ตรรกศาสตร์เชิงความเกี่ยวข้อง (Relevance logic ) หรือเรียกอีกอย่างว่าตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง (Relevant logic ) เป็น ตรรกศาสตร์ชนิดหนึ่ง ที่ไม่ใช่ตรรกศาสตร์คลาสสิก ซึ่งกำหนดให้ส่วนนำและส่วนตามของการบ่งชี้ต้องมีความสัมพันธ์กันในเชิงความเกี่ยวข้อง อาจมองได้ว่าเป็นกลุ่มของ ตรรกศาสตร์ เชิงโครงสร้างย่อยหรือ ตรรกศาสตร์ เชิงรูปแบบ โดยทั่วไป (แต่ไม่เสมอไป) นักตรรกศาสตร์ชาวอังกฤษและโดยเฉพาะอย่างยิ่งชาวออสเตรเลียเรียกว่าตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง (Relevant logic ) และนักตรรกศาสตร์ชาวอเมริกัน เรียกว่า ตรรกศาสตร์แห่งความเกี่ยวข้อง (Relevance logic )

ในแง่ของข้อจำกัดทางไวยากรณ์สำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์จำเป็น แต่ไม่เพียงพอ ที่ข้อตั้งต้นและข้อสรุปจะมีสูตรอะตอมิก (สูตรที่ไม่มีตัวเชื่อมทางตรรกะ ใดๆ ) ร่วมกัน ในแคลคูลัสเชิงภาคแสดง ความเกี่ยวข้องต้องอาศัยการใช้ตัวแปรและค่าคงที่ร่วมกันระหว่างข้อตั้งต้นและข้อสรุป ซึ่งสามารถรับประกันได้ (พร้อมกับเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่า) โดยการวางข้อจำกัดบางอย่างไว้ในกฎของระบบการอนุมานแบบธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การอนุมานแบบธรรมชาติ สไตล์ Fitch สามารถปรับให้เข้ากับความเกี่ยวข้องได้โดยการเพิ่มแท็กที่ท้ายแต่ละบรรทัดของการประยุกต์ใช้การอนุมานเพื่อระบุข้อตั้งต้นที่เกี่ยวข้องกับข้อสรุปของการอนุมาน แคลคูลัสเชิงลำดับสไตล์Gentzenสามารถแก้ไขได้โดยการลบกฎที่อ่อนลงซึ่งอนุญาตให้มีการนำสูตรใดๆ มาใช้ทางด้านขวาหรือด้านซ้ายของ ลำดับ

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของตรรกศาสตร์เชิงความสัมพันธ์คือ เป็นตรรกศาสตร์แบบพาราคอนซิสเตนท์กล่าวคือ การมีอยู่ของความขัดแย้งไม่ได้ทำให้เกิด " การระเบิด " เสมอไป นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ประโยคเงื่อนไขที่มีภาคแสดงที่ขัดแย้งกันและไม่มีตัวอักษรเชิงประพจน์หรือภาคแสดงใด ๆ ร่วมกับภาคแสดงนั้น ย่อมไม่สามารถเป็นจริง (หรือสามารถอนุมานได้)

แนวคิดคลาสสิกเกี่ยวกับการบ่งชี้ยืนยัน "ความขัดแย้ง" หลายประการ เช่น ความจริงใดๆ ก็ตามเป็นผลมาจากความขัดแย้ง หรือข้อความใดๆ ก็ตามบ่งชี้ถึงสัจนิรันดร์ เนื่องจากเงื่อนไขเชิงเนื้อหาและเงื่อนไขที่เข้มงวดไม่สนใจว่าส่วนนำและส่วนตามนั้นเกี่ยวกับหัวข้อเดียวกันหรือไม่^{[ 1 ] [ 2 ]} ตรรกะความเกี่ยวข้องแก้ไขปัญหานี้โดยการกำหนดให้มีการเชื่อมต่อที่เหมาะสมระหว่างข้อสมมติและข้อสรุป ตัวแทนทางไวยากรณ์ที่คุ้นเคยคือการแบ่งปันตัวแปร (หรือ "การแบ่งปันหัวข้อ"): ไม่มีการอนุมานที่ถูกต้อง (และไม่มีเงื่อนไขที่เป็นจริง) เว้นแต่ส่วนนำและส่วนตามจะแบ่งปันอะตอม ระบบการหักล้างตามธรรมชาติและระบบลำดับบังคับใช้สิ่งนี้โดยการติดตามการใช้ข้อสมมติจริงและโดยการจำกัดกฎโครงสร้าง เช่น การลดทอน^{[ 3 ] [ 2 ]}การแบ่งปันตัวแปรเป็นสิ่งจำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับความเกี่ยวข้อง ดังนั้นสูตรในปัจจุบันจึงรวมข้อจำกัดเชิงทฤษฎีการพิสูจน์เข้ากับเงื่อนไขเชิงทฤษฎีแบบจำลอง^{[ 1 ]}${\displaystyle A\to B}$

