ในทฤษฎีการเข้ารหัสรหัสแบบวงจร (cyclic code)คือรหัสแบบบล็อกโดยการเลื่อนแบบวงกลมของแต่ละคำรหัสจะให้คำอื่นที่อยู่ในรหัสเดียวกัน รหัสเหล่านี้เป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดที่มีคุณสมบัติทางพีชคณิตที่สะดวกต่อการตรวจจับและแก้ไขข้อผิดพลาดอย่าง มีประสิทธิภาพ

ให้เป็นรหัสเชิงเส้นบนฟิลด์จำกัด (เรียกอีกอย่างว่าฟิลด์กาโลอิส ) ที่มีความยาวบล็อกเรียกว่า รหัส แบบวัฏจักรถ้าสำหรับทุกคำรหัสจากคำในที่ได้จากการเลื่อนไปทางขวาแบบวัฏจักรของส่วนประกอบ ยังคงเป็นคำรหัสเดิม เนื่องจากการเลื่อนไปทางขวาแบบวัฏจักรหนึ่งครั้งเท่ากับการเลื่อนไปทางซ้ายแบบวัฏจักร รหัสแบบวัฏจักรจึงสามารถกำหนดได้ผ่านการเลื่อนไปทางซ้ายแบบวัฏจักรเช่นกัน ดังนั้น รหัสเชิงเส้นจะเป็นรหัสแบบวัฏจักรก็ต่อเมื่อมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนแบบวัฏจักรทั้งหมด ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle GF(q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle c=(c_{1},\ldots ,c_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (c_{n},c_{1},\ldots ,c_{n-1})}$${\displaystyle GF(q)^{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

รหัสแบบวงจรมีข้อจำกัดเชิงโครงสร้างเพิ่มเติมบางประการ รหัสเหล่านี้มีพื้นฐานมาจากฟิลด์กาโลอิสและเนื่องจากคุณสมบัติเชิงโครงสร้างเหล่านี้ จึงมีประโยชน์อย่างมากสำหรับการควบคุมข้อผิดพลาด โครงสร้างของรหัสแบบวงจรมีความสัมพันธ์อย่างมากกับฟิลด์กาโลอิส ซึ่งทำให้ขั้นตอนวิธีเข้ารหัสและถอดรหัสสำหรับรหัสแบบวงจรมีประสิทธิภาพในการคำนวณสูง

รหัสวัฏจักรสามารถเชื่อมโยงกับอุดมคติในวงแหวนบางวงได้ ให้ เป็นผลหารของวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์จำกัดระบุองค์ประกอบของรหัสวัฏจักรด้วยพหุนามในลักษณะที่ แมปไปยังพหุนาม : ดังนั้นการคูณด้วยสอดคล้องกับการเลื่อนวัฏจักร จากนั้น เป็น อุดมคติในและด้วยเหตุนี้จึงเป็นอุดมคติหลักเนื่องจากเป็นวงแหวนอุดมคติหลักอุดมคติถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเอกลักษณ์ในที่มีดีกรีต่ำสุดพหุนามตัวสร้าง [ ^{1 ] ซึ่ง} ต้องเป็นตัวหารของดังนั้นรหัสวัฏจักรทุกรหัสจึงเป็นรหัสพหุนามถ้าพหุนามตัวสร้างมี ดีกรีแล้วอันดับของรหัสคือ${\displaystyle R=A[x]/(x^{n}-1)}$${\displaystyle A=GF(q)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (c_{0},\ldots ,c_{n-1})}$${\displaystyle c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x^{n}-1}$${\displaystyle g}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle nd}$

ถ้าเป็นรหัสแบบวัฏจักรรหัสคู่ก็จะเป็นรหัสแบบวัฏจักรเช่นกัน พหุนามตัวสร้างสำหรับเรียกอีกอย่างว่าพหุนามตรวจสอบความเท่าเทียมกันหรือพหุนามตรวจสอบสำหรับ นอกจาก ^นี้ยังสามารถแสดงได้ว่าโดยที่หมายถึงพหุนามผกผันของ[ ^{2 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\perp }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g(x)h^{*}(x)=x^{n}-1}$${\displaystyle h^{*}(x)}$${\displaystyle h(x)}$

เอกลักษณ์ของคือรหัสคำที่(นั่นคือเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของ) และเป็นเอกลักษณ์สำหรับรหัส นั่นคือสำหรับทุกรหัสคำถ้าและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์คำดังกล่าวจะมีอยู่เสมอและเป็นเอกลักษณ์^{[ 3 ]}มันเป็นตัวสร้างของรหัส ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e^{2}=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e\cdot c=c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

