ในพีชคณิตเชิงเส้นกฎของเครเมอร์เป็นสูตรที่ชัดเจนสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ซึ่งใช้ได้เมื่อใดก็ตามที่ระบบมีคำตอบเดียว กฎนี้แสดงคำตอบในรูปของดีเทอร์มิแนนต์ ของ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ (จัตุรัส) และเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนที่คอลัมน์หนึ่งด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ของด้านขวาของสมการ กฎนี้ตั้งชื่อตามกาเบรียล เครเมอร์ผู้ซึ่งตีพิมพ์กฎสำหรับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าใดๆ ในปี 1750 ^{[ 1 ] [ 2 ]}แม้ว่าโคลิน แมคลาอรินจะตีพิมพ์กรณีพิเศษของกฎนี้ในปี 1748 ^{[ 3 ]}และอาจรู้จักกฎนี้มาตั้งแต่ปี 1729 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

พิจารณาระบบ สมการเชิงเส้น nสมการสำหรับ ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า nตัว ซึ่งแสดงในรูปการคูณเมทริกซ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

โดยที่เมทริกซ์A ขนาด n × nมีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ และเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ของตัวแปร จากนั้นทฤษฎีบทกล่าวว่าในกรณีนี้ ระบบมีคำตอบเดียว ซึ่งค่าแต่ละค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจะกำหนดโดย: ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$

โดยที่คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่คอลัมน์ ที่ iของเมทริกซ์Aด้วยเวกเตอร์คอลัมน์b${\displaystyle A_{i}}$

กฎของเครเมอร์เวอร์ชันทั่วไป^{[ 7 ]}พิจารณาสมการเมทริกซ์

${\displaystyle AX=B}$

โดยที่เมทริกซ์A ขนาด n × nมีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ และX , Bเป็น เมทริกซ์ขนาด n × mกำหนดลำดับและให้เป็น เมทริกซ์ย่อยขนาด k × kของXที่มีแถวอยู่ในและคอลัมน์อยู่ในให้เป็น เมทริกซ์ขนาด n × nที่เกิดจากการแทนที่คอลัมน์ของAด้วยคอลัมน์ของBสำหรับทุกค่าแล้ว ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m}$${\displaystyle X_{I,J}}$${\displaystyle I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})}$${\displaystyle A_{B}(I,J)}$${\displaystyle i_{s}}$${\displaystyle j_{s}}$${\displaystyle s=1,\ldots ,k}$

${\displaystyle \det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.}$

ในกรณีนี้ จะลดลงเหลือเพียงกฎของเครเมอร์แบบปกติ ${\displaystyle k=1}$

กฎนี้ใช้ได้กับระบบสมการที่มีสัมประสิทธิ์และตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอยู่ในฟิลด์ ใดๆ ก็ได้ ไม่ใช่เฉพาะในจำนวนจริงเท่านั้น

การพิสูจน์กฎของเครเมอร์ใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ดังต่อไปนี้ : ความเป็นเชิงเส้นเมื่อเทียบกับคอลัมน์ใด ๆ และข้อเท็จจริงที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่สองคอลัมน์เท่ากัน ซึ่งเป็นสิ่งที่บ่งชี้โดยคุณสมบัติที่ว่าเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนไปหากคุณสลับสองคอลัมน์

กำหนดค่าดัชนีjของคอลัมน์หนึ่ง และพิจารณาว่าค่าในคอลัมน์อื่นๆ มีค่าคงที่ เช่นนี้ ค่าดีเทอร์มิแนนต์จึงเป็นฟังก์ชันของค่าในคอลัมน์ที่jความเป็นเชิงเส้นเทียบกับคอลัมน์นี้หมายความว่าฟังก์ชันนี้มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j},}$

โดยที่สัมประสิทธิ์เหล่านั้นขึ้นอยู่กับค่าในเมทริกซ์Aที่ไม่ได้อยู่ในคอลัมน์jดังนั้นจึงมี ${\displaystyle C_{i,j}}$

${\displaystyle \det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}}$

( การกระจายแบบลาปลาสให้สูตรสำหรับการคำนวณแต่การแสดงออกของสูตรนั้นไม่สำคัญในที่นี้) ${\displaystyle C_{i,j}}$

