดยพิจารณาจากความคล้ายคลึงหรือฟังก์ชันการเลือกที่ให้มาตามบริบท) สิ่งเหล่านี้ทำให้การเสริมความแข็งแกร่ง การถ่ายทอด และการผกผันเป็นโมฆะ ซึ่งเหมาะสมกับข้อมูลทางภาษาศาสตร์มากกว่า^{[ 5 ] [ 6 ]}

ภายในตระกูลนี้ ระบบสัจพจน์มีตั้งแต่ตรรกะปกติพื้นฐาน ( CK ) ไปจนถึง Bของ Burgess , V/VW/VC ของ Lewis และC2 ของ Stalnaker หลายระบบยังคงกฎเช่น Right Weakening และ Conditional K แต่ปฏิเสธแบบแผนคลาสสิกเช่น Strengthening the Antecedent, Transitivity และ Contraposition ^{[ 13 ] [ 28 ] [ 19 ]}

ใน AI นั้น "ถ้าAแล้วโดยปกติB " จะถูกจำลองโดยการจัดลำดับความชอบเหนือสถานะต่างๆ ระบบC/P/R ของ Kraus, Lehmann และ Magidor มีลักษณะเฉพาะของผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลและสามารถหักล้างได้ ส่วนย่อยแบบแบน (ไม่ซ้อนกัน) ของตรรกะเงื่อนไขหลายๆ ตัวจะสอดคล้องกับระบบP ของพวกเขา ^{[ 20 ] [ 29 ]}

ความหมายของสมมติฐาน (หรือแหล่งที่มาของการเรียงลำดับ) ประเมิน "ถ้าAแล้วC " โดยการรักษาสับเซตสูงสุดของสมมติฐานพื้นหลังให้สอดคล้องกับAและตรวจสอบว่าCตามมาหรือไม่ โดยจะจับความไวต่อบริบทและเทียบเท่า (ผ่านทฤษฎีบท) กับความหมายของการเรียงลำดับตามความคล้ายคลึงกัน^{[ 21 ] [ 23 ] [ 30 ]}

อดัมส์เสนอว่าสำหรับตัวบ่งชี้แบบง่าย (ไม่ซ้อนกัน) ความน่าจะเป็นของ "ถ้าAแล้วB " เท่ากับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขความสัมพันธ์ของผลลัพธ์ของเขา (ที่รักษาความน่าจะเป็นสูง) ตรวจสอบความถูกต้องของระบบ KLM Pและปฏิเสธการเสริมความแข็งแกร่ง การถ่ายทอด และการผกผัน^{[ 4 ]}ผลลัพธ์ความไม่สำคัญของลูอิสแสดงให้เห็นว่าการระบุ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ทั้งหมดด้วยความน่าจะเป็นของเงื่อนไข (ที่อาจซ้อนกัน) จะยุบตัวลงเป็นข้อจำกัดที่ไม่สำคัญ ภายใต้ความหมายของ Stalnaker ความน่าจะเป็นของเงื่อนไขจะตรงกับการสร้างภาพบนส่วนนำหน้า ไม่ใช่เงื่อนไขแบบเบย์เซียน^{[ 31 ]}งานต่อมาสำรวจแบบจำลองพื้นที่ผลิตภัณฑ์และการคาดการณ์ตามความสอดคล้องสำหรับสารประกอบของเงื่อนไข^{[ 32 ] [ 33 ]}${\displaystyle P(B\mid A)}$

ใน แบบจำลองการแก้ไขความเชื่อของ AGMนั้น "ถ้าAแล้วB " จะได้รับการยอมรับก็ต่อเมื่อหลังจากแก้ไขชุดความเชื่อโดย A เพียงเล็กน้อยแล้วB จะถูกเชื่อ ซึ่งสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเวอร์ชันที่เป็นทางการของการทดสอบ Ramseyเมื่อรวมกับสมมติฐาน AGM มาตรฐานแล้ว จะได้ทฤษฎีบทความไม่สำคัญอันเนื่องมาจาก Gärdenfors ซึ่งกระตุ้นให้เกิดข้อเสนอในการลดสมมติฐาน จำกัดสารประกอบ หรือแทนที่การแก้ไขด้วยการอัปเดต/การสร้างภาพ^{[ 9 ]}