รหัสที่ไม่สามารถลดทอนได้ (Irreducible code)คือรหัสแบบวัฏจักร (cyclic code) ซึ่งตัวรหัสเองในฐานะที่เป็นไอเดียล (ideal) นั้นไม่สามารถลดทอนได้ กล่าวคือ มีค่าต่ำสุดในดังนั้นพหุนามตรวจสอบ (check polynomial) ของรหัสจึงเป็นพหุ นามที่ไม่สามารถลดทอนได้ เช่นกัน${\displaystyle R}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าและชุดของคำรหัสที่บรรจุอยู่ในรหัสวงจรที่สร้างโดยคือ อย่างแม่นยำ ${\displaystyle A=\mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle (1,1,0)}$

$${\displaystyle \{(0,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.}$$

รหัสนี้สอดคล้องกับอุดมคติที่สร้างขึ้นโดย. ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{3}-1)}$${\displaystyle (1+x)}$

พหุนามนั้นไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในวงแหวนพหุนาม ดังนั้นรหัสนี้จึงเป็นรหัสที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ${\displaystyle (1+x)}$

ตัวผกผันของรหัสนี้คือพหุนามซึ่งสอดคล้องกับคำรหัส ${\displaystyle x+x^{2}}$${\displaystyle (0,1,1)}$

ตัวอย่างง่ายๆ ของรหัสแบบวนรอบ ได้แก่ตัวมันเองและรหัสที่มีเฉพาะคำรหัสศูนย์เท่านั้น ซึ่งสอดคล้องกับตัวสร้างและตามลำดับ: พหุนามทั้งสองนี้จะต้องเป็นตัวประกอบของเสมอ ${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x^{n}-1}$${\displaystyle x^{n}-1}$

รหัสพาริตีบิตซึ่งประกอบด้วยคำที่มีน้ำหนักคู่ทั้งหมดจะสอดคล้องกับตัวสร้าง และอีกครั้งหนึ่งค่านี้จะต้องเป็นตัวประกอบของเสมอ ${\displaystyle GF(2)}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle GF(2)}$${\displaystyle x^{n}-1}$

รหัสแก้ไขข้อผิดพลาดที่ใช้กันทั่วไปหลายประเภทสามารถแสดงเป็นรหัสแบบวงจรได้ รวมถึงรหัส BCHรหัสReed-Solomonและรหัสตรวจสอบความเท่าเทียมกันความหนาแน่นต่ำ บางประเภท ที่กำหนดจากเรขาคณิตจำกัด^{[ 4 ]}

รหัสแบบวนรอบสามารถใช้แก้ไขข้อผิดพลาดได้ เช่นเดียวกับ รหัส แฮมมิงที่สามารถใช้แก้ไขข้อผิดพลาดเดี่ยวได้ ในทำนองเดียวกัน รหัสแบบวนรอบยังใช้แก้ไขข้อผิดพลาดคู่และข้อผิดพลาดแบบระเบิดได้อีกด้วย หัวข้อย่อยถัดไปจะกล่าวถึงการแก้ไขข้อผิดพลาดทุกประเภทโดยสังเขป

รหัสแฮมมิง (7,4) มีพหุนามตัวสร้าง พหุนามนี้มีศูนย์ในฟิลด์ส่วนขยายกาโลอิสที่องค์ประกอบดั้งเดิมและคำรหัสทั้งหมดเป็นไปตามเงื่อนไขรหัสแบบวนรอบยังสามารถใช้เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดสองเท่าเหนือฟิลด์ได้ ความยาวบล็อกจะเท่ากับและองค์ประกอบดั้งเดิมและเป็นศูนย์ในเนื่องจากเรากำลังพิจารณากรณีที่มีข้อผิดพลาดสองข้อ ดังนั้นแต่ละ จะแทนข้อผิดพลาดหนึ่งข้อ ${\displaystyle g(x)=x^{3}+x+1}$${\displaystyle GF(8)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {C}}(\alpha )=0}$${\displaystyle GF(2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{m}-1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{3}}$${\displaystyle GF(2^{m})}$

คำที่ได้รับคือพหุนามดีกรีที่กำหนดดังนี้ ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle v(x)=a(x)g(x)+e(x)}$

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์จะมีได้มากที่สุด 2 ค่า ซึ่งสอดคล้องกับข้อผิดพลาด 2 ค่า ${\displaystyle e(x)}$

เรากำหนดนิยามของพหุนามซินโดรมว่าเป็นเศษเหลือจากการหารพหุนามด้วยพหุนามตัวสร้างกล่าวคือ ${\displaystyle S(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle S(x)\equiv v(x)\equiv (a(x)g(x)+e(x))\equiv e(x)\mod g(x)}$เช่น. ${\displaystyle (a(x)g(x))\equiv 0\mod g(x)}$

