ตรรกศาสตร์คือการศึกษาเกี่ยวกับการให้เหตุผล ที่ถูกต้อง ซึ่งรวมถึง ตรรกศาสตร์ เชิงรูปธรรมและตรรกศาสตร์เชิงไม่เป็นทางการตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมคือการศึกษาเกี่ยวกับ การอนุมาน ที่ถูกต้องตามหลักการหักล้างหรือความจริงเชิงตรรกะโดยจะตรวจสอบว่าข้อสรุปต่างๆ สืบเนื่องมาจากข้อตั้งต้น ได้อย่างไร โดยพิจารณาจากโครงสร้างของข้อโต้แย้งเพียงอย่างเดียว โดยไม่ขึ้นอยู่กับหัวข้อและเนื้อหา ตรรกศาสตร์เชิงไม่เป็นทางการเกี่ยวข้องกับความผิดพลาดเชิงไม่เป็นทางการการคิดเชิงวิพากษ์และทฤษฎีการโต้แย้งตรรกศาสตร์เชิงไม่เป็นทางการจะตรวจสอบข้อโต้แย้งที่แสดงออกในภาษาธรรมชาติในขณะที่ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมใช้ภาษาที่เป็นทางการเมื่อใช้เป็นคำนามนับได้คำว่า "ตรรกศาสตร์" หมายถึงระบบตรรกศาสตร์ ที่เป็นทางการเฉพาะระบบหนึ่งๆ ที่กำหนดระบบ การพิสูจน์ตรรกศาสตร์มีบทบาทสำคัญในหลายสาขา เช่นปรัชญาคณิตศาสตร์วิทยาการคอมพิวเตอร์และภาษาศาสตร์

ตรรกศาสตร์ศึกษาข้อโต้แย้งซึ่งประกอบด้วยชุดของข้อสมมติที่นำไปสู่ข้อสรุปตัวอย่างเช่น ข้อโต้แย้งจากข้อสมมติ "วันนี้เป็นวันอาทิตย์" และ "ถ้าวันนี้เป็นวันอาทิตย์ ฉันก็ไม่ต้องทำงาน" นำไปสู่ข้อสรุป "ฉันไม่ต้องทำงาน" ^{[ 1 ]}ข้อสมมติและข้อสรุปแสดงถึงข้อเสนอหรือข้ออ้างที่อาจเป็นจริงหรือเท็จ คุณลักษณะที่สำคัญของข้อเสนอคือโครงสร้างภายใน ตัวอย่างเช่น ข้อเสนอที่ซับซ้อนประกอบด้วยข้อเสนอที่ง่ายกว่าซึ่งเชื่อมโยงกันด้วยคำศัพท์ทางตรรกศาสตร์เช่น( และ ) หรือ( ถ้า...แล้ว ) ข้อเสนอที่เรียบง่ายก็มีส่วนประกอบเช่นกัน เช่น "วันอาทิตย์" หรือ "ทำงาน" ในตัวอย่าง ความจริงของข้อเสนอมักขึ้นอยู่กับความหมายของส่วนประกอบทั้งหมด อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีสำหรับข้อเสนอที่เป็นจริงทางตรรกศาสตร์ ข้อเสนอเหล่านั้นเป็นจริงเพียงเพราะโครงสร้างทางตรรกศาสตร์โดยไม่ขึ้นอยู่กับความหมายเฉพาะของส่วนประกอบแต่ละส่วน ${\displaystyle \land }$${\displaystyle \to }$

ข้อโต้แย้งอาจถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง ข้อโต้แย้งจะถูกต้องก็ต่อเมื่อข้ออ้างสนับสนุนข้อสรุปข้อโต้แย้งแบบนิรนัยมีรูปแบบการสนับสนุนที่แข็งแกร่งที่สุด กล่าวคือ ถ้าข้ออ้างเป็นจริง ข้อสรุปก็ต้องเป็นจริงด้วย ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับ ข้อโต้แย้ง แบบขยายความซึ่งได้ข้อมูลใหม่ที่แท้จริงซึ่งไม่พบในข้ออ้าง ข้อโต้แย้งจำนวนมากในการสนทนาในชีวิตประจำวันและในวิทยาศาสตร์เป็นข้อโต้แย้งแบบขยายความ โดยแบ่งออกเป็น ข้อโต้แย้ง แบบอุปนัยและแบบอนุมานข้อโต้แย้งแบบอุปนัยเป็นการสรุปทางสถิติ เช่น การอนุมานว่าอีกาทุกตัวเป็นสีดำโดยอาศัยการสังเกตอีกาสีดำจำนวนมาก^{[ 2 ]}ข้อโต้แย้งแบบอนุมานเป็นการอนุมานเพื่อหาคำอธิบายที่ดีที่สุด ตัวอย่างเช่น เมื่อแพทย์สรุปว่าผู้ป่วยเป็นโรคบางอย่างซึ่งอธิบายอาการที่ผู้ป่วยประสบ^{[ 3 ]}ข้อโต้แย้งที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐานของการให้เหตุผลที่ถูกต้องมักจะมีข้อผิดพลาดระบบตรรกะเป็นกรอบทฤษฎีสำหรับการประเมินความถูกต้องของข้อโต้แย้ง

ตรรกศาสตร์ได้รับการศึกษามาตั้งแต่สมัยโบราณแนวทางในยุคแรกๆ ได้แก่ตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลตรรกศาสตร์ของสโตอิก นยายะและโมฮิสม์ตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลเน้นการให้เหตุผลในรูปแบบของ การอนุมานเชิง ตรรกะถือเป็นระบบตรรกศาสตร์หลักในโลกตะวันตกจนกระทั่งถูกแทนที่ด้วยตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมสมัยใหม่ ซึ่งมีรากฐานมาจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ในปลายศตวรรษที่ 19 เช่น ก็อตต์ลอบ เฟรเกปัจจุบัน ระบบที่ใช้กันมากที่สุดคือตรรกศาสตร์คลาสสิกประกอบด้วยตรรกศาสตร์เชิงประพจน์และตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งตรรกศาสตร์เชิงประพจน์พิจารณาเฉพาะความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างประพจน์ที่สมบูรณ์เท่านั้น ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งยังคำนึงถึงส่วนภายในของประพจน์ด้วย เช่นภาคแสดงและ ตัว บ่งปริมาณ ตรรกศาสตร์ขยายยอมรับสัญชาตญาณพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังตรรกศาสตร์คลาสสิกและนำ ไปประยุกต์ใช้ในสาขาอื่นๆ เช่นอภิปรัชญาจริยศาสตร์และญาณวิทยาในฐานะกรอบสำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นไปได้หรือจำเป็นสิ่งที่เป็นอยู่หรือควรจะเป็นและสิ่งที่เชื่อหรือรู้ในทางตรงกันข้าม ตรรกศาสตร์เบี่ยงเบนปฏิเสธสัญชาตญาณคลาสสิกบางประการและเสนอคำอธิบายทางเลือกอื่นสำหรับกฎพื้นฐานของตรรกศาสตร์

คำว่า "ตรรกศาสตร์" มาจากคำภาษากรีกว่าlogos ซึ่งมีการแปลได้หลากหลาย เช่นเหตุผลวาทกรรมหรือภาษา^{[ 4 ]}ตามธรรมเนียมแล้ว ตรรกศาสตร์ถูกนิยามว่าเป็นการศึกษาเกี่ยวกับกฎแห่งความคิดหรือการให้เหตุผลที่ถูกต้อง^{[ 5 ]}และโดยทั่วไปจะเข้าใจในแง่ของการอนุมานหรือข้อโต้แย้งการให้เหตุผลคือกิจกรรมของการอนุมาน ข้อโต้แย้งคือการแสดงออกภายนอกของการอนุมาน[ ^{6 ] ข้อ}โต้แย้งคือชุดของข้อสมมติพร้อมกับข้อสรุป ตรรกศาสตร์สนใจว่าข้อโต้แย้งนั้นถูกต้องหรือไม่ กล่าวคือ ข้อสมมติสนับสนุนข้อสรุปหรือไม่^{[ 7 ]}ลักษณะทั่วไปเหล่านี้ใช้กับตรรกศาสตร์ในความหมายที่กว้างที่สุด กล่าวคือ ทั้งตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมและเชิงไม่เป็นทางการเนื่องจากทั้งสองเกี่ยวข้องกับการประเมินความถูกต้องของข้อโต้แย้ง^{[ 8 ]}ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมเป็นสาขาที่โดดเด่นตามธรรมเนียม และนักตรรกศาสตร์บางคนจำกัดตรรกศาสตร์ไว้เฉพาะตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม^{[ 9 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม (หรือที่รู้จักกันในชื่อตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ ) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้ แนวทาง เชิงรูปธรรมในการศึกษาการให้เหตุผล: แทนที่การแสดงออกที่เป็นรูปธรรมด้วยสัญลักษณ์ นามธรรม เพื่อตรวจสอบรูปแบบเชิงตรรกะของข้อโต้แย้งโดยไม่ขึ้นอยู่กับเนื้อหาที่เป็นรูปธรรม ในแง่นี้ ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมจึงเป็นกลางต่อหัวข้อ เนื่องจากสนใจเฉพาะโครงสร้างนามธรรมของข้อโต้แย้งเท่านั้น ไม่ใช่เนื้อหาที่เป็นรูปธรรม^{[ 10 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมสนใจใน ข้อโต้แย้ง ที่ถูกต้องตาม หลักการอนุมาน ซึ่งความจริงของข้อตั้งต้นจะรับประกันความจริงของข้อสรุป นั่นหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่ข้อตั้งต้นจะเป็นจริงและข้อสรุปจะเป็นเท็จ^{[ 11 ]}สำหรับข้อโต้แย้งที่ถูกต้อง โครงสร้างเชิงตรรกะที่นำจากข้อตั้งต้นไปสู่ข้อสรุปจะเป็นไปตามรูปแบบที่เรียกว่ากฎการอนุมาน [ ^{12 ] ตัวอย่าง}เช่นmodus ponensเป็นกฎการอนุมานที่ข้อโต้แย้งทั้งหมดในรูปแบบ "(1)  p , (2) ถ้าpแล้วq , (3) ดังนั้นq " ถูกต้อง โดยไม่ขึ้นอยู่กับว่าpและqหมายถึง อะไร ^{[ 13 ]}ในแง่นี้ ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมสามารถนิยามได้ว่าเป็นวิทยาศาสตร์ของการอนุมานที่ถูกต้อง คำนิยามทางเลือกมองว่าตรรกศาสตร์เป็นการศึกษาความจริงเชิงตรรกะ [ ^{14 ] ข้อ}เสนอจะเป็นจริงเชิงตรรกะหากความจริงของข้อเสนอนั้นขึ้นอยู่กับคำศัพท์เชิงตรรกะที่ใช้ในข้อเสนอนั้นเท่านั้น หมายความว่ามันเป็นจริงในทุกโลกที่เป็นไปได้และภายใต้การตีความ ทั้งหมด ของเงื่อนไขที่ไม่ใช่ตรรกะ เช่น ข้ออ้างที่ว่า "ฝนตกหรือไม่ตก" ^{[ 15 ]}คำจำกัดความสองประการของตรรกะเชิงรูปธรรมนี้ไม่เหมือนกัน แต่มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างเช่น หากการอนุมานจากpไปยังqถูกต้องตามหลักนิรนัย ข้ออ้างที่ว่า "ถ้าpแล้วq " จะเป็นความจริงเชิงตรรกะ^{[ 16 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมใช้ภาษาเชิงรูปธรรมเพื่อแสดง วิเคราะห์ และชี้แจงข้อโต้แย้ง^{[ 17 ]}โดยปกติจะมีคำศัพท์ที่จำกัดมากและกฎไวยากรณ์ ที่แน่นอน กฎเหล่านี้ระบุวิธีการรวมสัญลักษณ์เพื่อสร้างประโยค ซึ่งเรียกว่าสูตรที่ถูกต้อง^{[ 18 ]}ความเรียบง่ายและความแม่นยำของตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมทำให้สามารถกำหนดกฎการอนุมานที่แม่นยำได้ กฎเหล่านี้จะกำหนดว่าข้อโต้แย้งที่กำหนดนั้นถูกต้องหรือไม่^{[ 19 ]} เนื่องจากการพึ่งพาภาษาเชิงรูปธรรม ข้อโต้แย้ง ในภาษาธรรมชาติจึงไม่สามารถศึกษาได้โดยตรง แต่จำเป็นต้องแปลเป็นภาษาเชิงรูปธรรมก่อนจึงจะสามารถประเมินความถูกต้องได้^{[ 20 ]}

คำว่า "ตรรกะ" สามารถใช้ในความหมายที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในฐานะคำนามนับได้ ในความหมายนี้ตรรกะคือระบบเชิงตรรกะที่เป็นทางการ ตรรกะที่แตกต่างกันจะแตกต่างกันในเรื่องกฎการอนุมานที่พวกเขายอมรับว่าถูกต้องและภาษาที่เป็นทางการที่ใช้ในการแสดงออก^{[ 21 ]}ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา มีการเสนอระบบที่เป็นทางการใหม่ๆ มากมาย มีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับสิ่งที่ทำให้ระบบที่เป็นทางการเป็นตรรกะ^{[ 22 ]}ตัวอย่างเช่น มีการเสนอแนะว่าเฉพาะระบบที่สมบูรณ์ทางตรรกะ เช่น ตรรกะลำดับที่หนึ่ง เท่านั้น ที่มีคุณสมบัติเป็นตรรกะ ด้วยเหตุผลดังกล่าว นักทฤษฎีบางคนจึงปฏิเสธว่าตรรกะลำดับที่สูงกว่าเป็นตรรกะในความหมายที่เข้มงวด^{[ 23 ]}

