ในทฤษฎีจำนวน จำนวนเต็ม สองจำนวนaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกันหากจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่เป็นตัวหารของทั้งสองจำนวนนั้นคือ 1 ^{[ 1 ]}ดังนั้นจำนวนเฉพาะ ใดๆ ที่หารa ลงตัว จะไม่หารb ลงตัว และในทางกลับกัน นี่เทียบเท่ากับตัวหารร่วมมาก (GCD) ของทั้งสองจำนวนนั้นคือ 1 ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ยังกล่าวได้ว่าa เป็นจำนวนเฉพาะของbหรือa เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ กับ b

เลข 8 และ 9 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน แม้ว่าเมื่อพิจารณาแยกกันแล้ว ทั้งสองเลขจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะก็ตาม เนื่องจาก 1 เป็นตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวของทั้งสองเลข ในทางกลับกัน 6 และ 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เพราะทั้งสองเลขหารด้วย 3 ลงตัว โดยนิยามแล้ว ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนอย่างง่ายจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

เมื่อจำนวนเต็มaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ วิธีมาตรฐานในการแสดงข้อเท็จจริงนี้ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือการระบุว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของพวกมันคือหนึ่ง โดยใช้สูตรgcd( a , b ) = 1หรือ( a , b ) = 1ในตำราConcrete Mathematics ปี 1989 ของพวกเขา Ronald Graham , Donald KnuthและOren Patashnikได้เสนอสัญลักษณ์ทางเลือกเพื่อระบุว่าaและb เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ กันและให้ใช้คำว่า "จำนวนเฉพาะ" แทนคำว่าจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (เช่นaเป็นจำนวนเฉพาะของb ) ^{[ 3 ]}${\displaystyle a\perp b}$

วิธีที่รวดเร็วในการตรวจสอบว่าจำนวนสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่นั้น สามารถใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดและรูปแบบที่เร็วกว่า เช่นขั้นตอนวิธีหารร่วมมากแบบไบนารีหรือขั้นตอนวิธีหารร่วมมากของเลห์เมอร์ได้

จำนวนของจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มบวกnซึ่ง อยู่ระหว่าง 1 และnจะแสดงด้วยฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันฟีของออยเลอร์φ ( n )

เซตของจำนวนเต็มอาจเรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ได้ ถ้าสมาชิกในเซตนั้นไม่มีตัวประกอบร่วมที่เป็นบวกใดๆ นอกจาก 1 เงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าสำหรับเซตของจำนวนเต็มคือ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่ ซึ่งหมายความว่าa และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันสำหรับทุกคู่( a , b )ของจำนวนเต็มที่แตกต่างกันในเซต เซต{2, 3, 4}เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แต่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่ เนื่องจาก 2 และ 4 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

เลข 1 และ -1 เป็นจำนวนเต็มเพียงสองจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มทุกจำนวน และเป็นจำนวนเต็มเพียงสองจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 0

มีหลายเงื่อนไขที่เทียบเท่ากับการที่aและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์:

• ไม่มีจำนวนเฉพาะ ใดที่หาร ทั้งaและbลงตัว
• มีจำนวนเต็มx และ yที่ทำให้ax + by = 1 (ดูเอกลักษณ์ของเบซูต์ )
• จำนวนเต็มbมี ตัว ผกผันการคูณ มอดู ลaซึ่งหมายความว่ามีจำนวนเต็มy อยู่จริง โดยที่by ≡ 1 (mod a )ในภาษาของทฤษฎีริงbคือหน่วยในริงของ${\displaystyle \mathbb {Z} /a\mathbb {Z} }$จำนวนเต็มมอดูลa
• ความสัมพันธ์สมมูลทุกคู่สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ทราบค่าxในรูปแบบx ≡ k (mod a )และx ≡ m (mod b )จะมีคำตอบ ( ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ) อันที่จริง คำตอบเหล่านั้นอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์สมมูลเดียวแบบโมดูลัสab
• ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของa และ b เท่ากับผลคูณของทั้งสอง^abนั่นคือlcm( a , b ) = ab [ ^{4 ]}