ถ้า ใช้ฟังก์ชันนี้ กับ คอลัมน์k ใด ๆของ เมทริกซ์ Aผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จาก เมทริกซ์ Aโดยการแทนที่คอลัมน์jด้วยสำเนาของคอลัมน์kดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จึงเป็น 0 (กรณีที่สองคอลัมน์เท่ากัน) ${\displaystyle D_{j}}$

ต่อไปนี้ให้พิจารณาระบบสม การเชิงเส้น nสมการในตัวแปรที่ไม่ทราบค่าn ตัว ซึ่งมีเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นAโดยที่ det( A ) ถือว่าไม่เป็นศูนย์: ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}}$

ถ้าหากนำสมการเหล่านี้มารวมกันโดยการนำC คูณสมการแรก บวกกับC คูณสมการที่สอง และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จนถึงC คูณสมการสุดท้าย แล้วสำหรับทุกค่าkสัมประสิทธิ์ของx ที่ได้ จะเป็นดังนี้

${\displaystyle D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k}).}$

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะกลายเป็นศูนย์ ยกเว้นสัมประสิทธิ์ของที่จะกลายเป็นในทำนองเดียวกัน สัมประสิทธิ์คงที่ก็จะกลายเป็นและสมการที่ได้จึงเป็นดังนี้ ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle \det(A).}$${\displaystyle D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),}$

${\displaystyle \det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),}$

ซึ่งให้ค่าเป็น ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}).}$

เนื่องจากโดยโครงสร้างแล้ว ตัวเศษคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากเมท ริกซ์ Aโดยการแทนที่คอลัมน์jด้วยbดังนั้นเราจึงได้นิพจน์ของกฎของเครเมอร์เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับคำตอบ

เหลือเพียงการพิสูจน์ว่าค่าเหล่านี้สำหรับตัวแปรที่ไม่ทราบค่าก่อให้เกิดคำตอบ ให้Mเป็น เมทริกซ์ n × nที่มีสัมประสิทธิ์ของเป็นแถว ที่ j สำหรับ (นี่คือเมทริกซ์ผกผันของA ) เมื่อแสดงในรูปเมทริกซ์ เราจึงต้องพิสูจน์ว่า ${\displaystyle D_{j}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{\det(A)}}M\mathbf {b} }$

เป็นวิธีแก้ปัญหา กล่าวคือว่า

${\displaystyle A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$

เพื่อการนั้น การพิสูจน์ว่า

${\displaystyle A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n},}$

เมท ริกซ์เอกลักษณ์อยู่ที่ไหน${\displaystyle I_{n}}$

คุณสมบัติของฟังก์ชันข้างต้นแสดงให้เห็นว่ามีMA = det( A ) I และดังนั้น ${\displaystyle D_{j}}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}.}$

ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ เนื่องจากเมทริกซ์ผกผันซ้ายของเมทริกซ์จัตุรัสก็คือเมทริกซ์ผกผันขวาด้วย (ดูทฤษฎีบทเมทริกซ์ผกผันได้ )

สำหรับหลักฐานอื่นๆ โปรดดูด้านล่าง

ให้Aเป็น เมทริกซ์ขนาด n × nที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์Fแล้ว

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)I}$

โดยที่adj( A )แทนเมทริกซ์ผกผัน , det( A )คือดีเทอร์มิแนนต์ และIคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ถ้าdet( A )ไม่เป็นศูนย์ เมทริกซ์ผกผันของAคือ

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A).}$

สูตรนี้ให้ค่าผกผันของAโดยมีเงื่อนไขว่าdet( A ) ≠ 0อันที่จริง สูตรนี้ใช้ได้เสมอเมื่อFเป็นริงสลับที่ โดย มีเงื่อนไขว่าdet( A )เป็นสมาชิก เอกลักษณ์ ถ้าdet( A )ไม่ใช่สมาชิกเอกลักษณ์ แสดงว่าAหาค่าผกผันไม่ได้ในริงนั้น (แต่อาจหาค่าผกผันได้ในริงที่ใหญ่กว่า ซึ่งสมาชิกที่ไม่ใช่สมาชิกเอกลักษณ์บางตัวของFอาจหาค่าผกผันได้)