เมื่อเข้าใจในความหมายกว้าง ตรรกะจะครอบคลุมทั้งตรรกะที่เป็นทางการและไม่เป็นทางการ^{[ 24 ]}ตรรกะที่ไม่เป็นทางการใช้เกณฑ์และมาตรฐานที่ไม่เป็นทางการในการวิเคราะห์และประเมินความถูกต้องของข้อโต้แย้ง โดยมุ่งเน้นที่การสนทนาในชีวิตประจำวันเป็นหลัก^{[ 25 ]}การพัฒนาตรรกะที่ไม่เป็นทางการเกิดขึ้นจากความยากลำบากในการนำความเข้าใจของตรรกะที่เป็นทางการไปใช้กับข้อโต้แย้งในภาษาธรรมชาติ^{[ 26 ]}ในแง่นี้ ตรรกะที่ไม่เป็นทางการจะพิจารณาปัญหาที่ตรรกะที่เป็นทางการเพียงอย่างเดียวไม่สามารถแก้ไขได้^{[ 27 ]}ทั้งสองอย่างมีเกณฑ์ในการประเมินความถูกต้องของข้อโต้แย้งและแยกแยะออกจากข้อผิดพลาด^{[ 28 ]}

มีการเสนอลักษณะเฉพาะของตรรกะแบบไม่เป็นทางการไว้มากมาย แต่ยังไม่มีข้อตกลงทั่วไปเกี่ยวกับคำจำกัดความที่แม่นยำ^{[ 29 ]}แนวทางที่ตรงตัวที่สุดคือการมองว่าคำว่า "เป็นทางการ" และ "ไม่เป็นทางการ" ใช้กับภาษาที่ใช้ในการแสดงข้อโต้แย้ง ตามมุมมองนี้ ตรรกะแบบไม่เป็นทางการศึกษาข้อโต้แย้งที่อยู่ในภาษาที่ไม่เป็นทางการหรือภาษาธรรมชาติ^{[ 30 ]}ตรรกะแบบเป็นทางการสามารถตรวจสอบข้อโต้แย้งเหล่านั้นได้โดยอ้อมเท่านั้น โดยการแปลเป็นภาษาที่เป็นทางการก่อน ในขณะที่ตรรกะแบบไม่เป็นทางการจะตรวจสอบข้อโต้แย้งเหล่านั้นในรูปแบบดั้งเดิม^{[ 31 ]}ตามมุมมองนี้ ข้อโต้แย้ง "นกบินได้ ทวีตี้เป็นนก ดังนั้น ทวีตี้จึงบินได้" จัดอยู่ในภาษาธรรมชาติและได้รับการตรวจสอบโดยตรรกะแบบไม่เป็นทางการ แต่การแปลที่เป็นทางการ "(1) ; (2) ; (3) " จะได้รับการศึกษาโดยตรรกะแบบเป็นทางการ^{[ 32 ]}การศึกษาข้อโต้แย้งในภาษาธรรมชาติมาพร้อมกับความยากลำบากต่างๆ ตัวอย่างเช่น การแสดงออกในภาษาธรรมชาติมักจะคลุมเครือ ไม่ชัดเจน และขึ้นอยู่กับบริบท^{[ 33 ]}แนวทางอื่นกำหนดตรรกะแบบไม่เป็นทางการในความหมายกว้างๆ ว่าเป็นการศึกษาเชิงบรรทัดฐานของมาตรฐาน เกณฑ์ และขั้นตอนของการโต้แย้ง ในความหมายนี้รวมถึงคำถามเกี่ยวกับบทบาทของความมีเหตุผล การคิด เชิงวิพากษ์และจิตวิทยาของการโต้แย้ง^{[ 34 ]}${\displaystyle \forall x.\mathrm {Bird} (x)\to \mathrm {Flies} (x)}$${\displaystyle \mathrm {Bird} (\mathrm {Tweety} )}$${\displaystyle \mathrm {แมลงวัน} (\mathrm {Tweety} )}$

ลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งระบุว่าตรรกะแบบไม่เป็นทางการเกี่ยวข้องกับการศึกษาข้อโต้แย้งที่ไม่ใช่การอนุมาน ในลักษณะนี้ มันจึงแตกต่างจากการให้เหตุผลแบบอนุมานที่ตรวจสอบโดยตรรกะแบบเป็นทางการ^{[ 35 ]}ข้อโต้แย้งที่ไม่ใช่การอนุมานทำให้ข้อสรุปมีความน่าจะเป็น แต่ไม่รับประกันว่าเป็นจริง ตัวอย่างเช่นข้อโต้แย้งแบบอุปมานจากการสังเกตเชิงประจักษ์ที่ว่า "อีกาทุกตัวที่ฉันเคยเห็นมาล้วนเป็นสีดำ" ไปสู่ข้อสรุปว่า "อีกาทุกตัวเป็นสีดำ" ^{[ 36 ]}

แนวทางเพิ่มเติมคือการกำหนดตรรกะแบบไม่เป็นทางการว่าเป็นการศึกษาเกี่ยวกับข้อผิดพลาดแบบไม่เป็นทางการ^{[ 37 ]}ข้อผิดพลาดแบบไม่เป็นทางการคือข้อโต้แย้งที่ไม่ถูกต้องซึ่งมีข้อผิดพลาดทั้งในเนื้อหาและบริบทของข้อโต้แย้ง^{[ 38 ]} ตัวอย่างเช่น ภาวะกลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่ผิดพลาดเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดด้านเนื้อหาโดยการยกเว้นตัวเลือกที่เป็นไปได้ นี่คือกรณีของข้อผิดพลาด "คุณอยู่กับเราหรือต่อต้านเรา คุณไม่ได้อยู่กับเรา ดังนั้น คุณจึงต่อต้านเรา" ^{[ 39 ]}นักทฤษฎีบางคนกล่าวว่าตรรกะแบบเป็นทางการศึกษาแบบแผนทั่วไปของข้อโต้แย้ง ในขณะที่ตรรกะแบบไม่เป็นทางการศึกษาตัวอย่างเฉพาะของข้อโต้แย้ง อีกแนวทางหนึ่งคือการถือว่าตรรกะแบบเป็นทางการพิจารณาเฉพาะบทบาทของค่าคงที่ทางตรรกะสำหรับการอนุมานที่ถูกต้อง ในขณะที่ตรรกะแบบไม่เป็นทางการยังคำนึงถึงความหมายของแนวคิด เชิงเนื้อหา ด้วย แนวทางเพิ่มเติมมุ่งเน้นไปที่การอภิปรายหัวข้อทางตรรกะโดยมีหรือไม่มีอุปกรณ์แบบเป็นทางการ และบทบาทของญาณวิทยาสำหรับการประเมินข้อโต้แย้ง^{[ 40 ]}

ข้อตั้งต้นและข้อสรุปเป็นส่วนประกอบพื้นฐานของการอนุมานหรือข้อโต้แย้ง ดังนั้นจึงมีบทบาทสำคัญในตรรกศาสตร์ ในกรณีของการอนุมานที่ถูกต้องหรือข้อโต้แย้งที่ถูกต้อง ข้อสรุปจะตามมาจากข้อตั้งต้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ข้อตั้งต้นสนับสนุนข้อสรุป^{[ 41 ]}ตัวอย่างเช่น ข้อตั้งต้น "ดาวอังคารเป็นสีแดง" และ "ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์" สนับสนุนข้อสรุป "ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์สีแดง" สำหรับตรรกศาสตร์ส่วนใหญ่ เป็นที่ยอมรับกันว่าข้อตั้งต้นและข้อสรุปต้องเป็นสิ่งที่มีค่าความจริง [ ^{41 ] [ a ] ​​ซึ่ง}หมายความว่าพวกมันมีค่าความจริงกล่าวคือ เป็นจริงหรือเท็จ ปรัชญาร่วมสมัยโดยทั่วไปมองว่าพวกมันเป็นประพจน์หรือประโยค^{[ 43 ]}ประพจน์คือความหมายของประโยคและมักถูกมองว่าเป็นวัตถุเชิงนามธรรม [ ^{44 ] ตัวอย่าง} เช่น ประโยคภาษาอังกฤษ " the tree is green" แตกต่างจากประโยคภาษาเยอรมัน "der Baum ist grün" แต่ทั้งสองประโยคแสดงถึงประพจน์เดียวกัน^{[ 45 ]}

ทฤษฎีเชิงประพจน์ของข้ออ้างและข้อสรุปมักถูกวิพากษ์วิจารณ์เพราะอาศัยวัตถุเชิงนามธรรม ตัวอย่างเช่นนักธรรมชาติวิทยาเชิงปรัชญามักปฏิเสธการมีอยู่ของวัตถุเชิงนามธรรม ข้อโต้แย้งอื่นๆ เกี่ยวข้องกับความท้าทายในการระบุเกณฑ์เอกลักษณ์ของประพจน์^{[ 43 ]}ข้อโต้แย้งเหล่านี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการมองข้ออ้างและข้อสรุปไม่ใช่ในฐานะประพจน์ แต่เป็นประโยค กล่าวคือ เป็นวัตถุทางภาษาที่เป็นรูปธรรม เช่น สัญลักษณ์ที่แสดงบนหน้าหนังสือ แต่แนวทางนี้มาพร้อมกับปัญหาใหม่ของตัวเอง ประโยคมักขึ้นอยู่กับบริบทและกำกวม ซึ่งหมายความว่าความถูกต้องของข้อโต้แย้งจะไม่เพียงขึ้นอยู่กับส่วนประกอบของมันเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับบริบทและวิธีการตีความด้วย^{[ 46 ]}อีกแนวทางหนึ่งคือการทำความเข้าใจข้ออ้างและข้อสรุปในแง่จิตวิทยาในฐานะความคิดหรือการตัดสิน ตำแหน่งนี้เรียกว่าจิตวิทยานิยมมีการอภิปรายกันอย่างกว้างขวางในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แต่ปัจจุบันไม่เป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวาง^{[ 47 ]}

ข้อตั้งต้นและข้อสรุปมีโครงสร้างภายใน ในฐานะประพจน์หรือประโยค พวกมันอาจเป็นแบบง่ายหรือแบบซับซ้อนก็ได้^{[ 48 ]}ประพจน์ที่ซับซ้อนมีประพจน์อื่นเป็นส่วนประกอบ ซึ่งเชื่อมโยงกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์เช่น "และ" หรือ "ถ้า...แล้ว" ในทางกลับกัน ประพจน์แบบง่ายไม่มีส่วนประกอบที่เป็นประพจน์ แต่ก็สามารถคิดได้ว่ามีโครงสร้างภายในเช่นกัน กล่าวคือ พวกมันประกอบด้วยส่วนประกอบย่อยของประพจน์ เช่นคำศัพท์เอกพจน์และภาคแสดง^{[ 49 ] [ 48 ]} ตัวอย่างเช่น ประพจน์แบบง่าย "ดาวอังคารเป็นสีแดง" สามารถสร้างขึ้นได้โดยการใช้ภาคแสดง "สีแดง" กับคำศัพท์เอกพจน์ "ดาวอังคาร" ในทางตรงกันข้าม ประพจน์ที่ซับซ้อน "ดาวอังคารเป็นสีแดงและดาวศุกร์เป็นสีขาว" ประกอบด้วยประพจน์แบบง่ายสองประพจน์ที่เชื่อมต่อกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" ^{[ 49 ]}

ความจริงของข้อเสนอขึ้นอยู่กับส่วนประกอบของข้อเสนอนั้นอย่างน้อยบางส่วน สำหรับข้อเสนอที่ซับซ้อนซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้ ตัวเชื่อมข้อเสนอ เชิงฟังก์ชันความจริงความจริงของข้อเสนอนั้นขึ้นอยู่กับค่าความจริงของส่วนประกอบเท่านั้น^{[ 49 ] [ 50 ]}แต่ความสัมพันธ์นี้ซับซ้อนกว่าในกรณีของข้อเสนอแบบง่ายและส่วนประกอบย่อยของข้อเสนอ ส่วนประกอบย่อยของข้อเสนอเหล่านี้มีความหมายของตัวเอง เช่น การอ้างถึงวัตถุหรือกลุ่มของวัตถุ^{[ 51 ]}ความจริงของข้อเสนอแบบง่ายที่ส่วนประกอบย่อยเหล่านี้สร้างขึ้นขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์กับความเป็นจริง กล่าวคือ ลักษณะของวัตถุที่ส่วนประกอบย่อยเหล่านี้อ้างถึง หัวข้อนี้ได้รับการศึกษาโดยทฤษฎีการอ้างอิง^{[ 52 ]}