ให้และเป็นหมายเลขตำแหน่งข้อผิดพลาดสองหมายเลข หากเกิดข้อผิดพลาดเพียงจุดเดียวจะมีค่าเท่ากับศูนย์ และหากไม่มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเลย ทั้งสองค่าจะมีค่าเป็นศูนย์ ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{2}}$

ให้และ. ${\displaystyle S_{1}={v}(\alpha )}$${\displaystyle S_{3}={v}(\alpha ^{3})}$

องค์ประกอบฟิลด์เหล่านี้เรียกว่า "ซินโดรม" เนื่องจากมีค่าเป็นศูนย์ที่องค์ประกอบดั้งเดิมและดังนั้นเราจึงสามารถเขียนและได้ ถ้าสมมติว่าเกิดข้อผิดพลาดสองครั้งแล้ว ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{3}}$${\displaystyle S_{1}=e(\alpha )}$${\displaystyle S_{3}=e(\alpha ^{3})}$

${\displaystyle S_{1}=\alpha ^{i}+\alpha ^{i'}}$และ . ${\displaystyle S_{3}=\alpha ^{3i}+\alpha ^{3i'}}$

และทั้งสองนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นสมการสองคู่ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสองตัว ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle GF(2^{m})}$

${\displaystyle S_{1}=X_{1}+X_{2}}$และ . ${\displaystyle S_{3}=(X_{1})^{3}+(X_{2})^{3}}$

ดังนั้น หากสามารถแก้สมการไม่เชิงเส้นทั้งสองคู่ได้แล้ว ก็สามารถใช้รหัสแบบวนรอบเพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดทั้งสองได้

รหัสHamming(7,4)อาจเขียนเป็นรหัสแบบวงจรบน GF(2) ที่มีตัวสร้างในความเป็นจริง รหัส Hamming แบบไบนารีใดๆ ในรูปแบบ Ham(r, 2) เทียบเท่ากับรหัสแบบวงจร^{[ 5 ]}และรหัส Hamming ใดๆ ในรูปแบบ Ham(r,q) โดยที่ r และ q-1 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ก็เทียบเท่ากับรหัสแบบวงจรเช่นกัน^{[ 6 ]} เมื่อกำหนดรหัส Hamming ในรูปแบบ Ham(r,2) โดยที่เซตของคำรหัสคู่จะสร้างรหัส แบบวงจร ^{[ 7 ]}${\displaystyle 1+x+x^{3}}$${\displaystyle r\geq 3}$${\displaystyle [2^{r}-1,2^{r}-r-2,4]}$

รหัสที่มีระยะห่างขั้นต่ำอย่างน้อย 3 จะมีเมทริกซ์ตรวจสอบซึ่งทุกคอลัมน์มีค่าแตกต่างกันและไม่เป็นศูนย์ ถ้าเมทริกซ์ตรวจสอบสำหรับรหัสไบนารีมีแถว n แถว แต่ละคอลัมน์จะเป็นเลขไบนารี nบิตมีคอลัมน์ที่เป็นไปได้ n คอลัมน์ ดังนั้น ถ้าเมทริกซ์ตรวจสอบของรหัสไบนารีที่มี ระยะ ห่างขั้นต่ำ 3 มีแถว n แถว ก็จะมีคอลัมน์ได้เพียง n คอลัมน์เท่านั้น ไม่มากกว่านั้น นี่คือการกำหนดรหัสที่เรียกว่า รหัสแฮมมิง (Hamming code) ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 2^{m}-1}$${\displaystyle d_{min}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 2^{m}-1}$${\displaystyle (2^{m}-1,2^{m}-1-m)}$

การกำหนดรหัสแฮมมิงสำหรับตัวอักษรขนาดใหญ่ที่มีขนาด นั้นทำได้ง่ายเราจำเป็นต้องกำหนดเมทริกซ์หนึ่งเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น สำหรับคำใดๆ ที่มีขนาดจะมีคอลัมน์ที่เป็นผลคูณของกันและกัน ดังนั้น เพื่อให้ได้ความเป็นอิสระเชิงเส้น เราจะเลือกทูเปิล ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดที่มี 1 เป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์สูงสุดเป็นคอลัมน์ จากนั้น คอลัมน์สองคอลัมน์จะไม่เป็นอิสระเชิงเส้น เพราะคอลัมน์สามคอลัมน์อาจเป็นอิสระเชิงเส้นได้ โดยมีระยะห่างขั้นต่ำของรหัสเป็น 3 ${\displaystyle q}$${\displaystyle H}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$

ดังนั้น จึงมีคอลัมน์ที่ไม่เป็นศูนย์ โดยมี 1 เป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์สูงสุด ดังนั้น รหัสแฮมมิงจึงเป็นรหัส ${\displaystyle (q^{m}-1)/(q-1)}$${\displaystyle [(q^{m}-1)/(q-1),(q^{m}-1)/(q-1)-m]}$

