ในทางเรขาคณิตไซคลอยด์คือเส้นโค้งที่เกิดจากจุดบนวงกลมกลิ้งไปตามเส้นตรงโดยไม่ลื่นไถล ไซคลอยด์เป็นรูปแบบเฉพาะของโทรคอยด์และเป็นตัวอย่างของรูเล็ตซึ่งเป็นเส้นโค้งที่เกิดจากการกลิ้งของเส้นโค้งหนึ่งบนอีกเส้นโค้งหนึ่ง

เส้นไซคลอยด์ ซึ่งมีปลายแหลมชี้ขึ้นด้านบน เป็นเส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อนที่ลงเร็วที่สุดภายใต้แรงโน้มถ่วง สม่ำเสมอ ( เส้นโค้งแบรคิสโตโครน ) นอกจากนี้ยังเป็นรูปแบบของเส้นโค้งที่คาบ การ เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของวัตถุ(กลิ้งขึ้นลงซ้ำๆ) ตามเส้นโค้งนั้นไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นของวัตถุ ( เส้นโค้งเทาโทโครน ) ในทางฟิสิกส์ เมื่ออนุภาคที่มีประจุซึ่งหยุดนิ่งถูกวางไว้ภายใต้ สนาม ไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก สม่ำเสมอ ที่ตั้งฉากกัน วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคจะวาดเป็นรูปเส้นไซคลอยด์

เส้นไซคลอยด์ถูกเรียกว่า "เฮเลนแห่งนักเรขาคณิต" เพราะเช่นเดียวกับเฮเลนแห่งทรอยมันก่อให้เกิดการโต้เถียงกันบ่อยครั้งในหมู่นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ในขณะที่ซาราห์ ฮาร์ทมองว่ามันถูกตั้งชื่อเช่นนั้น "เพราะคุณสมบัติของเส้นโค้งนี้สวยงามมาก" ^{[ 1 ] [ 2 ]}

นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ได้เสนอชื่อผู้ค้นพบไซคลอยด์หลายคน นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์Paul Tanneryคาดการณ์ว่าเส้นโค้งที่เรียบง่ายเช่นนี้น่าจะเป็นที่รู้จักในสมัยโบราณโดยอ้างถึงงานที่คล้ายกันของCarpus แห่ง Antiochที่Iamblichusอธิบายไว้^{[ 3 ]} นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษJohn Wallisเขียนในปี 1679 โดยระบุว่าการค้นพบนี้เป็นผลงานของNicholas of Cusa [ ^{4 ] แต่การศึกษาในภายหลังบ่งชี้ว่า Wallis อาจเข้าใจผิดหรือหลักฐานที่เขา ใช้}สูญหายไปแล้ว^{[ 5 ]} ชื่อของGalileo Galilei ถูกเสนอขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ^{[ 6 ]}และอย่างน้อยผู้เขียนคนหนึ่งรายงานว่ามีการให้เครดิตแก่Marin Mersenne ^{[ 7 ]}เริ่มจากผลงานของ^Moritz Cantor ^{[ 8 ]}และSiegmund Günther [ ^{9 ]}ปัจจุบันนักวิชาการให้ความสำคัญกับนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสCharles de Bovelles ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}โดยอิงจากคำอธิบายเกี่ยวกับไซคลอยด์ในIntroductio in geometriam ของเขา ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1503 ^{[ 13 ]} ในงานนี้ Bovelles เข้าใจผิดว่าส่วนโค้งที่ลากโดยล้อกลิ้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมขนาดใหญ่ที่มีรัศมีใหญ่กว่าล้อขนาดเล็กถึง 125% ^{[ 5 ]}