ประโยคเงื่อนไขที่ซับซ้อนบางประโยคเป็นจริงโดยไม่ขึ้นอยู่กับความหมายเชิงเนื้อหาของส่วนประกอบต่างๆ^{[ 53 ]}ตัวอย่างเช่น ในตรรกศาสตร์แบบคลาสสิก ประโยคเงื่อนไขที่ซับซ้อน "ดาวอังคารเป็นสีแดงหรือดาวอังคารไม่ใช่สีแดง" เป็นจริงโดยไม่ขึ้นอยู่กับว่าส่วนประกอบต่างๆ เช่น ประโยคเงื่อนไขที่เรียบง่าย "ดาวอังคารเป็นสีแดง" เป็นจริงหรือเท็จ ในกรณีเช่นนี้ ความจริงนั้นเรียกว่าความจริงเชิงตรรกะ: ประโยคเงื่อนไขเป็นจริงเชิงตรรกะหากความจริงของประโยคเงื่อนไขนั้นขึ้นอยู่กับคำศัพท์เชิงตรรกะที่ใช้ในประโยคเงื่อนไขนั้นเท่านั้น^{[ 54 ]}ซึ่งหมายความว่าประโยคเงื่อนไขนั้นเป็นจริงภายใต้การตีความทั้งหมดของคำศัพท์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ ในตรรกศาสตร์เชิงโมดอล บางประเภท หมายความว่าประโยคเงื่อนไขนั้นเป็นจริงในทุกโลกที่เป็นไปได้^{[ 55 ]}นักทฤษฎีบางคนนิยามตรรกศาสตร์ว่าเป็นการศึกษาความจริงเชิงตรรกะ^{[ 16 ]}

ตารางความจริงสามารถใช้เพื่อแสดงวิธีการทำงานของตัวเชื่อมทางตรรกะ หรือวิธีที่ค่าความจริงของประพจน์ที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับส่วนประกอบต่างๆ ตารางความจริงจะมีคอลัมน์สำหรับตัวแปรอินพุตแต่ละตัว แต่ละแถวจะสอดคล้องกับชุดค่าความจริงที่เป็นไปได้หนึ่งชุดที่ตัวแปรเหล่านี้สามารถรับได้ สำหรับตารางความจริงที่นำเสนอในวรรณกรรมภาษาอังกฤษ สัญลักษณ์ "T" และ "F" หรือ "1" และ "0" มักใช้เป็นตัวย่อสำหรับค่าความจริง "จริง" และ "เท็จ" ^{[ 56 ]}คอลัมน์แรกๆ จะแสดงชุดค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับตัวแปรอินพุต รายการในคอลัมน์อื่นๆ จะแสดงค่าความจริงของนิพจน์ที่สอดคล้องกันตามที่กำหนดโดยค่าอินพุต ตัวอย่างเช่น นิพจน์" "${\displaystyle p\land q}$ใช้ตัวเชื่อมทางตรรกะ( และ ) สามารถใช้เพื่อแสดงประโยคเช่น "เมื่อวานเป็นวันอาทิตย์และอากาศดี" นิพจน์นี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวแปรอินพุตทั้งสองตัว("เมื่อวานเป็นวันอาทิตย์") และ("อากาศดี") เป็นจริง ในกรณีอื่นๆ นิพจน์โดยรวมจะเป็นเท็จ ตัวเชื่อมตรรกะที่สำคัญอื่นๆ ได้แก่( ไม่ใช่ ), ( หรือ ), ( ถ้า...แล้ว ) และ( Sheffer stroke ) ^{[ 57 ]}เมื่อกำหนดประโยคเงื่อนไขแล้วเราสามารถสร้างตารางความจริงของประโยคผกผันประโยคผกผัน( )และประโยคแย้ง( ) ได้ นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดตารางความจริงสำหรับนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่าที่ใช้ตัวเชื่อมประโยคหลายตัวได้^{[ 58 ]}${\displaystyle \land }$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle q\to p}$${\displaystyle \lnot p\to \lnot q}$${\displaystyle \lnot q\to \lnot p}$

โดยทั่วไปแล้วตรรกศาสตร์จะถูกนิยามในแง่ของข้อโต้แย้งหรือการอนุมานว่าเป็นการศึกษาความถูกต้องของข้อโต้แย้งเหล่านั้น^{[ 59 ]}ข้อโต้แย้งคือชุดของข้ออ้างพร้อมกับข้อสรุป^{[ 60 ]}การอนุมานคือกระบวนการให้เหตุผลจากข้ออ้างเหล่านี้ไปสู่ข้อสรุป^{[ 43 ]}แต่คำศัพท์เหล่านี้มักใช้แทนกันได้ในตรรกศาสตร์ ข้อโต้แย้งจะถูกต้องหรือไม่ถูกต้องขึ้นอยู่กับว่าข้ออ้างสนับสนุนข้อสรุปหรือไม่ ในทางกลับกัน ข้ออ้างและข้อสรุปจะเป็นจริงหรือเท็จขึ้นอยู่กับว่าสอดคล้องกับความเป็นจริงหรือไม่ ในตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม ข้อโต้แย้งที่ สมเหตุสมผลคือข้อโต้แย้งที่ถูกต้องและมีข้ออ้างที่เป็นจริงเท่านั้น^{[ 61 ]}บางครั้งมีการแบ่งแยกความแตกต่างระหว่างข้อโต้แย้งแบบง่ายและแบบซับซ้อน ข้อโต้แย้งแบบซับซ้อนประกอบด้วยห่วงโซ่ของข้อโต้แย้งแบบง่าย ซึ่งหมายความว่าข้อสรุปของข้อโต้แย้งหนึ่งทำหน้าที่เป็นข้ออ้างของข้อโต้แย้งในภายหลัง เพื่อให้ข้อโต้แย้งแบบซับซ้อนประสบความสำเร็จ แต่ละส่วนของห่วงโซ่จะต้องประสบความสำเร็จ^{[ 43 ]}

ข้อโต้แย้งและการอนุมานนั้นถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง หากถูกต้อง ข้ออ้างของพวกเขาจะสนับสนุนข้อสรุป ในกรณีที่ไม่ถูกต้อง การสนับสนุนนี้จะหายไป การสนับสนุนนี้สามารถมีรูปแบบที่แตกต่างกันไปตามประเภทของการให้เหตุผลที่ แตกต่างกัน ^{[ 62 ]}รูปแบบการสนับสนุนที่แข็งแกร่งที่สุดสอดคล้องกับการให้เหตุผลแบบนิรนัยแต่แม้แต่ข้อโต้แย้งที่ไม่ถูกต้องตามหลักนิรนัยก็อาจยังคงเป็นข้อโต้แย้งที่ดีได้ เพราะข้ออ้างของพวกเขามีการสนับสนุนที่ไม่ใช่แบบนิรนัยต่อข้อสรุป ในกรณีเช่นนี้จะใช้ คำว่า การให้เหตุผล แบบขยายความหรือแบบอุปนัย^{[ 63 ]}ข้อโต้แย้งแบบนิรนัยเกี่ยวข้องกับตรรกะเชิงรูปธรรม ตรงกันข้ามกับความสัมพันธ์ระหว่างข้อโต้แย้งแบบขยายความกับตรรกะเชิงไม่เป็นทางการ^{[ 64 ]}

ข้อโต้แย้งที่ถูกต้องตามหลักการอนุมานคือข้อโต้แย้งที่มีข้อตั้งต้นที่รับประกันความจริงของข้อสรุป^{[ 11 ]}ตัวอย่างเช่น ข้อโต้แย้ง "(1) กบทุกตัวเป็นสัตว์ครึ่งบกครึ่งน้ำ; (2) ไม่มีแมวตัวใดเป็นสัตว์ครึ่งบกครึ่งน้ำ; (3) ดังนั้น ไม่มีแมวตัวใดเป็นกบ" เป็นข้อโต้แย้งที่ถูกต้องตามหลักการอนุมาน สำหรับความถูกต้องตามหลักการอนุมาน ไม่สำคัญว่าข้อตั้งต้นหรือข้อสรุปจะเป็นจริงหรือไม่ ดังนั้น ข้อโต้แย้ง "(1) กบทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม; (2) ไม่มีแมวตัวใดเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม; (3) ดังนั้น ไม่มีแมวตัวใดเป็นกบ" ก็มีความถูกต้องเช่นกัน เพราะข้อสรุปเป็นไปตามข้อตั้งต้นอย่างจำเป็น^{[ 65 ]}

ตามมุมมองที่มีอิทธิพลของAlfred Tarskiการให้เหตุผลแบบนิรนัยมีคุณลักษณะสำคัญสามประการ: (1) เป็นแบบเป็นทางการ กล่าวคือขึ้นอยู่กับรูปแบบของข้ออ้างและข้อสรุปเท่านั้น (2) เป็นแบบอภิปรัชญา กล่าวคือไม่จำเป็นต้องมีประสบการณ์ทางประสาทสัมผัสเพื่อกำหนดว่าเป็นจริงหรือไม่ (3) เป็นแบบโมดอล กล่าวคือเป็นไปตามความจำเป็นทางตรรกะสำหรับข้อเสนอที่กำหนด โดยไม่ขึ้นอยู่กับสถานการณ์อื่นใด^{[ 66 ]}

เนื่องจากคุณลักษณะแรกคือการเน้นที่รูปแบบ การอนุมานแบบนิรนัยจึงมักถูกระบุว่าเป็นกฎการอนุมาน^{[ 67 ]}กฎการอนุมานระบุรูปแบบของข้อสมมติและข้อสรุป: ต้องมีโครงสร้างอย่างไรเพื่อให้การอนุมานนั้นถูกต้อง ข้อโต้แย้งที่ไม่เป็นไปตามกฎการอนุมานใด ๆ ถือว่าไม่ถูกต้องตามหลักนิรนัย^{[ 68 ]} modus ponensเป็นกฎการอนุมานที่โดดเด่น มีรูปแบบ " p ; ถ้าpแล้วq ; ดังนั้นq " ^{[ 69 ]}เมื่อทราบว่าเพิ่งฝนตก ( ) และหลังจากฝนตกถนนก็เปียก ( ) เราสามารถใช้modus ponensเพื่ออนุมานว่าถนนเปียก ( ) ^{[ 70 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle q}$

คุณลักษณะประการที่สามสามารถแสดงได้โดยการระบุว่าการอนุมานแบบนิรนัยที่ถูกต้องนั้นรักษาความจริงไว้ กล่าวคือ เป็นไปไม่ได้ที่ข้อตั้งต้นจะเป็นจริงและข้อสรุปจะเป็นเท็จ^{[ 71 ]}เนื่องจากคุณลักษณะนี้ จึงมักมีการกล่าวอ้างว่าการอนุมานแบบนิรนัยนั้นไม่มีข้อมูล เนื่องจากข้อสรุปไม่สามารถนำไปสู่ข้อมูลใหม่ที่ไม่มีอยู่ในข้อตั้งต้นได้^{[ 72 ]}แต่ประเด็นนี้ไม่ได้รับการยอมรับเสมอไป เพราะนั่นหมายความว่า ตัวอย่างเช่น คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่มีข้อมูล การกำหนดลักษณะที่แตกต่างกันจะแยกแยะระหว่างข้อมูลพื้นผิวและข้อมูลเชิงลึก ข้อมูลพื้นผิวของประโยคคือข้อมูลที่แสดงออกมาอย่างชัดเจน ข้อมูลเชิงลึกคือข้อมูลทั้งหมดที่มีอยู่ในประโยค ทั้งที่แสดงออกมาอย่างชัดเจนและโดยนัย ตามมุมมองนี้ การอนุมานแบบนิรนัยไม่มีข้อมูลในระดับเชิงลึก แต่สามารถให้ข้อมูลได้มากในระดับพื้นผิวโดยการทำให้ข้อมูลโดยนัยปรากฏออกมาอย่างชัดเจน สิ่งนี้เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์^{[ 73 ]}

ข้อโต้แย้งเชิงขยายความคือข้อโต้แย้งที่มีข้อสรุปซึ่งมีข้อมูลเพิ่มเติมที่ไม่พบในข้ออ้าง ในแง่นี้ ข้อโต้แย้งเหล่านี้จึงน่าสนใจยิ่งขึ้น เนื่องจากมีข้อมูลในระดับที่ลึกซึ้งกว่า และผู้คิดอาจได้เรียนรู้สิ่งใหม่ๆ อย่างแท้จริง แต่คุณลักษณะนี้มาพร้อมกับต้นทุนบางประการ: ข้ออ้างสนับสนุนข้อสรุปในแง่ที่ว่าทำให้ความจริงของข้อสรุปนั้นมีแนวโน้มมากขึ้น แต่ไม่ได้รับประกันความจริงของข้อสรุปนั้น^{[ 74 ]}ซึ่งหมายความว่าข้อสรุปของข้อโต้แย้งเชิงขยายความอาจเป็นเท็จได้ แม้ว่าข้ออ้างทั้งหมดจะเป็นจริงก็ตาม ลักษณะนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความไม่เป็นไปตามลำดับและความสามารถในการหักล้างได้ : อาจจำเป็นต้องถอนข้อสรุปก่อนหน้านี้เมื่อได้รับข้อมูลใหม่หรือเมื่อพิจารณาจากข้อสรุปใหม่ที่ได้รับ^{[ 75 ]}การให้เหตุผลเชิงขยายความมีบทบาทสำคัญในข้อโต้แย้งมากมายที่พบในการสนทนาในชีวิตประจำวันและในวิทยาศาสตร์ ข้อโต้แย้งเชิงขยายความไม่ได้ผิดโดยอัตโนมัติ แต่เป็นไปตามมาตรฐานความถูกต้องที่แตกต่างกัน การสนับสนุนที่ข้อโต้แย้งเหล่านี้มอบให้แก่ข้อสรุปมักมาในระดับต่างๆ ซึ่งหมายความว่าข้อโต้แย้งเชิงขยายความที่แข็งแกร่งทำให้ข้อสรุปมีแนวโน้มสูงมาก ในขณะที่ข้อโต้แย้งที่อ่อนแอมีความแน่นอนน้อยกว่า ผลที่ตามมาคือ เส้นแบ่งระหว่างข้อโต้แย้งที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องนั้นคลุมเครือในบางกรณี เช่น เมื่อข้ออ้างให้การสนับสนุนที่อ่อนแอแต่ไม่สามารถละเลยได้ ซึ่งแตกต่างจากข้อโต้แย้งแบบนิรนัยซึ่งถูกต้องหรือไม่ถูกต้องเท่านั้น ไม่มีอะไรอยู่ตรงกลาง^{[ 76 ]}

