กฎกำลังสองผกผันของคูลอมบ์หรือเรียกง่ายๆ ว่ากฎของคูลอมบ์เป็นกฎทางวิทยาศาสตร์^{[ 1 ]}ของฟิสิกส์ที่อธิบายปริมาณแรงระหว่าง อนุภาค ที่มีประจุไฟฟ้า สอง อนุภาคที่หยุดนิ่ง แรงไฟฟ้านี้โดยทั่วไปเรียกว่าแรงไฟฟ้าสถิตหรือแรงคูลอมบ์ [ ^{2 ] แม้ว่า}กฎนี้จะเป็นที่รู้จักมาก่อนหน้านี้ แต่ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1785 โดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสชาร์ลส์-ออกัสติน เดอ คูลอมบ์ กฎของคูลอมบ์มีความสำคัญต่อการพัฒนาทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าและอาจเป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีนี้ด้วยซ้ำ^{[ 1 ]}เนื่องจากทำให้สามารถอภิปรายปริมาณประจุไฟฟ้าในอนุภาคได้อย่างมีความหมาย^{[ 3 ]}

กฎระบุว่าขนาดหรือค่าสัมบูรณ์ของแรงดึงดูดหรือแรงผลัก ทางไฟฟ้าสถิต ระหว่างประจุจุด สองจุด นั้นเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของขนาดของประจุทั้งสองและเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างประจุทั้งสอง^{[ 4 ]}คูลอมบ์ค้นพบว่าวัตถุที่มีประจุไฟฟ้าเหมือนกันจะผลักกัน

ดังนั้นจากการทดสอบทั้งสามนี้ จึงสรุปได้ว่าแรงผลักที่ลูกบอลทั้งสองลูก – [ซึ่ง] ถูกทำให้มีกระแสไฟฟ้าชนิดเดียวกัน – กระทำต่อกันนั้น เป็นไปตามสัดส่วนผกผันของกำลังสองของระยะทาง^{[ 5 ]}

คูลอมบ์ยังแสดงให้เห็นว่าวัตถุที่มีประจุตรงข้ามกันจะดึงดูดกันตามกฎกำลังสองผกผัน: $${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}$$

ในที่นี้k _eคือค่าคงที่ของคูลอมบ์ q 1 _และ q 2 _คือปริมาณของประจุแต่ละตัว และrคือระยะห่างระหว่างประจุทั้งสอง

แรงนั้นมีทิศทางตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างวัตถุทั้งสอง ถ้าประจุมีเครื่องหมายเดียวกัน แรงไฟฟ้าสถิตระหว่างพวกมันจะทำให้พวกมันผลักกัน แต่ถ้าประจุมีเครื่องหมายต่างกัน แรงระหว่างพวกมันจะทำให้พวกมันดึงดูดกัน

เนื่องจากเป็นกฎกำลังสองผกผันกฎนี้จึงคล้ายกับกฎกำลังสองผกผันของแรงโน้มถ่วงสากลของไอแซค นิวตันแต่แรงโน้มถ่วงจะทำให้สิ่งต่างๆ ดึงดูดกันเสมอ ในขณะที่แรงไฟฟ้าสถิตทำให้ประจุดึงดูดหรือผลักกัน นอกจากนี้ แรงโน้มถ่วงยังอ่อนกว่าแรงไฟฟ้าสถิตมาก^{[ 2 ]}กฎของคูลอมบ์สามารถใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของกฎของเกาส์และในทางกลับกัน ในกรณีของประจุจุดเดียวที่หยุดนิ่ง กฎทั้งสองจะเทียบเท่ากัน โดยแสดงกฎทางฟิสิกส์เดียวกันในรูปแบบที่แตกต่างกัน^{[ 6 ]}กฎนี้ได้รับการทดสอบอย่างกว้างขวางและการสังเกตการณ์ได้ยืนยันกฎนี้ในระดับตั้งแต่ 10 ⁻¹⁶ม. ถึง 10 ⁸ม. ^{[ 6 ]}

การขยายกฎของคูลอมบ์แบบขึ้นอยู่กับเวลาแสดงได้ด้วยสมการของเจฟิเมนโกซึ่งอธิบายสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่เกิดจากการกระจายตัวของประจุไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