กาลิเลโอเป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่าไซคลอยด์และเป็นคนแรกที่ทำการศึกษาเส้นโค้งนี้อย่างจริงจัง^{[ 5 ]} ตามที่นักเรียนของเขาEvangelista Torricelliกล่าว ไว้ ^{[ 14 ]}ในปี 1599 กาลิเลโอพยายาม หาพื้นที่ใต้เส้น โค้งไซคลอยด์ (การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์) ด้วยวิธีการเชิงประจักษ์ที่ไม่ธรรมดา ซึ่งเกี่ยวข้องกับการลากเส้นวงกลมที่ก่อกำเนิดและเส้นโค้งไซคลอยด์ที่ได้ลงบนแผ่นโลหะ ตัดออกมาแล้วชั่งน้ำหนัก เขาค้นพบว่าอัตราส่วนโดยประมาณคือ 3:1 ซึ่งเป็นค่าที่แท้จริง แต่เขาสรุปผิดพลาดว่าอัตราส่วนเป็นเศษส่วนอตรรกยะ ซึ่งจะทำให้การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์เป็นไปไม่ได้^{[ 7 ]} ประมาณปี 1628 Gilles Persone de Robervalน่าจะเรียนรู้ปัญหาการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์จากPère Marin Mersenneและทำการคำนวณหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไซคลอยด์ได้สำเร็จในปี 1634 โดยใช้ทฤษฎีบทของ Cavalieri ^{[ 5 ]} อย่างไรก็ตาม งานชิ้นนี้ไม่ได้ตีพิมพ์จนกระทั่งปี พ.ศ. 2536 (ในTraité des Indivisibles ของเขา ) ^{[ 15 ]}

การสร้างเส้นสัมผัสของไซคลอยด์เริ่มขึ้นในเดือนสิงหาคม ค.ศ. 1638 เมื่อเมอร์เซนได้รับวิธีการเฉพาะจากโรแบร์วาลปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์และเรเน่ เดส์การ์ต เมอร์เซนได้ส่งต่อผลลัพธ์เหล่านี้ให้กับกาลิเลโอ ซึ่งกาลิเลโอได้ส่งต่อให้กับนักเรียนของเขาคือทอร์ริเชลลีและวิเวียนี ซึ่งสามารถสร้างควอดราเจอร์ได้ ผลลัพธ์นี้และผลลัพธ์อื่นๆ ได้รับการตีพิมพ์โดยทอร์ริเชลลีในปี ค.ศ. 1644 ^{[ 14 ]}ซึ่งนับเป็นงานพิมพ์ชิ้นแรกเกี่ยวกับไซคลอยด์ สิ่งนี้ทำให้โรแบร์วาลกล่าวหาทอร์ริเชลลีว่าลอกเลียนแบบ โดยข้อโต้แย้งยุติลงอย่างรวดเร็วเนื่องจากทอร์ริเชลลีเสียชีวิตก่อนวัยอันควรในปี ค.ศ. 1647 ^{[ 15 ]}

ในปี ค.ศ. 1658 บลาส์ ปาสคาล ได้ละทิ้งคณิตศาสตร์เพื่อไปศึกษาศาสนศาสตร์ แต่ในขณะที่ปวดฟัน เขาเริ่มพิจารณาปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับไซคลอยด์ อาการปวดฟันของเขาหายไป และเขาถือว่านี่เป็นสัญญาณจากสวรรค์ให้ดำเนินการวิจัยต่อไป แปดวันต่อมา เขาได้เขียนเรียงความเสร็จ และเพื่อเผยแพร่ผลลัพธ์ เขาจึงเสนอให้มีการแข่งขัน ปาสคาลเสนอคำถามสามข้อที่เกี่ยวข้องกับจุดศูนย์ถ่วงพื้นที่ และปริมาตรของไซคลอยด์ โดยผู้ชนะจะได้รับรางวัล 20 และ 40 เหรียญ ดูบลูนสเปน ปาสคาล โรเบอร์วาล และวุฒิสมาชิกคาร์คาวี เป็นกรรมการตัดสิน และไม่มีผลงานใดจากสองผลงานที่ส่งมา (โดยจอห์น วอลลิสและอองตวน เดอ ลาลูเวร์ ) ถูกตัดสินว่าเพียงพอ^{[ 16 ] : 198} ในขณะที่การแข่งขันกำลังดำเนินอยู่คริสโตเฟอร์ เรนได้ส่งข้อเสนอให้ปาสคาลเพื่อพิสูจน์การแก้ไขไซคลอยด์ โรเบอร์วาลอ้างทันทีว่าเขารู้จักการพิสูจน์นี้มาหลายปีแล้ว วอลลิสตีพิมพ์หลักฐานของเรน (โดยให้เครดิตเรน) ในTractatus Duo ของวอลลิส โดยให้เรนเป็นผู้มีสิทธิ์ก่อนสำหรับการตีพิมพ์หลักฐานครั้งแรก^{[ 15 ]}