คำศัพท์ที่ใช้ในการจัดหมวดหมู่ข้อโต้แย้งแบบขยายความนั้นไม่สอดคล้องกัน ผู้เขียนบางคน เช่น เจมส์ ฮอว์ธอร์น ใช้คำว่า " การเหนี่ยวนำ " เพื่อครอบคลุมข้อโต้แย้งที่ไม่ใช่การอนุมานทุกรูปแบบ^{[ 77 ]}แต่ในความหมายที่แคบกว่าการเหนี่ยวนำเป็นเพียงข้อโต้แย้งแบบขยายความประเภทหนึ่งควบคู่ไปกับข้อโต้แย้งแบบอนุมาน แบบอุปนัย ^{[ 78 ]}นักปรัชญาบางคน เช่นลีโอ โกรอาร์กยังอนุญาตให้ข้อโต้แย้งแบบนำพา^{[ b ]}เป็นอีกประเภทหนึ่งด้วย^{[ 79 ]}ในความหมายที่แคบนี้ การเหนี่ยวนำมักถูกนิยามว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการสรุปเชิงสถิติ^{[ 80 ]}ในกรณีนี้ ข้ออ้างของข้อโต้แย้งแบบเหนี่ยวนำคือการสังเกตแต่ละครั้งจำนวนมากที่แสดงให้เห็นถึงรูปแบบบางอย่าง ข้อสรุปจึงเป็นกฎทั่วไปที่รูปแบบนี้เกิดขึ้นเสมอ^{[ 81 ]}ในความหมายนี้ เราอาจอนุมานได้ว่า "ช้างทุกตัวเป็นสีเทา" โดยอิงจากการสังเกตสีของช้างในอดีตของเรา^{[ 78 ]}รูปแบบการอนุมานแบบอุปนัยที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดมีข้อสรุปไม่ใช่กฎทั่วไป แต่เป็นตัวอย่างเฉพาะเจาะจง เช่น เมื่ออนุมานได้ว่าช้างที่ยังไม่เคยเห็นก็มีสีเทาเช่นกัน^{[ 81 ]}นักทฤษฎีบางคน เช่น Igor Douven กำหนดว่าการอนุมานแบบอุปนัยขึ้นอยู่กับการพิจารณาทางสถิติเท่านั้น ด้วยวิธีนี้จึงสามารถแยกแยะออกจากการอนุมานแบบอภินัยได้^{[ 78 ]}

การอนุมานแบบอุปนัยอาจพิจารณาหรือไม่พิจารณาการสังเกตทางสถิติก็ได้ ไม่ว่าในกรณีใด ข้อสันนิษฐานจะให้การสนับสนุนข้อสรุปเพราะข้อสรุปเป็นคำอธิบาย ที่ดีที่สุด ว่าทำไมข้อสันนิษฐานจึงเป็นจริง^{[ 82 ]}ในแง่นี้ การอนุมานแบบอุปนัยจึงเรียกว่าการอนุมานไปสู่คำอธิบายที่ดีที่สุด [ ^{83 ] ตัวอย่าง}เช่น เมื่อพิจารณาข้อสันนิษฐานว่ามีจานที่มีเศษขนมปังอยู่ในครัวในตอนเช้าตรู่ เราอาจอนุมานข้อสรุปได้ว่าเพื่อนร่วมบ้านของเรากินอาหารว่างตอนเที่ยงคืนและเหนื่อยเกินกว่าจะทำความสะอาดโต๊ะ ข้อสรุปนี้สมเหตุสมผลเพราะเป็นคำอธิบายที่ดีที่สุดเกี่ยวกับสภาพปัจจุบันของครัว^{[ 78 ]}สำหรับการอนุมานแบบอุปนัย การที่ข้อสรุปอธิบายข้อสันนิษฐานนั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ข้อสรุปที่ว่าโจรบุกเข้ามาในบ้านเมื่อคืนนี้ หิวระหว่างทำงาน และกินอาหารว่างตอนเที่ยงคืน ก็สามารถอธิบายสภาพของครัวได้เช่นกัน แต่ข้อสรุปนี้สมเหตุสมผลเพราะไม่ใช่คำอธิบายที่ดีที่สุดหรือน่าจะเป็นไปได้มากที่สุด^{[ 82 ] [ 83 ]}

ไม่ใช่ว่าข้อโต้แย้งทั้งหมดจะตรงตามมาตรฐานของการให้เหตุผลที่ถูกต้อง เมื่อไม่เป็นเช่นนั้น ข้อโต้แย้งเหล่านั้นมักจะถูกเรียกว่าเป็นข้อผิดพลาดทางตรรกะ ประเด็นสำคัญของข้อผิดพลาดทางตรรกะไม่ใช่ว่าข้อสรุปนั้นเป็นเท็จ แต่เป็นเพราะมีข้อบกพร่องบางอย่างในการให้เหตุผลที่นำไปสู่ข้อสรุปนั้น^{[ 84 ]}ดังนั้น ข้อโต้แย้งที่ว่า "วันนี้แดดออก ดังนั้นแมงมุมจึงมีแปดขา" จึงเป็นข้อผิดพลาดทางตรรกะ แม้ว่าข้อสรุปจะเป็นจริงก็ตาม นักทฤษฎีบางคน เช่นจอห์น สจ๊วต มิลล์ให้คำจำกัดความของข้อผิดพลาดทางตรรกะที่เข้มงวดมากขึ้น โดยกำหนดเพิ่มเติมว่าข้อผิดพลาดเหล่านั้นต้องดูเหมือนถูกต้องด้วย^{[ 85 ]}ด้วยวิธีนี้ ข้อผิดพลาดทางตรรกะที่แท้จริงจึงสามารถแยกแยะออกจากความผิดพลาดในการให้เหตุผลที่เกิดจากความประมาทได้ นี่อธิบายได้ว่าทำไมผู้คนจึงมักกระทำข้อผิดพลาดทางตรรกะ เพราะข้อผิดพลาดเหล่านั้นมีองค์ประกอบที่ดึงดูดใจซึ่งชักจูงให้ผู้คนกระทำและยอมรับมัน^{[ 86 ]}อย่างไรก็ตาม การอ้างอิงถึงลักษณะที่ปรากฏนี้เป็นที่ถกเถียงกัน เพราะมันอยู่ในสาขาจิตวิทยาไม่ใช่ตรรกศาสตร์ และเพราะลักษณะที่ปรากฏอาจแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล^{[ 87 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ข้อผิดพลาดทางตรรกะจะแบ่งออกเป็น ข้อผิดพลาด ทางตรรกะแบบเป็นทางการและแบบไม่เป็นทางการ^{[ 38 ]}สำหรับข้อผิดพลาดทางตรรกะแบบเป็นทางการ แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดจะพบได้ในรูปแบบของข้อโต้แย้ง ตัวอย่างเช่นการปฏิเสธคำนำหน้าเป็นข้อผิดพลาดทางตรรกะแบบเป็นทางการประเภทหนึ่ง เช่น "ถ้าโอเทลโลเป็นโสด แสดงว่าเขาเป็นผู้ชาย โอเทลโลไม่ใช่โสด ดังนั้นโอเทลโลจึงไม่ใช่ผู้ชาย" ^{[ 88 ]}แต่ข้อผิดพลาดทางตรรกะส่วนใหญ่อยู่ในประเภทของข้อผิดพลาดทางตรรกะแบบไม่เป็นทางการ ซึ่งมีการกล่าวถึงหลากหลายในวรรณกรรมทางวิชาการ แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดมักจะพบได้ในเนื้อหาหรือบริบทของข้อโต้แย้ง^{[ 89 ]}บางครั้งข้อผิดพลาดทางตรรกะแบบไม่เป็นทางการถูกจัดประเภทเป็นข้อผิดพลาดทางตรรกะของความคลุมเครือ ข้อผิดพลาดทางตรรกะของการสันนิษฐาน หรือข้อผิดพลาดทางตรรกะของความเกี่ยวข้อง สำหรับข้อผิดพลาดทางตรรกะของความคลุมเครือ ความคลุมเครือและความไม่ชัดเจนของภาษาธรรมชาติเป็นสาเหตุของข้อบกพร่อง เช่น "ขนนกมีสีอ่อน สิ่งที่มีสีอ่อนไม่สามารถมืดได้ ดังนั้นขนนกจึงไม่สามารถมืดได้" ^{[ 90 ]}ความผิดพลาดของการสันนิษฐานมีข้อตั้งต้นที่ผิดหรือไม่สมเหตุสมผล แต่อาจถูกต้องได้ในกรณีอื่น^{[ 91 ]}ในกรณีของความผิดพลาดของความเกี่ยวข้อง ข้อตั้งต้นไม่สนับสนุนข้อสรุปเพราะไม่เกี่ยวข้องกับข้อสรุปนั้น^{[ 92 ]}

จุดสนใจหลักของนักตรรกศาสตร์ส่วนใหญ่คือการศึกษาเกณฑ์ที่ใช้ในการพิจารณาว่าข้อโต้แย้งนั้นถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง หากละเมิดเกณฑ์เหล่านี้ จะถือว่าเป็นการผิดพลาด ในกรณีของตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม เกณฑ์เหล่านี้เรียกว่ากฎการอนุมาน [ ^{93 ] กฎ}เหล่านี้เป็นกฎที่กำหนดว่าการอนุมานนั้นถูกต้องหรือไม่ หรือการอนุมานใดบ้างที่ได้รับอนุญาต กฎที่กำหนดนั้นแตกต่างจากกฎเชิงกลยุทธ์ กฎเชิงกลยุทธ์ระบุว่าการอนุมานใดบ้างที่จำเป็นเพื่อให้ได้ข้อสรุปที่กำหนดโดยอิงจากชุดของข้อสมมติ ความแตกต่างนี้ไม่ได้ใช้เฉพาะกับตรรกศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้กับเกมด้วยตัวอย่างเช่น ใน หมากรุก กฎที่กำหนดระบุว่า บิชอปสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะในแนวทแยงเท่านั้น ในทางกลับกัน กฎเชิงกลยุทธ์อธิบายว่าการเคลื่อนไหวที่อนุญาตนั้นสามารถนำมาใช้เพื่อชนะเกมได้อย่างไร เช่น โดยการควบคุมศูนย์กลางและโดยการป้องกันราชา ของ ตน^{[ 94 ]}มีการโต้แย้งว่านักตรรกศาสตร์ควรให้ความสำคัญกับกฎเชิงกลยุทธ์มากขึ้น เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับการให้เหตุผลที่มีประสิทธิภาพ^{[ 93 ]}

ระบบตรรกะที่เป็นทางการประกอบด้วยภาษาที่เป็นทางการพร้อมกับชุดของสัจพจน์และระบบการพิสูจน์ที่ใช้ในการอนุมานจากสัจพจน์เหล่านี้^{[ 95 ]}ในตรรกะ สัจพจน์คือข้อความที่ยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ พวกมันถูกใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความอื่นๆ^{[ 96 ]}นักทฤษฎีบางคนยังรวมถึงความหมายที่ระบุว่าการแสดงออกของภาษาที่เป็นทางการเกี่ยวข้องกับวัตถุจริงอย่างไร^{[ 97 ]}ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา มีการเสนอระบบที่เป็นทางการใหม่ๆ มากมาย^{[ 98 ]}

ภาษาทางการประกอบด้วยตัวอักษรและกฎไวยากรณ์ ตัวอักษรคือชุดของสัญลักษณ์พื้นฐานที่ใช้ในนิพจน์กฎไวยากรณ์กำหนดวิธีการจัดเรียงสัญลักษณ์เหล่านี้เพื่อให้ได้สูตรที่ถูกต้อง^{[ 99 ]}ตัวอย่างเช่น กฎไวยากรณ์ของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์กำหนดว่า" "${\displaystyle P\land Q}$เป็นสูตรที่ถูกต้อง แต่" "${\displaystyle \land Q}$ไม่ใช่ เนื่องจากการเชื่อมโยงเชิงตรรกะต้องการเงื่อนไขทั้งสองด้าน^{[ 100 ]}${\displaystyle \land }$

