ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ลำดับ(sequent)คือรูปแบบทั่วไปมากของการยืนยันเงื่อนไข

${\displaystyle A_{1},\,\dots ,A_{m}\,\vdash \,B_{1},\,\dots ,B_{n}.}$

ลำดับ (sequent) อาจมี สูตรเงื่อนไขA _i (เรียกว่า " เงื่อนไขก่อนหน้า ") จำนวนm สูตร และ สูตรที่ยืนยันB _j (เรียกว่า "เงื่อนไขภายหลัง" หรือ " เงื่อนไขภายหลัง ") จำนวนn สูตร ลำดับนั้นหมายความว่า ถ้าเงื่อนไขก่อนหน้าทั้งหมดเป็นจริง อย่างน้อยหนึ่งในสูตรภายหลังก็จะเป็นจริงด้วย รูปแบบการยืนยันเงื่อนไขนี้มักเกี่ยวข้องกับ กรอบแนวคิดของแคลคูลัสลำดับ (sequent calculus ) เสมอ

ลำดับเหตุการณ์จะเข้าใจได้ดีที่สุดในบริบทของการตัดสินเชิงตรรกะ สามประเภทต่อไปนี้ :

1. การยืนยันโดยไม่มีเงื่อนไขไม่มีสูตรอ้างอิง
   • ตัวอย่าง: ⊢ B
   • ความหมาย: ข้อ Bเป็นจริง
2. การยืนยันแบบมีเงื่อนไขสูตรเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้
   1. การยืนยันเงื่อนไขอย่างง่ายสูตรผลลัพธ์เดียว
      • ตัวอย่าง: A ₁ , A ₂ , A ₃ ⊢ B
      • ความหมาย: ถ้าA1 _, A2และ_A3เป็นจริง แล้วB ก็เป็นจริง_ด้วย
   2. ลำดับสูตรผลลัพธ์จำนวนเท่าใดก็ได้
      • ตัวอย่าง: A ₁ , A ₂ , A ₃ ⊢ B ₁ , B ₂ , B ₃ , B ₄
      • ความหมาย: ถ้าA ₁ , A ₂และA ₃ เป็นจริง แล้วB ₁ , B ₂ , B ₃หรือB ₄ก็เป็นจริงด้วย

ดังนั้น ลำดับเหตุการณ์จึงเป็นการขยายความของข้อความยืนยันแบบมีเงื่อนไขอย่างง่าย ซึ่งเป็นการขยายความของข้อความยืนยันแบบไม่มีเงื่อนไข

คำว่า "OR" ในที่นี้คือ OR แบบรวม^{[ 1 ]}แรงจูงใจสำหรับความหมายแบบแยกส่วนทางด้านขวาของลำดับมาจากประโยชน์หลักสามประการ

1. ความสมมาตรของกฎการอนุมาน แบบคลาสสิก สำหรับลำดับที่มีความหมายดังกล่าว
2. ความง่ายและความเรียบง่ายในการแปลงกฎคลาสสิกเหล่านั้นให้เป็นกฎเชิงสัญชาตญาณ
3. ความสามารถในการพิสูจน์ความสมบูรณ์ของแคลคูลัสเชิงภาคแสดงเมื่อแสดงออกมาในรูปแบบนี้

ประโยชน์ทั้งสามประการนี้ได้รับการระบุไว้ในเอกสารก่อตั้งโดยเกนท์เซน (1934 , หน้า 194)

ไม่ใช่ว่าผู้เขียนทุกคนจะยึดถือความหมายดั้งเดิมของคำว่า "sequent" ตามที่ Gentzen กล่าวไว้ ตัวอย่างเช่นLemmon (1965)ใช้คำว่า "sequent" อย่างเคร่งครัดสำหรับการยืนยันเงื่อนไขแบบง่ายที่มีสูตรผลลัพธ์เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น^{[ 2 ]}คำจำกัดความผลลัพธ์เดียวเดียวกันสำหรับ sequent ได้รับการกำหนดโดยHuth & Ryan 2004หน้า 5