ผลที่ตามมาของประเด็นที่สามคือ ถ้าaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และbr ≡ bs (mod a )แล้วr ≡ s (mod a ) [ ^{5 ]}นั่นคือ เราสามารถ "หารด้วยb " เมื่อทำงานแบบโมดูลัสa ยิ่งไปกว่า ^นั้นถ้าb ₁ , b ₂เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับa ทั้งคู่ ผลคูณของพวกมัน b ₁ b ₂ก็เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ a เช่นกัน(กล่าวคือ โมดูลัสaเป็นผลคูณขององค์ประกอบที่ผกผันได้ และดังนั้นจึงผกผันได้) ^{[ 6 ]}สิ่งนี้ยังเป็นผลมาจากประเด็นแรกโดยทฤษฎีบทของยูคลิดซึ่งระบุว่า ถ้าจำนวนเฉพาะpหารผลคูณbcแล้วp จะหารตัวประกอบ b, cอย่าง น้อยหนึ่งตัว

จากข้อแรก ถ้าaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว กำลังใดๆ ของa ^kและb ^m ก็เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เช่น กัน

ถ้าaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และaหารผลคูณbc ลงตัว แล้วaจะหารcลงตัว^{[ 7 ]}สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของทฤษฎีบทของยูคลิด

จำนวนเต็มaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อจุดที่มีพิกัด( a , b )ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนนั้น "มองเห็นได้" ผ่านเส้นตรงที่ไม่มีสิ่งกีดขวางจากจุดกำเนิด(0, 0)ในความหมายที่ว่าไม่มีจุดใดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มอยู่บนส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดกำเนิดและ( a , b ) (ดูรูปที่ 1)

ในแง่ที่สามารถระบุได้อย่างแม่นยำความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มสองจำนวนที่สุ่มเลือกมาจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์คือ6/ π²ซึ่งประมาณ 61% (ดูหัวข้อ^§ความน่าจะเป็นของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ด้านล่าง)

จำนวนธรรมชาติ สอง จำนวน aและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อจำนวน2a ⁻ 1และ2b ⁻ 1เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์^{[ 8 ]} เป็นการสรุปทั่วไปของเรื่องนี้ ซึ่งได้มาจาก ขั้นตอนวิธีของยุคลิดในฐานn > 1ได้อย่างง่ายดาย:

${\displaystyle \gcd \left(n^{a}-1,n^{b}-1\right)=n^{\gcd(a,b)}-1.}$

เซตของจำนวนเต็มอาจเรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบเซตได้ถ้าตัวหารร่วมมากที่สุดของสมาชิกทั้งหมดในเซตนั้นคือ 1 ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม 6, 10, 15 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ 1 เป็นจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่หารจำนวนเหล่านี้ลงตัว ${\displaystyle S=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}}$

ถ้าจำนวนเต็มทุกคู่ในเซตเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เซตนั้นจะเรียกว่าเป็นเซตเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็นคู่ (หรือจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็น คู่ หรือจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบร่วมกัน ) เงื่อนไขความเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็นคู่มีความเข้มงวดกว่าความเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบทั้งเซต กล่าวคือ เซตจำกัดที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบเป็นคู่ทุกเซตก็จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบทั้งเซตด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม 4, 5, 6 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบทั้งเซต (เพราะจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่หารทั้ง สามจำนวนลงตัว คือ 1) แต่ไม่ใช่ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แบบเป็นคู่ (เพราะห.ร.ม. ของ 4, 6 = 2 )

แนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะคู่กันมีความสำคัญในฐานะสมมติฐานในผลลัพธ์หลายอย่างในทฤษฎีจำนวน เช่นทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

เป็นไปได้ที่เซตของจำนวนเต็มอนันต์จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่ เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด เซตของสมาชิกในลำดับของซิลเวสเตอร์และเซตของจำนวนแฟร์มาต์ทั้งหมด

เมื่อกำหนดจำนวนเต็มสองจำนวน คือ aและb ที่สุ่มเลือกมา การถามว่าโอกาสที่aและb จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันนั้นมีมากน้อยเพียงใด ในการพิจารณานี้ การใช้คุณสมบัติที่ว่า aและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อไม่มีจำนวนเฉพาะใดหารทั้งสองจำนวนลงตัวนั้นสะดวกกว่า (ดู ทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิต )

โดยทั่วไป ความน่าจะเป็นที่จำนวนใดๆ จะหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็มใดๆ) pคือ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{p}};}$ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มลำดับที่ 7 ทุกจำนวนจะหารลงตัวด้วย 7 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จำนวนสองจำนวนจะหารลงตัวด้วยp ทั้งคู่ คือ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{p^{2}}},}$และความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งจำนวนไม่หารลงตัวคือ⁠ ⁠${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{p^{2}}}.}$ ชุดเหตุการณ์การหารลงตัวใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันจะเป็นอิสระต่อกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่มีสองเหตุการณ์ จำนวนหนึ่งจะหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะpและqก็ต่อเมื่อมันหารลงตัวด้วยpq เท่านั้น เหตุการณ์หลังมีความน่าจะเป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{pq}}.}$ หากเราตั้งสมมติฐานแบบฮิวริสติกว่าการให้เหตุผลดังกล่าวสามารถขยายไปยังเหตุการณ์การหารลงตัวจำนวนอนันต์ได้ เราจะเดาได้ว่าความน่าจะเป็นที่จำนวนสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์นั้นกำหนดโดยผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมด

${\displaystyle \prod _{{\text{prime }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{{\text{prime }}p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.607927102\approx 61\%.}$

ในที่นี้ζหมายถึงฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เอกลักษณ์ที่เชื่อมโยงผลคูณเหนือจำนวนเฉพาะกับζ (2)เป็นตัวอย่างของผลคูณออยเลอร์และการประเมินค่าของζ (2)เป็นπ ² /6คือปัญหาบาเซิล ซึ่ง เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แก้ไขในปี 1735

ไม่มีวิธีใดที่จะเลือกจำนวนเต็มบวกแบบสุ่มเพื่อให้จำนวนเต็มบวกแต่ละจำนวนเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน แต่ข้อความเกี่ยวกับ "จำนวนเต็มที่เลือกแบบสุ่ม" เช่นที่กล่าวมาข้างต้น สามารถทำให้เป็นทางการได้โดยใช้แนวคิดของความหนาแน่นตามธรรมชาติ สำหรับจำนวนเต็มบวก Nแต่ละจำนวนให้P _Nเป็นความน่าจะเป็นที่จำนวนสองจำนวนที่เลือกแบบสุ่มใน N เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แม้ว่าP _Nจะไม่เท่ากับ6/ π/ ²อย่างแน่นอน แต่ด้วยงาน^{[ a ]} เราสามารถแสดง ได้ ว่าในลิมิตเมื่อความน่าจะ เป็น P _Nเข้าใกล้6/ π/ ²${\displaystyle \{1,2,\ldots ,N\}}$${\displaystyle N\to \infty ,}$

โดยทั่วไปแล้ว ความน่าจะเป็นที่ จำนวนเต็ม kที่เลือกแบบสุ่มจะเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันในแต่ละเซตคือ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (k)}}.}$^{[ 9 ]}

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์บวกทุกคู่( m , n ) (โดยที่m > n ) สามารถจัดเรียงเป็นต้นไม้ไตรภาค สมบูรณ์ที่ไม่ทับซ้อนกันสองต้น โดยต้นหนึ่งเริ่มต้นจาก(2, 1) (สำหรับคู่เลขคู่-เลขคี่และเลขคี่-เลขคู่) ^{[ 10 ]}และอีกต้นหนึ่งเริ่มต้นจาก(3, 1) (สำหรับคู่เลขคี่-เลขคี่) ^{[ 11 ]}ลูกของแต่ละจุดยอด( m , n )จะถูกสร้างขึ้นดังนี้:

• สาขาที่ 1:${\displaystyle (2m-n,m)}$
• สาขาที่ 2:${\displaystyle (2m+n,m)}$
• สาขาที่ 3:${\displaystyle (m+2n,n)}$

แผนการนี้ครอบคลุมทุกด้านและไม่มีส่วนที่ซ้ำซ้อน โดยไม่มีสมาชิกที่ไม่ถูกต้อง สามารถพิสูจน์ได้โดยการสังเกตว่า ถ้าเป็นคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับแล้ว ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a>b,}$

• ถ้าเช่นนั้น เป็นบุตรของสาขาที่ 3${\displaystyle a>3b,}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (m,n)=(a-2b,b)}$
• ถ้าเช่นนั้นเป็นลูกของสาขาที่ 2${\displaystyle 2b<a<3b,}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (m,n)=(b,a-2b)}$
• ถ้าเช่นนั้นจะเป็นลูกของสาขาที่ 1${\displaystyle b<a<2b,}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (m,n)=(b,2b-a)}$

ในทุกกรณีคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ที่ "เล็กกว่า" จะมีกระบวนการ "คำนวณหาพ่อ" ซึ่งจะหยุดได้ก็ต่อเมื่อหรือในกรณีเหล่านี้ ความเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ หมายความว่าคู่ดังกล่าวเป็นหรือ${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m>n.}$${\displaystyle a=2b}$${\displaystyle a=3b.}$${\displaystyle (2,1)}$${\displaystyle (3,1).}$