นอกเหนือจากความเกี่ยวข้องของหัวข้อในตรรกะความเกี่ยวข้องแล้วนักทฤษฎีหลายคนยังต้องการให้Aสร้างความแตกต่าง (เชิงความน่าจะเป็นหรือเชิงความเชื่อ) ให้กับBเพื่อให้เงื่อนไขสามารถยืนยันได้หรือถูกต้อง สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดคะแนนการยืนยัน (เช่นP(B|A) > P(B) ) และ หลักการ ตรรกะแบบเชื่อมโยงซึ่งมักจะต้องแลกมาด้วยกฎต่างๆ เช่น การลดทอนทางขวา^{[ 34 ] [ 35 ]}

ตรรกะเงื่อนไขจำนวนมากได้รับจากแคลคูลัสแบบฮิลเบิร์ตที่ขยายตรรกะประพจน์แบบคลาสสิกด้วยตัวเชื่อมเงื่อนไขที่โดดเด่นระบบทั่วไปประกอบด้วยสัจนิรันดร์ประพจน์ทั้งหมดในภาษาที่มีปิดภายใต้ modus ponens และยังปิดภายใต้การรวมกันของกฎโครงสร้างและหลักการแบบแผนสำหรับ[ ^{2 ] ส่วน}นี้สรุประบบสำคัญทางประวัติศาสตร์บางระบบและสัจพจน์ของระบบเหล่านั้น ${\displaystyle \mathbin {>} }$${\displaystyle \mathbin {>} }$${\displaystyle \mathbin {>} }$

ระบบปกติส่วนใหญ่จะถูกกำหนดโดยใช้กฎต่อไปนี้ โดยที่คือผลลัพธ์แบบคลาสสิก และคือสูตร: ${\displaystyle \mathbin {>} }$${\displaystyle \vDash }$${\displaystyle A,B,C,D}$

• ( MP) Modus ponens : จากและอนุมาน${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$
• (LLE) ความสมมูลเชิงตรรกะด้านซ้าย : จาก, อนุมาน.${\displaystyle \vDash A\equiv B}$${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C)}$
• ( RW) การลดทอนทางขวา : จากอนุมาน${\displaystyle \vDash C\to D}$${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\to (A\mathbin {>} D)}$
• (RCK) เงื่อนไข K : จาก, อนุมาน, สำหรับใดๆ.${\displaystyle (C_{1}\land \cdots \land C_{n})\to D}$${\displaystyle [(A\mathbin {>} C_{1})\land \cdots \land (A\mathbin {>} C_{n})]\to (A\mathbin {>} D)}$${\displaystyle n\geq 0}$

ตรรกะเงื่อนไขมักเรียกว่าปกติเมื่อมีสัจพจน์ประพจน์ทั้งหมดและปิดภายใต้ (MP), (LLE) และ (RCK) (RCK) จะนำไปสู่หลักการเพิ่มเติมอีกหลายประการ เช่น ความจริงเชิงตรรกะ การลดทอนทางขวา และด้านล่าง^{[ 2 ] [ 19 ]}

ระบบหลายระบบสามารถอธิบายได้อย่างสะดวกที่สุดโดยพิจารณาจากหลักการแผนผังต่อไปนี้ที่ระบบเหล่านั้นตรวจสอบ (แผนผังทั้งหมดเป็นแผนผังในรูปแบบ "สำหรับสูตรทั้งหมด...") ^{[ 2 ]}${\displaystyle A,B,C}$

LT (ความจริงเชิงตรรกะ)

${\displaystyle A\mathbin {>} \top }$

รหัสประจำตัว (Identity)

${\displaystyle A\mathbin {>} A}$

และ

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} (B\land C))}$

หรือ

${\displaystyle ((A\mathbin {>} C)\land (B\mathbin {>} C))\to ((A\lor B)\mathbin {>} C)}$

CCut (การถ่ายทอดอย่างระมัดระวัง)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land ((A\land B)\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} C)}$