ระบบการพิสูจน์คือชุดของกฎเพื่อสร้างการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ เป็นเครื่องมือในการสรุปผลจากชุดของสัจพจน์ กฎในระบบการพิสูจน์ถูกกำหนดในแง่ของรูปแบบทางไวยากรณ์ของสูตรโดยไม่ขึ้นอยู่กับเนื้อหาเฉพาะ ตัวอย่างเช่น กฎคลาสสิกของการแนะนำการเชื่อมโยงระบุว่าตามมาจากข้อสมมติและกฎดังกล่าวสามารถนำไปใช้ตามลำดับ ทำให้เกิดขั้นตอนเชิงกลในการสร้างข้อสรุปจากข้อสมมติ มีระบบการพิสูจน์หลายประเภท รวมถึงการอนุมานตามธรรมชาติและแคลคูลัสลำดับ^{[ 101 ]}${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

ความหมายคือระบบสำหรับการแมปการแสดงออกของภาษาที่เป็นทางการไปยังความหมายแทนค่า ในระบบตรรกะหลายระบบ ความหมายแทนค่าคือค่าความจริง ตัวอย่างเช่น ความหมายสำหรับ ตรรกะเชิงประพจน์ แบบคลาสสิกกำหนดให้สูตรมีความหมายแทนค่า "จริง" เมื่อใดก็ตามที่และเป็นจริง จากมุมมองทางความหมาย ข้อตั้งต้นจะนำไปสู่ข้อสรุปหากข้อสรุปเป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่ข้อตั้งต้นเป็นจริง^{[ 102 ]}${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

ระบบตรรกะจะสมบูรณ์เมื่อระบบพิสูจน์ของระบบนั้นไม่สามารถสรุปผลจากชุดของข้อสมมติได้ เว้นแต่ว่าข้อสมมตินั้นจะถูกอนุมานทางความหมายโดยข้อสมมตินั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบพิสูจน์ของระบบนั้นไม่สามารถนำไปสู่ข้อสรุปที่ผิดพลาดได้ ตามความหมายที่กำหนดไว้ ระบบจะสมบูรณ์เมื่อระบบพิสูจน์ของระบบนั้นสามารถสรุปผลทุกข้อที่ถูกอนุมานทางความหมายโดยข้อสมมติของระบบนั้นได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบพิสูจน์ของระบบนั้นสามารถนำไปสู่ข้อสรุปที่เป็นจริงได้ทุกข้อ ตามความหมายที่กำหนดไว้ ดังนั้น ความสมบูรณ์และความครบถ้วนจึงอธิบายระบบที่มีแนวคิดเรื่องความถูกต้องและการอนุมานที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์แบบ^{[ 103 ]}

ระบบตรรกะเป็นกรอบทฤษฎีสำหรับการประเมินความถูกต้องของการให้เหตุผลและข้อโต้แย้ง เป็นเวลากว่าสองพันปีแล้วที่ตรรกะของอริสโตเติลถูกมองว่าเป็นหลักการของตรรกะในโลกตะวันตก^{[ 104 ]}แต่การพัฒนาสมัยใหม่ในสาขานี้ได้นำไปสู่การแพร่หลายของระบบตรรกะมากมาย^{[ 105 ]}การจัดหมวดหมู่ที่โดดเด่นอย่างหนึ่งแบ่งระบบตรรกะที่เป็นทางการสมัยใหม่เป็นตรรกะแบบคลาสสิกตรรกะแบบขยาย และตรรกะแบบเบี่ยงเบน^{[ 106 ]}

ตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลครอบคลุมหัวข้อที่หลากหลายมาก ซึ่งรวมถึง วิทยานิพนธ์ เชิงอภิปรัชญาเกี่ยวกับ หมวดหมู่ ทางภววิทยาและปัญหาของการอธิบายทางวิทยาศาสตร์ แต่ในความหมายที่แคบกว่านั้น มันก็เหมือนกับ ตรรกศาสตร์เชิงคำศัพท์ หรือตรรกบท ตรรก บทเป็นรูปแบบของการโต้แย้งที่เกี่ยวข้องกับประพจน์สามประพจน์ ได้แก่ ข้อตั้งต้นสองข้อและข้อสรุปหนึ่งข้อ ประพจน์แต่ละประพจน์มีส่วนประกอบที่สำคัญสามส่วน ได้แก่ประธานภาคแสดง และคำเชื่อมที่เชื่อมประธานกับภาคแสดง^{[ 107 ]}ตัวอย่างเช่น ประพจน์ "โสกราตีสฉลาด" ประกอบด้วยประธาน "โสกราตีส" ภาคแสดง "ฉลาด" และคำเชื่อม "คือ" ^{[ 108 ]}ประธานและภาคแสดงเป็นคำศัพท์ของประพจน์ ตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลไม่มีประพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยประพจน์ง่ายๆ มันแตกต่างจากตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ในแง่นี้ ซึ่งประพจน์สองประพจน์ใดๆ ก็สามารถเชื่อมโยงกันได้โดยใช้ตัวเชื่อมทางตรรกะ เช่น "และ" เพื่อสร้างประพจน์ที่ซับซ้อนใหม่^{[ 109 ]}

ในตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล ประธานสามารถเป็นสากลเฉพาะเจาะจงไม่เจาะจงหรือเอกพจน์ได้ตัวอย่างเช่น คำว่า "มนุษย์ทั้งหมด" เป็นประธานสากลในประโยค "มนุษย์ทุกคนต้องตาย" ประโยคที่คล้ายกันนี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยการแทนที่ด้วยคำเฉพาะเจาะจงว่า "มนุษย์บางคน" คำไม่เจาะจงว่า "มนุษย์คนหนึ่ง" หรือคำเอกพจน์ว่า "โสกราตีส" ^{[ 110 ]}

ตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลมีเพียงภาคแสดงสำหรับคุณสมบัติ ง่ายๆ ของสิ่งต่างๆ เท่านั้น แต่ขาดภาคแสดงที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งต่างๆ^{[ 111 ]}ภาคแสดงสามารถเชื่อมโยงกับประธานได้สองวิธี คือ การยืนยันหรือการปฏิเสธ^{[ 112 ]}ตัวอย่างเช่น ประโยค "โสกราตีสไม่ใช่แมว" เกี่ยวข้องกับการปฏิเสธภาคแสดง "แมว" ต่อประธาน "โสกราตีส" การใช้การรวมกันของประธานและภาคแสดง สามารถสร้างประโยคและตรรกบทได้หลากหลาย ตรรกบทมีลักษณะเฉพาะคือ ข้อตั้งต้นเชื่อมโยงกันและเชื่อมโยงกับข้อสรุปโดยการใช้คำร่วมกันหนึ่งคำในแต่ละกรณี^{[ 113 ]}ดังนั้น ประโยคทั้งสามนี้จึงมีสามคำ ซึ่งเรียกว่าคำหลักคำรองและคำกลาง^{[ 114 ]}ประเด็นสำคัญของตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลคือการจำแนกตรรกบทที่เป็นไปได้ทั้งหมดออกเป็นข้อโต้แย้งที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องตามวิธีการสร้างประโยค^{[ 112 ] [ 115 ]}ตัวอย่างเช่น ตรรกบท “มนุษย์ทุกคนต้องตาย โสกราตีสเป็นมนุษย์ ดังนั้นโสกราตีสจึงต้องตาย” นั้นถูกต้อง ตรรกบท “แมวทุกตัวต้องตาย โสกราตีสจึงต้องตาย ดังนั้นโสกราตีสจึงเป็นแมว” นั้นไม่ถูกต้อง^{[ 116 ]}

ตรรกศาสตร์คลาสสิกแตกต่างจากตรรกศาสตร์แบบดั้งเดิมหรือตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล โดยครอบคลุมทั้งตรรกศาสตร์เชิงประพจน์และตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง เรียกว่า "คลาสสิก" ในแง่ที่ว่ามันอิงอยู่กับสัญชาตญาณเชิงตรรกะพื้นฐานที่นักตรรกศาสตร์ส่วนใหญ่มีร่วมกัน^{[ 117 ]}สัญชาตญาณเหล่านี้ได้แก่กฎของสิ่งที่ไม่รวมอยู่ตรงกลางการกำจัดการปฏิเสธซ้ำซ้อนหลักการระเบิดและค่าสองค่าของความจริง^{[ 118 ]}เดิมทีมันถูกพัฒนาขึ้นเพื่อวิเคราะห์ข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ และต่อมาจึงนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาอื่นๆ ด้วย เนื่องจากเน้นที่คณิตศาสตร์เป็นหลัก มันจึงไม่ได้รวมคำศัพท์เชิงตรรกะที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อสำคัญทางปรัชญาอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างของแนวคิดที่มันมองข้ามไป ได้แก่ ความแตกต่างระหว่างความจำเป็นและความเป็นไปได้ และปัญหาของภาระผูกพันทางจริยธรรมและการอนุญาต ในทำนองเดียวกัน มันไม่ได้กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างอดีต ปัจจุบัน และอนาคต^{[ 119 ]}ประเด็นดังกล่าวได้รับการกล่าวถึงโดยตรรกศาสตร์แบบขยาย พวกเขาสร้างบนพื้นฐานของสัญชาตญาณพื้นฐานของตรรกะแบบคลาสสิกและขยายมันโดยการแนะนำคำศัพท์ตรรกะใหม่ ด้วยวิธีนี้ แนวทางตรรกะที่แม่นยำจะถูกนำไปใช้กับสาขาต่างๆ เช่นจริยศาสตร์หรือญาณวิทยาที่อยู่นอกเหนือขอบเขตของคณิตศาสตร์^{[ 120 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ประกอบด้วยระบบที่เป็นทางการซึ่งสูตรถูกสร้างขึ้นจากประพจน์อะตอมโดยใช้ตัวเชื่อมทางตรรกะตัวอย่างเช่น ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แสดงการเชื่อมโยงของประพจน์อะตอมสองประพจน์เป็นสูตรที่ซับซ้อน แตกต่างจากตรรกศาสตร์ภาคแสดงซึ่งเทอมและภาคแสดงเป็นหน่วยที่เล็กที่สุด ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ใช้ประพจน์ที่สมบูรณ์พร้อมค่าความจริงเป็นองค์ประกอบพื้นฐานที่สุด^{[ 121 ]}ดังนั้น ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์จึงสามารถแสดงความสัมพันธ์ทางตรรกะที่เกิดขึ้นจากวิธีการสร้างประพจน์ที่ซับซ้อนจากประพจน์ที่ง่ายกว่าเท่านั้น แต่ไม่สามารถแสดงการอนุมานที่เกิดจากโครงสร้างภายในของประพจน์ได้^{[ 122 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\land Q}$

ตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งประกอบด้วยตัวเชื่อมประพจน์แบบเดียวกับตรรกศาสตร์ประพจน์ แต่แตกต่างจากตรรกศาสตร์ประพจน์ตรงที่มันแสดงโครงสร้างภายในของประพจน์ออกมา โดยทำผ่านกลไกต่างๆ เช่น คำเอกพจน์ที่อ้างถึงวัตถุเฉพาะคำบ่งชี้ที่อ้างถึงคุณสมบัติและความสัมพันธ์ และตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงแนวคิดเช่น "บางส่วน" และ "ทั้งหมด" ^{[ 123 ]}ตัวอย่างเช่น ในการแสดงประพจน์ "อีกาตัวนี้สีดำ" เราอาจใช้คำบ่งชี้สำหรับคุณสมบัติ "สีดำ" และคำเอกพจน์ที่อ้างถึงอีกาเพื่อสร้างนิพจน์ ในการแสดงว่าวัตถุบางอย่างเป็นสีดำ ตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่จะถูกรวมเข้ากับตัวแปรเพื่อสร้างประพจน์ ตรรกศาสตร์ ลำดับที่หนึ่งมีกฎการอนุมานต่างๆ ที่กำหนด ^ว่านิพจน์ที่แสดงออกมาในลักษณะนี้สามารถสร้างข้อโต้แย้งที่ถูกต้องได้อย่างไร ตัวอย่างเช่น เราอาจอนุมานจาก[ ^{124 ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle r}$${\displaystyle B(r)}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \exists xB(x)}$${\displaystyle \exists xB(x)}$${\displaystyle B(r)}$

ตรรกศาสตร์ขยายเป็นระบบตรรกะที่ยอมรับหลักการพื้นฐานของตรรกศาสตร์คลาสสิก โดยนำเสนอสัญลักษณ์และหลักการเพิ่มเติมเพื่อนำไปประยุกต์ใช้ในสาขา^{ต่างๆ}เช่นอภิปรัชญาจริยศาสตร์และญาณวิทยา [ ^{125 ]}