วัฒนธรรมโบราณรอบทะเลเมดิเตอร์เรเนียนรู้ว่าวัตถุบางอย่าง เช่น แท่งอำพันสามารถถูด้วยขนแมวเพื่อดึงดูดวัตถุเบา ๆ เช่น ขนนกและเศษกระดาษได้ธาเลสแห่งมิเลตุสได้บันทึกคำอธิบายเกี่ยวกับไฟฟ้าสถิต เป็นครั้งแรก เมื่อราว 600 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 7 ]}เมื่อเขาสังเกตเห็นว่าแรงเสียดทานสามารถทำให้อำพันดึงดูดวัตถุขนาดเล็กได้^{[ 8 ] [ 9 ]}

ในปี ค.ศ. 1600 นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษวิลเลียม กิลเบิร์ตได้ทำการศึกษาอย่างละเอียดเกี่ยวกับไฟฟ้าและแม่เหล็ก โดยแยกแยะ ปรากฏการณ์ แม่เหล็กจากไฟฟ้าสถิตที่เกิดจากการถูอำพัน^{[ 8 ]}เขาบัญญัติศัพท์ภาษาละตินใหม่ว่าelectricus ("ของอำพัน" หรือ "เหมือนอำพัน" มาจากἤλεκτρον [ elektron ] ซึ่งเป็นคำภาษากรีกที่แปลว่า "อำพัน") เพื่ออ้างถึงคุณสมบัติในการดึงดูดวัตถุขนาดเล็กหลังจากถูกถู^{[ 10 ]}การเชื่อมโยงนี้ทำให้เกิดคำภาษาอังกฤษว่า "electric" และ "electricity" ซึ่งปรากฏในงานเขียนครั้งแรกในPseudodoxia Epidemicaของโทมัส บราวน์ในปี ค.ศ. 1646 ^{[ 11 ]}

นักวิจัยยุคแรกในศตวรรษที่ 18 ที่สงสัยว่า แรงไฟฟ้าจะลดลงตามระยะทางเช่นเดียวกับแรงโน้มถ่วง (กล่าวคือ เป็นกำลังสองผกผันของระยะทาง) ได้แก่แดเนียล เบอร์นูลลี^{[ 12 ]}และอเลสซานโดร โวลตาซึ่งทั้งคู่ได้วัดแรงระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุและฟรานซ์ เอปินัสผู้ซึ่งสันนิษฐานกฎกำลังสองผกผันในปี 1758 ^{[ 13 ]}

จากการทดลองกับทรงกลมที่มีประจุไฟฟ้าโจเซฟ พรีสต์ลีย์แห่งอังกฤษเป็นหนึ่งในคนแรกๆ ที่เสนอว่าแรงไฟฟ้าเป็นไปตามกฎกำลังสองผกผันคล้ายกับกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันอย่างไรก็ตาม เขาไม่ได้สรุปหรือขยายความในเรื่องนี้^{[ 14 ]}ในปี 1767 เขาสันนิษฐานว่าแรงระหว่างประจุแปรผันตามกำลังสองผกผันของระยะทาง^{[ 15 ] [ 16 ]}

ในปี ค.ศ. 1769 จอห์น โรบิสัน นัก ^{ฟิสิกส์} ชาวสกอตแลนด์ ประกาศว่า จากการวัดของเขา แรงผลักระหว่างทรงกลมสองลูกที่มีประจุเครื่องหมายเดียวกันแปรผันตามx ^−2.06 [ ^{17 ]}

ในช่วงต้นทศวรรษ 1770 เฮนรี คาเวนดิชแห่งอังกฤษได้ค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างแรงระหว่างวัตถุที่มีประจุกับทั้งระยะทางและประจุ แต่ยังไม่ได้ตีพิมพ์^{[ 18 ]}ในบันทึกของเขา คาเวนดิชเขียนว่า "ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าแรงดึงดูดและแรงผลักทางไฟฟ้าจะต้องแปรผกผันกับกำลังบางอย่างของระยะทางระหว่างวัตถุที่มีประจุกับระยะทาง2 + ⁠1/50ลำดับที่ 2 และลำดับที่ 2 −1/50และไม่มีเหตุผลใดที่จะคิดว่ามันแตกต่างจากอัตราส่วนการทำซ้ำแบบผกผันเลย "