ผลที่ตามมาที่สำคัญคือพาราคอนซิสเตนซี : ความขัดแย้งไม่ก่อให้เกิดหลักการระเบิด ในตรรกะความเกี่ยวข้อง เงื่อนไขที่มีภาคแสดงที่ขัดแย้งกันซึ่งไม่ได้ใช้ตัวอักษรประพจน์ (หรือภาคแสดง) ร่วมกับภาคแสดงนั้นไม่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ ปิดกั้นความไร้สาระในขณะที่ยังคงรักษาการเชื่อมโยงเชิงอนุมานที่มีความหมาย^{[ 2 ] [ 1 ]}

เดวิด ลูอิสผู้ปกป้องตรรกะแบบคลาสสิกได้วิพากษ์วิจารณ์แนวคิดเรื่องความเกี่ยวข้องที่กระตุ้นให้เกิดตรรกะแบบเกี่ยวข้อง (อย่างน้อยก็สำหรับแอนเดอร์สันและเบลแนปซึ่งงานของพวกเขามีอิทธิพลมากที่สุดในเรื่องนี้) โดยการสร้างการวิเคราะห์อย่างเป็นทางการของ " ความเกี่ยวข้อง " ผ่านโครงสร้างอย่างเป็นทางการของ "เรื่อง" และแสดงให้เห็นว่า หากสมมติฐานรักษาความจริง แบบคลาสสิก ของข้อสรุปไว้ได้ สมมติฐานนั้นก็จะมีความเกี่ยวข้องกับข้อสรุปนั้นโดยอัตโนมัติ ดังนั้น ตามมุมมองของลูอิส จึงไม่มีข้อผิดพลาดที่รักษาความจริงแบบคลาสสิกของความเกี่ยวข้อง^{[ 4 ]}

ข้อร้องเรียนในช่วงแรกเกี่ยวกับตรรกะแบบคลาสสิกเกิดขึ้นก่อนตรรกะความเกี่ยวข้องฮิวจ์ แมคคอลตั้งคำถามเกี่ยวกับการระบุ "ถ้า" กับตรรกะเชิงฟังก์ชันความจริง^{[ 5 ]}ซี.ไอ. ลูอิสจึงคิดค้นตรรกะเชิงโมดอล และโดยเฉพาะอย่างยิ่งตรรกะแบบเข้มงวดโดยอ้างว่าตรรกะแบบคลาสสิกยอมรับความขัดแย้งของตรรกะเชิงวัตถุเช่น หลักการที่ว่าความเท็จย่อมหมายถึงข้อเสนอใดๆ [ ^{6 ] [ 7 ] (}ตัวอย่างเช่น "ถ้าบทความนี้เป็น บทความ จาก Uncyclopediaแล้วสองบวกสองเท่ากับห้า" เป็นจริงเมื่อแปลเป็นตรรกะเชิงวัตถุ เนื่องจากบทความนี้เป็นบทความจากWikipediaแต่ดูเหมือนจะเป็นเท็จโดยสัญชาตญาณ หากเราสมมติว่าตรรกะที่เป็นจริงจะต้องเชื่อมโยงส่วนนำและส่วนตามเข้าด้วยกันด้วยแนวคิดเรื่องความเกี่ยวข้อง และไม่ว่าบทความนี้จะมาจาก Uncyclopedia หรือไม่ ก็ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับว่าสองบวกสองเท่ากับห้าหรือไม่) อย่างไรก็ตาม ตรรกะแบบเข้มงวดของลูอิสยังคงอนุญาตให้มีการอนุมานที่ไม่เกี่ยวข้องบางอย่าง ซึ่งรู้จักกันในชื่อความขัดแย้งของตรรกะแบบเข้มงวด