ตรรกศาสตร์โมดอลเป็นส่วนขยายของตรรกศาสตร์คลาสสิก ในรูปแบบดั้งเดิม ซึ่งบางครั้งเรียกว่า "ตรรกศาสตร์โมดอลเชิงสัจพจน์" นั้น ได้แนะนำสัญลักษณ์ใหม่สองตัว คือซึ่งแสดงว่าบางสิ่งเป็นไปได้ ในขณะที่ซึ่งแสดงว่าบางสิ่งจำเป็น^{[ 126 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้าสูตรหมายถึงประโยค "โสกราตีสเป็นนายธนาคาร" แล้วสูตรจะหมายถึงประโยค "เป็นไปได้ที่โสกราตีสเป็นนายธนาคาร" ^{[ 127 ]}เพื่อรวมสัญลักษณ์เหล่านี้เข้าไว้ในรูปแบบทางตรรกศาสตร์ ตรรกศาสตร์โมดอลจึงแนะนำกฎการอนุมานใหม่ที่ควบคุมบทบาทของสัญลักษณ์เหล่านี้ในการอนุมาน กฎการอนุมานข้อหนึ่งระบุว่า ถ้าบางสิ่งจำเป็น สิ่งนั้นก็เป็นไปได้ด้วย ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามอีกหลักการหนึ่งระบุว่า ถ้าประโยคหนึ่งจำเป็น การปฏิเสธของประโยคนั้นจะเป็นไปไม่ได้ และในทางกลับกัน ซึ่งหมายความว่าเทียบเท่ากับ^{[ 128 ]}${\displaystyle \Diamond }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle B(s)}$${\displaystyle \Diamond B(s)}$${\displaystyle \Diamond A}$${\displaystyle \Box A}$${\displaystyle \Box A}$${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$

ตรรกศาสตร์เชิงโมดอลรูปแบบอื่นๆ นำเสนอสัญลักษณ์ที่คล้ายกัน แต่เชื่อมโยงความหมายที่แตกต่างกันเพื่อนำตรรกศาสตร์เชิงโมดอลไปใช้ในสาขาอื่นๆ ตัวอย่างเช่นตรรกศาสตร์เชิงหน้าที่เกี่ยวข้องกับสาขาจริยธรรมและนำเสนอสัญลักษณ์เพื่อแสดงแนวคิดเรื่องภาระผูกพันและการอนุญาต กล่าวคือ เพื่ออธิบายว่าตัวแทนต้องกระทำการบางอย่างหรือได้รับอนุญาตให้กระทำการนั้นหรือไม่^{[ 129 ]}ตัวดำเนินการเชิงโมดอลในตรรกศาสตร์เชิงโมดอลเชิงเวลาแสดงความสัมพันธ์เชิงเวลา สามารถใช้เพื่อแสดงตัวอย่างเช่น ว่าบางสิ่งเกิดขึ้นในเวลาหนึ่งหรือว่าบางสิ่งกำลังเกิดขึ้นตลอดเวลา^{[ 129 ]}ในญาณวิทยา ตรรกศาสตร์เชิงโมดอลเชิงญาณวิทยาใช้เพื่อแสดงแนวคิดของการรู้บางสิ่ง ตรงกันข้ามกับการเพียงแค่เชื่อว่าเป็นเช่นนั้น^{[ 130 ]}

ตรรกศาสตร์ลำดับสูงขยายตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกไม่ใช่โดยการใช้ตัวดำเนินการโมดอล แต่โดยการแนะนำรูปแบบใหม่ของการกำหนดปริมาณ^{[ 131 ]}ตัวกำหนดปริมาณสอดคล้องกับคำต่างๆ เช่น "ทั้งหมด" หรือ "บางส่วน" ในตรรกศาสตร์ลำดับแรกแบบคลาสสิก ตัวกำหนดปริมาณจะใช้กับบุคคลเท่านั้น สูตร" "${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}$ ( แอปเปิ้ล บางลูกหวาน) เป็นตัวอย่างของตัวกำหนดปริมาณเชิงมีอยู่" " ที่${\displaystyle \exists }$ใช้กับตัวแปรบุคคล" "${\displaystyle x}$ในตรรกศาสตร์ลำดับสูง การกำหนดปริมาณยังสามารถทำได้กับภาคแสดงด้วย ซึ่งจะเพิ่มพลังในการแสดงออก ตัวอย่างเช่น เพื่อแสดงความคิดที่ว่าแมรี่และจอห์นมีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกัน เราสามารถใช้สูตร" "${\displaystyle \exists Q(Q(Mary)\land Q(John))}$ในกรณีนี้ ตัวกำหนดปริมาณเชิงมีอยู่จะถูกนำไปใช้กับตัวแปรภาคแสดง" "${\displaystyle Q}$ [ ^{132 ]}พลังในการแสดงออกที่เพิ่มเข้ามานี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับคณิตศาสตร์ เนื่องจากช่วยให้สามารถกำหนดทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ได้อย่างกระชับยิ่ง^{ขึ้น[ 43 ]}แต่ตรรกะลำดับที่หนึ่งมีข้อเสียในแง่ของคุณสมบัติเชิงอภิปรัชญาและนัยยะเชิงออนโทโลยี ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมตรรกะลำดับที่หนึ่งจึงยังคงใช้กันอย่างแพร่หลาย^{[ 133 ]}

ตรรกะที่เบี่ยงเบนเป็นระบบตรรกะที่ปฏิเสธสัญชาตญาณพื้นฐานบางประการของตรรกะแบบคลาสสิก ด้วยเหตุนี้ ระบบเหล่านี้จึงมักถูกมองว่าไม่ใช่ส่วนเสริมของตรรกะแบบคลาสสิก แต่เป็นคู่แข่ง ระบบตรรกะที่เบี่ยงเบนจะแตกต่างกันไปตามการปฏิเสธสัญชาตญาณแบบคลาสสิกที่แตกต่างกัน หรือการเสนอทางเลือกที่แตกต่างกันสำหรับประเด็นเดียวกัน^{[ 134 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณเป็นตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกที่มีข้อจำกัด^{[ 135 ]}มันใช้สัญลักษณ์เดียวกัน แต่ตัดกฎการอนุมานบางข้อออกไป ตัวอย่างเช่น ตามกฎการกำจัดการปฏิเสธซ้ำซ้อน ถ้าประโยคหนึ่งไม่ใช่ไม่จริง ประโยคนั้นก็จะเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามนี่เป็นกฎการอนุมานที่ถูกต้องในตรรกศาสตร์แบบคลาสสิก แต่ไม่ถูกต้องในตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณ หลักการคลาสสิกอีกประการหนึ่งที่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณคือกฎของการยกเว้นตรงกลางซึ่งระบุว่าสำหรับทุกประโยค ไม่ว่าจะเป็นประโยคนั้นหรือการปฏิเสธของประโยคนั้นจะเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าประพจน์ทุกข้อในรูปแบบเป็นจริง^{[ 135 ]}การเบี่ยงเบนจากตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ว่าความจริงได้รับการพิสูจน์โดยการตรวจสอบโดยใช้การพิสูจน์ ตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณมีความโดดเด่นเป็นพิเศษในสาขาคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ซึ่งเน้นความจำเป็นในการค้นหาหรือสร้างตัวอย่างเฉพาะเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของมัน^{[ 136 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \lnot \lnot A}$${\displaystyle A\lor \lnot A}$

ตรรกศาสตร์หลายค่าแตกต่างจากตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกโดยการปฏิเสธหลักการทวิภาวะซึ่งกำหนดให้ข้อเสนอทั้งหมดต้องเป็นความจริงหรือเท็จเท่านั้น ตัวอย่างเช่นJan ŁukasiewiczและStephen Cole Kleeneต่างเสนอตรรกศาสตร์ไตรภาคซึ่งมีค่าความจริงที่สามที่แสดงว่าค่าความจริงของข้อความนั้นไม่แน่นอน^{[ 137 ]}ตรรกศาสตร์เหล่านี้ถูกนำไปใช้ในสาขาภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์แบบฟัซซีเป็นตรรกศาสตร์หลายค่าที่มี "ระดับความจริง" จำนวนอนันต์ ซึ่งแทนด้วยจำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1 ^{[ 138 ]}

ตรรกะแบบพาราคอนซิสเตนท์เป็นระบบตรรกะที่สามารถจัดการกับความขัดแย้งได้ ตรรกะเหล่านี้ถูกกำหนดขึ้นเพื่อหลีกเลี่ยงหลักการของการระเบิด: สำหรับตรรกะเหล่านี้ ไม่มีสิ่งใดที่จะตามมาจากการขัดแย้ง^{[ 139 ]}ตรรกะเหล่านี้มักได้รับแรงบันดาลใจจากไดอะเลธิซึมซึ่งเป็นมุมมองที่ว่าความขัดแย้งมีอยู่จริง หรือความเป็นจริงเองก็มีความขัดแย้ง เกรแฮม พรีสต์ เป็นผู้สนับสนุนแนวคิดนี้ที่มีอิทธิพลในปัจจุบัน และมีการกล่าวถึงมุมมองที่คล้ายคลึงกันนี้ในผลงานของจอร์จ วิลเฮล์ม ฟรีดริช เฮเกล^{[ 140 ]}

ตรรกะแบบไม่เป็นทางการมักจะดำเนินการในลักษณะที่ไม่เป็นระบบนัก โดยมักจะมุ่งเน้นไปที่ประเด็นเฉพาะเจาะจงมากขึ้น เช่น การตรวจสอบข้อผิดพลาดประเภทใดประเภทหนึ่ง หรือการศึกษาแง่มุมใดแง่มุมหนึ่งของการโต้แย้ง อย่างไรก็ตาม กรอบการทำงานของตรรกะแบบไม่เป็นทางการบางกรอบก็ได้รับการนำเสนอเช่นกัน ซึ่งพยายามให้ลักษณะเฉพาะที่เป็นระบบของความถูกต้องของการโต้แย้ง^{[ 141 ]}

แนวทางปฏิบัติหรือเชิงสนทนาของตรรกะแบบไม่เป็นทางการมองว่าข้อโต้แย้งเป็นการกระทำทางวาจาไม่ใช่เพียงแค่ชุดของข้ออ้างพร้อมกับข้อสรุป^{[ 142 ]}ในฐานะการกระทำทางวาจา ข้อโต้แย้งเหล่านี้เกิดขึ้นในบริบทที่แน่นอน เช่น การสนทนาซึ่งส่งผลต่อมาตรฐานของข้อโต้แย้งที่ถูกและผิด^{[ 143 ]}เวอร์ชันที่โดดเด่นของDouglas N. Waltonเข้าใจการสนทนาว่าเป็นเกมระหว่างผู้เล่นสองคน ตำแหน่งเริ่มต้นของผู้เล่นแต่ละคนมีลักษณะเฉพาะด้วยข้อเสนอที่พวกเขายึดมั่นและข้อสรุปที่พวกเขาตั้งใจจะพิสูจน์ การสนทนาเป็นเกมแห่งการโน้มน้าวใจ: ผู้เล่นแต่ละคนมีเป้าหมายที่จะโน้มน้าวคู่ต่อสู้ให้เชื่อข้อสรุปของตนเอง^{[ 144 ]}สิ่งนี้สำเร็จได้โดยการสร้างข้อโต้แย้ง: ข้อโต้แย้งคือการเคลื่อนไหวของเกม^{[ 145 ]}พวกมันส่งผลต่อข้อเสนอที่ผู้เล่นยึดมั่น การเคลื่อนไหวที่ชนะคือข้อโต้แย้งที่ประสบความสำเร็จซึ่งใช้ข้อผูกมัดของคู่ต่อสู้เป็นข้ออ้างและแสดงให้เห็นว่าข้อสรุปของตนเองเป็นผลมาจากข้ออ้างเหล่านั้นอย่างไร ซึ่งโดยปกติแล้วจะไม่สามารถทำได้ทันที ด้วยเหตุนี้ จึงมักจำเป็นต้องกำหนดลำดับของข้อโต้แย้งเป็นขั้นตอนกลาง ซึ่งแต่ละขั้นตอนจะทำให้ฝ่ายตรงข้ามเข้าใกล้ข้อสรุปที่ต้องการมากขึ้น นอกจากข้อโต้แย้งเชิงบวกที่นำไปสู่ชัยชนะแล้ว ยังมีข้อโต้แย้งเชิงลบที่ป้องกันไม่ให้ฝ่ายตรงข้ามได้รับชัยชนะโดยการปฏิเสธข้อสรุปของพวกเขา^{[ 144 ]}ความถูกต้องของข้อโต้แย้งขึ้นอยู่กับว่ามันส่งเสริมความก้าวหน้าของการสนทนาหรือไม่ ในทางกลับกัน ข้อผิดพลาดคือการละเมิดมาตรฐานของกฎการโต้แย้งที่เหมาะสม^{[ 146 ]}มาตรฐานเหล่านี้ยังขึ้นอยู่กับประเภทของการสนทนาด้วย ตัวอย่างเช่น มาตรฐานที่ควบคุมการสนทนาทางวิทยาศาสตร์แตกต่างจากมาตรฐานในการเจรจาทางธุรกิจ^{[ 147 ]}