สิบห้าปีต่อมาคริสเตียน ฮุยเกนส์ได้นำลูกตุ้มไซคลอยด์มาใช้เพื่อปรับปรุงโครโนมิเตอร์ และค้นพบว่าอนุภาคจะเคลื่อนที่ผ่านส่วนหนึ่งของส่วนโค้งไซคลอยด์คว่ำในเวลาเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงจุดเริ่มต้น ในปี 1686 ก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซใช้เรขาคณิตวิเคราะห์เพื่ออธิบายเส้นโค้งด้วยสมการเดียว ในปี 1696 โยฮันน์ เบอร์นูลลีได้ตั้งปัญหาบราคิสโตโครนซึ่งคำตอบคือไซคลอยด์^{[ 15 ]}

เส้นโค้งไซคลอยด์ที่ผ่านจุดกำเนิด ซึ่งเกิดจากวงกลมรัศมีr ที่กลิ้งไปตาม แกน xทางด้านบวก ( y ≥ 0 ) ประกอบด้วยจุด( x , y )โดยที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$ โดยที่t เป็น พารามิเตอร์จริงที่สอดคล้องกับมุมที่วงกลมกลิ้งหมุนไป สำหรับt ที่กำหนด จุดศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่ที่⁽ x , y ) = ( rt , r ) [ ^{17 ]}

สมการคาร์ทีเซียนได้มาจากการแก้สม การ yสำหรับtแล้วแทนค่าลงใน สม การx :$${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$หรือ การกำจัดค่าผกผันโคไซน์ที่มีหลายค่า:

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

เมื่อมองy เป็นฟังก์ชันของ xเส้นโค้งไซคลอยด์จะหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ยกเว้นที่จุดยอดแหลมบน แกน xโดยที่อนุพันธ์มีแนวโน้มเข้าหา${\displaystyle \infty }$หรือ${\displaystyle -\infty }$ใกล้จุดแหลม (ที่y=0 ) ฟังก์ชันจากtไปยัง( x , y )สามารถหาอนุพันธ์ได้ ในความเป็นจริงจัดอยู่ในคลาส^C∞ โดยมีอนุพันธ์เป็น 0 ที่จุดแหลม

ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งไซคลอยด์ ณ จุดนั้น${\displaystyle (x,y)}$ได้รับจาก${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$.

ส่วนของเส้นโค้งไซคลอยด์ที่เชื่อมจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดถัดไป เรียกว่า ส่วนโค้งของเส้นโค้งไซคลอยด์ ตัวอย่างเช่น จุดที่มี${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$และ${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$.

เมื่อพิจารณาเส้นโค้งไซคลอยด์เป็นกราฟของฟังก์ชัน${\displaystyle y=f(x)}$ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

ถ้าเรากำหนด${\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}$เนื่องจากความแตกต่างของความสูงจากจุดยอดของไซคลอยด์ (จุดที่มีเส้นสัมผัสแนวนอนและ${\displaystyle \cos t=-1}$) จากนั้นเราจะได้ว่า:

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}$

ส่วนโค้งอินโวลูตของไซคลอยด์มีรูปร่างเหมือนกับไซคลอยด์ต้นกำเนิดทุกประการ สามารถมองเห็นภาพได้เหมือนกับเส้นทางที่ปลายลวดลากไปตามส่วนโค้งครึ่งหนึ่งของไซคลอยด์ เมื่อคลี่ออกโดยยังคงสัมผัสกับไซคลอยด์เดิม มันจะสร้างไซคลอยด์ใหม่ (ดูเพิ่มเติมที่ลูกตุ้มไซคลอยด์และความยาวส่วนโค้ง )