อีกวิธีหนึ่ง (ที่ง่ายกว่ามาก) ในการสร้างต้นไม้ของคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์บวก( m , n ) (โดยที่m > n ) คือการใช้ตัวสร้างสองตัวคือ และโดยเริ่มจากรากต้นไม้ไบนารีที่ได้ ซึ่งเรียกว่าต้นไม้ Calkin–Wilfนั้นครอบคลุมทุกคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และไม่ซ้ำซ้อน ซึ่งสามารถอธิบายได้ดังนี้ เมื่อกำหนดคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว เราจะใช้หรือ ซ้ำๆ โดย ขึ้นอยู่กับว่าวิธีใดให้คู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์บวกที่มีm > nเนื่องจากมีเพียงวิธีเดียวเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์เช่นนั้น ต้นไม้จึงไม่ซ้ำซ้อน และเนื่องจากด้วยกระบวนการนี้ เราจะไปถึงรากอย่างแน่นอน ต้นไม้จึงครอบคลุมทุกคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ${\displaystyle f:(m,n)\rightarrow (m+n,n)}$${\displaystyle g:(m,n)\rightarrow (m+n,m)}$${\displaystyle (2,1)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle g^{-1}}$

ในการออกแบบเครื่องจักร การสึกหรอ ของเฟือง ที่สม่ำเสมอและเป็นเนื้อเดียวกัน นั้น สามารถทำได้โดยการเลือกจำนวนฟันของเฟืองสองตัวที่ขบกันให้มีจำนวนฟันที่สัมพันธ์กันเป็นจำนวนฟันหลัก (prime) เมื่อ ต้องการ อัตราทดเกียร์ 1:1 อาจใส่เฟืองที่มีจำนวนฟันสัมพันธ์กันเป็นจำนวนฟันหลัก (prime) เข้าไประหว่างเฟืองสองตัวที่มีขนาดเท่ากันนั้น

ใน การเข้ารหัสลับก่อนยุคคอมพิวเตอร์ เครื่อง เข้ารหัส Vernamบางเครื่องรวมลูปเทปกุญแจที่มีความยาวต่างกันหลายลูปเข้าด้วยกันเครื่องโรเตอร์ หลายเครื่อง รวมโรเตอร์ที่มีจำนวนฟันต่างกัน การรวมกันแบบนี้จะได้ผลดีที่สุดเมื่อความยาวทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

แนวคิดนี้สามารถขยายไปใช้กับโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ ได้นอกเหนือจากนั้นตัวอย่าง${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$เช่นพหุนามที่มีตัวหารร่วมมากที่สุดคือ 1 เรียกว่าพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์

ไอเดียล สอง ตัว AและBในวงแหวนสลับที่Rเรียกว่าเป็นไอเดียลเฉพาะตัว (หรือไอเดียลสูงสุดร่วม ) ถ้านี่เป็นการขยายความเอกลักษณ์ของเบซูต์ : ด้วยนิยามนี้ไอเดียลหลัก สองตัว ( a ) และ ( b ) ในวงแหวนของจำนวนเต็มจะเป็นไอเดียลเฉพาะตัวก็ต่อเมื่อa และ b เป็นไอเดียลเฉพาะตัว นอกจากนี้ ถ้าไอเดียลAและBของRเป็นไอเดียลเฉพาะตัวแล้ว ถ้าCเป็นไอเดียลที่สามซึ่งAประกอบด้วยBCแล้วAจะประกอบด้วยCทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนสามารถขยายความไปยังวงแหวนสลับที่ใดๆ ได้โดยใช้ไอเดียลเฉพาะตัว ${\displaystyle A+B=R.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle AB=A\cap B;}$

ลองค้นหาคำว่า coprimeใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• สวนผลไม้ของยูคลิด
• จำนวนซูเปอร์พาร์เทียนต์

• Hardy, GH ; Wright, EM (2008), บทนำสู่ทฤษฎีจำนวน (ฉบับที่ 6), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด , ISBN 978-0-19-921986-5
• นิเวน, อีวาน; ซัคเคอร์แมน, เฮอร์เบิร์ต เอส. (1966), บทนำสู่ทฤษฎีจำนวน (ฉบับที่ 2), จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์
• Ore, Oystein (1988) [1948], ทฤษฎีจำนวนและประวัติศาสตร์ของมัน , Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rosen, Kenneth H. (1992), ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 3), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-57889-8

• ลอร์ด, นิค (มีนาคม 2551), "การสร้างลำดับจำนวนเฉพาะร่วมอนันต์แบบเอกรูป", Mathematical Gazette , 92 : 66–70.