ในที่สุด ในปี ค.ศ. 1785 นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสชาร์ลส์-ออกัสติน เดอ คูลอมบ์ได้ตีพิมพ์รายงานสามฉบับแรกเกี่ยวกับไฟฟ้าและแม่เหล็ก โดยระบุถึงกฎของเขา การตีพิมพ์นี้มีความสำคัญต่อการพัฒนาทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า [ ^{4 ] เขา}ใช้เครื่องชั่งแรงบิดเพื่อศึกษาแรงผลักและแรงดึงดูดของอนุภาคที่มีประจุและพบว่าขนาดของแรงไฟฟ้าที่อยู่ระหว่างประจุจุดสองจุดนั้นเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของประจุ และเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างประจุทั้งสอง

เครื่องชั่งแรงบิดประกอบด้วยแท่งโลหะที่แขวนอยู่ตรงกลางด้วยเส้นใยบางๆ เส้นใยทำหน้าที่เหมือนสปริงแรงบิด ที่อ่อนมาก ในการทดลองของคูลอมบ์ เครื่องชั่งแรงบิดเป็นแท่งฉนวน ที่มีลูกบอลเคลือบ โลหะติดอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง แขวนด้วย เส้น ไหมลูกบอลมีประจุไฟฟ้าสถิต ที่ทราบค่า และลูกบอลที่มีประจุอีกอันที่มีขั้วเดียวกันถูกนำมาวางใกล้ๆ ลูกบอลที่มีประจุทั้งสองผลักกัน ทำให้เส้นใยบิดไปเป็นมุมหนึ่ง ซึ่งสามารถอ่านได้จากมาตราส่วนบนเครื่องมือเมื่อรู้ว่าต้องใช้แรงเท่าใดในการบิดเส้นใยเป็นมุมที่กำหนด คูลอมบ์จึงสามารถคำนวณแรงระหว่างลูกบอลและได้มาซึ่งกฎสัดส่วนผกผันกำลังสองของเขา

กฎของคูลอมบ์ระบุว่าแรงไฟฟ้าสถิตที่ประจุณ ตำแหน่งในบริเวณใกล้เคียงกับประจุอื่นณ ตำแหน่งในสุญญากาศนั้นเท่ากับ^{[ 19 ]}${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }__{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

โดยที่คือเวกเตอร์การกระจัดระหว่างประจุ ซึ่งเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากไปยังและ คือค่าคงที่ทางไฟฟ้าในที่นี้ใช้ แทนสัญลักษณ์เวกเตอร์ แรงไฟฟ้าสถิตที่กระทำต่อตามกฎข้อที่สามของนิวตันคือ${\textstyle \mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}} }$${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }__{12}}$${\textstyle q_{2}}$${\textstyle q_{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\textstyle \mathbf {\หมวก {r}} _{12}}$${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

ถ้าประจุทั้งสองมี เครื่องหมายเดียวกัน(ประจุเหมือนกัน) ผลคูณ จะเป็นบวก และทิศทางของแรงกระทำต่อประจุจะกำหนดโดย; ประจุจะผลักกัน ถ้าประจุมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ผลคูณจะเป็นลบ และทิศทางของแรงกระทำต่อประจุจะกำหนด โดย ;ประจุจะดึงดูดกัน^{[ 20 ]}${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }__{12}}$

กฎการซ้อนทับช่วยให้สามารถขยายกฎของคูลอมบ์ไปใช้กับประจุจุดจำนวนใดๆ ก็ได้ แรงที่กระทำต่อประจุจุดเนื่องจากระบบประจุจุดนั้นก็คือผลรวมเวกเตอร์ของแรงแต่ละแรงที่กระทำต่อประจุจุดนั้นเพียงลำพัง อันเนื่องมาจากประจุแต่ละตัว แรงเวกเตอร์ที่ได้จะมีทิศทางขนานกับ เวกเตอร์ สนามไฟฟ้าณ จุดนั้น โดยที่ไม่มีประจุจุดนั้นอยู่ด้วย

แรงที่กระทำต่อประจุขนาดเล็กณ ตำแหน่งเนื่องมาจากระบบประจุแยกส่วนในสุญญากาศคือ^{[ 19 ]}${\textstyle \mathbf {F} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\textstyle n}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}},}$$

โดยที่คือขนาดของ ประจุที่ i , คือเวกเตอร์จากตำแหน่งของประจุนั้นไปยังและคือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ ${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }__{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