ในทางกลับกัน แนวทางเชิงญาณวิทยาของตรรกะแบบไม่เป็นทางการ มุ่งเน้นไปที่บทบาทเชิงญาณวิทยาของข้อโต้แย้ง [ 148 ] โดยอิงจากแนวคิดที่ว่าข้อโต้แย้งมีจุดมุ่งหมายเพื่อเพิ่มพูนความรู้ของเรา โดยบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยการเชื่อมโยงความเชื่อที่ได้รับการพิสูจน์แล้วเข้ากับความเชื่อที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ [ 149 ] ข้อโต้แย้งที่^{ถูกต้องจะ}ประสบ^{ความสำเร็จใน}การขยายความรู้ ในขณะที่ข้อผิดพลาดเป็นความล้มเหลวเชิงญาณวิทยา กล่าวคือ ไม่สามารถพิสูจน์ความเชื่อในข้อสรุปได้^{[ 150 ]}ตัวอย่างเช่นข้อผิดพลาดของการตั้งคำถามแบบวนลูป (begging the question)เป็นข้อผิดพลาดเพราะไม่สามารถให้เหตุผลที่เป็นอิสระสำหรับข้อสรุปได้ แม้ว่าจะเป็นการอนุมานที่ถูกต้องก็ตาม^{[ 151 ]}ในแง่นี้ บรรทัดฐานเชิงตรรกะประกอบด้วยความสำเร็จเชิงญาณวิทยาหรือความมีเหตุผล^{[ 149 ]}แนวทางแบบเบย์เซียนเป็นตัวอย่างหนึ่งของแนวทางเชิงญาณวิทยา^{[ 152 ]}หัวใจสำคัญของเบย์เซียนไม่ได้อยู่ที่ว่าตัวแทนเชื่อในบางสิ่งหรือไม่ แต่อยู่ที่ระดับความเชื่อของพวกเขา หรือที่เรียกว่าความ น่าเชื่อถือ ( credence ) ระดับความเชื่อถูกมองว่าเป็นความน่าจะเป็นเชิงอัตวิสัยในข้อเสนอที่เชื่อ กล่าวคือ ตัวแทนมั่นใจเพียงใดว่าข้อเสนอนั้นเป็นจริง^{[ 153 ]}ตามมุมมองนี้ การให้เหตุผลสามารถตีความได้ว่าเป็นกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงความเชื่อมั่น ซึ่งมักเป็นการตอบสนองต่อข้อมูลใหม่ที่เข้ามา^{[ 154 ]}การให้เหตุผลที่ถูกต้องและข้อโต้แย้งที่อิงตามนั้นเป็นไปตามกฎของความน่าจะเป็น เช่น หลักการของการกำหนดเงื่อนไขในทางกลับกัน การให้เหตุผลที่ไม่ดีหรือไม่สมเหตุสมผลนั้นละเมิดกฎเหล่านี้^{[ 155 ]}

ตรรกศาสตร์ได้รับการศึกษาในหลากหลายสาขา ในหลายกรณี การศึกษาจะทำโดยการประยุกต์ใช้วิธีการที่เป็นทางการกับหัวข้อเฉพาะที่อยู่นอกขอบเขต เช่น จริยศาสตร์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์^{[ 156 ]}ในกรณีอื่นๆ ตรรกศาสตร์เองก็กลายเป็นหัวข้อของการวิจัยในสาขาวิชาอื่น ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น อาจเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบสมมติฐานทางปรัชญาที่เชื่อมโยงกับแนวคิดพื้นฐานที่นักตรรกศาสตร์ใช้ วิธีอื่นๆ ได้แก่ การตีความและวิเคราะห์ตรรกศาสตร์ผ่านโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนการศึกษาและเปรียบเทียบคุณสมบัติเชิงนามธรรมของระบบตรรกะที่เป็นทางการ^{[ 157 ]}

ปรัชญาตรรกศาสตร์เป็นสาขาวิชาปรัชญาที่ศึกษาขอบเขตและธรรมชาติของตรรกศาสตร์^{[ 59 ]}โดยจะตรวจสอบสมมติฐานที่แฝงอยู่ในตรรกศาสตร์หลายประการ เช่น วิธีการกำหนดแนวคิดพื้นฐานหรือสมมติฐานเชิงอภิปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเหล่านั้น^{[ 158 ]}นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับวิธีการจำแนกระบบตรรกะและพิจารณา ข้อผูกพัน ทางภววิทยาที่เกิดขึ้น^{[ 159 ]}ตรรกศาสตร์เชิงปรัชญาเป็นหนึ่งในสาขาของปรัชญาตรรกศาสตร์ โดยศึกษาการประยุกต์ใช้วิธีการทางตรรกศาสตร์กับปัญหาทางปรัชญาในสาขาต่างๆ เช่น อภิปรัชญา จริยศาสตร์ และญาณวิทยา^{[ 160 ]}การประยุกต์ใช้นี้มักเกิดขึ้นในรูปแบบของระบบตรรกะที่ขยายหรือ เบี่ยงเบน ^{[ 161 ]}

เมตาโลจิกคือสาขาการศึกษาที่ศึกษาคุณสมบัติของระบบตรรกะเชิงรูปธรรม ตัวอย่างเช่น เมื่อมีการพัฒนาระบบเชิงรูปธรรมใหม่ นักเมตาโลจิกอาจศึกษาเพื่อพิจารณาว่าสูตรใดบ้างที่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบนั้น พวกเขายังอาจศึกษาว่า สามารถพัฒนา อัลกอริทึมเพื่อหาบทพิสูจน์สำหรับแต่ละสูตรได้หรือไม่ และสูตรที่พิสูจน์ได้ทุกสูตรในระบบนั้นเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สุดท้าย พวกเขาอาจเปรียบเทียบกับระบบตรรกะอื่นๆ เพื่อทำความเข้าใจคุณลักษณะที่โดดเด่นของระบบนั้น ประเด็นสำคัญในเมตาโลจิกเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างไวยากรณ์และความหมาย กฎไวยากรณ์ของระบบเชิงรูปธรรมกำหนดวิธีการอนุมานข้อสรุปจากข้อสมมติ กล่าวคือ วิธีการสร้างบทพิสูจน์ ความหมายของระบบเชิงรูปธรรมควบคุมว่าประโยคใดเป็นจริงและประโยคใดเป็นเท็จ ซึ่งเป็นตัวกำหนดความถูกต้องของข้อโต้แย้ง เนื่องจากสำหรับข้อโต้แย้งที่ถูกต้อง เป็นไปไม่ได้ที่ข้อสมมติจะเป็นจริงและข้อสรุปจะเป็นเท็จ ความสัมพันธ์ระหว่างไวยากรณ์และความหมายเกี่ยวข้องกับประเด็นต่างๆ เช่น ข้อโต้แย้งที่ถูกต้องทุกข้อสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่ และข้อโต้แย้งที่พิสูจน์ได้ทุกข้อถูกต้องหรือไม่ นักเมตาโลจิกยังศึกษาว่าระบบตรรกะมีความสมบูรณ์ สมเหตุสมผล และสอดคล้องกัน หรือ ไม่ พวกเขาสนใจว่าระบบเหล่านั้นสามารถตัดสินได้ หรือ ไม่ และ มี อำนาจในการแสดงออก มากน้อยเพียงใด นักอภิตรรกศาสตร์มักจะพึ่งพาการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมอย่างมากเมื่อตรวจสอบและกำหนดสูตรการพิสูจน์อภิตรรกศาสตร์ ด้วยวิธีนี้ พวกเขามุ่งหวังที่จะได้ข้อสรุปที่แม่นยำและทั่วไปในหัวข้อเหล่านี้^{[ 162 ]}

บางครั้งคำว่า "ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์" ถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายของ "ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม" แต่ในความหมายที่จำกัดกว่านั้น หมายถึงการศึกษาตรรกศาสตร์ภายในคณิตศาสตร์ สาขาย่อยที่สำคัญ ได้แก่ทฤษฎีแบบจำลองทฤษฎีการพิสูจน์ทฤษฎีเซตและทฤษฎีความสามารถในการคำนวณ [ ^{164 ] การ}วิจัยในตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์โดยทั่วไปจะกล่าวถึงคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของระบบตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม อย่างไรก็ตาม ยังอาจรวมถึงความพยายามที่จะใช้ตรรกศาสตร์ในการวิเคราะห์การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ หรือเพื่อสร้างรากฐานของคณิตศาสตร์บนพื้นฐานของตรรกศาสตร์^{[ 165 ]}ประเด็นหลังนี้เป็นข้อกังวลหลักในตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ซึ่งดำเนินตามโครงการของตรรกศาสตร์นิยมที่ริเริ่มโดยนักปรัชญาตรรกศาสตร์ เช่น Gottlob Frege, Alfred North WhiteheadและBertrand Russellทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ควรจะเป็นสัจนิรันดร์ เชิงตรรกะ และโครงการของพวกเขาคือการแสดงให้เห็นสิ่งนี้โดยการลดทอนคณิตศาสตร์ให้เหลือตรรกศาสตร์ ความพยายามมากมายที่จะทำให้โครงการนี้สำเร็จล้มเหลว ตั้งแต่โครงการของ Frege ในGrundgesetze ของเขาถูกขัดขวาง โดยความขัดแย้งของ Russellไปจนถึงความพ่ายแพ้ของโครงการของ Hilbertโดยทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel ^{[ 166 ]}

ทฤษฎีเซตมีต้นกำเนิดมาจากการศึกษาอนันต์โดยGeorg Cantorและเป็นแหล่งที่มาของประเด็นที่ท้าทายและสำคัญที่สุดหลายประเด็นในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทของ Cantorสถานะของสัจพจน์ของการเลือกคำถามเกี่ยวกับความเป็นอิสระของสมมติฐานความต่อเนื่องและการถกเถียงสมัยใหม่เกี่ยวกับสัจพจน์จำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่^{[ 167 ]}

ทฤษฎีความสามารถในการคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาการคำนวณ เป้าหมายหลักประการหนึ่งคือการทำความเข้าใจว่าสามารถแก้ปัญหาที่กำหนดโดยใช้อัลกอริทึมได้หรือไม่ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดข้ออ้างบางอย่างเกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก ทฤษฎีความสามารถในการคำนวณจะตรวจสอบว่าสามารถหาอัลกอริทึมเพื่อตรวจสอบว่าข้ออ้างนี้เป็นจริงหรือไม่ ทฤษฎีความสามารถในการคำนวณใช้เครื่องมือและแบบจำลองทางทฤษฎีต่างๆ เช่นเครื่องจักรทัวริงเพื่อสำรวจปัญหาประเภทนี้^{[ 168 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่ศึกษาถึงวิธีการนำเหตุผลทางคณิตศาสตร์และรูปแบบเชิงตรรกะมาใช้โดยใช้คอมพิวเตอร์ ซึ่งรวมถึง ตัวอย่างเช่นตัวพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติซึ่งใช้กฎการอนุมานเพื่อสร้างการพิสูจน์ทีละขั้นตอนจากชุดของข้อสมมติไปสู่ข้อสรุปที่ต้องการโดยไม่ต้องมีการแทรกแซงจากมนุษย์^{[ 169 ]} ภาษา การเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อแสดงข้อเท็จจริงโดยใช้สูตรเชิงตรรกะและเพื่ออนุมานจากข้อเท็จจริงเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นPrologเป็นภาษาการเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะที่อิงตามตรรกศาสตร์ภาคแสดง^{[ 170 ]}นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ยังนำแนวคิดจากตรรกศาสตร์มาประยุกต์ใช้กับปัญหาในการคำนวณ ผลงานของClaude Shannonมีอิทธิพลในเรื่องนี้ เขาแสดงให้เห็นว่าตรรกะบูลีนสามารถนำมาใช้เพื่อทำความเข้าใจและนำวงจรคอมพิวเตอร์มาใช้ได้ อย่างไร ^{[ 171 ]}ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เกตตรรกะ อิเล็กทรอนิกส์ กล่าวคือ วงจรอิเล็กทรอนิกส์ที่มีอินพุตหนึ่งตัวหรือมากกว่าและโดยปกติจะมีเอาต์พุตหนึ่งตัว ค่าความจริงของข้อเสนอจะถูกแทนด้วยระดับแรงดันไฟฟ้า ด้วยวิธีนี้ ฟังก์ชันตรรกะสามารถจำลองได้โดยการใช้แรงดันไฟฟ้าที่สอดคล้องกันกับอินพุตของวงจร และกำหนดค่าของฟังก์ชันโดยการวัดแรงดันไฟฟ้าของเอาต์พุต^{[ 172 ]}

อรรถศาสตร์เชิงรูปธรรมเป็นสาขาย่อยของตรรกศาสตร์ภาษาศาสตร์และปรัชญาภาษาสาขาวิชาอรรถศาสตร์ศึกษาความหมายของภาษา อรรถศาสตร์เชิงรูปธรรมใช้เครื่องมือเชิงรูปธรรมจากสาขาตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์และคณิตศาสตร์เพื่อสร้างทฤษฎีที่แม่นยำเกี่ยวกับความหมายของ สำนวน ภาษาธรรมชาติโดยเข้าใจความหมายโดยทั่วไปในความสัมพันธ์กับเงื่อนไขความจริงกล่าวคือ ตรวจสอบว่าประโยคจะเป็นจริงหรือเท็จในสถานการณ์ใด หนึ่งในสมมติฐานทางระเบียบวิธีที่สำคัญคือหลักการประกอบความหมายซึ่งระบุว่าความหมายของสำนวนที่ซับซ้อนถูกกำหนดโดยความหมายของส่วนประกอบต่างๆ และวิธีการรวมกันของส่วนประกอบเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ความหมายของวลีคำกริยา "เดินและร้องเพลง" ขึ้นอยู่กับความหมายของแต่ละคำคือ "เดิน" และ "ร้องเพลง" ทฤษฎีจำนวนมากในอรรถศาสตร์เชิงรูปธรรมอาศัยทฤษฎีแบบจำลอง ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีเหล่านั้นใช้ทฤษฎีเซตเพื่อสร้างแบบจำลองแล้วตีความความหมายของสำนวนในความสัมพันธ์กับองค์ประกอบในแบบจำลองนี้ ตัวอย่างเช่น คำว่า "เดิน" อาจถูกตีความว่าเป็นเซตของบุคคลทั้งหมดในแบบจำลองที่มีคุณสมบัติของการเดินร่วมกัน นักทฤษฎีที่มีอิทธิพลในช่วงแรกในสาขานี้ ได้แก่Richard MontagueและBarbara Parteeซึ่งมุ่งเน้นการวิเคราะห์ไปที่ภาษาอังกฤษ^{[ 173 ]}