CMon (ความสม่ำเสมออย่างระมัดระวัง)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to ((A\land B)\mathbin {>} C)}$

เรค (การแลกเปลี่ยน)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (B\mathbin {>} A))\to ((A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C))}$

RMon (ความเป็นเอกรูปเชิงเหตุผล)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land \neg (A\mathbin {>} \neg C))\to ((A\land C)\mathbin {>} B)}$

SM (แข็งแกร่งกว่าวัสดุ)

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\to (A\to B)}$

CS (ความเพียงพอของการเชื่อมคำ)

${\displaystyle (A\land B)\to (A\mathbin {>} B)}$

CEM (Conditional excluded middle)

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\lor (A\mathbin {>} \neg B)}$

หลักการเหล่านี้ได้รับแรงจูงใจจากการเลือกฟังก์ชันและความหมายของการเรียงลำดับสำหรับเงื่อนไข และหลายหลักการสามารถอนุมานได้ในระบบที่แข็งแกร่งกว่าแทนที่จะถือเป็นสัจพจน์พื้นฐาน^{[ 2 ] [ 13 ]}

จุดเริ่มต้นที่สะดวกคือตรรกะเงื่อนไขพื้นฐานของ Chellas CkและCKซึ่งสอดคล้องกับความหมายของฟังก์ชันการเลือกหลักสำหรับเงื่อนไข^{[ 13 ] [ 2 ]}

• Ckคือระบบขั้นต่ำสุดที่ประกอบด้วยสัจนิรันดร์เชิงประพจน์ทั้งหมดและปิดภายใต้ (MP) และ (RCK) อาจมองได้ว่าเป็นระบบฐาน "ไฮเปอร์อินเทนชันแนล": มันตรวจสอบความถูกต้องของ (RCK) แต่ไม่ตรวจสอบความถูกต้องของ (LLE)
• CKเพิ่ม (LLE) ให้กับ Ck เทียบเท่ากับ CK เป็นตรรกะที่เล็กที่สุดที่มีสัจนิรันดร์เชิงประพจน์ทั้งหมดและปิดภายใต้ (MP), (LLE) และ (RCK) ใน CK หลักการ (LT), (RW) และ (AND) เป็นทฤษฎีบท ในขณะที่หลักการที่แข็งแกร่งกว่า เช่น (ID), (OR), (CMon), (Rec), (RMon), (SM), (CS) และ (CEM) โดยทั่วไปจะไม่ได้รับการตรวจสอบ^{[ 2 ]}

CK มักถูกมองว่าเป็นอนาล็อกแบบมีเงื่อนไขของตรรกะโมดอลปกติ K: มันกำหนดสัจพจน์ของความหมายที่เข้มงวดแปรผันพื้นฐานด้วยฟังก์ชันการเลือกตามอำเภอใจหรือลำดับความคล้ายคลึงกันโดยไม่มีเงื่อนไขเฟรมเพิ่มเติม^{[ 2 ]}

การสร้าง CK จะทำให้ได้ตรรกะที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้นโดยการเพิ่มแผนผังเพิ่มเติม Égré และ Rott เน้นระบบ "เด่น" เก้าระบบ ได้แก่ Ck, CK, B, SS, NP, V, VW, VC และ C2 ซึ่งทั้งหมดเป็นปกติในความหมายข้างต้น^{[ 2 ] [ 18 ]}

บี

ระบบ Bของ Burgess เป็นส่วนขยายที่เล็กที่สุดของ CK ซึ่ง (ID), (OR) และ (CMon) เป็นจริง; ด้วย (RCK) และ (LLE) สิ่งเหล่านี้ยังให้ผลลัพธ์เป็น (AND), (CCut) และ (Rec) ด้วย ในความหมายของการเรียงลำดับ B สอดคล้องกับแบบจำลองที่แต่ละโลกมีลำดับความคล้ายคลึงแบบสะท้อนและแบบถ่ายทอด^{[ 18 ] [ 2 ]}