สำหรับรหัสแบบวัฏจักร ให้เป็นองค์ประกอบดั้งเดิมในและให้แล้วและดังนั้น จึงเป็นศูนย์ของพหุนามและ เป็นพหุนามกำเนิดสำหรับรหัสแบบวัฏจักรที่มีความยาวบล็อก ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle GF(q^{m})}$${\displaystyle \beta =\alpha ^{q-1}}$${\displaystyle \beta ^{(q^{m}-1)/(q-1)}=1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x^{(q^{m}-1)/(q-1)}-1}$${\displaystyle n=(q^{m}-1)/(q-1)}$

แต่สำหรับและคำที่ได้รับคือพหุนามดีกรี ที่กำหนดดังนี้ ${\displaystyle q=2}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle v(x)=a(x)g(x)+e(x)}$

โดยที่หรือแทนตำแหน่งที่เกิดข้อผิดพลาด ${\displaystyle e(x)=0}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle i}$

แต่เรายังสามารถใช้เป็นองค์ประกอบในการระบุตำแหน่งข้อผิดพลาดได้ด้วย เนื่องจากเรามีและกำลังทั้งหมดของตั้งแต่ถึง นั้นแตกต่างกัน ดังนั้นเราจึงสามารถระบุตำแหน่งข้อผิดพลาดได้ง่ายจากเว้นแต่ ซึ่งหมายถึงไม่มีข้อผิดพลาด ดังนั้น รหัสแฮมมิง จึง เป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดเดี่ยวบนด้วยและ${\displaystyle \alpha ^{i}}$${\displaystyle GF(2^{m})}$${\displaystyle g(\alpha )=0}$${\displaystyle v(\alpha )=\alpha ^{i}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2^{m}-2}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha ^{i}}$${\displaystyle v(\alpha )=0}$${\displaystyle GF(2)}$${\displaystyle n=2^{m}-1}$${\displaystyle k=n-m}$

จาก แนวคิด ระยะทางแฮมมิง (Hamming distance ) รหัสที่มีระยะทางน้อยที่สุดสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดใดๆ ได้ แต่ในหลายช่องสัญญาณ รูปแบบของข้อผิดพลาดไม่ได้เกิดขึ้นแบบสุ่ม มันเกิดขึ้นภายในส่วนสั้นๆ ของข้อความ ข้อผิดพลาดประเภทนี้เรียกว่าข้อผิดพลาดแบบกลุ่ม (burst errors ) ดังนั้น เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดดังกล่าว เราจึงต้องการรหัสที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นและมีอัตราสูงขึ้น เนื่องจากมีข้อจำกัดน้อยลง รหัสแบบวงจร (Cyclic codes) ใช้สำหรับแก้ไขข้อผิดพลาดแบบกลุ่ม ในความเป็นจริง รหัสแบบวงจรยังสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดแบบกลุ่มวงจรแบบวนซ้ำ (Cyclic burst errors) พร้อมกับข้อผิดพลาดแบบกลุ่มทั่วไปได้ด้วย ข้อผิดพลาดแบบกลุ่มวงจรแบบวนซ้ำถูกนิยามว่า ${\displaystyle 2t+1}$${\displaystyle t}$

เวกเตอร์ ที่มีความยาวเป็นวัฏจักรคือเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ในกลุ่มส่วนประกอบที่ต่อเนื่องกัน (เป็นวัฏจักร) โดยที่ส่วนประกอบแรกและส่วนประกอบสุดท้ายต้องไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

ในรูปแบบพหุนาม การระเบิดแบบวัฏจักรที่มีความยาวสามารถอธิบายได้เป็นโดยที่ เป็นพหุนามดีกรีที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ในที่นี้กำหนดรูปแบบ และกำหนดจุดเริ่มต้นของข้อผิดพลาด ความยาวของรูปแบบกำหนดโดย ดีกรี พหุนามซินโดรมมีเอกลักษณ์เฉพาะสำหรับแต่ละรูปแบบและกำหนดโดย ${\displaystyle t}$${\displaystyle e(x)=x^{i}b(x)\mod (x^{n}-1)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle t-1}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle b(x)+1}$

