ในทางคณิตศาสตร์การเดินสุ่มแบบต่อเนื่องตามเวลา ( CTRW ) เป็นการวางนัยทั่วไปของการเดินสุ่มโดยที่อนุภาคที่เคลื่อนที่จะรอเวลาสุ่มระหว่างการกระโดดแต่ละครั้ง เป็นกระบวนการกระโดดแบบสุ่ม ที่มีการกระจายความยาวของการกระโดดและเวลารอคอยแบบใดก็ได้^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}โดยทั่วไปแล้วสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการต่ออายุแบบมาร์คอฟ

CTRW ได้รับการแนะนำโดยMontrollและWeiss ^{[ 4 ]}ในฐานะการวางนัยทั่วไปของกระบวนการแพร่ทางกายภาพเพื่ออธิบายการแพร่ที่ผิดปกติ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เช่น กรณีการแพร่เกินและต่ำกว่าปกติ สูตรที่เทียบเท่าของ CTRW ได้รับจากสมการหลักทั่วไป[ 5 ^{]มีการ}สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง CTRW และสมการการแพร่ที่มีอนุพันธ์เวลาเศษส่วน^{[ 6 ]}ในทำนองเดียวกัน สมการการแพร่เศษส่วนเวลา-พื้นที่สามารถพิจารณาได้ว่าเป็น CTRW ที่มีการกระโดดแบบกระจายอย่างต่อเนื่องหรือการประมาณค่าต่อเนื่องของ CTRW บนแลตทิซ^{[ 7 ]}

การกำหนดสูตรอย่างง่ายของ CTRW คือการพิจารณาถึงกระบวนการสุ่มที่กำหนดโดย ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i},}$

โดยที่ค่าที่เพิ่มขึ้นเป็น ตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือน กัน (iid)ที่มีค่าอยู่ในช่วงและคือจำนวนการกระโดดในช่วงเวลาความน่าจะเป็นที่กระบวนการจะมีค่าณ เวลาจะกำหนดโดย ${\displaystyle \Delta X_{i}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle (0,t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_{n}(X).}$

นี่คือความน่าจะเป็นที่กระบวนการจะใช้ค่าหลังจากมีการกระโดด และนี่คือความน่าจะเป็นที่จะเกิดการกระโดดหลังจากเวลา ${\displaystyle P_{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(n,t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

เราใช้สัญลักษณ์ แทนเวลาที่รอระหว่างการกระโดดสองครั้งของและใช้สัญลักษณ์ แทนการกระจายตัวของเวลาดัง กล่าว การแปลงลาปลาสของถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle \psi (\tau )}$${\displaystyle \psi (\tau )}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(s)=\int _{0}^{\infty }d\tau \,e^{-\tau s}\psi (\tau )}$

ในทำนองเดียวกันฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการกระจายการกระโดดจะได้รับจากการแปลงฟูริเยร์ ของมัน : ${\displaystyle f(\Delta X)}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }d(\Delta X)\,e^{ik\Delta X}f(\Delta X)}$

สามารถแสดงได้ว่าการแปลงลาปลาส-ฟูริเยร์ของความน่าจะเป็นนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle P(X,t)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {P}}}(k,s)={\frac {1-{\tilde {\psi }}(s)}{s}}{\frac {1}{1-{\tilde {\psi }}(s){\hat {f}}(k)}}.}$

สูตร ข้างต้นเรียกว่าสูตร มอนโทรลล์ - ไวส์

กระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์เป็นการเดินสุ่มแบบต่อเนื่องตามเวลา โดยมีช่วงเวลาคงอยู่แบบเอกซ์โปเนนเชียล และแต่ละช่วงเพิ่มขึ้นมีค่าเท่ากับ 1 อย่างแน่นอน