วี

ตรรกะ Vของ Lewis เพิ่มหลักการ (RMon) ให้กับ B ในเชิงความหมาย ซึ่งสอดคล้องกับการเสริมความแข็งแกร่งของการเรียงลำดับความคล้ายคลึงให้เป็นลำดับที่อ่อนแอ (โมดูลาร์ คล้ายกับลำดับก่อนทั้งหมด) ในแต่ละโลกการประเมิน^{[ 6 ] [ 2 ]}

วีวี

ระบบVWขยาย V เพิ่มเติมโดยการตรวจสอบความถูกต้อง (SM) เพื่อให้เงื่อนไขทุกเงื่อนไขบ่งชี้เงื่อนไขวัสดุที่สอดคล้องกัน ซึ่งทำให้ VW เหมาะสมที่จะใช้เป็นตรรกะ "สมมติ" ที่อ่อนกว่าซึ่งยังคงรักษา modus ponens ไว้ตามปกติ^{[ 2 ]}

วีซี

ตรรกะเชิงสมมติ "อย่างเป็นทางการ" ของ Lewis VCเพิ่ม (CS) ให้กับ VW ดังนั้น VC จึงเป็นตรรกะปกติที่เล็กที่สุดที่ขยาย V ซึ่งตรวจสอบความถูกต้องทั้ง (SM) และ (CS) ในความหมายเชิงทรงกลมของ Lewis สิ่งนี้สอดคล้องกับลำดับก่อนหน้าทั้งหมดที่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมเพื่อให้แน่ใจว่าเมื่อใดก็ตามที่ทั้งและเป็นไปได้ โลก – จะอยู่ในกลุ่ม โลก – ที่ใกล้ที่สุด^{[ 6 ] [ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A\land B}$${\displaystyle A\land B}$${\displaystyle A}$

ซี2

ตรรกะC2 ของ Stalnaker สามารถได้รับจาก VC โดยการแทนที่ (CS) ด้วย (CEM) ที่แข็งแกร่งกว่า ดังนั้น C2 จึงเป็น VC + (CEM) และเป็นลักษณะเฉพาะของแบบจำลอง Stalnaker ที่เรียบง่ายซึ่งแต่ละเงื่อนไขจะเลือกโลกเงื่อนไขที่ใกล้ที่สุดที่ไม่ซ้ำกันในทุกจุดการประเมิน^{[ 5 ] [ 7 ] [ 2 ]}

เอสเอส

ระบบ SSของ Pollock ได้มาจากการเพิ่ม (SM) และ (CS) เข้ากับ B โดยตรง (แทนที่จะผ่าน V) ระบบนี้ตรวจสอบความถูกต้องของกฎเดียวกันกับ VC หลายข้อ แต่ขึ้นอยู่กับลำดับความคล้ายคลึงบางส่วน แทนที่จะเป็นลำดับความคล้ายคลึงทั้งหมด^{[ 36 ] [ 2 ]}

NP

ระบบ NPของ Delgrande เป็นส่วนขยายอีกอย่างหนึ่งของ CK: เช่นเดียวกับ B มันตรวจสอบความถูกต้องของ (ID), (AND), (OR) และ (CCut) แต่แทนที่จะเป็น (CMon) มันตรวจสอบความถูกต้องของ (RMon) สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ารูปแบบความสม่ำเสมอที่ระมัดระวังและมีเหตุผลเป็นอิสระจาก CK ^{[ 37 ] [ 2 ]}

ระบบเหล่านี้ทั้งหมดตรวจสอบความถูกต้องของ (LT) และ (AND) แตกต่างกันในสถานะของ (ID), (OR), (CCut), (CMon), (Rec), (RMon), (SM), (CS) และ (CEM) และไม่มีระบบใดตรวจสอบความถูกต้องของ Monotonicity, Transitivity หรือ Contraposition อย่างสมบูรณ์สำหรับ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbin {>} }$

การนำเสนอทางเลือกแต่เทียบเท่าของระบบข้างต้นจำนวนมากถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในประเพณีของ Lewis–Nute และสะดวกเมื่อเชื่อมโยงตรรกะเงื่อนไขโดยตรงกับความหมายของฟังก์ชันการเลือก^{[ 19 ] [ 38 ]} ในการกำหนดสัจพจน์ประเภทนี้ ถือว่าเป็นสิ่งพื้นฐาน:

• สัจนิรันดร์เชิงประพจน์ทั้งหมดในภาษาที่มี;${\displaystyle \mathbin {>} }$
• กฎ (ส.ส.);
• กฎ "การทดแทน" ข้อใดข้อหนึ่งหรือทั้งสองข้อ

(RCEC)จากอนุมาน;${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$${\displaystyle (\chi \mathbin {>} \varphi )\leftrightarrow (\chi \mathbin {>} \psi )}$

(RCEA)จากนั้นอนุมาน;${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi )}$

• และกฎ

(RCK)ตามที่กล่าวมาข้างต้น

ในบริบทนี้ ระบบ Lewis V, VW, VC และ Stalnaker's C2 สามารถอธิบายได้ว่าเป็นตรรกะเงื่อนไขที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยสัจนิรันดร์ทั้งหมด ปิดภายใต้ (MP), (RCEC) และ (RCK) และประกอบด้วยอินสแตนซ์การแทนที่ทั้งหมดของชุดแบบแผนที่เหมาะสม เช่น:

รหัสประจำตัว ;${\displaystyle \varphi \mathbin {>} \varphi }$

MP/SM ;${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\to (\varphi \to \psi )}$

ม็อด ;${\displaystyle (\neg \varphi \mathbin {>} \varphi )\to (\psi \mathbin {>} \varphi )}$

องค์กรภาคประชาสังคม (CSO ) ;${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land (\psi \mathbin {>} \varphi ))\to ((\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi ))}$

ประวัติย่อ ;${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land \neg (\varphi \mathbin {>} \neg \chi ))\to ((\varphi \land \chi )\mathbin {>} \psi )}$

ซีเอส ;${\displaystyle (\varphi \land \psi )\to (\varphi \mathbin {>} \psi )}$

ซีเอ็ ม${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\lor (\varphi \mathbin {>} \neg \psi )}$

ตัวอย่างเช่น การนำเสนอมาตรฐานหนึ่งรายการใช้: ^{[ 19 ] [ 2 ]}

• Vเป็นตรรกะที่เล็กที่สุดที่มี (RCEC), (RCK) และแผนผัง ID, MOD, CSO, CV;
• VWเป็น V + (SM);
• VCเป็น VW + (CS);
• C2เป็น VC โดยที่ (CS) ถูกแทนที่ด้วย (CEM)

การกำหนดสัจพจน์เหล่านี้เทียบเท่ากับที่อธิบายไว้ในแผนผังตารางที่ 6 ข้างต้น และมักใช้ในทฤษฎีการพิสูจน์และการให้เหตุผลอัตโนมัติสำหรับตรรกะแบบมีเงื่อนไข^{[ 15 ]}

ในปัญญาประดิษฐ์และการให้เหตุผลแบบไม่เป็นไปตามลำดับขั้น เป็นเรื่องปกติที่จะทำงานโดยไม่ใช้ตัวเชื่อมโดยตรงแต่ใช้ความสัมพันธ์ผลลัพธ์ที่สามารถหักล้างได้ ซึ่งมี จุดประสงค์เพื่อจับภาพค่าเริ่มต้นในรูปแบบ "ปกติ ถ้าแล้ว" Kraus, Lehmann และ Magidor ได้กำหนดสัจพจน์ของระบบหลักสามระบบดังกล่าว ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ C, P และ R ^{[ 8 ] [ 2 ]}${\displaystyle \mathbin {>} }$${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ระบบเหล่านี้กำหนดโดยกฎเกณฑ์ต่างๆ เช่น: ${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$

• (รหัส_~ )ข้อมูลประจำตัว: .${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }A}$
• (LLE _~ ) ความ สมมูลเชิงตรรกะด้านซ้าย: ถ้าและแล้ว${\displaystyle \vDash A\equiv B}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$
• (RW _~ ) การ ลดทอนทางขวา: ถ้าและแล้ว${\displaystyle \vDash C\to D}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }D}$
• ( CCut _~ )การตัดอย่างระมัดระวัง: จากและอนุมาน${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$
• ( CMon _~ )ความสม่ำเสมออย่างระมัดระวัง: จากและอนุมาน${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$
• (และ_~ )และ: จากและอนุมานได้${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }(B\land C)}$
• (หรือ_~ )หรือ: จากและอนุมาน${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle A\lor B\vdash _{\!\sim }C}$
• ( RMon _~ )ความสอดคล้องเชิงตรรกะ: จากและไม่ใช่อนุมาน${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }\neg B}$${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$