สาธิต

การสาธิตนี้ใช้คำจำกัดความของไซคลอยด์แบบล้อหมุน รวมถึงเวกเตอร์ความเร็วขณะทันทีของจุดที่เคลื่อนที่ ซึ่งสัมผัสกับวิถีการเคลื่อนที่ของจุดนั้น ในภาพประกอบด้านข้าง${\displaystyle P_{1}}$และ${\displaystyle P_{2}}$เป็นจุดสองจุดที่อยู่บนวงกลมกลิ้งสองวง โดยฐานของวงแรกอยู่เหนือยอดของวงที่สองเล็กน้อย ในตอนเริ่มต้น ${\displaystyle P_{1}}$และ${\displaystyle P_{2}}$บรรจบกันที่จุดตัดของวงกลมทั้งสอง เมื่อวงกลมทั้งสองกลิ้งในแนวนอนด้วยความเร็วเท่ากัน${\displaystyle P_{1}}$และ${\displaystyle P_{2}}$เคลื่อนที่ผ่านเส้นโค้งไซคลอยด์สองเส้น โดยพิจารณาเส้นสีแดงที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle P_{1}}$และ${\displaystyle P_{2}}$ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นตรงนั้นสัมผัสกับส่วนโค้งด้านล่างเสมอ ณ เวลานั้น${\displaystyle P_{2}}$และตั้งฉากกับส่วนโค้งด้านบนที่${\displaystyle P_{1}}$. อนุญาต${\displaystyle Q}$ให้เป็นจุดร่วมระหว่างวงกลมบนและวงกลมล่าง ณ เวลาที่กำหนด จากนั้น:

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$อยู่ในแนวเดียวกัน: อันที่จริง ความเร็วในการกลิ้งที่เท่ากันจะทำให้ได้มุมที่เท่ากัน${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ประเด็น${\displaystyle Q}$โกหกบนเส้น${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ดังนั้น${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$และในทำนองเดียวกัน${\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$จากความเท่าเทียมกันของ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$และ${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$คนหนึ่งก็มีสิ่งนั้นเช่นกัน ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$ตามมาด้วย${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$.
• ถ้า${\displaystyle A}$คือจุดบรรจบกันระหว่างเส้นตั้งฉากจาก${\displaystyle P_{1}}$ไปยังส่วนของเส้นตรง${\displaystyle O_{1}O_{2}}$และเส้นสัมผัสวงกลมที่${\displaystyle P_{2}}$จากนั้นก็สามเหลี่ยม${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังที่เห็นได้ชัดจากโครงสร้าง:${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$และ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$สำหรับความเท่าเทียมกันที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ระหว่าง${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$และ${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$แล้ว${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$และ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
• การวาดภาพจาก${\displaystyle P_{2}}$ส่วนตั้งฉากกับ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$, จาก${\displaystyle P_{1}}$เส้นตรงที่สัมผัสกับวงกลมด้านบน และเรียก${\displaystyle B}$ณ จุดนัดพบ จะเห็นได้ว่า${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นขนาน
• ทีนี้ลองพิจารณาความเร็วดู${\displaystyle V_{2}}$ของ${\displaystyle P_{2}}$สามารถมองได้ว่าเป็นผลรวมของสององค์ประกอบ คือ ความเร็วในการกลิ้ง${\displaystyle V_{a}}$และความเร็วในการลอยตัว${\displaystyle V_{d}}$ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์เท่ากันเนื่องจากวงกลมกลิ้งโดยไม่ลื่นไถล${\displaystyle V_{d}}$ขนานกับ${\displaystyle P_{1}A}$, ในขณะที่${\displaystyle V_{a}}$สัมผัสกับวงกลมด้านล่างที่${\displaystyle P_{2}}$และด้วยเหตุนี้จึงขนานกับ${\displaystyle P_{2}A}$รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ประกอบขึ้นจากส่วนประกอบต่างๆ${\displaystyle V_{d}}$และ${\displaystyle V_{a}}$ดังนั้นจึงคล้ายคลึงกัน (มีมุมเท่ากัน) กับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$เพราะว่าด้านทั้งสองขนานกัน${\displaystyle V_{2}}$ความเร็วรวมของ${\displaystyle P_{2}}$ขนานกับ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$เนื่องจากทั้งสองเป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองรูปที่มีด้านขนานกัน และมีลักษณะร่วมกันกับ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$จุดสัมผัส${\displaystyle P_{2}}$ดังนั้นเวกเตอร์ความเร็ว${\displaystyle V_{2}}$ตั้งอยู่บนการต่อขยายของ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$. เพราะ${\displaystyle V_{2}}$สัมผัสกับไซคลอยด์ที่${\displaystyle P_{2}}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าด้วยเช่นกัน${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ตรงกับเส้นสัมผัสกับไซคลอยด์ล่างที่${\displaystyle P_{2}}$.
• ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่า${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ตั้งฉากกับ${\displaystyle V_{1}}$(เส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)
• สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่าปลายลวดที่ยืดออกในตอนแรกบนส่วนโค้งครึ่งหนึ่งของไซคลอยด์ด้านล่างและยึดติดกับวงกลมด้านบนที่${\displaystyle P_{1}}$ปลายเข็มจะเคลื่อนที่ตามจุดนั้นไปตามเส้นทางโดยไม่เปลี่ยนแปลงความยาวเนื่องจากความเร็วของปลายเข็มในแต่ละขณะจะตั้งฉากกับเส้นลวด (ไม่มีการยืดหรือหดตัว) ในขณะเดียวกัน เส้นลวดจะสัมผัสกับจุดนั้นด้วย${\displaystyle P_{2}}$ไปยังส่วนโค้งด้านล่างเนื่องจากแรงตึงและข้อเท็จจริงที่แสดงไว้ข้างต้น (หากไม่สัมผัสกัน จะเกิดความไม่ต่อเนื่องที่${\displaystyle P_{2}}$และส่งผลให้แรงตึงไม่สมดุล)

ถ้าลูกตุ้มอย่างง่ายถูกแขวนไว้ที่จุดยอดแหลมของไซคลอยด์กลับหัว โดยที่เชือกถูกจำกัดให้สัมผัสกับส่วนโค้งด้านใดด้านหนึ่ง และความยาวL ของลูกตุ้ม เท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวส่วนโค้งของไซคลอยด์ (กล่าวคือ สองเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่สร้างไซคลอยด์L = 4r ) ลูกตุ้มก็จะเคลื่อนที่ตามเส้นทางไซคลอยด์เช่นกัน ลูกตุ้มดังกล่าวเป็นแบบไอโซโครนัส คือการแกว่งแต่ละครั้งใช้เวลาเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงแอมพลิจูด เมื่อใช้ระบบพิกัดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่งของจุดยอดแหลม สมการการเคลื่อนที่จะเป็นดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \theta }$คือมุมที่ส่วนตรงของเชือกทำกับแกนตั้ง และกำหนดโดย $${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$ โดยที่A < 1คือ "แอมพลิจูด"${\displaystyle \omega }$ω คือความถี่เชิงมุมของลูกตุ้ม และgคือความเร่งโน้มถ่วง

นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ในศตวรรษที่ 17 ชื่อChristiaan Huygensได้ค้นพบและพิสูจน์คุณสมบัติของไซคลอยด์เหล่านี้ในขณะที่กำลังค้นหาการออกแบบนาฬิกาลูกตุ้มที่แม่นยำยิ่งขึ้นเพื่อใช้ในการเดินเรือ^{[ 20 ]}

เส้นโค้งหลายเส้นมีความเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งไซคลอยด์

• โทรคอยด์ (Trochoid) : รูปแบบทั่วไปของไซคลอยด์ (cycloid) ซึ่งจุดที่ลากตามเส้นโค้งอาจอยู่ภายในวงกลมที่กลิ้ง (curtate) หรือภายนอก (prolate)
• ไฮโปไซคลอยด์ : รูปแบบหนึ่งของไซคลอยด์ที่วงกลมวงหนึ่งกลิ้งอยู่ด้านในของวงกลมอีกวงหนึ่งแทนที่จะเป็นเส้นตรง
• เอพิไซคลอยด์ : รูปแบบหนึ่งของไซคลอยด์ที่วงกลมวงหนึ่งกลิ้งอยู่ด้านนอกของวงกลมอีกวงหนึ่งแทนที่จะเป็นเส้นตรง
• ไฮโปโทรคอยด์ : รูปแบบทั่วไปของไฮโปไซคลอยด์ โดยที่จุดกำเนิดอาจไม่ได้อยู่บนขอบของวงกลมที่กลิ้งไปมา
• เอพิโทรคอยด์ : รูปแบบทั่วไปของเอพิไซคลอยด์ โดยที่จุดกำเนิดอาจไม่ได้อยู่บนขอบของวงกลมที่กลิ้งอยู่