ในลำดับทั่วไปของรูปแบบ

${\displaystyle \Gamma \vdash \Sigma }$

ทั้ง Γ และ Σ เป็นลำดับของสูตรตรรกะ ไม่ใช่เซตดังนั้นทั้งจำนวนและลำดับการปรากฏของสูตรจึงมีความสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สูตรเดียวกันอาจปรากฏสองครั้งในลำดับเดียวกัน ชุดกฎการอนุมานแคลคูลัสลำดับ ทั้งหมด ประกอบด้วยกฎสำหรับการสลับสูตรที่อยู่ติดกันทางด้านซ้ายและด้านขวาของสัญลักษณ์การยืนยัน (และด้วยเหตุนี้จึงสลับ ลำดับ ด้านซ้ายและด้านขวาโดยพลการ) และสำหรับการแทรกสูตรโดยพลการและการลบสำเนาที่ซ้ำกันภายในลำดับด้านซ้ายและด้านขวา (อย่างไรก็ตามSmullyan (1995 , หน้า 107–108) ใช้เซต ของสูตรในลำดับแทนที่จะใช้ลำดับของสูตร ดังนั้น กฎโครงสร้างสามคู่ที่เรียกว่า "การลดจำนวน" "การหดตัว" และ "การสลับเปลี่ยน")

สัญลักษณ์ ' ' มักถูกเรียกว่า " turnstile ", "right tack", "tee", "assertion sign" หรือ "assertion symbol" และมักถูกอ่านในเชิงเปรียบเทียบว่า "ยอมจำนน", "พิสูจน์" หรือ "บ่งชี้" ${\displaystyle \vdash }$

เนื่องจากสูตรทุกสูตรในส่วนนำ (ด้านซ้าย) ต้องเป็นจริงจึงจะสรุปได้ว่าอย่างน้อยหนึ่งสูตรในส่วนตาม (ด้านขวา) เป็นจริง การเพิ่มสูตรเข้าไปทั้งสองด้านจะทำให้ผลลัพธ์อ่อนลง ในขณะที่การลบสูตรออกจากด้านใดด้านหนึ่งจะทำให้ผลลัพธ์แข็งแกร่งขึ้น นี่คือหนึ่งในข้อดีของความสมมาตรที่เกิดจากการใช้ความหมายแบบแยกส่วนทางด้านขวามือของสัญลักษณ์การยืนยัน ในขณะที่ยึดถือความหมายแบบเชื่อมโยงทางด้านซ้ายมือ

ในกรณีสุดขั้วที่รายการ สูตร ก่อนหน้าของลำดับว่างเปล่า ผลลัพธ์จะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข ซึ่งแตกต่างจากการยืนยันแบบไม่มีเงื่อนไขทั่วไป เพราะจำนวนผลลัพธ์นั้นเป็นจำนวนที่กำหนดได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นผลลัพธ์เดียว ตัวอย่างเช่น ' ⊢ B ₁ , B ₂ ' หมายความว่าB ₁หรือ B ₂หรือทั้งสองอย่างต้องเป็นจริง รายการสูตรก่อนหน้าที่ว่างเปล่าเทียบเท่ากับประพจน์ที่ "เป็นจริงเสมอ" เรียกว่า " verum " ซึ่งใช้สัญลักษณ์ "⊤" (ดูสัญลักษณ์ Tee )

ในกรณีสุดขั้วที่รายการ สูตร ผลลัพธ์ของลำดับว่างเปล่า กฎก็ยังคงเป็นว่าอย่างน้อยหนึ่งพจน์ทางด้านขวาต้องเป็นจริง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ อย่างชัดเจน สิ่งนี้แสดงด้วยประโยคที่ 'เป็นเท็จเสมอ' เรียกว่า " falsum " ซึ่งใช้สัญลักษณ์ "⊥" เนื่องจากผลลัพธ์เป็นเท็จ อย่างน้อยหนึ่งในเงื่อนไขก่อนหน้าจะต้องเป็นเท็จ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ' A₁ , A₂ _{⊢ '}หมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งในเงื่อนไขก่อนหน้า_A₁และ A₂ จะ_ต้องเป็นเท็จ

