ในทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นสาขาย่อยของพีชคณิตนามธรรมกราฟวัฏจักรของกลุ่มคือกราฟแบบไม่มีทิศทาง ที่แสดงให้เห็นถึง วัฏจักรต่างๆของกลุ่มนั้น โดยกำหนดชุดตัวสร้างสำหรับกลุ่มนั้น กราฟวัฏจักรมีประโยชน์อย่างยิ่งในการแสดงภาพโครงสร้างของกลุ่มจำกัดขนาดเล็ก

วัฏจักรคือเซตของกำลังของสมาชิกกลุ่มที่กำหนดaโดยที่a ⁿซึ่งเป็นกำลังที่nของสมาชิกaนั้น ถูกกำหนดให้เป็นผลคูณของaคูณตัวเองnครั้ง สมาชิกaกล่าวได้ว่าเป็นตัวสร้างวัฏจักร ในกลุ่มจำกัด กำลังที่ไม่เป็นศูนย์ของaจะต้องเป็น เอกลักษณ์ของกลุ่มซึ่งเราใช้สัญลักษณ์eหรือ 1 แทน กำลังที่ต่ำที่สุดดังกล่าวคืออันดับของสมาชิกaซึ่งเป็นจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกันในวัฏจักรที่มันสร้างขึ้น ในกราฟวัฏจักร วัฏจักรจะถูกแทนด้วยรูปหลายเหลี่ยม โดยจุดยอดแทนสมาชิกกลุ่ม และขอบแสดงถึงวิธีการเชื่อมต่อสมาชิกเหล่านั้นเข้าด้วยกันเพื่อสร้างวัฏจักร

แต่ละองค์ประกอบของกลุ่มจะถูกแทนด้วยโหนดในกราฟวงจร และมีวงจรจำนวนมากพอที่ถูกแทนด้วยรูปหลายเหลี่ยมในกราฟ เพื่อให้ทุกโหนดอยู่บนวงจรอย่างน้อยหนึ่งวง รูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นทั้งหมดจะผ่านโหนดที่แทนเอกลักษณ์ และบางโหนดอาจอยู่บนวงจรมากกว่าหนึ่งวงก็ได้

สมมติว่าสมาชิกกลุ่มaสร้างวัฏจักรลำดับที่ 6 (มีลำดับที่ 6) ดังนั้นโหนดa , a ² , a ³ , a ⁴ , a ⁵และa ⁶ = eจึงเป็นจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมในกราฟวัฏจักร สมาชิกa ²จะมีลำดับที่ 3 แต่การทำให้โหนดa ² , a ⁴และeเป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในกราฟจะไม่เพิ่มข้อมูลใหม่ใดๆ ดังนั้นจึงต้องพิจารณาเฉพาะ วัฏจักร ดั้งเดิม เท่านั้น คือวัฏจักรที่ไม่ใช่เซตย่อยของวัฏจักรอื่น นอกจากนี้ โหนดa ⁵ซึ่งมีลำดับที่ 6 เช่นกัน ก็สร้างวัฏจักรเดียวกันกับที่aสร้าง ดังนั้นเราจึงมีตัวเลือกอย่างน้อยสองทางสำหรับสมาชิกที่จะใช้ในการสร้างวัฏจักร --- บ่อยครั้งที่มีมากกว่านั้น

ในการสร้างกราฟวงจรสำหรับกลุ่ม เราเริ่มต้นด้วยโหนดสำหรับแต่ละองค์ประกอบของกลุ่ม สำหรับแต่ละวงจรดั้งเดิม เราจะเลือกองค์ประกอบa บางตัว ที่สร้างวงจรนั้น และเราเชื่อมต่อโหนดสำหรับeกับโหนดสำหรับa , aกับa2 ^, ..., ak ^{-1 กับ} ak เป็นต้นจนกระทั่งกลับมาที่e ผลลัพธ์ที่ ^ได้คือกราฟวงจรสำหรับกลุ่ม