เส้นโค้งทั้งหมดเหล่านี้เป็น เหมือนวงล้อ รูเล็ตที่มีวงกลมกลิ้งไปตามเส้นโค้ง อีกเส้นหนึ่งที่มี ความโค้ง สม่ำเสมอ เส้นโค้งไซคลอยด์ เอพิไซคลอยด์ และไฮโปไซคลอยด์ มีคุณสมบัติที่ว่าแต่ละเส้นโค้งจะคล้ายคลึงกับเส้นโค้งอีโวลูตของมันถ้าqคือผลคูณของความโค้งนั้นกับรัศมีของวงกลม โดยมีเครื่องหมายเป็นบวกสำหรับเอพิไซคลอยด์และเครื่องหมายเป็นลบสำหรับไฮโปไซคลอยด์อัตราส่วนความคล้ายคลึงของเส้นโค้งกับเส้นโค้งอีโวลูตคือ 1 + 2q  

ของเล่น Spirographแบบคลาสสิกใช้ สำหรับ ลากเส้นโค้งไฮโปโทรคอยด์และเอปิโทรคอยด์

ซุ้มโค้งไซคลอยด์ถูกใช้โดยสถาปนิกLouis Kahnในการออกแบบพิพิธภัณฑ์ศิลปะ Kimbellในฟอร์ตเวิร์ธ รัฐเท็กซัสนอกจากนี้ยังถูกใช้โดยWallace K. Harrisonในการออกแบบศูนย์ Hopkinsที่วิทยาลัย Dartmouthในฮาโนเวอร์ รัฐนิวแฮมป์เชียร์^{[ 21 ]}

การวิจัยในช่วงแรกระบุว่าเส้นโค้งโค้งขวางบางส่วนของแผ่นไวโอลินยุคทองนั้นจำลองได้ใกล้เคียงกับเส้นโค้งไซคลอยด์แบบโค้งมน^{[ 22 ]}งานวิจัยในภายหลังระบุว่าเส้นโค้งไซคลอยด์แบบโค้งมนไม่ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองทั่วไปสำหรับเส้นโค้งเหล่านี้^{[ 23 ]}ซึ่งมีความแตกต่างกันอย่างมาก

• ไซโคลกอน
• เฟืองไซคลอยด์
• รายชื่อฟังก์ชันคาบ
• เส้นโค้งเทาโทโครน
• โทรคอยด์ (สำหรับจุดที่อยู่นอกวงกลม)

• การประยุกต์ใช้จากฟิสิกส์ : Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
• Edward Kasner & James Newman (1940) คณิตศาสตร์และจินตนาการหน้า 196 – 200 สำนักพิมพ์ Simon & Schuster
• Wells D (1991). พจนานุกรมเรขาคณิตที่น่าสนใจและแปลกใหม่ของเพนกวิน . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์เพนกวิน. หน้า445–47 . ISBN  0-14-011813-6.

• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "ไซคลอยด์" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ไซคลอยด์" . แมธเวิลด์ .สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 27 เมษายน 2550
• ไซคลอย ด์ ที่จุดตัดปม
• ตำราว่าด้วยเส้นโค้งไซคลอยด์และเส้นโค้งไซคลอยด์ทุกรูปแบบผลงานของ ริชาร์ด เอ. พรอคเตอร์, BA เผยแพร่โดยห้องสมุดมหาวิทยาลัยคอร์เนลล์
• เส้นโค้งไซคลอยด์ โดย ฌอน แมดเซน ร่วมด้วย เดวิด ฟอน เซกเกิร์ นจากโครงการสาธิตของวูล์ฟแรม
• ไซคลอยด์บน PlanetPTC (Mathcad)
• แนวทางการแก้ปัญหาแคลคูลัสด้วยภาพโดย ทอม อโพสโตล