เราจะเห็นความสมมาตรอีกครั้งเนื่องจากความหมายเชิงแยกส่วนทางด้านขวามือ หากด้านซ้ายว่างเปล่า แสดงว่าข้อความทางด้านขวาอย่างน้อยหนึ่งข้อต้องเป็นจริง หากด้านขวาว่างเปล่า แสดงว่าข้อความทางด้านซ้ายอย่างน้อยหนึ่งข้อต้องเป็นเท็จ

กรณีสุดขั้วสองเท่า ' ⊢ ' ซึ่งทั้งรายการสูตรของส่วนนำและส่วนตามว่างเปล่านั้น " ไม่สามารถทำให้พอใจได้ " ^{[ 3 ]}ในกรณีนี้ ความหมายของลำดับคือ ' ⊤ ⊢ ⊥ ' ซึ่งเทียบเท่ากับลำดับ ' ⊢ ⊥ ' ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่ถูกต้อง

ลำดับในรูปแบบ ' ⊢ α, β ' สำหรับสูตรตรรกะ α และ β หมายความว่า α เป็นจริงหรือ β เป็นจริง (หรือทั้งสองอย่าง) แต่ไม่ได้หมายความว่า α หรือ β เป็นสัจนิรันดร์ เพื่อความชัดเจน ลองพิจารณาตัวอย่าง ' ⊢ B ∨ A, C ∨ ¬A ' นี่คือลำดับที่ถูกต้อง เพราะ B ∨ A เป็นจริงหรือ C ∨ ¬A เป็นจริง แต่ทั้งสองนิพจน์นี้ไม่ใช่สัจนิรันดร์ในตัวมันเอง สัจนิ รันดร์คือ การรวมกันของสองนิพจน์นี้

ในทำนองเดียวกัน ลำดับในรูปแบบ 'α, β ⊢' สำหรับสูตรตรรกะ α และ β หมายความว่า α เป็นเท็จหรือ β เป็นเท็จ แต่ไม่ได้หมายความว่า α หรือ β เป็นข้อขัดแย้ง เพื่อให้เข้าใจชัดเจนยิ่งขึ้น ลองพิจารณาตัวอย่าง 'B ∧ A, C ∧ ¬A ⊢' นี่คือลำดับที่ถูกต้อง เพราะ B ∧ A เป็นเท็จหรือ C ∧ ¬A เป็นเท็จ แต่การแสดงออกทั้งสองนี้เพียงอย่างเดียวไม่ใช่ข้อขัดแย้ง ข้อขัดแย้งจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเป็นการรวมกันของการแสดงออกทั้งสองนี้

ระบบการพิสูจน์ส่วนใหญ่มีวิธีการอนุมานลำดับหนึ่งจากลำดับอื่น กฎการอนุมานเหล่านี้เขียนขึ้นโดยมีรายการลำดับที่อยู่เหนือและใต้เส้นกฎนี้บ่งชี้ว่าหากทุกสิ่งที่อยู่เหนือเส้นเป็นจริง ทุกสิ่งที่อยู่ใต้เส้นก็จะเป็นจริงเช่นกัน

กฎทั่วไปคือ:

${\displaystyle {\frac {\Gamma ,\alpha \vdash \Sigma \qquad \Gamma \vdash \alpha }{\Gamma \vdash \Sigma }}}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า หากเราสามารถอนุมานได้ว่า ให้ผลลัพธ์และว่าให้ผลลัพธ์แล้วเราก็สามารถอนุมานได้ว่า ให้ผลลัพธ์ เช่น กัน (ดูชุดกฎการอนุมานแคลคูลัสลำดับ ทั้งหมดเพิ่มเติม ) ${\displaystyle \Gamma ,\alpha }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Sigma }$

เดิมทีสัญลักษณ์การยืนยันในลำดับ (sequents) มีความหมายเหมือนกับตัวดำเนินการบ่งชี้ (implication operator) ทุกประการ แต่เมื่อเวลาผ่านไป ความหมายของมันได้เปลี่ยนไป โดยหมายถึงความสามารถในการพิสูจน์ได้ภายในทฤษฎี มากกว่าความจริงเชิงความหมายในทุกแบบจำลอง