ในกรณีนี้ หลักการซ้อนทับเชิงเส้นก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน สำหรับการกระจายประจุแบบต่อเนื่อง การอินทิเกรตเหนือบริเวณที่บรรจุประจุจะเทียบเท่ากับการบวกแบบอนันต์ โดยถือว่าแต่ละ องค์ประกอบ เล็กๆของพื้นที่เป็นประจุจุดการกระจายประจุมักจะเป็นแบบเชิงเส้น บนพื้นผิว หรือในปริมาตร ${\displaystyle dq}$

สำหรับการกระจายประจุเชิงเส้น (การประมาณที่ดีสำหรับประจุในลวด) โดยที่ให้ประจุต่อหน่วยความยาวที่ตำแหน่งและเป็นองค์ประกอบที่เล็กมากของความยาว^{[ 21 ]}${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle d\ell '}$$${\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r'} )\,d\ell '.}$$

สำหรับการกระจายประจุบนพื้นผิว (ซึ่งเป็นการประมาณที่ดีสำหรับประจุบนแผ่นในตัวเก็บประจุ แบบแผ่นขนาน ) โดยที่แสดงถึงประจุต่อหน่วยพื้นที่ ณ ตำแหน่งและคือองค์ประกอบพื้นที่ขนาดเล็กมาก ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle dA'}$$${\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r'} )\,dA'.}$$

สำหรับการกระจายประจุปริมาตร (เช่น ประจุภายในโลหะจำนวนมาก) โดยที่ให้ประจุต่อหน่วยปริมาตรที่ตำแหน่งและเป็นองค์ประกอบปริมาตรที่เล็กมาก^{[ 20 ]}${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle dV'}$$${\displaystyle dq'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$$

แรงที่กระทำต่อประจุทดสอบขนาดเล็กณ ตำแหน่งหนึ่งในสุญญากาศนั้น หาได้จากปริพันธ์เหนือการกระจายตัวของประจุ ${\displaystyle q}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {r}}}$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int dq'{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}.}$$

กฎของคูลอมบ์ในรูปแบบ "ประจุต่อเนื่อง" ไม่ควรนำไปใช้กับตำแหน่งที่ทับซ้อนกับตำแหน่งของอนุภาคที่มีประจุ (เช่น อิเล็กตรอนหรือโปรตอน) ซึ่งไม่ใช่ตำแหน่งที่ถูกต้องสำหรับการวิเคราะห์สนามไฟฟ้าหรือศักย์ไฟฟ้าแบบคลาสสิก ในความเป็นจริง ประจุจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องเสมอ และสมมติฐาน "ประจุต่อเนื่อง" เป็นเพียงการประมาณค่าที่ไม่ควรนำมาใช้ในการวิเคราะห์ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$

ค่าคงที่ของสัดส่วนในกฎของคูลอมบ์ เป็นผลมาจากการเลือกหน่วยทางประวัติศาสตร์^{[ 19 ] : 4–2} ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }__{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

ค่าคงที่คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศ^{[ 22 ]}โดยใช้ ค่าที่แนะนำ ของ CODATA 2022 สำหรับ[ ^{23 ] ค่า}คงที่คูลอมบ์^{[ 24 ]}คือ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$$${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\approx 8.987\ 551\ 785\ 972(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} }$$

มีเงื่อนไขสามประการที่ต้องปฏิบัติตามเพื่อให้กฎกำลังสองผกผันของคูลอมบ์มีความถูกต้อง: ^{[ 25 ]}

1. ประจุจะต้องมีการกระจายตัวแบบสมมาตรทรงกลม (เช่น ประจุจุด หรือทรงกลมโลหะที่มีประจุ)
2. ค่าบริการต้องไม่ทับซ้อนกัน (เช่น ต้องเป็นค่าบริการเฉพาะจุดที่แยกจากกัน)
3. ประจุจะต้องอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงที่ไม่เร่งความเร็ว