${\displaystyle s(x)=e(x)\mod g(x)}$

รหัสบล็อกเชิงเส้นที่แก้ไขข้อผิดพลาดแบบเบิร์สต์ทั้งหมดที่มีความยาวหรือน้อยกว่านั้น จะต้องมีสัญลักษณ์ตรวจสอบอย่างน้อยตัว พิสูจน์: เนื่องจากรหัสเชิงเส้นใดๆ ที่สามารถแก้ไขรูปแบบเบิร์สต์ที่มีความยาวหรือน้อยกว่านั้นได้ จะไม่สามารถมีเบิร์สต์ที่มีความยาวหรือน้อยกว่านั้นเป็นคำรหัสได้ เพราะถ้ามี เบิร์สต์ที่มีความยาวจะเปลี่ยนคำรหัสเป็นรูปแบบเบิร์สต์ที่มีความยาวซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้จากการสร้างข้อผิดพลาดแบบเบิร์สต์ที่มีความยาวในคำรหัสที่เป็นศูนย์ทั้งหมด ทีนี้ เวกเตอร์สองตัวใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ในส่วนประกอบแรก จะต้องมาจากโคเซตที่แตกต่างกันของอาร์เรย์ เพื่อหลีกเลี่ยงไม่ให้ผลต่างของเวกเตอร์เหล่านั้นเป็นคำรหัสของเบิร์สต์ที่มีความยาวดังนั้น จำนวนโคเซตดังกล่าวจึงเท่ากับจำนวนเวกเตอร์ดังกล่าวที่เป็นดังนั้นอย่างน้อยโคเซต และดังนั้นจึงมีสัญลักษณ์ตรวจสอบ อย่างน้อย ตัว${\displaystyle t}$${\displaystyle 2t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 2t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 2t}$${\displaystyle 2t}$${\displaystyle q^{2t}}$${\displaystyle q^{2t}}$${\displaystyle 2t}$

คุณสมบัตินี้เรียกอีกอย่างว่าขอบเขตของรีเกอร์ (Rieger bound) และมีความคล้ายคลึงกับขอบเขตของซิงเกิลตัน (Singleton bound)สำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดแบบสุ่ม

ในปี พ.ศ. 2492 ฟิลิป ไฟร์^{[ 8 ]}ได้นำเสนอการสร้างรหัสแบบวงจรที่สร้างขึ้นจากผลคูณของทวินามและพหุนามดั้งเดิม ทวินามมีรูปแบบสำหรับจำนวนเต็มคี่บวกบางตัว[ ^{9 ] รหัส}ไฟร์เป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดแบบระเบิดวงจรเหนือด้วยพหุนามตัวสร้าง ${\displaystyle x^{c}+1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle GF(q)}$

${\displaystyle g(x)=(x^{2t-1}-1)p(x)}$

โดยที่เป็นพหุนามเฉพาะที่มีดีกรีไม่น้อยกว่าและไม่หารลงตัวความยาวบล็อกของรหัสป้องกันอัคคีภัยคือจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่หาร ลงตัว ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle x^{2t-1}-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle x^{n}-1}$

รหัสป้องกันอัคคีภัยสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดของชุดสัญญาณทั้งหมดที่มีความยาว t หรือน้อยกว่าได้ หากไม่มีชุดสัญญาณสองชุดใดปรากฏอยู่ในเซตเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้โดยการขัดแย้ง สมมติว่ามีชุดสัญญาณที่ไม่เป็นศูนย์สองชุดที่แตกต่างกัน คือและมีความยาว t หรือน้อยกว่า และอยู่ในเซตเดียวกันของรหัส ดังนั้น ผลต่างของชุดสัญญาณทั้งสองจึงเป็นรหัสคำ เนื่องจากผลต่างเป็นผลคูณของ t ดังนั้น ผลต่างของt จึงเป็นผลคูณของ t ด้วยเช่นกันดังนั้น ${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle x^{j}b'(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle x^{j}b'(x)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle x^{2t-1}-1}$

${\displaystyle b(x)=x^{j}b'(x)\mod (x^{2t-1}-1)}$.

นี่แสดงว่าเป็นผลคูณของดังนั้น ${\displaystyle j}$${\displaystyle 2t-1}$

${\displaystyle b(x)=x^{l(2t-1)}b'(x)}$

สำหรับบางคนตอนนี้ เนื่องจากน้อยกว่าและน้อยกว่าดังนั้นจึงเป็นรหัสลับ ดังนั้น ${\displaystyle l}$${\displaystyle l(2t-1)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle l}$${\displaystyle q^{m}-1}$${\displaystyle (x^{l(2t-1)}-1)b(x)}$

${\displaystyle (x^{l(2t-1)}-1)b(x)=a(x)(x^{2t-1}-1)p(x)}$.

