ในทางภาษาศาสตร์การพึ่งพาแบบอนุกรมไขว้ (หรือที่ผู้เขียนบางคน เรียกว่า การพึ่งพาแบบไขว้^{[ 1 ]} ) เกิดขึ้นเมื่อเส้นที่แสดงความสัมพันธ์การพึ่งพาระหว่างชุดคำสองชุดไขว้กัน^{[ 2 ]}สิ่งเหล่านี้เป็นที่น่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับนักภาษาศาสตร์ที่ต้องการกำหนดโครงสร้างทางไวยากรณ์ของภาษาธรรมชาติ ภาษาที่มีการพึ่งพาแบบนี้จำนวนมากจะไม่เป็นภาษาแบบบริบทอิสระด้วยเหตุนี้ภาษาดัตช์^{[ 3 ]}และภาษาเยอรมันสวิส^{[ 4 ]}จึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นภาษาแบบบริบทอิสระ

ประโยคภาษาเยอรมันแบบสวิสที่มีความสัมพันธ์แบบไขว้ (แสดงเป็นเส้นระหว่างคำกริยาและกรรม) คำแปลภาษาอังกฤษที่มีความสัมพันธ์แบบไม่ไขว้แสดงไว้เพื่อเปรียบเทียบ

เนื่องจากภาษาเยอรมันสวิสอนุญาตให้เรียงลำดับคำกริยาและอาร์กิวเมนต์แบบไขว้กันได้ เราจึงมีตัวอย่างต่อไปนี้ ซึ่งนำมาจาก Shieber: ^{[ 4 ]}

กล่าวคือ "เราช่วยฮันส์ทาสีบ้าน"

โปรดสังเกตว่าวลีนามลำดับem Hans ( Hans ) และes huus ( บ้าน ) และกริยาต่อเนื่องhälfed ( help ) และaastriiche ( paint ) ทั้งสองรูปแบบแยกกันสองชุดขององค์ประกอบ โปรดสังเกตด้วยว่ากริยากริยาhälfedและกริยากล่าวหาaastriicheใช้กริยาem Hansและกริยากริยาes huusเป็นข้อโต้แย้งตามลำดับ

Bresnan et al. ^{[ 3 ]}นำเสนอตัวอย่างภาษาดัตช์ต่อไปนี้สำหรับการพึ่งพาข้ามอนุกรมที่มีสอง สาม และสี่ระดับ

กล่าวคือ "...แจนเห็นเด็กๆ ว่ายน้ำ"

กล่าวคือ "...แจนเห็นปีเอตช่วยเด็กๆ ว่ายน้ำ"

กล่าวคือ "...แจนเห็นปีเอตช่วยมารีสอนเด็กๆ ให้ว่ายน้ำ"

ให้เป็นเซตของประโยคภาษาเยอรมันแบบสวิสทั้งหมด เราจะพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าไม่ใช่เซตแบบไร้บริบท ${\displaystyle L_{SG}}$${\displaystyle L_{SG}}$

ในประโยคภาษาเยอรมันแบบสวิส จำนวนคำกริยาของกรณีทางไวยากรณ์ (กรรมรองหรือกรรมตรง) ต้องตรงกับจำนวนกรรมของกรณีนั้น นอกจากนี้ ประโยคที่มีกรรมจำนวนเท่าใดก็ได้ก็ถือว่ายอมรับได้ (ในทางทฤษฎี) ดังนั้น เราจึงสามารถกำหนดภาษาเชิงรูปธรรม ต่อไปนี้ ซึ่งเป็นเซตย่อยของ: ดังนั้น เราจึงมีโดยที่เป็นภาษาปกติที่กำหนดโดย โดยที่สัญลักษณ์บวกที่อยู่เหนือตัวอักษรหมายถึง "สำเนาหนึ่งชุดขึ้นไป" เนื่องจากเซตของภาษาไร้บริบทปิดภายใต้การตัดกันกับภาษาปกติ เราจึงจำเป็นต้องพิสูจน์เพียงว่าไม่ใช่ภาษาไร้บริบท (, ^{[ 5 ]}หน้า 130–135) ${\displaystyle L_{SG}}$$${\displaystyle L={\text{เด ม.ค.}}{\text{ s}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{it}}{\text{ das}}{\text{ mer}}{\text{ (d'chind)}}{}^{m}{\text{ (em}}{\text{ ฮันส์)}}{}^{n}{\text{ s}}{\text{ huus}}{\text{ h}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nd}}{\text{ wele}}{\text{ (laa)}}{}^{m}{\text{ (h}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{lfe)}}{}^{n}{\text{ aastriiche.}}}$$${\displaystyle L=L_{SG}\หมวก L_{r}}$${\displaystyle L_{r}}$$${\displaystyle L={\text{เด ม.ค.}}{\text{ s}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{it}}{\text{ das}}{\text{ mer}}{\text{ (d'chind)}}{}^{+}{\text{ (em}}{\text{ ฮันส์)}}{}^{+}{\text{ s}}{\text{ huus}}{\text{ h}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nd}}{\text{ wele}}{\text{ (laa)}}{}^{+}{\text{ (h}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{lfe)}}{}^{+}{\text{ aastriiche.}}}$$${\displaystyle L}$