พิจารณาระบบเชิงเส้น

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.}$

ซึ่งในรูปแบบเมทริกซ์คือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.}$

สมมติให้a b − b a ไม่เป็นศูนย์ จากนั้น ด้วยความช่วยเหลือของดีเทอร์มิแนนต์เราสามารถหาค่า x และ y ได้โดยใช้กฎของเคร เมอร์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.}$

กฎสำหรับ เมทริกซ์ 3 × 3ก็คล้ายกัน กำหนดให้

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.}$

ซึ่งในรูปแบบเมทริกซ์คือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.}$

จากนั้นสามารถหาค่าของx, yและzได้ดังนี้:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.}$

กฎของเครเมอร์ใช้ในแคลคูลัสริชชีในการคำนวณต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สอง^{[ 8 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กฎของเครเมอร์สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่าตัวดำเนินการไดเวอร์เจนซ์บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด เราจะให้การพิสูจน์โดยตรง โดยละเว้นบทบาทของสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล ให้เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่มีพิกัดเฉพาะ ที่ ให้เป็นสนามเวกเตอร์เราใช้ข้อตกลงการรวมตลอดทั้งบทความ ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

ทฤษฎีบท​

ความแตกต่างของ,${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),}$

ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนพิกัด

พิจารณาสมการสองสมการคือและเมื่อuและvเป็นตัวแปรอิสระ เราสามารถกำหนดและ ได้${\displaystyle F(x,y,u,v)=0}$${\displaystyle G(x,y,u,v)=0}$${\displaystyle x=X(u,v)}$${\displaystyle y=Y(u,v).}$

สามารถหา สมการสำหรับ ได้ โดยใช้กฎของเครเมอร์${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$

การคำนวณ${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$

ขั้นแรก ให้คำนวณอนุพันธ์อันดับแรกของF , G , xและy : ${\displaystyle {\begin{aligned}dF&={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dG&={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dx&={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv\\[6pt]dy&={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv.\end{aligned}}}$ เมื่อแทนค่า dxและdyลงในdFและdGเราจะได้: ${\displaystyle {\begin{aligned}dF&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0\\[6pt]dG&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0.\end{aligned}}}$ เนื่องจากuและvต่างก็เป็นอิสระต่อกัน สัมประสิทธิ์ของduและdvจึงต้องเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสมการสำหรับสัมประสิทธิ์ได้ดังนี้: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial F}{\partial v}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial G}{\partial v}}.\end{aligned}}}$ จากกฎของเครเมอร์ เราจะเห็นว่า: ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}.}$ นี่คือสูตรในรูปของเมทริกซ์จาโคเบียน สองตัว : ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}\right)}{\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}\right)}}.}$ สามารถอนุมานสูตรที่คล้ายกันได้สำหรับ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial v}}.}$

กฎของเครเมอร์สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่า ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มที่มีเมทริกซ์ข้อจำกัดเป็นแบบเอกภาคสมบูรณ์และด้านขวามือเป็นจำนวนเต็ม จะมีคำตอบพื้นฐานเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งทำให้การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงจำนวนเต็มนั้นง่ายขึ้นอย่างมาก

กฎของเครเมอร์ใช้ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นไม่เอกพันธุ์โดยใช้วิธีการ แปรผันพารามิเตอร์

พิจารณาระบบเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{matrix}12x+3y&=15\\2x-3y&=13\end{matrix}}}$

การใช้กฎของเครเมอร์ทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}15&3\\{13}&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}={-84 \over -42}={\color {red}2},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}12&15\\2&{13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}=-{126 \over 42}={\color {red}-3}\end{aligned}}.}$

สามารถตรวจสอบค่าเหล่านี้ได้โดยการแทนค่ากลับเข้าไปในสมการเดิม: และ $${\displaystyle 12x+3y=(12\times {\color {red}2})+(3\times ({\color {red}-3}))=24-9=15}$$$${\displaystyle 2x-3y=(2\times {\color {red}2})-(3\times ({\color {red}-3}))=4-(-9)=13,}$$