ในปี พ.ศ. 2477 Gentzen ไม่ได้กำหนดสัญลักษณ์การยืนยัน '⊢' ในลำดับเพื่อแสดงถึงการพิสูจน์ได้ เขากำหนดให้มันมีความหมายเหมือนกับตัวดำเนินการบ่งชี้ '⇒' ทุกประการ โดยใช้ '→' แทน '⊢' และ '⊃' แทน '⇒' เขาเขียนว่า: "ลำดับ A ₁ , ..., A _μ → B ₁ , ..., B _νมีความหมายในแง่ของเนื้อหาเหมือนกับสูตร (A ₁ & ... & A _μ ) ⊃ (B ₁ ∨ ... ∨ B _ν ) ทุกประการ" ^{[ 4 ]} (Gentzen ใช้สัญลักษณ์ลูกศรชี้ไปทางขวาระหว่างส่วนนำและส่วนตามของลำดับ เขาใช้สัญลักษณ์ '⊃' สำหรับตัวดำเนินการบ่งชี้เชิงตรรกะ)

ในปี พ.ศ. 2482 ฮิลเบิร์ตและเบอร์เนย์ได้กล่าวเช่นเดียวกันว่าลำดับมีความหมายเหมือนกับสูตรการบ่งชี้ที่สอดคล้องกัน^{[ 5 ]}

ในปี ค.ศ. 1944 อลอนโซ เชิร์ชเน้นย้ำว่าคำกล่าวอ้างต่อมาของเกนท์เซนไม่ได้แสดงให้เห็นถึงความสามารถในการพิสูจน์ได้

“การใช้ทฤษฎีบทการหักล้างเป็นกฎพื้นฐานหรือกฎที่ได้มานั้นไม่ควรสับสนกับการใช้Sequenzenของ Gentzen เพราะลูกศร → ของ Gentzen ไม่สามารถเปรียบเทียบได้กับสัญลักษณ์ทางไวยากรณ์ ⊢ ของเรา แต่เป็นส่วนหนึ่งของภาษาวัตถุของเขา (ดังที่เห็นได้ชัดจากข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์ที่มีลูกศรนี้ปรากฏเป็นข้อสมมติและข้อสรุปในการประยุกต์ใช้กฎการอนุมานของเขา)” ^{[ 6 ]}

สิ่งพิมพ์จำนวนมากหลังจากเวลานี้ได้ระบุว่าสัญลักษณ์การยืนยันในลำดับนั้นหมายถึงความสามารถในการพิสูจน์ได้ภายในทฤษฎีที่กำหนดลำดับนั้นขึ้นCurryในปี 1963 ^{[ 7 ]} Lemmonในปี 1965 ^{[ 2 ]}และ Huth และ Ryan ในปี 2004 ^{[ 8 ]}ต่างระบุว่าสัญลักษณ์การยืนยันในลำดับหมายถึงความสามารถในการพิสูจน์ได้ อย่างไรก็ตามBen-Ari (2012 , หน้า 69) ระบุว่าสัญลักษณ์การยืนยันในลำดับระบบ Gentzen ซึ่งเขาเรียกว่า ' ⇒ ' เป็นส่วนหนึ่งของภาษาวัตถุ ไม่ใช่ภาษาเมตา^{[ 9 ]}

ตามที่Prawitz (1965) กล่าวไว้ว่า: "แคลคูลัสของลำดับสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเมตาแคลคูลัสสำหรับความสัมพันธ์การอนุมานในระบบการอนุมานตามธรรมชาติที่สอดคล้องกัน" ^{[ 10 ]}และยิ่งไปกว่านั้น: "การพิสูจน์ในแคลคูลัสของลำดับสามารถมองได้ว่าเป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการสร้างการอนุมานตามธรรมชาติที่สอดคล้องกัน" ^{[ 11 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง สัญลักษณ์การยืนยันเป็นส่วนหนึ่งของภาษาวัตถุสำหรับแคลคูลัสลำดับ ซึ่งเป็นเมตาแคลคูลัสชนิดหนึ่ง แต่ในขณะเดียวกันก็แสดงถึงการอนุมานในระบบการอนุมานตามธรรมชาติพื้นฐาน

ลำดับ (sequent) คือข้อความที่เป็นทางการ ที่แสดงถึง ความสามารถ ในการพิสูจน์ ซึ่งมักใช้ในการระบุแคลคูลัสสำหรับการอนุมานในแคลคูลัสลำดับ ชื่อลำดับใช้สำหรับโครงสร้าง ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบเฉพาะของการตัดสินที่เป็นลักษณะเฉพาะของระบบการอนุมานนี้

ความหมายโดยสัญชาตญาณของลำดับคือ ภายใต้สมมติฐานของ Γ ข้อสรุปของ Σ สามารถพิสูจน์ได้ ในทางคลาสสิก สูตรทางด้านซ้ายของลำดับสามารถตีความได้ในเชิงเชื่อมโยงในขณะที่สูตรทางด้านขวาสามารถพิจารณาได้ในเชิงการแยกนั่นหมายความว่า เมื่อสูตรทั้งหมดใน Γ เป็นจริง อย่างน้อยหนึ่งสูตรใน Σ ก็ต้องเป็นจริงด้วย หากส่วนตามหลังว่างเปล่า จะถูกตีความว่าเป็นความเท็จ กล่าวคือหมายความว่า Γ พิสูจน์ความเท็จและจึงไม่สอดคล้องกัน ในทางกลับกัน ส่วนนำหน้าว่างเปล่าจะถือว่าเป็นจริง กล่าวคือหมายความว่า Σ เป็นไปตามนั้นโดยไม่มีสมมติฐานใด ๆ กล่าวคือ มันเป็นจริงเสมอ (ในฐานะการแยก) ลำดับในรูปแบบนี้ โดยที่ Γ ว่างเปล่า เรียกว่า การยืนยันเชิงตรรกะ ${\displaystyle \Gamma \vdash \Sigma }$${\displaystyle \Gamma \vdash }$${\displaystyle \vdash \Sigma }$

แน่นอนว่า อาจมีคำอธิบายเชิงสัญชาตญาณอื่นๆ ที่เป็นไปได้ ซึ่งเทียบเท่ากันในเชิงคลาสสิก ตัวอย่างเช่นสามารถตีความได้ว่าเป็นการยืนยันว่าเป็นไปไม่ได้ที่ทุกสูตรใน Γ จะเป็นจริงและทุกสูตรใน Σ จะเป็นเท็จ (สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการตีความการปฏิเสธซ้ำซ้อนของตรรกะเชิงสัญชาตญาณ แบบคลาสสิก เช่นทฤษฎีบทของ Glivenko ) ${\displaystyle \Gamma \vdash \Sigma }$

อย่างไรก็ตาม การตีความตามสัญชาตญาณเหล่านี้มีไว้เพื่อการสอนเท่านั้น เนื่องจากบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการในทฤษฎีการพิสูจน์นั้นเป็นเพียงไวยากรณ์ เท่านั้น ความหมายของ (การได้มาซึ่ง) ลำดับจึงถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของแคลคูลัสที่ให้กฎการอนุมานที่ แท้จริง เท่านั้น

หากไม่นับความขัดแย้งใดๆ ในคำจำกัดความที่แม่นยำทางเทคนิคข้างต้น เราสามารถอธิบายลำดับ (sequents) ในรูปแบบตรรกะเบื้องต้นได้ ลำดับหมายถึงชุดของข้อสมมติที่เราเริ่มต้นกระบวนการทางตรรกะของเรา ตัวอย่างเช่น "โสกราตีสเป็นมนุษย์" และ "มนุษย์ทุกคนต้องตาย" ลำดับหมายถึงข้อสรุปทางตรรกะที่ตามมาภายใต้ข้อสมมติเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น "โสกราตีสต้องตาย" เป็นผลมาจากการกำหนดรูปแบบที่สมเหตุสมผลของประเด็นข้างต้น และเราอาจคาดหวังว่าจะเห็นข้อความนี้อยู่ข้างประตูหมุนในแง่นี้ลำดับหมายถึงกระบวนการให้เหตุผล หรือ "ดังนั้น" ในภาษาอังกฤษ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \vdash }$

แนวคิดทั่วไปของลำดับ (sequent) ที่กล่าวถึงในที่นี้สามารถจำแนกได้หลายวิธี ลำดับจะเรียกว่าเป็นลำดับแบบสัญชาตญาณ (intuitionistic sequent ) หากมีสูตรในตัวสืบทอด (succedent) ไม่เกินหนึ่งสูตร (แม้ว่าแคลคูลัสลำดับแบบหลายตัวสืบทอดสำหรับตรรกะแบบสัญชาตญาณก็เป็นไปได้เช่นกัน) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น การจำกัดแคลคูลัสลำดับทั่วไปให้เหลือเฉพาะลำดับที่มีสูตรตัวสืบทอดเดียวโดยใช้กฎการอนุมานเดียวกันกับลำดับทั่วไป ถือเป็นแคลคูลัสลำดับแบบสัญชาตญาณ (แคลคูลัสลำดับที่จำกัดนี้ใช้สัญลักษณ์ LJ)

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างแคลคูลัสสำหรับตรรกะแบบทวิภาวะนิยม ( ตรรกะแบบพาราคอนซิสเตนท์ชนิดหนึ่ง) ได้โดยการกำหนดให้ซีเควนซ์มีเอกพจน์ในส่วนของแอนทีเควเดนท์

ในหลายกรณี ลำดับ (sequents) มักถูกสันนิษฐานว่าประกอบด้วยมัลติเซตหรือเซตแทนที่จะเป็นลำดับ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงลำดับหรือแม้แต่จำนวนครั้งที่สูตรปรากฏ สำหรับตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ แบบคลาสสิก สิ่งนี้ไม่ก่อให้เกิดปัญหา เนื่องจากข้อสรุปที่ได้จากชุดของข้อสมมติไม่ขึ้นอยู่กับข้อมูลเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ในตรรกศาสตร์เชิงโครงสร้างย่อยสิ่งนี้อาจมีความสำคัญอย่างมาก

ระบบ การอนุมานเชิงธรรมชาติใช้การยืนยันแบบมีผลลัพธ์เดียว แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช้ชุดกฎการอนุมานแบบเดียวกับที่เกนท์เซนแนะนำในปี 1934 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระบบ การอนุมานเชิงธรรมชาติแบบตารางซึ่งสะดวกมากสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติในแคลคูลัสเชิงประพจน์และแคลคูลัสเชิงภาคแสดง ได้ถูกนำไปใช้โดยซัปเปส (1999)และเลมมอน (1965)เพื่อสอนตรรกศาสตร์เบื้องต้นในตำราเรียน

ในทางประวัติศาสตร์ Gerhard Gentzenได้แนะนำ sequents เพื่อระบุแคลคูลัส sequentที่ มีชื่อเสียงของเขา ^{[ 12 ]}ในสิ่งพิมพ์ภาษาเยอรมันของเขา เขาใช้คำว่า "Sequenz" อย่างไรก็ตาม ในภาษาอังกฤษ คำว่า " sequence " ถูกใช้เป็นคำแปลของคำภาษาเยอรมัน "Folge" อยู่แล้ว และปรากฏค่อนข้างบ่อยในทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น คำว่า "sequent" จึงถูกสร้างขึ้นเพื่อค้นหาคำแปลอื่นของคำภาษาเยอรมัน

Kleene ^{[ 13 ]}แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการแปลเป็นภาษาอังกฤษดังนี้: "Gentzen กล่าวว่า 'Sequenz' ซึ่งเราแปลว่า 'sequent' เพราะเราใช้ 'sequence' ไปแล้วสำหรับลำดับของวัตถุใดๆ ซึ่งในภาษาเยอรมันคือ 'Folge'"

• เกอร์ฮาร์ด เกนท์เซน
• ตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณ
• การอนุมานตามธรรมชาติ
• แคลคูลัสลำดับ

• "ลำดับ (ในตรรกศาสตร์)" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]