หลังจากแทนที่คำแล้วจะอยู่ในรูปแบบเนื่องจากสามารถแมปไปยังได้โดยใช้แผนที่ต่อไปนี้: และเนื่องจากภาษาไร้บริบทปิดภายใต้การแมปจากสัญลักษณ์เทอร์มินัลไปยังสตริงเทอร์มินัล (นั่นคือโฮโมมอร์ฟิซึม ) ( ^{[ 5 ]}หน้า 130–135) เราจึงจำเป็นต้องพิสูจน์เพียงว่าไม่ใช่ภาษาไร้บริบท ${\displaystyle L}$${\displaystyle \{xa^{m}b^{n}yc^{m}d^{n}z|m,n\geq 1\}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L'}$${\displaystyle x,y,z\mapsto \epsilon ;a\mapsto a;b\mapsto b;c\mapsto c}$${\displaystyle L'}$

${\displaystyle L'=\{a^{m}b^{n}c^{m}d^{n}|m,n\geq 1\}}$เป็นตัวอย่างมาตรฐานของภาษาที่ไม่ขึ้นกับบริบท ( ^{[ 5 ]}หน้า 128) สามารถแสดงสิ่งนี้ได้ด้วย เล มมาของ Ogden

สมมติว่าภาษาถูกสร้างขึ้นโดยไวยากรณ์ที่ไม่ขึ้นกับบริบท จากนั้นให้เป็นความยาวที่จำเป็นในทฤษฎีบทของ Ogden แล้วพิจารณาคำในภาษา และทำเครื่องหมายตัวอักษร จากนั้นเงื่อนไขทั้งสามข้อที่บ่งชี้โดยทฤษฎีบทของ Ogden จะไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งหมด${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{p}b^{p}c^{p}d^{p}}$${\displaystyle b^{p}c^{p}}$

ภาษาพูดที่รู้จักทั้งหมดที่มีการพึ่งพาแบบอนุกรมข้ามสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่เป็นอิสระจากบริบท^{[ 2 ]}สิ่งนี้ทำให้ต้องละทิ้งไวยากรณ์โครงสร้างวลีทั่วไปเมื่อมีการระบุการพึ่งพาแบบอนุกรมข้ามในภาษาธรรมชาติในช่วงทศวรรษ 1980 ^{[ 6 ]}

การวิจัยเกี่ยวกับภาษาที่ไวต่อบริบทเล็กน้อยได้พยายามระบุคลาสย่อยที่แคบกว่าและจัดการได้ง่ายกว่าในเชิงคำนวณของภาษาที่ไวต่อบริบทซึ่งสามารถจับภาพความไวต่อบริบทได้เช่นเดียวกับที่พบในภาษาธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น การพึ่งพาข้ามอนุกรมสามารถแสดงได้ในระบบการเขียนใหม่แบบไร้บริบทเชิงเส้น (LCFRS) เราสามารถเขียนไวยากรณ์ LCFRS ได้เช่น^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \{a^{n}b^{n}c^{n}d^{n}|n\geq 1\}}$