ตามความจำเป็น

พิจารณาระบบเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{matrix}3x-2y+5z&=\color {red}2\\4x-7y-z&=\color {red}{19}\\5x-6y+4z&=\color {red}{13}\end{matrix}}}$

เพื่อลดความซับซ้อนของสัญลักษณ์ กำหนดให้ เป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ และ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ต้องการจะได้ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&-2&5\\4&-7&-1\\5&-6&4\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}\color {red}{2}&-2&5\\\color {red}{19}&-7&-1\\\color {red}{13}&-6&4\end{bmatrix}},A_{2}={\begin{bmatrix}3&\color {red}{2}&5\\4&\color {red}{19}&-1\\5&\color {red}{13}&4\end{bmatrix}},A_{3}={\begin{bmatrix}3&-2&\color {red}{2}\\4&-7&\color {red}{19}\\5&-6&\color {red}{13}\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle |A|=-5,\quad |A_{1}|=-5,\quad |A_{2}|=10,\quad |A_{3}|=5.}$$

การใช้กฎของเครเมอร์ทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}A_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={-5 \over -5}={\color {red}1},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}A_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={10 \over -5}={\color {red}-2},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}A_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={5 \over -5}={\color {red}-1}\end{aligned}}.}$

สามารถตรวจสอบค่าเหล่านี้ได้โดยการแทนค่ากลับเข้าไปในสมการเดิม: $${\displaystyle 3x-2y+5z=(3\times {\color {red}1})-(2\times ({\color {red}-2}))+(5\times ({\color {red}-1}))=3+4-5=2}$$$${\displaystyle 4x-7y-z=(4\times {\color {red}1})-(7\times ({\color {red}-2}))-(1\times ({\color {red}-1}))=4+14+1=19}$$$${\displaystyle 5x-6y+4z=(5\times {\color {red}1})-(6\times ({\color {red}-2}))+(4\times ({\color {red}-1}))=5+12-4=13}$$

ตามความจำเป็น

import numpy as np from copy import deepcopydef replace_column ( matrix , column , column_index ): index = 0 for row_matrix in matrix : row_matrix [ column_index ] = column [ index ] index = index + 1 return matrixdef cramer ( coefficient_matrix : list [ list [ int ]], rhs_column : list [ int ]): """Cramer's_rule.""" solutions = [] det_coeff = np . linalg . det ( coefficient_matrix )column_index = 0 สำหรับrhs_values ​​ในrhs_column : other_coeff_matrix = replace_column ( deepcopy ( coefficient_matrix ), rhs_column , column_index ) solutions . append (( np . linalg . det ( other_coeff_matrix ) / det_coeff )) column_index = column_index + 1พิมพ์( "วิธีแก้ปัญหา " , วิธีแก้ปัญหา)cramer ([[ 3 , - 2 , 5 ], [ 4 , - 7 , - 1 ], [ 5 , - 6 , 4 ]], [ 2 , 19 , 13 ]) # คำตอบ = [1.0000000000000107, -1.999999999999993, -1.000000000000002]

กฎของเครเมอร์มีการตีความทางเรขาคณิต ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นข้อพิสูจน์หรือเป็นเพียงการให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับลักษณะทางเรขาคณิตของมัน ข้อโต้แย้งทางเรขาคณิตเหล่านี้ใช้ได้ทั่วไป ไม่ใช่เฉพาะในกรณีของสมการสองตัวแปรสองตัวที่นำเสนอไว้ในที่นี้เท่านั้น

เมื่อกำหนดระบบสมการแล้ว

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}}$

อาจมองได้ว่าเป็นสมการระหว่างเวกเตอร์

${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.}$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยและจะได้มาจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบสมการ: ${\displaystyle {\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.}$

โดยทั่วไป เมื่อมีตัวแปรและสมการมากขึ้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ เวกเตอร์ nตัวที่มีความยาวnจะให้ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยเวกเตอร์เหล่านั้นในปริภูมิยูคลิดมิติ ที่n

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยและจะต้องเป็นคูณด้วยพื้นที่ของรูปแรก เนื่องจากด้านหนึ่งถูกคูณด้วยตัวประกอบนี้ ทีนี้ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสุดท้ายนี้ ตามหลักการของคาวาลิเอรีจะมีพื้นที่เท่ากับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยและ${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}.}$