ตรรกศาสตร์ความเกี่ยวข้องได้รับการเสนอในปี 1928 โดยนักปรัชญาชาวโซเวียตIvan E. Orlov (1886 – ประมาณปี 1936) ในบทความทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ของเขาเรื่อง "ตรรกศาสตร์แห่งความเข้ากันได้ของประพจน์" ซึ่งตีพิมพ์ใน^{Matematicheskii} Sbornik แนวคิดพื้นฐานของการบ่งชี้ที่เกี่ยวข้องปรากฏในตรรกศาสตร์ยุคกลาง และ ^มีงานบุกเบิกบางส่วนที่ทำโดยAckermann [ ^{8 ]} Moh [ ^{9 ]}และChurch ^{[ 10 ]}ในช่วงทศวรรษ 1950 โดยอาศัยพวกเขาNuel BelnapและAlan Ross Anderson (และคนอื่นๆ) ได้เขียนผลงานชิ้นเอกของเรื่องนี้Entailment: The Logic of Relevance and Necessityในช่วงทศวรรษ 1970 (เล่มที่สองได้รับการตีพิมพ์ในช่วงทศวรรษ 1990) พวกเขามุ่งเน้นไปที่ทั้งระบบการบ่งชี้และระบบความเกี่ยวข้อง โดยที่การบ่งชี้ของประเภทแรกนั้นถือว่ามีความเกี่ยวข้องและจำเป็น

ความก้าวหน้าในทฤษฎีแบบจำลองเกิดขึ้นในทศวรรษ 1970 ด้วย ความหมายเชิงสัมพันธ์แบบไตรภาคของ Routley–Meyerร่วมกับการจัดการการปฏิเสธของ Routley (ดาว) ซึ่งให้กรอบเสียง/สมบูรณ์สำหรับระบบความเกี่ยวข้องจำนวนมาก และอธิบายว่าความเกี่ยวข้องปิดกั้นความขัดแย้งแบบคลาสสิกได้อย่างไร^{[ 12 ] [ 1 ]} ในขณะเดียวกัน Alasdair Urquhart ได้พัฒนา แบบ จำลองเชิงปฏิบัติการ/เซมิแลตทิซสำหรับส่วนย่อยเชิงบวก^{[ 13 ]}และ Kit Fine ได้นำเสนอการสร้างแบบจำลองทางเลือกและมุมมองเชิงพีชคณิตที่ชี้แจงพื้นที่ของเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องให้ชัดเจนยิ่งขึ้น^{[ 14 ]}

ตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1970 เป็นต้นมา ระบบตระกูลหนึ่งได้ตกผลึก—ตั้งแต่ตรรกะที่อ่อนกว่า เช่นB (ซึ่งมักถือเป็นฐานความเกี่ยวข้องขั้นต่ำ) ไปจนถึงR , Eและส่วนขยายของพวกมัน—รวมถึงความหมายเชิงพีชคณิต (เช่น โมโนอิดของเดอ มอร์แกน) และระบบการพิสูจน์ (แคลคูลัสแสดงผล การหักล้างตามธรรมชาติ) ^{[ 15 ] [ 2 ]}งานต่อมาได้เชื่อมโยงตรรกะความเกี่ยวข้องกับพาราคอนซิสเตนซีและตรรกะโครงสร้างย่อยในวงกว้างขึ้น ปรับปรุงระบบที่ปราศจากการหดตัวเพื่อหลีกเลี่ยงความไร้สาระแบบเคอร์รี และสำรวจการประยุกต์ใช้ในบริบทเชิงจริยธรรม เชิงโมดอล และเชิงคำนวณ^{[ 1 ] [ 2 ]}

การพัฒนาในช่วงแรกของตรรกศาสตร์เชิงความสัมพันธ์มุ่งเน้นไปที่ระบบที่แข็งแกร่งกว่า การพัฒนาความหมายเชิงความหมายของ Routley–Meyer ทำให้เกิดตรรกศาสตร์ที่อ่อนแอกว่าหลายระบบ ตรรกศาสตร์ที่อ่อนแอที่สุดในบรรดาตรรกศาสตร์เหล่านี้คือตรรกศาสตร์เชิงความสัมพันธ์ B ซึ่งมีสัจพจน์และกฎดังต่อไปนี้

