เมทริกซ์สหสัมพันธ์ไขว้ (Learn how and when to remove this message ) เมทริกซ์สหสัมพันธ์ไขว้ ของเวกเตอร์สุ่ม สองตัว คือ เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นค่าสหสัมพันธ์ไขว้ขององค์ประกอบทุกคู่ของเวกเตอร์สุ่มทั้งสอง เมทริกซ์สหสัมพันธ์ไขว้ถูกนำไปใช้ในอัลกอริธึมการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลต่างๆ
คำนิยาม สำหรับเวกเตอร์สุ่ม สองตัว และแต่ละตัวประกอบด้วยองค์ประกอบสุ่ม ที่มีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน เมทริกซ์สหสัมพันธ์ไขว้ ของและถูกกำหนดโดย[ 1 ] : หน้า 337 X = ( X 1 , … , X m ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}} Y = ( Y 1 , … , Y n ) T {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}} X {\displaystyle \mathbf {X} } Y {\displaystyle \mathbf {Y} }
R X Y ≜ E [ X Y T ] {\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]}
และมีมิติเขียนแยกตามส่วนประกอบ: m × n {\displaystyle m\times n}
R X Y = [ E [ X 1 Y 1 ] E [ X 1 Y 2 ] ⋯ E [ X 1 Y n ] E [ X 2 Y 1 ] E [ X 2 Y 2 ] ⋯ E [ X 2 Y n ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ X m Y 1 ] E [ X m Y 2 ] ⋯ E [ X m Y n ] ] {\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}} เวกเตอร์สุ่มและไม่จำเป็นต้องมีมิติเท่ากัน และเวกเตอร์ใดเวกเตอร์หนึ่งอาจเป็นค่าสเกลาร์ก็ได้ X {\displaystyle \mathbf {X} } Y {\displaystyle \mathbf {Y} }
ตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น ถ้าและเป็นเวกเตอร์สุ่ม แล้ว จะเป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกลำดับที่คือ X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) T {\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}} Y = ( Y 1 , Y 2 ) T {\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}} R X Y {\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }} 3 × 2 {\displaystyle 3\times 2} ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} E [ X i Y j ] {\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}
เวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน ถ้าและเป็นเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน โดย แต่ละเวกเตอร์ประกอบด้วยตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนอยู่แล้ว เมทริกซ์สหสัมพันธ์ไขว้ของและจะถูกกำหนดโดย Z = ( Z 1 , … , Z m ) T {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}} W = ( W 1 , … , W n ) T {\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}} Z {\displaystyle \mathbf {Z} } W {\displaystyle \mathbf {W} }
R Z W ≜ E [ Z W H ] {\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]} โดยที่หมายถึงการสลับตำแหน่งแบบเฮอร์มิเชีย น H {\displaystyle {}^{\rm {H}}}
เวกเตอร์สุ่มสองตัวและเรียกว่าไม่มีความสัมพันธ์กัน ถ้า X = ( X 1 , … , X m ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}} Y = ( Y 1 , … , Y n ) T {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}
E [ X Y T ] = E [ X ] E [ Y ] T . {\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.} ตัวแปรทั้งสองจะไม่สัมพันธ์กันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรทั้งสองเป็นศูนย์เท่านั้น K X Y {\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}
ในกรณีของเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน สองตัว จะเรียกว่าเวกเตอร์เหล่านั้นไม่มีความสัมพันธ์กัน ถ้า Z {\displaystyle \mathbf {Z} } W {\displaystyle \mathbf {W} }
E [ Z W H ] = E [ Z ] E [ W ] H {\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}} และ
E [ Z W T ] = E [ Z ] E [ W ] T . {\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}
คุณสมบัติ
ความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมไขว้ ค่าสหสัมพันธ์ไขว้มีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมไขว้ ดังนี้:
K X Y = E [ ( X − E [ X ] ) ( Y − E [ Y ] ) T ] = R X Y − E [ X ] E [ Y ] T {\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}} สำหรับเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อนตามลำดับ: K Z W = E [ ( Z − E [ Z ] ) ( W − E [ W ] ) H ] = R Z W − E [ Z ] E [ W ] H {\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}
ดูเพิ่มเติม
อ่านเพิ่มเติม เฮส์, มอนสัน เอช., การประมวลผลและการสร้างแบบจำลองสัญญาณดิจิทัลเชิงสถิติ , จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ อิงค์, 1996. ISBN 0-471-59431-8 . โซโลมอน ดับเบิลยู. โกลอมบ์ และกวง กง . การออกแบบสัญญาณเพื่อความสัมพันธ์ที่ดี: สำหรับการสื่อสารไร้สาย การเข้ารหัส และเรดาร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2005. M. Soltanalian. การออกแบบสัญญาณสำหรับการตรวจจับและการสื่อสารแบบแอคทีฟ วิทยานิพนธ์จากคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยอุปซาลา (จัดพิมพ์โดย Elanders Sverige AB), 2014 
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1337f507d7cb6918d742ae2f029e0554013f7a58)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [X_{m}Y_{1}]&\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\ชื่อตัวดำเนินการ {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfaf0f3923eafd144f762732bbaa951102ed00bb)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e511d6ea021c2d4b0579f621faec897ec52a1999)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96a25804b6f71adb2dd4366a18cc65e96553d88)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8bb45997c59ac08d38c6073ad03c832d11abf6)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e653a5949cb26600c65a6d23c16310eae1e9867f)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500e14ec28154556c9b0aa741d1b036af7b7a67f)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [\mathbf {X} ]\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d58fc3b03892e013a545da3322c2d4942d7314e)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [\mathbf {Z} ]\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b852cac5898146e76309d2f9d00ac163d1d65a)