บนพื้นฐานนี้จึงกำหนดได้ดังนี้:

• ระบบC (สะสม): ความสัมพันธ์ที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกับ (ID _~ ), (LLE _~ ), (RW _~ ), (CCut _~ ) และ (CMon _~ ) (และด้วยเหตุนี้ (AND _~ ))
• ระบบP (ลำดับความสำคัญ): C บวก (OR _~ ); เป็นระบบที่สมบูรณ์และถูกต้องสำหรับแบบจำลองลำดับความสำคัญ และสอดคล้องกับส่วนย่อย "แบน" ( ) ของตรรกะเงื่อนไขหลายแบบ เช่น B และ VC ^{[ 8 ] [ 2 ]}${\displaystyle L_{1}}$
• ระบบR (เชิงเหตุผล): P บวก (RMon _~ ); เป็นระบบที่สมบูรณ์สำหรับแบบจำลองความชอบที่จัดอันดับ (เรียงลำดับอย่างสมบูรณ์)

ผ่านการแปลรูปแบบ " ยอมรับก็ต่อเมื่อ" ระบบที่ไม่เป็นไปตามลำดับเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นการจัดเตรียมชิ้นส่วนแบนราบของตรรกะเงื่อนไขการเลือกฟังก์ชันจำนวนมากที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยเชื่อมโยงตรรกะเงื่อนไขกับการแก้ไขความเชื่อ AGM และการให้เหตุผลเริ่มต้น^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle A\mathbin {>} B}$${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$

• เงื่อนไขบ่งชี้
• เงื่อนไขสมมติ
• เงื่อนไขของวัสดุ
• โลกที่เป็นไปได้
• ตรรกศาสตร์ไม่เชิงโมโนโทนิก
• การแก้ไขความเชื่อ
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
• ตรรกะเชิงเชื่อมโยง
• ตรรกะความเกี่ยวข้อง
• ความหมายเชิงพลวัต
• การทดสอบแรมซีย์

• อดัมส์, เออร์เนสต์ ดับเบิลยู. (1975). ตรรกศาสตร์ของประโยคเงื่อนไข . ไรเดล.
• เบนเน็ตต์, โจนาธาน (2003). คู่มือเชิงปรัชญาเกี่ยวกับประโยคเงื่อนไข . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.
• Chellas, Brian F. (1975). "ตรรกศาสตร์เงื่อนไขพื้นฐาน". วารสารตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา . 4 (2): 133– 153. doi : 10.1007/BF00693270 .
• เอ็ดจิงตัน, โดโรธี (1995). "ว่าด้วยเงื่อนไข". Mind . 414 : 235–329 .
• เอดจิงตัน, โดโรธี (2020). "ประโยคเงื่อนไขบ่งชี้" . สารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด .
• Gabbay, Dov; Schlechta, Karl, บรรณาธิการ (2011). เงื่อนไขและความเป็นโมดูลในตรรกศาสตร์ทั่วไป . Springer-Verlag.
• ลูอิส, เดวิด (1973). ข้อสมมติเชิงโต้แย้ง . แบล็กเวลล์.
• นูท, โดนัลด์ (1980). หัวข้อในตรรกศาสตร์เงื่อนไข . ไรเดล.
• แซนฟอร์ด, เดวิด (2003). ถ้า P แล้ว Q (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2). รูทเลดจ์.
• สตาร์, วิลเลียม บี. (2019). "สมมติฐานเชิงโต้แย้ง" . สารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด .
• Harper, William L.; Stalnaker, Robert; Pearce, Glenn, บรรณาธิการ (1981). Ifs: Conditionals, Belief, Decision, Chance, and Time . Dordrecht, Holland; Boston, USA; London, England: D. Reidel Publishing Company.