เมื่อนำพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปสุดท้ายและรูปที่สองมาเท่ากัน จะได้สมการดังนี้

${\displaystyle {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}$

ซึ่งเป็นที่มาของกฎของเครเมอร์

นี่เป็นการกล่าวซ้ำข้อพิสูจน์ข้างต้นในภาษาเชิงนามธรรม

พิจารณาแผนที่ที่เมทริกซ์ถูกแทนที่ในคอลัมน์ที่ ตามกฎของเครเมอร์ เนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของดีเทอร์มิแนนต์ในทุกคอลัมน์ แผนที่นี้จึงเป็นเชิงเส้น สังเกตว่ามันส่งคอลัมน์ที่ ของไปยังเวกเตอร์ฐานที่(โดยมี 1 ในตำแหน่งที่ ) เพราะดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ซ้ำกันคือ 0 ดังนั้นเราจึงมีแผนที่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ผกผันของบนปริภูมิคอลัมน์ ดังนั้นมันจึงสอดคล้องกับบนปริภูมิที่แผ่ขยายจากปริภูมิคอลัมน์ เนื่องจากสามารถผกผันได้ เวกเตอร์คอลัมน์จึงแผ่ขยายทั้งหมดของดังนั้นแผนที่ของเราจึงเป็นเมทริกซ์ผกผันของกฎของเครเมอร์จึงเป็นไปตามนั้น ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$

สามารถพิสูจน์กฎของเครเมอร์แบบย่อได้^{[ 9 ]} โดยสังเกตว่า คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\cdots &0\\x_{2}&1&0&\cdots &0\\x_{3}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

ในทางกลับกัน สมมติว่าเมทริกซ์A ดั้งเดิมของเรา สามารถผกผันได้ เมทริกซ์นี้จะมีคอลัมน์โดยที่คือคอลัมน์ที่nของเมทริกซ์Aโปรดจำไว้ว่าเมทริกซ์มีคอลัมน์และดังนั้นดังนั้น โดยใช้หลักการที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์สองเมทริกซ์คือผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ เราจึงได้ ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle X_{1}=A^{-1}A_{1}}$

${\displaystyle x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.}$

หลักฐานสำหรับกรณีอื่นๆก็คล้ายคลึงกัน ${\displaystyle x_{j}}$

ระบบสมการจะเรียกว่าไม่สอดคล้องกันเมื่อไม่มีคำตอบ และจะเรียกว่าไม่แน่นอนเมื่อมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ สำหรับสมการเชิงเส้น ระบบสมการที่ไม่แน่นอนจะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน (หากครอบคลุมพื้นที่อนันต์) เนื่องจากคำตอบสามารถแสดงได้ในรูปของพารามิเตอร์หนึ่งตัวหรือมากกว่า ซึ่งสามารถมีค่าใดๆ ก็ได้

กฎของเครเมอร์ใช้ได้กับกรณีที่ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ในกรณี 2×2 ถ้าค่าดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ ระบบจะไม่อยู่ในสถานะสอดคล้องกันหากค่าดีเทอร์มิแนนต์ของตัวเศษไม่เป็นศูนย์ หรืออยู่ในสถานะไม่แน่นอนหากค่าดีเทอร์มิแนนต์ของตัวเศษเป็นศูนย์

พิจารณาระบบเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{matrix}2x-y&=8\\4x-2y&=16\end{matrix}}}$

จากการพิจารณา สมการที่สองเป็นผลคูณของสมการแรก ดังนั้นจึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน การใช้กฎของเครเมอร์จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}8&-1\\{16}&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}2&8\\4&{16}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0}\end{aligned}}}$

ซึ่งทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์ หมายความว่าระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน และดังนั้นจึงไม่สามารถหา คำตอบได้อย่าง แน่นอน

พิจารณาระบบเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{matrix}3x-4y&=1\\3x-4y&=2\end{matrix}}}$

จากการตรวจสอบพบว่า ด้านซ้ายของสมการทั้งสองเหมือนกัน แต่ด้านขวาต่างกัน ดังนั้น ระบบสมการจึงไม่สอดคล้องกัน หมายความว่าไม่มีคำตอบ เมื่อใช้กฎของเครเมอร์จะได้...