เมื่อองค์ประกอบกลุ่มaมีลำดับ 2 (ดังนั้นการคูณด้วยaจึงเป็นการผกผัน ) กฎข้างต้นจะเชื่อมต่อeกับaด้วยขอบสองเส้น เส้นหนึ่งออกไปและอีกเส้นหนึ่งกลับเข้ามา ยกเว้นในกรณีที่ตั้งใจจะเน้นขอบสองเส้นของวงจรดังกล่าว โดยทั่วไปจะวาด^{[ 1 ]}เป็นเส้นเดียวระหว่างองค์ประกอบทั้งสอง

โปรดทราบว่าความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มและกราฟนี้ไม่ได้เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งในทั้งสองทิศทาง: สองกลุ่มที่แตกต่างกันอาจมีกราฟวงจรเดียวกัน และสองกราฟที่แตกต่างกันอาจเป็นกราฟวงจรสำหรับกลุ่มเดียว เราจะยกตัวอย่างของแต่ละกรณีในส่วนความไม่ซ้ำกัน

กล้องคาไลโดสโคป Dih 4 พร้อมกระจกสีแดงและเครื่องกำเนิดการหมุน 4 เท่า

กราฟวัฏจักรสำหรับกลุ่ม ไดเฮดรัล Dih 4

ตัวอย่างหนึ่งของกราฟวัฏจักรกลุ่ม คือกลุ่มไดเฮดรัล Dih ₄ตารางการคูณของกลุ่มนี้แสดงอยู่ทางด้านซ้าย และกราฟวัฏจักรแสดงอยู่ทางด้านขวา โดยที่e แทน สมาชิกเอกลักษณ์

สังเกตวัฏจักร { e , a , a ² , a ³ } ในตารางการคูณ โดยที่a ⁴ = eตัวผกผันa ⁻¹ = a ³ก็เป็นตัวสร้างของวัฏจักรนี้เช่นกัน: ( a ³ ) ² = a ² , ( a ³ ) ³ = a , และ( a ³ ) ⁴ = eในทำนองเดียวกัน วัฏจักรใดๆ ในกลุ่มใดๆ ก็มีตัวสร้างอย่างน้อยสองตัว และสามารถเดินทางผ่านได้ทั้งสองทิศทาง โดยทั่วไปแล้ว จำนวนตัวสร้างของวัฏจักรที่มีnสมาชิก จะกำหนดโดยฟังก์ชันออยเลอร์ φของnและตัวสร้างเหล่านี้สามารถเขียนเป็นโหนดแรกในวัฏจักร (ถัดจากเอกลักษณ์e ) หรือโดยทั่วไปแล้วจะเว้นโหนดไว้โดยไม่ทำเครื่องหมาย วัฏจักรที่แตกต่างกันสองวัฏจักรไม่สามารถตัดกันในตัวสร้างได้

วัฏจักรที่มีจำนวนสมาชิกที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะจะมีกลุ่มย่อยวัฏจักรที่ไม่ปรากฏในกราฟ สำหรับกลุ่ม Dih ₄ข้างต้น เราสามารถลากเส้นระหว่างa ²และe ได้ เนื่องจาก( a ² ) ² = eแต่เนื่องจากa ²เป็นส่วนหนึ่งของวัฏจักรที่ใหญ่กว่า เส้นนี้จึงไม่ใช่ขอบของกราฟวัฏจักร

อาจเกิดความกำกวมได้เมื่อวัฏจักรสองวงมีสมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ร่วมกัน ตัวอย่างเช่นกลุ่มควอเทอร์เนียน 8 สมาชิก มีกราฟวัฏจักรดังแสดงทางด้านขวา สมาชิกแต่ละตัวในแถวกลางเมื่อคูณด้วยตัวเองจะได้ −1 (โดยที่ 1 คือสมาชิกเอกลักษณ์) ในกรณีนี้ เราอาจใช้สีที่แตกต่างกันเพื่อติดตามวัฏจักรต่างๆ แม้ว่าการพิจารณาความสมมาตรก็ใช้ได้เช่นกัน

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ขอบทั้งสองของวงจรที่มีสององค์ประกอบมักจะแสดงด้วยเส้นตรงเส้นเดียว

อินเวอร์สขององค์ประกอบคือโหนดที่สมมาตรกับองค์ประกอบนั้นในวัฏจักร โดยสัมพันธ์กับการสะท้อนซึ่งกำหนดเอกลักษณ์

กราฟวงจรของกลุ่มไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของกราฟและไม่ได้กำหนดกลุ่มอย่างเฉพาะเจาะจงจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มกล่าวคือ กราฟที่ได้ขึ้นอยู่กับเซตของตัวสร้างที่เลือก และสองกลุ่มที่แตกต่างกัน (ที่มีเซตของตัวสร้างที่เลือก) สามารถสร้างกราฟวงจรเดียวกันได้^{[ 2 ]}

สำหรับบางกลุ่ม การเลือกองค์ประกอบที่แตกต่างกันเพื่อสร้างวัฏจักรดั้งเดิมต่างๆ ของกลุ่มนั้นอาจนำไปสู่กราฟวัฏจักรที่แตกต่างกันได้ มีตัวอย่างสำหรับกลุ่มอาเบเลียนซึ่งมีอันดับ 20 ^{[ 2 ]} เราใช้สัญลักษณ์แทนองค์ประกอบของกลุ่มนั้นเป็นสามตัวเลขโดยที่และแต่ละและเป็น 0 หรือ 1 สามตัวเลขนี้เป็นเอกลักษณ์ ในภาพวาดด้านล่างแสดงอยู่เหนือ และ${\displaystyle C_{5}\times C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle (i;j,k)}$${\displaystyle 0\leq i<5}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (0;0,0)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

กลุ่มนี้มีวัฏจักรพื้นฐานสามวัฏจักร แต่ละวัฏจักรมีลำดับที่ 10 ในกราฟวัฏจักรแรก เราเลือกโหนด, , และ เป็นตัวสร้างของวัฏจักรทั้งสามนั้น ในกราฟที่สอง เราสร้างวัฏจักรที่สาม ซึ่งก็คือวัฏจักรสีน้ำเงิน โดยเริ่มต้นด้วย โหนด แทน${\displaystyle (1;1,0)}$${\displaystyle (1;0,1)}$${\displaystyle (1;1,1)}$${\displaystyle (2;1,1)}$

กราฟทั้งสองที่ได้นั้นไม่สมมาตรกัน เนื่องจากมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 5 และ 4 ตามลำดับ

กลุ่มสองกลุ่มที่แตกต่างกัน (ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิก) อาจมีกราฟวงจรที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกันได้ โดยที่ไอโซมอร์ฟิกแบบหลังจะไม่พิจารณาป้ายกำกับบนโหนดของกราฟ ดังนั้นโครงสร้างของกลุ่มจึงไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยกราฟวงจรของกลุ่มนั้น

มีตัวอย่างของเรื่องนี้อยู่แล้วสำหรับกลุ่มที่มีอันดับ 16 ซึ่งก็คือสองกลุ่มนั้น ได้แก่และ กลุ่มอาเบเลียนคือผลคูณโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับ 8 และ 2 กลุ่มนอนอาเบเลียนคือผลคูณกึ่งโดยตรงของและซึ่งองค์ประกอบที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ของ จะแม ป ไปยัง ออโตมอร์ฟิซึมคูณด้วย 5 ของ${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$${\displaystyle C_{8}\rtimes _{5}C_{2}}$${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$${\displaystyle C_{8}\rtimes _{5}C_{2}}$${\displaystyle C_{8}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{8}}$

ในการวาดกราฟวัฏจักรของกลุ่มทั้งสองนั้น เรากำหนดให้สร้างขึ้นจากองค์ประกอบsและtโดยมี ${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$