วิธีสุดท้ายนี้เรียกว่าการประมาณทางไฟฟ้าสถิตเมื่อมีการเคลื่อนที่เกิดขึ้น จะมีปัจจัยเพิ่มเติมเข้ามา ซึ่งเปลี่ยนแปลงแรงที่กระทำต่อวัตถุทั้งสอง แรงส่วนเกินนี้เรียกว่า แรง แม่เหล็กสำหรับการเคลื่อนที่ช้า แรงแม่เหล็กจะมีค่าน้อยมาก และกฎของคูลอมบ์ยังคงถือว่าถูกต้องโดยประมาณ อย่างไรก็ตาม การประมาณที่แม่นยำกว่าในกรณีนี้คือแรงของเวเบอร์เมื่อประจุเคลื่อนที่เร็วขึ้นสัมพันธ์กัน หรือเกิดการเร่งความเร็วขึ้น จะต้องนำสม การของแม็กซ์เวลล์และทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์มาพิจารณาด้วย

สนามไฟฟ้าเป็นสนามเวกเตอร์ ที่เชื่อมโยงแรงคูลอมบ์ที่ ประจุทดสอบหน่วยได้รับกับแต่ละจุดในอวกาศ^{[ 19 ]}ความแรงและทิศทางของแรงคูลอมบ์บนประจุขึ้นอยู่กับสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดยประจุอื่น ๆ ที่มันพบอยู่ด้วย โดยที่ในกรณีที่ง่ายที่สุด สนามจะถือว่าถูกสร้างขึ้นโดยประจุจุด แหล่งกำเนิดเพียงจุดเดียว โดยทั่วไปแล้ว สนามสามารถถูกสร้างขึ้นโดยการกระจายของประจุที่ส่งผลต่อสนามโดยรวมโดยหลักการซ้อนทับ ${\textstyle \mathbf {F} }$${\textstyle q_{t}}$${\textstyle \mathbf {E} }$${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

ถ้าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุจุดบวกทิศทางของสนามไฟฟ้าจะชี้ไปตามแนวเส้นที่พุ่งออกไปด้านนอกในแนวรัศมี กล่าวคือ ในทิศทางที่ประจุทดสอบจุดบวกจะเคลื่อนที่หากวางไว้ในสนามนั้น สำหรับประจุจุดลบ ทิศทางจะพุ่งเข้าด้านในในแนวรัศมี ${\textstyle q}$${\textstyle q_{t}}$

ขนาดของสนามไฟฟ้าEสามารถหาได้จากกฎของคูลอมบ์ โดยเลือกประจุจุดหนึ่งเป็นแหล่งกำเนิด และอีกจุดหนึ่งเป็นประจุทดสอบ จากกฎของคูลอมบ์ จะได้ว่าขนาดของสนามไฟฟ้าE ที่เกิดจาก ประจุจุด แหล่งกำเนิด Qเพียงตัวเดียวที่ระยะห่างr จากแหล่งกำเนิด ในสุญญากาศนั้น มีค่าดังนี้ $${\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|Q|}{r^{2}}}}$$

ระบบ ประจุแยกอิสระ nตัวที่วางอยู่ ณ ตำแหน่งหนึ่งก่อให้เกิดสนามไฟฟ้าที่มีขนาดและทิศทางตามหลักการซ้อนทับ ${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}}$$

กฎของคูลอมบ์ใช้ได้แม้กระทั่งภายในอะตอมโดยอธิบายแรง ระหว่าง นิวเคลียสของอะตอมที่มีประจุบวกและอิเล็กตรอน ที่มีประจุลบได้อย่างถูกต้อง กฎง่ายๆ นี้ยังอธิบายแรงที่ยึดเหนี่ยวอะตอมเข้าด้วยกันเพื่อสร้างโมเลกุลและแรงที่ยึดเหนี่ยวอะตอมและโมเลกุลเข้าด้วยกันเพื่อสร้างของแข็งและของเหลวได้อย่างถูกต้อง โดยทั่วไปแล้ว เมื่อระยะห่างระหว่างไอออนเพิ่มขึ้น แรงดึงดูดและพลังงานยึดเหนี่ยวจะเข้าใกล้ศูนย์ และพันธะไอออนิกจะเกิดขึ้นได้ยากขึ้น ในทางกลับกัน เมื่อขนาดของประจุตรงข้ามเพิ่มขึ้น พลังงานก็จะเพิ่มขึ้น และพันธะไอออนิกจะเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น