เนื่องจากดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ จึงหารลงตัวไม่ได้ถ้าไม่เป็นศูนย์ ก็หารลงตัวไม่ได้ เช่นกัน เพราะน้อยกว่าและตามนิยามของจะหารลงตัวได้สำหรับค่าที่ไม่น้อยกว่าดังนั้นและจึงเท่ากับศูนย์ นั่นหมายความว่าทั้งสองกลุ่มระเบิดเหมือนกัน ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐาน ${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle x^{l(2t-1)}-1}$${\displaystyle l}$${\displaystyle q^{m}-1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle x^{l(2t-1)}-1}$${\displaystyle l}$${\displaystyle q^{m}-1}$${\displaystyle l}$${\displaystyle j}$

รหัสป้องกันอัคคีภัยเป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดแบบระเบิดเดี่ยวที่ดีที่สุดที่มีอัตราสูง และถูกสร้างขึ้นโดยใช้วิธีการวิเคราะห์ รหัสเหล่านี้มีอัตราสูงมาก และเมื่อ และเท่ากัน ความซ้ำซ้อนจะน้อยที่สุดและเท่ากับโดยการใช้รหัสป้องกันอัคคีภัยหลายรหัส สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดแบบระเบิดที่ยาวกว่าได้ด้วย ${\displaystyle m}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 3t-1}$

รหัสแบบวนรอบ (cyclic codes) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการตรวจจับข้อผิดพลาด และเรียกอีกอย่างว่ารหัสความซ้ำซ้อนแบบวนรอบ (cyclic redundancy codes ) ${\displaystyle t-1}$

การแปลงฟูริเยร์ มี การประยุกต์ใช้กันอย่างแพร่หลายในกระบวนการประมวลผลสัญญาณแต่การประยุกต์ใช้ไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะในฟิลด์เชิงซ้อนเท่านั้น การแปลงฟูริเยร์ยังพบได้ในฟิลด์กาโลอิสด้วย รหัสวัฏจักรที่ใช้การแปลงฟูริเยร์สามารถอธิบายได้ในบริบทที่ใกล้เคียงกับการประมวลผลสัญญาณมากขึ้น ${\displaystyle GF(q)}$

การแปลงฟูริเยร์เหนือฟิลด์จำกัด

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของเวกเตอร์ นั้นกำหนดโดยเวกเตอร์โดยที่ ${\displaystyle v=v_{0},v_{1},....,v_{n-1}}$${\displaystyle V=V_{0},V_{1},.....,V_{n-1}}$

${\displaystyle V_{k}}$= โดยที่ ${\displaystyle \Sigma _{i=0}^{n-1}e^{-j2\pi n^{-1}ik}v_{i}}$

${\displaystyle k=0,.....,n-1}$

โดยที่ exp( ) คือ ราก ที่ n ของเอกภาพในทำนองเดียวกัน ในฟิลด์จำกัดรากที่ n ของเอกภาพคือองค์ประกอบอันดับ n ดังนั้น ${\displaystyle -j2\pi /n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$

ถ้าเป็นเวกเตอร์เหนือและเป็นสมาชิกของที่มีอันดับแล้วการแปลงฟูริเยร์ของเวกเตอร์คือเวกเตอร์และส่วนประกอบต่างๆ จะกำหนดโดย${\displaystyle v=(v_{0},v_{1},....,v_{n-1})}$${\displaystyle GF(q)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle GF(q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V=(V_{0},V_{1},.....,V_{n-1})}$

${\displaystyle V_{j}}$= โดยที่ ${\displaystyle \Sigma _{i=0}^{n-1}\omega ^{ij}v_{i}}$

${\displaystyle k=0,.....,n-1}$

ในที่นี้คือดัชนีเวลาคือความถี่และคือสเปกตรัมความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่งระหว่างการแปลงฟูริเยร์ในฟิลด์เชิงซ้อนและฟิลด์กาโลอิสคือ ฟิลด์เชิงซ้อนมีอยู่สำหรับทุกค่าของในขณะที่ในฟิลด์กาโลอิส จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ หารลงตัวเท่านั้นในกรณีของฟิลด์ส่วนขยาย จะมีการแปลงฟูริเยร์ในฟิลด์ส่วนขยาย ก็ต่อเมื่อหารลงตัวสำหรับบางค่าในฟิลด์กาโลอิสเวกเตอร์โดเมนเวลาจะครอบคลุมฟิลด์แต่สเปกตรัมอาจครอบคลุมฟิลด์ส่วนขยาย ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle GF(q^{m})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q^{m}-1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$${\displaystyle GF(q)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle GF(q^{m})}$

รหัสคำใดๆ ของรหัสไซคลิกความยาวบล็อกสามารถแทนด้วยพหุนามที่มีดีกรีสูงสุดตัวเข้ารหัสสามารถเขียนได้เป็นดังนั้น ในโดเมนความถี่ ตัวเข้ารหัสสามารถเขียนได้เป็น โดยที่สเปกตรัมของรหัสคำมีค่าอยู่ในแต่ส่วนประกอบทั้งหมดในโดเมนเวลามาจากเนื่องจากสเปกตรัมของข้อมูลเป็นค่าใดๆ ก็ได้ บทบาทของคือการระบุค่าที่จะเป็นศูนย์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle c(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle c(x)=a(x)g(x)}$${\displaystyle C_{j}=A_{j}G_{j}}$${\displaystyle C_{j}}$${\displaystyle GF(q^{m})}$${\displaystyle GF(q)}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle G_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle C_{j}}$