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}1&-4\\{2}&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={4 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}3&1\\3&{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={3 \over 0}\end{aligned}}}$

ซึ่งทั้งสองค่าไม่สามารถหาคำตอบได้เนื่องจากการหารด้วยศูนย์อย่างไรก็ตาม ตัวเศษที่ไม่เป็นศูนย์หมายความว่าระบบไม่มีคำตอบและจึงไม่สอดคล้องกัน

สำหรับระบบสมการ 3×3 หรือใหญ่กว่านั้น เมื่อค่าดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์ สิ่งเดียวที่สามารถพูดได้ก็คือ ถ้าค่าดีเทอร์มิแนนต์ของตัวเศษใดๆ ไม่เป็นศูนย์ ระบบสมการนั้นจะต้องไม่มีคำตอบที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม การที่ค่าดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมดเป็นศูนย์ไม่ได้หมายความว่าระบบสมการนั้นไม่มีคำตอบที่แน่นอนเสมอไป ตัวอย่างง่ายๆ ที่ค่าดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมดเป็นศูนย์ (เท่ากับศูนย์) แต่ระบบสมการยังคงไม่มีคำตอบที่แน่นอน คือ ระบบสมการ 3×3 x + y + z =1, x + y + z =2, x + y + z =3

กฎของ Cramer ซึ่งนำไปใช้ในลักษณะที่เรียบง่ายนั้นไม่มีประสิทธิภาพในการคำนวณสำหรับระบบที่มีสมการมากกว่าสองหรือสามสมการ^{[ 10 ]}ในกรณีที่มีnสมการในn ตัวแปร ที่ไม่ทราบค่า จะต้องคำนวณดีเทอร์ มิแนนต์ n + 1 ตัวในขณะที่การกำจัดแบบเกาส์เซียนให้ผลลัพธ์ที่มีความซับซ้อนในการคำนวณ เท่ากัน (โดยมีค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นกับ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ ) กับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เพียงตัวเดียว^{[ 11 ] [ 12 ]}ยิ่งไปกว่านั้นอัลกอริทึมของ Bareissเป็นการดัดแปลงการกำจัดแบบเกาส์เซียนอย่างง่ายที่สร้างเมทริกซ์ในการคำนวณเพียงครั้งเดียวซึ่งรายการที่ไม่เป็นศูนย์คือดีเทอร์มิแนนต์ที่เกี่ยวข้องในกฎของ Cramer ในปี 1983 ได้มีการเสนออัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบโดยใช้กฎของ Cramer ในการดำเนินการ^{[ 13 ]}อัลกอริทึมนี้สามารถใช้การเรียงสับเปลี่ยนได้เหมือนกับในวิธีการเกาส์เซียน ดังนั้น หากใช้วิธีการคำนวณโดยประมาณ วิธีแก้ปัญหาจะมีเสถียรภาพมากกว่าวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเกาส์เซียน เนื่องจากขั้นตอนแรกคำนวณโดยไม่มีข้อผิดพลาด ก่อนที่จะปัดเศษตัวเลข ในปี 1991 มีการเผยแพร่อัลกอริทึมที่มีความซับซ้อนของการดำเนินการ^{[ 14 ]}ในปี 1997 มีการเสนออัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบโดยใช้กฎของเครเมอร์ที่มีความซับซ้อนเท่ากับการคูณเมทริกซ์^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น สำหรับอัลกอริทึมการคูณของ Strassenอัลกอริทึมนี้คำนวณวิธีแก้ปัญหาด้วยการดำเนินการ ${\displaystyle n^{3}+O(n^{2})}$${\displaystyle n^{3}/2+O(n^{2})}$${\displaystyle (7/15)n^{\log _{2}(7)}+O(n^{2})}$

• ทฤษฎีบทรูเช่-คาเปลลี
• การกำจัดแบบเกาส์เซียน

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: พีชคณิตเชิงเส้น/กฎของเครเมอร์

• การพิสูจน์กฎของเครเมอร์ที่PlanetMath
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กฎของเครเมอร์" . แมธเวิลด์ .