${\displaystyle s^{8}=t^{2}=1\quad {\text{และ}}\quad ts=st,}$

โดยที่ความสัมพันธ์หลังนั้นทำให้เกิดอาเบเลียน และเราถือว่าถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ 𝜎 และ 𝜏 ด้วย ${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$${\displaystyle C_{8}\rtimes _{5}C_{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{8}=\tau ^{2}=1\quad {\text{และ}}\quad \tau \sigma =\sigma ^{5}\tau .}$

ต่อไปนี้เป็นกราฟแสดงวัฏจักรสำหรับสองกลุ่มดังกล่าว โดยเราเลือกที่จะสร้างวัฏจักรสีเขียวทางด้านซ้าย และสร้างวัฏจักรนั้นทางด้านขวา: ${\displaystyle st}$${\displaystyle \sigma \tau }$

ในกราฟด้านขวา วงจรสีเขียวหลังจากเคลื่อนจาก 1 ไปยัง จะเคลื่อนไปถัดจากเนื่องจาก ${\displaystyle \sigma \tau }$${\displaystyle \sigma ^{6},}$

${\displaystyle (\sigma \tau )(\sigma \tau )=\sigma (\tau \sigma )\tau =\sigma (\sigma ^{5}\tau )\tau =\sigma ^{6}.}$

กราฟวงจรได้รับการศึกษาโดยนักทฤษฎีจำนวนDaniel Shanksในช่วงต้นทศวรรษ 1950 ในฐานะเครื่องมือในการศึกษากลุ่มการคูณของชั้นเศษเหลือ [ ^{3 ] Shanks}ได้ตีพิมพ์แนวคิดนี้เป็นครั้งแรกในหนังสือSolved and Unsolved Problems in Number Theory ฉบับพิมพ์ครั้งแรกในปี 1962 ^{[ 4 ]}ในหนังสือเล่มนี้ Shanks ได้ศึกษาว่ากลุ่มใดมีกราฟวงจรที่สมมาตรกัน และเมื่อใดที่กราฟวงจรเป็นระนาบ[ ^{5 ] ใน}ฉบับพิมพ์ครั้งที่สองในปี 1978 Shanks ได้สะท้อนถึงงานวิจัยของเขาเกี่ยวกับกลุ่มชั้นและการพัฒนาวิธีการก้าวเล็กก้าวใหญ่^{[ 6 ]}

กราฟวงจรได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์เมื่อทำงานกับกลุ่มอาเบเลียนจำกัด และฉันได้ใช้มันบ่อยครั้งในการหาทางรอบโครงสร้างที่ซับซ้อน [77, หน้า 852] ในการได้รับความสัมพันธ์การคูณที่ต้องการ [78, หน้า 426] หรือในการแยกกลุ่มย่อยที่ต้องการ [79]

กราฟวงจรถูกใช้เป็นเครื่องมือการสอนในตำราเบื้องต้นเรื่องทฤษฎีกลุ่มภาพ (Visual Group Theory)ของ Nathan Carter ในปี 2009 ^{[ 7 ]}

กลุ่มประเภทบางประเภทจะแสดงกราฟลักษณะเฉพาะดังนี้:

กลุ่มวัฏจักร Z _nอันดับnคือวัฏจักรเดี่ยวที่สามารถวาดกราฟได้ง่ายๆ เป็น รูปหลายเหลี่ยม nด้าน โดยมีสมาชิกอยู่ที่จุดยอด:

Z 1	Z 2 = Dih 1	Z 3	Z 4	Z 5	Z 6 = Z 3 ×Z 2	Z 7	Z 8
Z 9	Z 10 = Z 5 ×Z 2	Z 11	Z 12 = Z 4 ×Z 3	Z 13	Z 14 = Z 7 ×Z 2	Z 15 = Z 5 ×Z 3	Z 16
Z 17	Z 18 = Z 9 ×Z 2	Z 19	Z 20 = Z 5 ×Z 4	Z 21 = Z 7 ×Z 3	Z 22 = Z 11 ×Z 2	Z 23	Z 24 = Z 8 ×Z 3

เมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะกลุ่มในรูปแบบ (Z _n ) ^mจะมี วัฏจักรที่มีสมาชิก ( n ^m − 1)/( n − 1) nตัว ซึ่งมีเอกลักษณ์ร่วมกัน:

Z 2 2 = Dih 2	Z 2 3 = Dih 2 ×Dih 1	Z 2 4 = Dih 2 2	Z 3 2

กลุ่มไดเฮดรัล Dih _nอันดับ 2 nประกอบด้วย วัฏจักรที่มี nองค์ประกอบ และวัฏจักรที่มี 2 องค์ประกอบจำนวน n วัฏจักร:

Dih 1 = Z 2	Dih 2 = Z 2 2	Dih 3 = S 3	ดิห์4	ดิห์5	Dih 6 = Dih 3 ×Z 2	ดิห์7	ดิห์8	ดิห์9	Dih 10 = Dih 5 ×Z 2

กลุ่มไดไซคลิก , Dic _n = Q _{4 n} , อันดับ 4 n :

ดิก2 = คิว8	ดิก3 = คิว12	ดิค4 = คิว16	5ธันวาคม= Q 20	ดิค6 = คิว24

ผลิตภัณฑ์โดยตรงอื่นๆ:

Z 4 ×Z 2	Z 4 ×Z 2 2	Z 6 ×Z 2	Z 8 ×Z 2	Z 4 2

กลุ่มสมมาตร – กลุ่มสมมาตร S _nประกอบด้วยกลุ่มย่อยที่สมมาตร กับกลุ่มใดๆ ที่มีอันดับ n ดังนั้นกราฟวัฏจักรของทุกกลุ่มที่มีอันดับ nจะพบได้ในกราฟวัฏจักรของ S _n ดูตัวอย่าง: กลุ่มย่อยของ_S 4

S ₄ × Z ₂

A ₄ × Z ₂

Dih ₄ × Z ₂

S ₃ × Z ₂

กลุ่มทรงแปดเหลี่ยมสมบูรณ์เป็นผลคูณโดยตรง ของกลุ่มสมมาตร S ₄และกลุ่มวงแหวน Z ₂มี อันดับ 48 และมีกลุ่มย่อยทุกอันดับที่หาร 48 ลงตัว ${\displaystyle S_{4}\คูณ Z_{2}}$

ในตัวอย่างด้านล่าง โหนดที่มีความสัมพันธ์กันจะถูกวางไว้ติดกัน ดังนั้นนี่จึงไม่ใช่กราฟวงจรที่ง่ายที่สุดสำหรับกลุ่มเหล่านี้ (เช่นเดียวกับที่แสดงทางด้านขวา)

S 4 × Z 2 (ลำดับที่ 48)	A 4 × Z 2 (ลำดับที่ 24)	Dih 4 × Z 2 (ลำดับที่ 16)	S 3 × Z 2 = Dih 6 (ลำดับที่ 12)
S 4 (ลำดับที่ 24)	A 4 (ลำดับที่ 12)	Dih 4 (ลำดับที่ 8)	S 3 = Dih 3 (ลำดับที่ 6)

เช่นเดียวกับกราฟทุกชนิด กราฟวงจรสามารถแสดงได้หลายวิธีเพื่อเน้นคุณสมบัติที่แตกต่างกัน การแสดงกราฟวงจรของ S ₄ ในสองรูปแบบ นี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้

กราฟวัฏจักรของ S 4ที่แสดงด้านบนเน้นกลุ่มย่อย Dih 4 ทั้งสาม กลุ่ม

การนำเสนอที่แตกต่างกันนี้เน้นความสมมาตรที่เห็นได้ใน ชุด การกลับด้านทางด้านขวา

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกราฟวัฏจักรกลุ่ม

• รายชื่อกลุ่มย่อย
• กราฟเคย์ลีย์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กราฟวัฏจักรกลุ่ม" . MathWorld .