1. ${\displaystyle A\to A}$
2. ${\displaystyle A\land B\to A}$
3. ${\displaystyle A\land B\to B}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)}$
5. ${\displaystyle A\to A\lor B}$
6. ${\displaystyle B\to A\lor B}$
7. ${\displaystyle (A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)}$
8. ${\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)}$
9. ${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$

กฎมีดังต่อไปนี้

1. ${\displaystyle A,A\to B\vdash B}$
2. ${\displaystyle A,B\vdash A\land B}$
3. ${\displaystyle A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)}$
4. ${\displaystyle A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)}$
5. ${\displaystyle A\to \lnot B\vdash B\to \lnot A}$

ตรรกะที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้นสามารถได้มาจากการเพิ่มสัจพจน์ใดๆ ต่อไปนี้

1. ${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
2. ${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
3. ${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
5. ${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
6. ${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
7. ${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
8. ${\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))}$
9. ${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
10. ${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
11. ${\displaystyle A\lor \lnot A}$
12. ${\displaystyle A\to (A\to A)}$

มีตรรกะที่น่าสนใจบางอย่างที่แข็งแกร่งกว่า B ซึ่งสามารถได้มาจากการเพิ่มสัจพจน์ให้กับ B ดังต่อไปนี้

• สำหรับ DW ให้เพิ่มสัจพจน์ข้อที่ 1
• สำหรับดีเจ ให้เพิ่มสัจพจน์ข้อ 1 และ 2
• สำหรับ TW ให้เพิ่มสัจพจน์ข้อ 1, 2, 3, 4
• สำหรับ RW ให้เพิ่มสัจพจน์ข้อ 1, 2, 3, 4, 8, 9
• สำหรับ T ให้เพิ่มสัจพจน์ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11
• สำหรับ R ให้เพิ่มสัจพจน์ข้อ 1-11
• สำหรับ E ให้เพิ่มสัจพจน์ 1-7, 10, 11, , และโดยที่ถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C}$${\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)}$${\displaystyle \Box A}$${\displaystyle (A\to A)\to A}$
• สำหรับ RM ให้เพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมทั้งหมดเข้าไป

ทฤษฎีแบบจำลองมาตรฐานสำหรับตรรกศาสตร์ความเกี่ยวข้องคือความหมายเชิงสัมพันธ์สามระดับของ Routley-Meyer ซึ่งพัฒนาโดยRichard RoutleyและRobert Meyerกรอบ Routley-Meyer F สำหรับภาษาประพจน์คือควอดรูเพิล (W, R, *, 0) โดยที่ W เป็นเซตที่ไม่ว่าง R เป็นความสัมพันธ์สามระดับบน W และ * เป็นฟังก์ชันจาก W ไปยัง W แบบจำลอง Routley-Meyer M คือกรอบ Routley-Meyer F พร้อมกับค่าประเมินที่กำหนดค่าความจริงให้กับประพจน์อะตอมแต่ละประพจน์ที่สัมพันธ์กับแต่ละจุดมีเงื่อนไขบางประการที่กำหนดไว้สำหรับกรอบ Routley-Meyer กำหนดให้ เป็น${\displaystyle 0\in W}$${\displaystyle \Vdash }$${\displaystyle a\in W}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle R0ab}$

• ${\displaystyle a\leq a}$.
• ถ้า และแล้ว​${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a\leq c}$
• ถ้าและแล้ว​${\displaystyle d\leq a}$${\displaystyle Rabc}$${\displaystyle Rdbc}$
• ${\displaystyle a^{**}=a}$.
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b^{*}\leq a^{*}}$

เขียนและเพื่อระบุว่าสูตรนั้นเป็นจริงหรือไม่จริง ตามลำดับ ณ จุดในเงื่อนไขสุดท้ายของแบบจำลอง Routley-Meyer คือเงื่อนไขการถ่ายทอดทางพันธุกรรม ${\displaystyle M,a\Vdash A}$${\displaystyle M,a\nVdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$

• ถ้าและแล้วสำหรับประพจน์อะตอมทั้งหมด${\displaystyle M,a\Vdash p}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle M,b\Vdash p}$${\displaystyle p}$

โดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าคุณสมบัติการถ่ายทอดทางพันธุกรรมนั้นครอบคลุมถึงสูตรที่ซับซ้อนได้ โดยใช้เงื่อนไขความจริงดังต่อไปนี้

• ถ้าและแล้วสำหรับทุกสูตร${\displaystyle M,a\Vdash A}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle M,b\Vdash A}$${\displaystyle A}$

เงื่อนไขความจริงสำหรับสูตรเชิงซ้อนมีดังต่อไปนี้

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$และ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$หรือ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A}$

สูตรหนึ่งๆจะใช้ได้จริงในแบบจำลองก็ต่อเมื่อ... สูตรหนึ่งๆจะใช้ได้จริงบนเฟรมหนึ่งๆ ก็ต่อเมื่อ... เป็นจริงในทุกแบบจำลอง สูตรหนึ่งๆจะใช้ได้จริงในกลุ่มของเฟรมหนึ่งๆ ก็ต่อเมื่อ... เป็นจริงในทุกเฟรมในกลุ่มนั้น กลุ่มของเฟรม Routley–Meyer ทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้นจะยืนยันตรรกะความเกี่ยวข้อง B นั้น เราสามารถสร้างเฟรม Routley-Meyer สำหรับตรรกะความเกี่ยวข้องอื่นๆ ได้โดยการกำหนดข้อจำกัดที่เหมาะสมบน R และบน * เงื่อนไขเหล่านี้ระบุได้ง่ายกว่าโดยใช้คำจำกัดความมาตรฐานบางอย่าง ให้ ถูกกำหนดเป็นและให้ถูกกำหนดเป็นเงื่อนไขของเฟรมบางส่วนและสัจพจน์ที่พวกมันยืนยันมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,\Vdash )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Rabcd}$${\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)}$${\displaystyle Ra(bc)d}$${\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}$

ชื่อ	สภาพเฟรม	สัจพจน์
ซูโด-โมดัส โพเนนส์	${\displaystyle Raaa}$	${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
การกำหนดคำนำหน้า	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
การต่อท้าย	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
การหดตัว	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rabbc}$	${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
ตรรกบทสมมติ	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Ra(ab)c}$	${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
การยืนยัน	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rbac}$	${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
สัจพจน์	${\displaystyle Ra0a}$	${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
หลักการของการผสมผสาน	${\displaystyle Rabc\Rightarrow a\leq c}$หรือ${\displaystyle b\leq c}$	${\displaystyle A\to (A\to A)}$
รีดักชั่น	${\displaystyle Raa^{*}a}$	${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
การวางตรงข้าม	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rac^{*}b^{*}}$	${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
ไม่รวมตรงกลาง	${\displaystyle 0^{*}\leq 0}$	${\displaystyle A\lor \lnot A}$
การลดทอนความหมายโดยนัยอย่างเคร่งครัด	${\displaystyle 0\leq a}$	${\displaystyle A\to (B\to B)}$
การอ่อนตัวลง	${\displaystyle Rabc\Rightarrow b\leq c}$	${\displaystyle A\to (B\to A)}$

เงื่อนไขสองข้อสุดท้ายยืนยันรูปแบบของการลดทอนที่ตรรกะความเกี่ยวข้องถูกพัฒนาขึ้นมาเพื่อหลีกเลี่ยงตั้งแต่แรก เงื่อนไขเหล่านี้ถูกรวมไว้เพื่อแสดงให้เห็นถึงความยืดหยุ่นของแบบจำลอง Routley–Meyer

แบบจำลองเชิงปฏิบัติการสำหรับเศษส่วนที่ปราศจากการปฏิเสธของตรรกะความเกี่ยวข้องได้รับการพัฒนาโดยAlasdair Urquhartในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาและในงานวิจัยต่อมา แนวคิดพื้นฐานเบื้องหลังแบบจำลองเชิงปฏิบัติการคือ จุดในแบบจำลองเป็นชิ้นส่วนของข้อมูล และการรวมข้อมูลที่สนับสนุนเงื่อนไขเข้ากับข้อมูลที่สนับสนุนส่วนนำหน้าจะให้ข้อมูลบางอย่างที่สนับสนุนส่วนตามหลัง เนื่องจากแบบจำลองเชิงปฏิบัติการโดยทั่วไปไม่ได้ตีความการปฏิเสธ ส่วนนี้จึงจะพิจารณาเฉพาะภาษาที่มีเงื่อนไข การเชื่อม และการแยกเท่านั้น