กล่าวอย่างเคร่งครัดแล้ว กฎของคูลอมบ์ไม่สามารถอนุมานได้จากกฎของเกาส์เพียงอย่างเดียว เนื่องจากกฎของเกาส์ไม่ได้ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับการหมุนของสนาม ไฟฟ้า (ดูการแยกส่วนของเฮล์มโฮลทซ์และกฎของฟาราเดย์ ) อย่างไรก็ตาม กฎของคูลอมบ์สามารถพิสูจน์ได้จากกฎของเกาส์ หากสมมติเพิ่มเติมว่าสนามไฟฟ้าจากประจุจุดมีสมมาตรทรงกลม (สมมติฐานนี้ เช่นเดียวกับกฎของคูลอมบ์เอง จะเป็นจริงอย่างแน่นอนหากประจุอยู่นิ่ง และเป็นจริงโดยประมาณหากประจุเคลื่อนที่)

กฎของคูลอมบ์สามารถใช้เพื่อทำความเข้าใจรูปแบบของสนามแม่เหล็กที่เกิดจากประจุเคลื่อนที่ได้ เนื่องจากตามทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ในบางกรณีสนามแม่เหล็กสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเป็นการแปลงรูปของแรงที่เกิดจากสนามไฟฟ้าเมื่อไม่มีการเร่งความเร็วเกี่ยวข้องกับประวัติของอนุภาค กฎของคูลอมบ์สามารถนำมาใช้กับอนุภาคทดสอบใดๆ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยของมันเองได้ โดยได้รับการสนับสนุนจากข้อโต้แย้งด้านสมมาตรในการแก้สมการของแม็กซ์เวลล์ดังแสดงข้างต้น กฎของคูลอมบ์สามารถขยายไปยังอนุภาคทดสอบที่เคลื่อนที่ได้เพื่อให้มีรูปแบบเดียวกัน ข้อสมมติฐานนี้ได้รับการสนับสนุนโดยกฎของแรงลอเรนซ์ซึ่งแตกต่างจากกฎของคูลอมบ์ที่ไม่จำกัดเฉพาะประจุทดสอบที่อยู่นิ่ง เมื่อพิจารณาว่าประจุไม่เปลี่ยนแปลงตามผู้สังเกต สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กของประจุจุดที่เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอจึงสามารถหาได้จากการแปลงลอเรนซ์ของแรงทั้งสี่บนประจุทดสอบในกรอบอ้างอิงของประจุที่กำหนดโดยกฎของคูลอมบ์ และการกำหนดสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าตามคำจำกัดความที่กำหนดโดยรูปแบบของแรงลอเรนซ์^{[ 27 ]}ฟิลด์ที่พบสำหรับประจุจุดที่เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอมีดังนี้: ^{[ 28 ]}โดยที่คือประจุของแหล่งกำเนิดจุดคือเวกเตอร์ตำแหน่งจากแหล่งกำเนิดจุดไปยังจุดในอวกาศคือเวกเตอร์ความเร็วของอนุภาคที่มีประจุ คืออัตราส่วนของ ความเร็ว ของอนุภาคที่มีประจุหารด้วยความเร็วแสง และคือมุมระหว่างและ$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

รูปแบบของวิธีแก้ปัญหานี้ไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎข้อที่สามของนิวตันดังเช่นในกรอบของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (แต่โดยไม่ละเมิดการอนุรักษ์พลังงานโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ) ^{[ 29 ]}โปรดทราบว่านิพจน์สำหรับสนามไฟฟ้าจะลดลงเหลือกฎของคูลอมบ์สำหรับความเร็วที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพของประจุจุด และสนามแม่เหล็กในขีดจำกัดที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพ (โดยประมาณ) สามารถนำไปใช้กับกระแสไฟฟ้าเพื่อให้ได้กฎของบิโอต์-ซาวาร์ตวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ เมื่อแสดงในเวลาที่หน่วงยังสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของสมการของแม็กซ์เวลล์ที่กำหนดโดยวิธีแก้ปัญหาของศักยภาพของลีเนิร์ด-วีเชิร์ตเนื่องจากความถูกต้องของกฎของคูลอมบ์ภายในช่วงการใช้งานเฉพาะ นอกจากนี้ โปรดทราบว่าสมมาตรทรงกลมสำหรับกฎของเกาส์บนประจุที่อยู่กับที่นั้นไม่ถูกต้องสำหรับประจุที่เคลื่อนที่เนื่องจากการทำลายสมมาตรโดยการระบุทิศทางของความเร็วในปัญหา ความสอดคล้องกับสมการของแม็กซ์เวลล์ยังสามารถตรวจสอบด้วยตนเองสำหรับสมการทั้งสองข้างต้นได้^{[ 30 ]}${\displaystyle \beta \ll 1}$