ดังนั้น รหัสแบบวงจรจึงสามารถนิยามได้ดังนี้

เมื่อกำหนดชุดดัชนีสเปกตรัม ซึ่งองค์ประกอบต่างๆ เรียกว่าความถี่ตรวจสอบ รหัสแบบวงจรคือชุดคำที่มีสเปกตรัมเป็นศูนย์ในองค์ประกอบที่ดัชนีโดยสเปกตรัมดังกล่าวจะมีองค์ประกอบในรูปแบบ ${\displaystyle A=(j_{1},....,j_{n-k})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle GF(q)}$${\displaystyle j_{1},...,j_{n-k}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A_{j}G_{j}}$

ดังนั้น รหัสแบบวงจรจึงเป็นเวกเตอร์ในฟิลด์และสเปกตรัมที่ได้จากการแปลงฟูริเยร์ผกผันของเวกเตอร์นั้นจะครอบคลุมฟิลด์ทั้งหมดและถูกจำกัดให้เป็นศูนย์ที่ส่วนประกอบบางส่วน แต่สเปกตรัมทุกอันในฟิลด์และเป็นศูนย์ที่ส่วนประกอบบางส่วน อาจไม่มีการแปลงผกผันกับส่วนประกอบในฟิลด์เสมอไปสเปกตรัมแบบนั้นจึงไม่สามารถนำมาใช้เป็นรหัสแบบวงจรได้ ${\displaystyle GF(q)}$${\displaystyle GF(q^{m})}$${\displaystyle GF(q^{m})}$${\displaystyle GF(q)}$

ต่อไปนี้คือขอบเขตบางส่วนของสเปกตรัมของรหัสวัฏจักร

ถ้าเป็นตัวประกอบของสำหรับบางค่าเวกเตอร์เดียวใน ที่มีน้ำหนักหรือน้อยกว่า ซึ่งมีส่วนประกอบต่อเนื่องของสเปกตรัมเท่ากับศูนย์ คือ เวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมด ${\displaystyle n}$${\displaystyle (q^{m}-1)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle GF(q)^{n}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle d-1}$

ถ้าเป็นตัวประกอบของสำหรับบางค่าและเป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับเวกเตอร์เดียวใน ที่มีน้ำหนักหรือน้อยกว่า ซึ่งส่วนประกอบสเปกตรัมเท่ากับศูนย์สำหรับโดยที่และคือเวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมด ${\displaystyle n}$${\displaystyle (q^{m}-1)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle GF(q)^{n}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle j=\ell _{1}+\ell _{2}b(\mod n)}$${\displaystyle \ell _{1}=0,....,d-s-1}$${\displaystyle \ell _{2}=0,....,s-1}$

ถ้าเป็นตัวประกอบของสำหรับบางค่าและเวกเตอร์เดียวใน ที่ มีน้ำหนักหรือน้อยกว่า ซึ่งส่วนประกอบสเปกตรัมเท่ากับศูนย์สำหรับโดยที่และมีค่าอย่างน้อยในช่วงคือเวกเตอร์ที่มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ${\displaystyle n}$${\displaystyle q^{m}-1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle GCD(n,b)=1}$${\displaystyle GF(q)^{n}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle j=l_{1}+l_{2}b(\mod n)}$${\displaystyle l_{1}=0,...,d-s-2}$${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle s+1}$${\displaystyle 0,....,d-2}$

เมื่อจำนวนเฉพาะเป็นเศษเหลือกำลังสองมอดูลจำนวนเฉพาะจะมีรหัสเศษเหลือกำลังสองซึ่งเป็นรหัสแบบวัฏจักรที่มีความยาวมิติ และน้ำหนักขั้นต่ำอย่างน้อยเหนือ${\displaystyle l}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (p+1)/2}$${\displaystyle {\sqrt {p}}}$${\displaystyle GF(l)}$

รหัสคอนสตาไซคลิกเป็นรหัสเชิงเส้นที่มีคุณสมบัติว่าสำหรับค่าคงที่บางค่าถ้าเป็นคำรหัสแล้ว ก็เป็นคำรหัสเช่นกันรหัสเนกาไซคลิกเป็นรหัสคอนสตาไซคลิกที่มี^{[ 10 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})}$${\displaystyle (\lambda c_{n},c_{1},\dots ,c_{n-1})}$${\displaystyle \lambda =-1}$