เฟรมปฏิบัติการคือสามสิ่งโดยที่ เป็นเซตที่ไม่ว่างและเป็นการดำเนินการทวิภาคบนเฟรมมีเงื่อนไข ซึ่งบางเงื่อนไขอาจถูกตัดทิ้งเพื่อจำลองตรรกะที่แตกต่างกัน เงื่อนไขที่ Urquhart เสนอเพื่อจำลองเงื่อนไขของตรรกะความเกี่ยวข้อง R มีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot ,0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\in K}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle x\cdot x=x}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
• ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
• ${\displaystyle 0\cdot x=x}$

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ โครงสร้างการทำงานจะเป็นโครงสร้างกึ่งแลตติซแบบเชื่อมต่อกัน

แบบจำลองเชิงปฏิบัติการคือกรอบที่มีการประเมินค่าซึ่งแมปคู่ของจุดและประพจน์อะตอมิกไปยังค่าความจริง จริง หรือ เท็จสามารถขยายไปสู่การประเมินค่าบนสูตรที่ซับซ้อนได้ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$สำหรับข้อเสนอเชิงอะตอม
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$และ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$หรือ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

สูตรจะใช้ได้ในแบบจำลองหนึ่งก็ต่อเมื่อ... สูตรจะใช้ได้ในกลุ่มของแบบจำลองหนึ่ง ก็ต่อ เมื่อสูตรนั้นใช้ได้ผลในแต่ละแบบจำลอง ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M\in C}$

ส่วนเงื่อนไขของ R นั้นถูกต้องและสมบูรณ์เมื่อพิจารณาจากแบบจำลองเซมิแลตทิซ ตรรกะที่มีการเชื่อมโยงและการแยกส่วนนั้นแข็งแกร่งกว่าส่วนเงื่อนไข การเชื่อมโยง และการแยกส่วนของ R อย่างเห็นได้ชัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สูตรนี้ใช้ได้กับแบบจำลองเชิงปฏิบัติการ แต่ใช้ไม่ได้ใน R ตรรกะที่สร้างขึ้นโดยแบบจำลองเชิงปฏิบัติการสำหรับ R มีระบบการพิสูจน์เชิงสัจพจน์ที่สมบูรณ์ ซึ่งเป็นผลงานของKit Fineและ Gerald Charlwood Charlwood ยังได้เสนอระบบการอนุมานตามธรรมชาติสำหรับตรรกะนี้ ซึ่งเขาพิสูจน์แล้วว่าเทียบเท่ากับระบบเชิงสัจพจน์ Charlwood แสดงให้เห็นว่าระบบการอนุมานตามธรรมชาติของเขานั้นเทียบเท่ากับระบบที่Dag Prawitzเสนอ ไว้${\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}$

ความหมายเชิงปฏิบัติการสามารถปรับใช้เพื่อจำลองเงื่อนไขของ E โดยการเพิ่มเซตของโลกที่ไม่ว่างเปล่าและความสัมพันธ์การเข้าถึงลงในเฟรม ความสัมพันธ์การเข้าถึงจะต้องสะท้อนและถ่ายทอดได้ เพื่อจับแนวคิดที่ว่าเงื่อนไขของ E มีความจำเป็น S4 จากนั้นการประเมินค่าจะแมปสามสิ่งของประพจน์อะตอม จุด และโลก ไปยังค่าความจริง เงื่อนไขความจริงสำหรับเงื่อนไขจะเปลี่ยนเป็นดังต่อไปนี้ ${\displaystyle W}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle W\times W}$

• ${\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)}$

ความหมายเชิงปฏิบัติการสามารถปรับใช้เพื่อจำลองเงื่อนไขของ T โดยการเพิ่มความสัมพันธ์บนความสัมพันธ์นี้จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle K\times K}$

• ${\displaystyle 0\leq x}$
• ถ้าและแล้ว${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq z}$${\displaystyle x\leq z}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z}$