ศักยภาพคูลอมบ์ยอมรับสถานะต่อเนื่อง (โดยที่E > 0) ซึ่งอธิบายการกระเจิง ของอิเล็กตรอน-โปรตอน เช่นเดียวกับสถานะผูกพันแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งแสดงถึงอะตอมไฮโดรเจน^{[ 31 ]}นอกจากนี้ยังสามารถอนุมานได้ภายในขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพระหว่างอนุภาคที่มีประจุสองตัว ดังนี้:

ภายใต้การประมาณของบอร์นในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ แอมพลิจูดการกระเจิงคือ: ซึ่งจะนำไปเปรียบเทียบกับ: โดยที่เราพิจารณาค่าในเมทริกซ์ S (ที่เชื่อมต่อกัน) สำหรับอิเล็กตรอนสองตัวที่กระเจิงออกจากกัน โดยถือว่าตัวหนึ่งมีโมเมนตัม "คงที่" เป็นแหล่งกำเนิดศักยภาพ และอีกตัวหนึ่งกระเจิงออกจากศักยภาพนั้น ${\textstyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-i)\int d^{3}\mathbf {r} \,V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }}$$$${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{ikr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

เมื่อใช้กฎของไฟน์แมนในการคำนวณองค์ประกอบเมทริกซ์ S เราจะได้ในขีดจำกัดที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพด้วย${\displaystyle m_{0}\gg |\mathbf {p} |}$$${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-i{\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับการกระเจิงของ QM เราต้องละทิ้งเนื่องจากเกิดขึ้นจากค่ามาตรฐานที่แตกต่างกันของสถานะไอเกนโมเมนตัมใน QFT เมื่อเทียบกับ QM และได้ผลลัพธ์ดังนี้: โดยการแปลงฟูริเยร์ทั้งสองข้าง แก้ปริพันธ์ และหาค่าสุดท้ายจะได้ เป็นศักยภาพคูลอมบ์^{[ 32 ]}${\displaystyle (2m)^{2}}$$${\displaystyle \int V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }d^{3}\mathbf {r} ={\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}}$$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$$${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$$

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากันของการคำนวณ Born แบบคลาสสิกสำหรับปัญหา Coulomb ถือว่าเป็นเรื่องบังเอิญอย่างแท้จริง^{[ 33 ] [ 34 ]}

ศักยภาพคูลอมบ์และอนุพันธ์ของมัน สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของศักยภาพยูกาวะซึ่งเป็นกรณีที่โบซอนที่แลกเปลี่ยนกัน – โฟตอน – ไม่มีมวลนิ่ง^{[ 31 ]}

เราสามารถตรวจสอบกฎของคูลอมบ์ได้ด้วยการทดลองง่ายๆ พิจารณาทรงกลมขนาดเล็กสองลูกที่มีมวลและประจุเดียวกันแขวนอยู่กับเชือกสองเส้นที่มีมวลน้อยมากและยาว แรงที่กระทำต่อทรงกลมแต่ละลูกมีสามแรง ได้แก่ น้ำหนักแรงตึงของเชือกและแรงไฟฟ้าในสภาวะสมดุล: ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle l}$${\displaystyle mg}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} \sin \theta _{1}=\mathbf {F} _{1}}$$

1

และ

$${\displaystyle \mathbf {T} \cos \theta _{1}=mg}$$

2

หาร ( 1 ) ด้วย ( 2 ):

$${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg\tan \theta _{1}}$$

3

ให้เป็นระยะห่างระหว่างทรงกลมที่มีประจุ โดยสมมติว่ากฎของคูลอมบ์ถูกต้อง แรงผลักระหว่างทรงกลมทั้งสองจะมีค่าเท่ากับ ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

$${\displaystyle F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}}$$

กฎของคูลอมบ์

ดังนั้น:

$${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg\tan \theta _{1}}$$

4

ถ้าเราปล่อยประจุออกจากทรงกลมลูกหนึ่ง แล้วนำไปวางสัมผัสกับทรงกลมที่มีประจุ ทรงกลมแต่ละลูกก็จะได้รับประจุในสภาวะสมดุล ระยะห่างระหว่างประจุจะเป็นและแรงผลักระหว่างประจุจะเป็น: ${\textstyle {\frac {q}{2}}}$${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

$${\displaystyle F_{2}={\frac {{({\frac {q}{2}})}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}}$$