ญาณวิทยาของตรรกศาสตร์ศึกษาว่าเรารู้ได้อย่างไรว่าข้อโต้แย้งนั้นถูกต้องหรือข้อเสนอนั้นเป็นจริงตามหลักตรรกศาสตร์^{[ 174 ]}ซึ่งรวมถึงคำถามเช่น จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าmodus ponensเป็นกฎการอนุมานที่ถูกต้องหรือว่าข้อขัดแย้งนั้นเป็นเท็จ^{[ 175 ]}มุมมองที่โดดเด่นตามประเพณีคือ รูปแบบของความเข้าใจเชิงตรรกศาสตร์นี้เป็นความรู้ก่อนประสบการณ์ [ ^{176 ] ใน}เรื่องนี้ มักมีการโต้แย้งว่าจิตใจมีศักยภาพพิเศษในการตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่างความคิดบริสุทธิ์ และศักยภาพนี้ยังรับผิดชอบในการรับรู้ความจริงเชิงตรรกศาสตร์ด้วย^{[ 177 ]}แนวทางที่คล้ายกันนี้เข้าใจกฎของตรรกศาสตร์ในแง่ของข้อตกลงทางภาษาในมุมมองนี้ กฎของตรรกศาสตร์นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อยเนื่องจากเป็นจริงตามคำจำกัดความ กล่าวคือ มันเพียงแค่แสดงความหมายของคำศัพท์เชิงตรรกศาสตร์^{[ 178 ]}

นักทฤษฎีบางคน เช่นฮิลารี พัตนัมและเพเนโลพี แมดดีคัดค้านมุมมองที่ว่าตรรกะสามารถรู้ได้โดยปริยาย พวกเขาเชื่อว่าความจริงทางตรรกะขึ้นอยู่กับ โลก เชิงประจักษ์ซึ่งมักจะรวมเข้ากับการอ้างว่ากฎของตรรกะแสดงถึงความสม่ำเสมอสากลที่พบในลักษณะโครงสร้างของโลก ตามมุมมองนี้ กฎเหล่านั้นอาจสำรวจได้โดยการศึกษาแบบแผนทั่วไปของวิทยาศาสตร์พื้นฐานตัวอย่างเช่น มีการโต้แย้งว่าข้อมูลเชิงลึกบางอย่างของกลศาสตร์ควอนตัมหักล้างหลักการกระจายในตรรกะแบบคลาสสิก ซึ่งระบุว่าสูตรนั้นเทียบเท่ากับการอ้างนี้สามารถใช้เป็นข้อโต้แย้งเชิงประจักษ์สำหรับวิทยานิพนธ์ที่ว่าตรรกะควอนตัมเป็นระบบตรรกะที่ถูกต้องและควรแทนที่ตรรกะแบบคลาสสิก^{[ 179 ]}${\displaystyle A\land (B\lor C)}$${\displaystyle (A\land B)\lor (A\land C)}$

แถวบน: อริสโตเติลผู้ซึ่งวางรากฐานปรัชญาตะวันตก^{[ 108 ]}และอวิเซนนาผู้ซึ่งนำตรรกะของอริสโตเติลมาใช้แทนในวาทกรรมอิสลาม [ ^{180 ] แถว}ล่าง: วิลเลียมแห่งอ็อกแฮมบุคคลสำคัญในความคิดเชิงวิชาการยุคกลาง^{[ 181 ]}และก็อตต์ล็อบ เฟรเกหนึ่งในผู้ก่อตั้งตรรกะเชิงสัญลักษณ์สมัยใหม่^{[ 182 ]}

ตรรกศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างอิสระในหลายวัฒนธรรมในสมัยโบราณ ผู้มีส่วนร่วมสำคัญในช่วงแรกคืออริสโตเติลซึ่งพัฒนาตรรกศาสตร์เชิงคำศัพท์ในOrganonและPrior Analyticsของ เขา ^{[ 183 ]}เขามีส่วนรับผิดชอบในการแนะนำตรรกบทสมมติ^{[ 184 ]}และตรรกศาสตร์เชิงรูปแบบเวลา^{[ 185 ]}นวัตกรรมเพิ่มเติม ได้แก่ ตรรกศาสตร์เชิงอุปนัย^{[ 186 ]}รวมถึงการอภิปรายเกี่ยวกับแนวคิดทางตรรกศาสตร์ใหม่ๆ เช่นคำศัพท์คำทำนาย ตรรกบท และประพจน์ ตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลได้รับการยกย่องอย่างสูงในสมัยคลาสสิกและยุคกลาง ทั้งในยุโรปและตะวันออกกลาง ยังคงมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในโลกตะวันตกจนถึงต้นศตวรรษที่ 19 ^{[ 187 ]}ปัจจุบันได้ถูกแทนที่ด้วยงานในภายหลังแล้ว แม้ว่าข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญหลายอย่างยังคงมีอยู่ในระบบตรรกศาสตร์สมัยใหม่^{[ 188 ]}

อิบนุ ซินา (อวิเซนนา) เป็นผู้ก่อตั้งตรรกศาสตร์อวิเซนนา ซึ่งเข้ามาแทนที่ตรรกศาสตร์อริสโตเติลในฐานะระบบตรรกศาสตร์ที่โดดเด่นในโลกอิสลาม [ ^{189 ] ตรรกศาสตร์}นี้มีอิทธิพลต่อนักเขียนยุคกลางของตะวันตก เช่นอัลเบอร์ตัส แม็กนัสและวิลเลียมแห่งอ็อกแฮม [ ^{190 ] อิ}บนุ ซินา เขียนเกี่ยวกับตรรกบทสมมติ^{[ 191 ]}และเกี่ยวกับ แคลคูลัส เชิงประพจน์^{[ 192 ]}เขาได้พัฒนาทฤษฎีตรรกบทแบบ "เชิงเวลา" ที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับตรรกศาสตร์เชิงเวลาและตรรกศาสตร์เชิงรูปแบบ^{[ 193 ]}เขายังใช้ตรรกศาสตร์เชิงอุปนัย เช่นวิธีการตกลง ความแตกต่าง และการแปรผันที่เกิดขึ้นพร้อมกัน ซึ่งมีความสำคัญต่อวิธีการทางวิทยาศาสตร์ [ ^{191 ] ฟั}คร อัล-ดิน อัล-ราซีเป็นนักตรรกศาสตร์มุสลิมที่มีอิทธิพลอีกคนหนึ่ง เขาวิจารณ์ตรรกบทแบบอริสโตเติลและกำหนดระบบตรรกบทแบบอุปนัยในยุคแรก ซึ่งเป็นลางบอกเหตุถึงระบบตรรกบทแบบอุปนัยที่พัฒนาโดยจอห์น สจ๊วต มิลล์^{[ 194 ]}

ในยุคกลางมีการแปลและตีความตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลมากมาย งานของโบเอทิอุสมีอิทธิพลอย่างมาก นอกจากการแปลงานของอริสโตเติลเป็นภาษาละตินแล้ว เขายังผลิตตำราเกี่ยวกับตรรกศาสตร์อีกด้วย^{[ 195 ]}ต่อมา งานของนักปรัชญาอิสลาม เช่น อิบนุ ซินา และอิบนุ รุชด์ (อาเวโรเอส) ก็ถูกนำมาใช้ ซึ่งขยายขอบเขตของงานโบราณที่มีให้แก่นักวิชาการคริสเตียนในยุคกลาง เนื่องจากมีงานของกรีกมากขึ้นที่นักวิชาการมุสลิมสามารถเข้าถึงได้ ซึ่งได้รับการเก็บรักษาไว้ในคำอธิบายภาษาละติน ในปี ค.ศ. 1323 Summa Logicae ที่ทรงอิทธิพลของวิลเลียมแห่งอ็อกแฮม ได้รับการเผยแพร่ เป็นตำราที่ครอบคลุมเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ที่กล่าวถึงแนวคิดพื้นฐานหลายประการของตรรกศาสตร์ และให้คำอธิบายอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับประเภทของประพจน์และเงื่อนไขความจริงของประพจน์เหล่านั้น^{[ 196 ]}

ในปรัชญาจีนสำนักนามและ สำนัก โมฮิสมีอิทธิพลอย่างมาก สำนักนามเน้นการใช้ภาษาและความขัดแย้ง ตัวอย่างเช่นกงซุนหลงเสนอความขัดแย้งเรื่องม้าขาวซึ่งสนับสนุนวิทยานิพนธ์ที่ว่าม้าขาวไม่ใช่ม้า สำนักโมฮิสยังยอมรับความสำคัญของภาษาสำหรับตรรกะและพยายามเชื่อมโยงแนวคิดในสาขาเหล่านี้เข้ากับขอบเขตของจริยธรรม^{[ 197 ]}

ในอินเดีย การศึกษาตรรกศาสตร์ส่วนใหญ่ดำเนินการโดยสำนักนยายะพุทธศาสนาและศาสนาเชนไม่ได้ถูกมองว่าเป็นสาขาวิชาการที่แยกต่างหาก และการอภิปรายในหัวข้อต่างๆ มักเกิดขึ้นในบริบทของญาณวิทยาและทฤษฎีการสนทนาหรือการโต้แย้ง^{[ 198 ]}ในนยายะ การอนุมานถูกเข้าใจว่าเป็นแหล่งความรู้ ( ปรมาณะ ) โดยติดตามการรับรู้ของวัตถุและพยายามสรุปผล เช่น เกี่ยวกับสาเหตุของวัตถุนี้^{[ 199 ]}การเน้นย้ำความสัมพันธ์กับญาณวิทยาในลักษณะเดียวกันนี้ยังพบได้ในสำนักตรรกศาสตร์ของพุทธศาสนาและศาสนาเชน ซึ่งการอนุมานถูกใช้เพื่อขยายความรู้ที่ได้รับจากแหล่งอื่นๆ^{[ 200 ]}ทฤษฎีนยายะในยุคหลังบางส่วนที่อยู่ใน สำนัก นยายะ-นยายะมีลักษณะคล้ายกับตรรกศาสตร์สมัยใหม่ เช่น การแบ่งแยกระหว่างความหมายและการอ้างอิง ของก็อตต์ลอบ เฟรเก และนิยามของจำนวนของเขา^{[ 201 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงอนุมานที่พัฒนาโดยอริสโตเติลแพร่หลายในโลกตะวันตกจนถึงกลางศตวรรษที่ 19 เมื่อความสนใจในรากฐานของคณิตศาสตร์กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์สมัยใหม่^{[ 202 ] หลายคนมองว่า} Begriffsschriftของ Gottlob Frege เป็นจุดกำเนิดของตรรกศาสตร์สมัยใหม่ แนวคิดเรื่อง ภาษาเชิงรูปธรรมสากลของGottfried Wilhelm Leibnizมักถูกมองว่าเป็นผู้บุกเบิก ผู้บุกเบิกคนอื่นๆ ได้แก่George Booleผู้คิดค้นพีชคณิตบูลีนเป็นระบบตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และCharles Peirceผู้พัฒนาตรรกศาสตร์ของความสัมพันธ์ Alfred North Whitehead และ Bertrand Russell ได้สรุปแนวคิดเหล่านี้จำนวนมากไว้ในงานPrincipia Mathematica ของพวกเขา ตรรกศาสตร์สมัยใหม่ได้นำเสนอแนวคิดใหม่ๆ เช่นฟังก์ชันตัวบ่งปริมาณ และภาคแสดงความสัมพันธ์ ลักษณะเด่นของตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์สมัยใหม่คือการใช้ภาษาเชิงรูปธรรมเพื่อกำหนดรหัสแนวคิดอย่างแม่นยำ ในแง่นี้ ตรรกศาสตร์นี้จึงแตกต่างจากตรรกศาสตร์รุ่นก่อนๆ ที่อาศัยภาษาธรรมชาติเป็นหลัก^{[ 203 ]}การพัฒนาตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งซึ่งมักถือเป็นระบบมาตรฐานของตรรกศาสตร์สมัยใหม่นั้นมีอิทธิพลอย่างมาก^{[ 204 ]}ความเป็นทั่วไปเชิงวิเคราะห์ของมันทำให้สามารถกำหนดรูปแบบของคณิตศาสตร์ได้ และผลักดันให้เกิดการศึกษาทฤษฎีเซตนอกจากนี้ยังทำให้แนวทางของอัลเฟรด ทาร์สกีเกี่ยวกับทฤษฎีแบบจำลองเป็นไปได้ และเป็นรากฐานของตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์สมัยใหม่^{[ 205 ]}