เงื่อนไขความจริงของประโยคเงื่อนไขถูกเปลี่ยนเป็นดังต่อไปนี้

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

มีสองวิธีในการจำลองตรรกะความเกี่ยวข้องที่ไม่มีการหดตัว TW และ RW ด้วยแบบจำลองเชิงปฏิบัติการ วิธีแรกคือการตัดเงื่อนไขที่ว่าวิธีที่สองคือการคงเงื่อนไขเซมิแลตทิซบนเฟรมและเพิ่มความสัมพันธ์แบบไบนารีของการไม่ทับซ้อนกันให้กับเฟรม สำหรับแบบจำลองเหล่านี้ เงื่อนไขความจริงสำหรับเงื่อนไขจะเปลี่ยนไปเป็นดังต่อไปนี้ โดยมีการเพิ่มลำดับในกรณีของ TW ${\displaystyle x\cdot x=x}$${\displaystyle J}$

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

เออร์ควาร์ตแสดงให้เห็นว่าตรรกะเซมิแลตทิซสำหรับ R นั้นแข็งแกร่งกว่าเศษส่วนบวกของ R อย่างแท้จริง ลอยด์ ฮัมเบอร์สโตนได้เสริมแบบจำลองการดำเนินงานที่อนุญาตให้มีเงื่อนไขความจริงที่แตกต่างกันสำหรับการเชื่อมแบบ "หรือ" กลุ่มของแบบจำลองที่ได้นั้นสร้างเศษส่วนบวกของ R ได้อย่างแม่นยำ

เฟรมปฏิบัติการคือควอดรูเพิลโดยที่เป็นเซตที่ไม่ว่างและ { , } คือการดำเนินการทวิภาคบนให้ถูกกำหนดเป็นเงื่อนไขของเฟรมมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot ,+,0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\in K}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle +}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle \exists x(a+x=b)}$

แบบจำลองเชิงปฏิบัติการคือกรอบที่มีการประเมินค่าซึ่งแมปคู่ของจุดและประพจน์อะตอมิกไปยังค่าความจริง จริง หรือ เท็จสามารถขยายไปสู่การประเมินค่าบนสูตรที่ซับซ้อนได้ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$สำหรับข้อเสนอเชิงอะตอม
• ${\displaystyle M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p}$และ${\displaystyle M,b\Vdash p}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$และ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$หรือหรือ; และ${\displaystyle M,a\Vdash B}$${\displaystyle \exists b,c(a=b+c}$${\displaystyle M,b\Vdash A}$${\displaystyle M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

สูตรจะใช้ได้ในแบบจำลองหนึ่งก็ต่อเมื่อ... สูตรจะใช้ได้ในกลุ่มของแบบจำลองหนึ่ง ก็ต่อ เมื่อสูตรนั้นใช้ได้ผลในแต่ละแบบจำลอง ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M\in C}$

ส่วนบวกของ R นั้นถูกต้องและสมบูรณ์เมื่อพิจารณาจากประเภทของแบบจำลองเหล่านี้ ความหมายของ Humberstone สามารถปรับเปลี่ยนเพื่อสร้างแบบจำลองตรรกะที่แตกต่างกันได้โดยการตัดหรือเพิ่มเงื่อนไขเฟรมดังต่อไปนี้

ตรรกะความเกี่ยวข้องบางอย่างสามารถกำหนดแบบจำลองทางพีชคณิตได้ เช่น ตรรกะ R โครงสร้างทางพีชคณิตสำหรับ R คือโมโนอิดของเดอ มอร์แกน ซึ่งเป็นกลุ่มหกเท่าที่ ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}$

• ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )}$เป็นแลตทิซ แบบกระจาย ที่มีการดำเนินการแบบเอกภาค โดยปฏิบัติตามกฎและถ้าเป็นเช่นนั้น;${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \lnot y\leq \lnot x}$
• ${\displaystyle e\in D}$การดำเนินการทวิภาคเป็นแบบสลับที่ได้ ( ) และแบบสมาคมได้ ( ) และกล่าวคือเป็นโมโนอิดอาเบเลียนที่มีเอกลักษณ์${\displaystyle \circ }$${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$${\displaystyle e\circ x=x}$${\displaystyle (D,\circ ,e)}$${\displaystyle e}$
• โมโนอิดมีการเรียงลำดับตามแลตทิซและเป็นไปตามเงื่อนไข;${\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)}$
• ${\displaystyle x\leq x\circ x}$; และ
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle x\circ y\leq z}$${\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y}$

การดำเนินการตีความเงื่อนไขของ R ถูกกำหนดดังนี้โมโนออยด์ของเดอ มอร์แกนคือแลตทิซตกค้างที่สอดคล้องกับเงื่อนไขตกค้างต่อไปนี้ ${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}$

${\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z}$

การตีความคือโฮโมมอร์ฟิซึมจากภาษาประพจน์ไปยังโมโนอิดเดอมอร์แกนโดยที่ ${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle v(p)\in D}$สำหรับข้อเสนอเชิงอะตอมทั้งหมด
• ${\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)}$
• ${\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)}$

เมื่อกำหนดโมโนอิดเดอมอร์แกนและการตีความแล้วเราสามารถกล่าวได้ว่าสูตรนั้นเป็น จริง ได้ก็ต่อ เมื่อ สูตรนั้นถูกต้องก็ต่อเมื่อมันเป็นจริงในทุกการตีความบนโมโนอิดเดอมอร์แกนทั้งหมด ตรรกะ R นั้นถูกต้องและสมบูรณ์สำหรับโมโนอิดเดอมอร์แกน ${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e\leq v(A)}$${\displaystyle A}$

• ตรรกศาสตร์เชิงเชื่อมโยงแนวทางที่แตกต่างในการแก้ปัญหาความขัดแย้งของการบ่งชี้เชิงวัตถุ
• ตรรกะที่ไม่สอดคล้องกัน
• ระบบประเภทที่เกี่ยวข้องระบบประเภทโครงสร้างย่อย

• Alan Ross AndersonและNuel Belnap , 1975. การอนุมาน: ตรรกะของความเกี่ยวข้องและความจำเป็น เล่มที่ 1.สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 0-691-07192-6
• ------- และ เจ.เอ็ม. ดันน์, 1992. การอนุมาน: ตรรกะของความเกี่ยวข้องและความจำเป็น เล่มที่ 2สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน
• Mares, Edwin และ Meyer, RK, 2001, "Relevant Logics", ใน Goble, Lou, บรรณาธิการ, The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
• Richard Routley, Val Plumwood, Robert K. Meyer และ Ross T. Brady. ตรรกะที่เกี่ยวข้องและคู่แข่ง . Ridgeview, 1982.
• R. Brady (บรรณาธิการ), ตรรกะที่เกี่ยวข้องและคู่แข่ง (เล่มที่ 2) , อัลเดอร์ชอต: แอชเกต, 2003
• Urquhart, Alasdair (1972). "ความหมายสำหรับตรรกะที่เกี่ยวข้อง" (PDF)วารสารตรรกะเชิงสัญลักษณ์ 37 ( 1): 159– 169. doi : 10.2307/2272559 . JSTOR  2272559 .
• อลาสแตร์ เออร์ควาร์ต. ความหมายของการอนุมาน . วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, มหาวิทยาลัยพิตต์สเบิร์ก, 1972.
• Katalin Bimbó , ตรรกศาสตร์ความเกี่ยวข้อง ในปรัชญาตรรกศาสตร์ , D. Jacquette (บรรณาธิการ), (เล่มที่ 5 ของคู่มือปรัชญาวิทยาศาสตร์ , D. Gabbay, P. Thagard, J. Woods (บรรณาธิการ)), Elsevier (North-Holland), 2006, หน้า 723–789
• J. Michael Dunn และ Greg Restall. ตรรกศาสตร์ความเกี่ยวข้อง. ในHandbook of Philosophical Logicเล่ม 6, F. Guenthner และ D. Gabbay (บรรณาธิการ), Dordrecht: Kluwer, 2002, หน้า 1–136.
• Stephen Read, ตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง , อ็อกซ์ฟอร์ด: Blackwell, 1988.
• Humberstone, Lloyd (1987). "ความหมายเชิงปฏิบัติการสำหรับ R บวก" . Notre Dame Journal of Formal Logic . 29 (1): 61– 80. doi : 10.1305/ndjfl/1093637771 .

• สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด : " ตรรกศาสตร์เชิงความเกี่ยวข้อง " – โดย เอ็ดวิน มาเรส
• ตรรกะความเกี่ยวข้อง – โดย เจ. ไมเคิล ดันน์ และ เกร็ก เรสทอลล์
• ตรรกะที่เกี่ยวข้อง – โดย สตีเฟน รีด