รหัสกึ่งวัฏจักร (รหัส QC) มีคุณสมบัติที่ว่าสำหรับการหาร บางค่า การเลื่อนแบบวัฏจักรของคำรหัสด้วยตำแหน่งใดๆ ก็ตามจะเป็นคำรหัสอีกครั้ง นั่นคือ สำหรับค่าคงที่บางค่าถ้าเป็นคำรหัสแล้ว ก็เป็นคำรหัสเช่นกันโดยที่ดัชนีทั้งหมดจะถูกลดทอนด้วย mod [ ^{11 ] รหัส}ดังกล่าวเรียกว่ารหัส -QC รหัสแบบวงกลมคู่เป็นรหัสกึ่งวัฏจักรที่มีความยาวเป็นเลขคู่ที่มี^{[ 11 ]}${\displaystyle s}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (c_{0},c_{1},\dots ,c_{n-1})}$${\displaystyle (c_{-s},c_{1-s},\dots ,c_{n-s-1})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s=2}$

รหัสเชิงเส้นเรียกว่ารหัสวงจรแบบย่อหากสามารถได้มาโดยการลบตำแหน่งจากรหัสวงจร รหัสในรูปแบบนี้โดยทั่วไปจะไม่ใช่รหัสวงจร^{[ 12 ]}${\displaystyle (n,k)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (n+b,k+b)}$

ในรหัสย่อ จะมีการลบสัญลักษณ์ข้อมูลเพื่อให้ได้ความยาวบล็อกที่ต้องการซึ่งเล็กกว่าความยาวบล็อกเดิม แม้ว่าการลบสัญลักษณ์แรกจะเป็นวิธีการทั่วไป แต่ในหลักการแล้วสามารถลบสัญลักษณ์ข้อมูลชุดใดก็ได้^{[ 12 ]}รหัสแบบวงจรใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นรหัสแบบกึ่งวงจรได้โดยการลบสัญลักษณ์ทุกๆ ตัวที่ -th โดยที่เป็นตัวประกอบของถ้าสัญลักษณ์ที่ถูกลบไม่ใช่สัญลักษณ์ตรวจสอบ รหัสแบบวงจรนี้ก็เป็นรหัสแบบวงจรย่อเช่นกัน ${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

รหัสแบบกึ่งบิด (รหัส QT) ผสมผสานคุณสมบัติของรหัสแบบคอนสตาไซคลิกและรหัสแบบกึ่งไซคลิก โดยมีการเลื่อนเกิดขึ้นตามตำแหน่งและมีตัวคูณเป็นนั่นคือ สำหรับค่าคงที่บางค่าและถ้าเป็นคำรหัสแล้ว ก็เป็นคำรหัสเช่นกันโดยที่ดัชนีทั้งหมดจะถูกลดทอนแบบ mod [ ^{13 ] รหัส}แบบมัลติบิดเป็นการขยายความทั่วไปของรหัส QT ซึ่งรวมรหัส QT หลายรหัสเข้าด้วยกัน^{[ 13 ] [ 14 ]}${\displaystyle s}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle s}$${\displaystyle (c_{0},c_{1},\dots ,c_{n-1})}$${\displaystyle (\lambda c_{-s},c_{1-s},\dots ,c_{n-s-1})}$${\displaystyle n}$

• รหัส BCH
• รหัสไบนารีโกเลย์
• การตรวจสอบความซ้ำซ้อนแบบวนรอบ
• ยูจีน แพรนจ์
• รหัสรีด-มุลเลอร์
• รหัส Golay ไตรภาค

• รันจัน โบส, ทฤษฎีสารสนเทศ การเข้ารหัส และการเข้ารหัสลับ , ISBN 0-07-048297-7
• Irving S. Reedและ Xuemin Chen, การเข้ารหัสควบคุมข้อผิดพลาดสำหรับเครือข่ายข้อมูล , บอสตัน: Kluwer Academic Publishers, 1999, ISBN 0-7923-8528-4.
• Scott A. Vanstone , Paul C. Van Oorschot , บทนำเกี่ยวกับรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดพร้อมการประยุกต์ใช้งาน , ISBN 0-7923-9017-2

• บันทึกการเรียนของจอห์น กิลล์ (สแตนฟอร์ด) – บันทึกฉบับที่ 3 วันที่ 8 ตุลาคม เอกสารประกอบการเรียนฉบับที่ 9 เก็บถาวร เมื่อวันที่ 23 ตุลาคม 2012 ที่Wayback Machineวิชา EE 387
• บันทึกการเรียนของ Jonathan Hall (MSU) – บทที่ 8 รหัสวัฏจักร – หน้า 100 - 123
• เดวิด เทอร์. "รหัสวงจร" . MathWorld .

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากโค้ดแบบวนซ้ำบนPlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License