5

เราทราบว่าและ: เมื่อหาร ( 4 ) ด้วย ( 5 ) เราจะได้: ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$$${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$$

$${\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}\right)}{\left({\cfrac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}\right)}}={\frac {mg\tan \theta _{1}}{mg\tan \theta _{2}}}\Rightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}={\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}}$$

6

การวัดมุมและระยะห่างระหว่างประจุและนั้นเพียงพอที่จะตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง โดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดจากการทดลอง ในทางปฏิบัติ การวัดมุมอาจทำได้ยาก ดังนั้นหากความยาวของเชือกมากพอ มุมก็จะเล็กพอที่จะใช้การประมาณค่าต่อไปนี้ได้: ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

$${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{\ell }}={\frac {L}{2\ell }}\Rightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}}$$

7

เมื่อใช้การประมาณนี้ ความสัมพันธ์ ( 6 ) จะกลายเป็นนิพจน์ที่ง่ายกว่ามาก:

$${\displaystyle {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}}$$

8

ด้วยวิธีนี้ การตรวจสอบจึงจำกัดอยู่เพียงการวัดระยะห่างระหว่างประจุและตรวจสอบว่าการแบ่งส่วนนั้นใกล้เคียงกับค่าทางทฤษฎีหรือไม่

• คูลอมบ์, ชาร์ลส์ ออกัสติน (1788) [1785] "Premier mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . ประวัติศาสตร์เดอ ลาคาเดมี รอแยล เด ไซแอนซ์ อิมพรีเมอรี่ รอยัล หน้า  569–577 .
• คูลอมบ์, ชาร์ลส์ ออกัสติน (1788) [1785] "บันทึกความทรงจำครั้งที่สอง เลเลกริซิเต และเลอแม็กเนทิสม์ " ประวัติศาสตร์เดอ ลาคาเดมี รอแยล เด ไซแอนซ์ อิมพรีเมอรี่ รอยัล หน้า  578–611 .
• คูลอมบ์, ชาร์ลส์ ออกัสติน (1788) [1785] "ทรอยซีเม เมมัวร์ ซูร์ เลเลกริซิเต เอต แม็กเนติสม์ " ประวัติศาสตร์เดอ ลาคาเดมี รอแยล เด ไซแอนซ์ อิมพรีเมอรี่ รอยัล หน้า  612–638 .
• Griffiths, David J. (1999). บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า (ฉบับที่ 3). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Tamm, Igor E. (1979) [1976]. พื้นฐานของทฤษฎีไฟฟ้า (ฉบับที่ 9). มอสโก: Mir. หน้า  23 –27.
• ทิปเลอร์, พอล เอ.; มอสกา, จีน (2008). ฟิสิกส์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร (ฉบับที่ 6). นิวยอร์ก: ดับเบิลยูเอช ฟรีแมน แอนด์ คอมพานี. ISBN 978-0-7167-8964-2. ลคซีเอ็น 2007010418 .
• Young, Hugh D.; Freedman, Roger A. (2010). Sears and Zemansky's University Physics: With Modern Physics (ฉบับที่ 13). Addison-Wesley (Pearson). ISBN 978-0-321-69686-1.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกฎของคูลอมบ์

• กฎของคูลอมบ์ในโครงการ PHYSNET
• ไฟฟ้าและอะตอม ( บทความจากตำราเรียนออนไลน์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 21 กุมภาพันธ์ 2552 ที่Wayback Machine)
• เกมเขาวงกตสำหรับสอนกฎของคูลอมบ์ — เกมที่สร้างขึ้นโดยซอฟต์แวร์ Molecular Workbench
• ประจุไฟฟ้า, การโพลาไรเซชัน, แรงไฟฟ้า, กฎของคูลอมบ์วอลเตอร์ เลวิน, 8.02 ไฟฟ้าและแม่เหล็ก, ภาคเรียนฤดูใบไม้ผลิ ปี 2545: บรรยายที่ 1 (วิดีโอ). MIT OpenCourseWare. ลิขสิทธิ์: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike.