วิธีการตัวแปรควบคุมเป็น เทคนิค การลดความแปรปรวนที่ใช้ในวิธีการมอนเตคาร์โลโดยใช้ประโยชน์จากข้อมูลเกี่ยวกับข้อผิดพลาดในการประมาณค่าปริมาณที่ทราบเพื่อลดข้อผิดพลาดของการประมาณค่าปริมาณที่ไม่ทราบ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ให้พารามิเตอร์ ที่ไม่ทราบค่า ที่เราสนใจคือ${\displaystyle \mu }$และสมมติว่าเรามีสถิติ${\displaystyle m}$โดยที่ค่าที่คาดหวังของmคือμ :${\displaystyle \mathbb {E} \left[m\right]=\mu }$กล่าวคือmเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับμสมมติว่าเราคำนวณสถิติอื่น${\displaystyle t}$โดยที่${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$เป็นค่าที่ทราบแล้ว จากนั้น

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,}$

นอกจากนี้ยังเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่ลำเอียงสำหรับ${\displaystyle \mu }$สำหรับการเลือกค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ${\displaystyle c}$ความแปรปรวนของตัวประมาณค่าที่ได้${\displaystyle m^{\star }}$เป็น

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right).}$

โดยการหาอนุพันธ์ของนิพจน์ข้างต้นเทียบกับ${\displaystyle c}$สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าการเลือกค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมที่สุด

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}}$

ลดความแปรปรวนของ${\displaystyle m^{\star }}$(โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์นี้เหมือนกับสัมประสิทธิ์ที่ได้จากการถดถอยเชิงเส้น ) ด้วยตัวเลือกนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right)\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,}$

คือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของ${\displaystyle m}$และ${\displaystyle t}$ยิ่งค่าของ มากขึ้นเท่าไหร่${\displaystyle \vert \rho _{m,t}\vert }$ยิ่งค่าความแปรปรวนลดลงมากเท่าไร ก็ยิ่งสามารถลดความแปรปรวน ได้มากขึ้นเท่านั้น

ในกรณีที่${\displaystyle {\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}$,${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$และ/หรือ${\displaystyle \rho _{m,t}\;}$หากไม่ทราบค่า สามารถประมาณค่าได้จากการจำลองแบบมอนเตคาร์โล ซึ่งเทียบเท่ากับการแก้ ระบบสม การกำลังสองน้อยที่สุดดังนั้นเทคนิคนี้จึงเรียกว่าการสุ่มตัวอย่างแบบถดถอย (regression sampling )

เมื่อค่าคาดหวังของตัวแปรควบคุม${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$ถึงแม้จะไม่ทราบค่าทางวิเคราะห์ แต่ก็ยังสามารถเพิ่มความแม่นยำในการประมาณค่าได้${\displaystyle \mu }$(สำหรับงบประมาณการจำลองที่กำหนดไว้) โดยมีเงื่อนไขสองประการดังนี้: 1) การประเมิน${\displaystyle t}$มีราคาถูกกว่าการคำนวณอย่างมาก${\displaystyle m}$2) ขนาดของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์${\displaystyle |\rho _{m,t}|}$ใกล้เคียงกับความเป็นเอกภาพ^{[ 3 ]}

เราต้องการประมาณการ

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$

โดยใช้การอินทิเกรตแบบมอนเตคาร์โลอินทิกรัลนี้คือค่าที่คาดหวังของ ${\displaystyle f(U)}$, ที่ไหน

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}}$

และUมีการกระจายแบบเอกรูป  [0,  1] โดยใช้ตัวอย่างขนาดnแทนจุดในตัวอย่างด้วย${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$จากนั้นค่าประมาณจะได้รับโดย

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i}).}$

ต่อไปนี้เราขอแนะนำ${\displaystyle g(U)=1+U}$เป็นตัวแปรควบคุมที่มีค่าคาดหวังที่ทราบแล้ว${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$และนำทั้งสองมารวมกันเพื่อสร้างการประมาณการใหม่

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).}$

โดยใช้${\displaystyle n=1500}$การรับรู้และค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมโดยประมาณ${\displaystyle c^{\star }\approx 0.4773}$เราจึงได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

ความแปรปรวนลดลงอย่างมีนัยสำคัญหลังจากใช้เทคนิคตัวแปรควบคุม (ผลลัพธ์ที่แน่นอนคือ ${\displaystyle I=\ln 2\approx 0.69314718}$.)

• ตัวแปรตรงข้าม
• การสุ่มตัวอย่างแบบสำคัญ