ในทางคณิตศาสตร์สมการเชิงอนุพันธ์จะเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ดาร์บูซ์ถ้ามันสอดคล้องกับรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle M(x,y)dx-L(x,y)dy+N(x,y)(xdy-ydx)=0}$[ ^{1 ]​}

โดยที่, และเป็นพหุนามของและ ตามลำดับ ${\displaystyle M(x,y)}$${\displaystyle L(x,y)}$${\displaystyle N(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

รูป แบบ ที่ชัดเจนของสมการนี้คือ

${\displaystyle y'(x)={\frac {yN(x,y)-M(x,y)}{xN(x,y)-L(x,y)}}}$[ ^{2 ]​}

ซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่กล่าวมาข้างต้น อาจรวมถึงจุดสมดุล ด้วย ซึ่งต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{cases}yL(x,y)-xM(x,y)=0\\L=xN(x,y)\end{cases}}}$

แหล่งที่มา: ^{[ 1 ]}

เนื่องจากสมการดาร์บูซ์เป็นการทำให้สมการริคคาติ เป็นแบบทั่วไป ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วจึงไม่สามารถหาคำตอบของสมการนี้ได้โดยวิธีการประมาณค่าเชิง ตัวเลขสมการดาร์บูซ์สามารถหาคำตอบได้ในกรณีเฉพาะบางกรณีเท่านั้น โดยที่พบคำตอบพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จำนวน หนึ่ง ให้ . ${\displaystyle {\check {P}}_{i}(x,y)}$${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant p}$${\displaystyle m=\max(\deg M,\deg L,\deg N)}$

ถ้าผลเฉลยทั่วไปจะมีรูปแบบเป็น โดยที่, , เป็นค่าคงที่ที่จะต้องหาค่า และตัวแปรในผลคูณนี้จะหายไป ${\displaystyle p\geqslant {\frac {1}{2}}m(m+1)+2}$${\displaystyle u(x,y)=C}$${\displaystyle u(x,y)=\prod _{i=1}^{p}{g(x,y,z)^{\alpha _{i}}}}$${\displaystyle g_{i}(x,y,z)={\check {P}}_{i}\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)z^{\deg {\check {P}}_{i}}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle z}$

ถ้าสมการของ Darboux กำหนดให้ จะสามารถ หา ค่าตัวประกอบการอินทิเกรตได้ โดยค่าตัวประกอบนี้จะมีรูปแบบที่แน่นอนดังที่แสดงไว้ข้างต้น ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}m(m+1)+1}$${\displaystyle u(x,y)}$

ถ้าพหุนามสามตัว, และบังเอิญเป็นพหุนามเอกพันธุ์และมีดีกรีเดียวกัน คำตอบที่แน่นอนสามารถแสดงและหาได้โดยใช้การคำนวณเชิงตัวเลข^{[ 2 ]}${\displaystyle M(x,y)}$${\displaystyle L(x,y)}$${\displaystyle N(x,y)}$${\displaystyle M(x,y)}$${\displaystyle L(x,y)}$

กำหนดให้, . ${\displaystyle \deg M=\deg L=k}$${\displaystyle \deg N=n}$

กรณีที่ทำให้ สมการทั้งหมดเป็นเอกพันธุ์${\displaystyle kn=1}$

ในสถานการณ์อื่นๆ การแทนค่าจะนำไปสู่สมการ ประเภท เบอร์นูลลีเหนือ ฟังก์ชันผกผัน${\displaystyle y(x)=xt(x)}$${\displaystyle x=x(t)}$

เนื่องจาก, และเป็นพหุนามเอกพันธุ์ที่มีดีกรี, และตามลำดับ จึงมีพหุนาม, และ อยู่ เช่น ${\displaystyle M(x,y)}$${\displaystyle L(x,y)}$${\displaystyle N(x,y)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \nu (t)}$

${\displaystyle M(x,y)=x^{k}\mu \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{k}\mu (t)}$, , และ. ${\displaystyle L(x,y)=x^{k}\lambda \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{k}\lambda (t)}$${\displaystyle N(x,y)=x^{n}\nu \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{n}\nu (t)}$

เมื่อนำทุกอย่างมารวมกันจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle xt'(x)={\frac {x^{n+1}t\nu (t)-x^{k}\mu (t)}{x^{n+1}\nu (t)-x^{k}\nu (t)}}-t={\frac {x^{k}{\big (}\lambda (t)-\mu (t){\big )}}{x^{n+1}\nu (t)-x^{k}\lambda (t)}}={\frac {\lambda (t)-\mu (t)}{x^{n+1-k}\nu (t)-\lambda (t)}}}$

ถ้าสมการที่ได้เป็นสมการแยกตัวแปรได้ในขณะที่กรณีอื่นๆ ตามกฎ ของฟังก์ชันผกผัน${\displaystyle kn=1}$

${\displaystyle x'(t)+{\frac {\lambda (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}}x(t)={\frac {\nu (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}}{\big (}x(t){\big )}^{n+2-k}}$.

สมการหลังนี้คือสมการเบอร์นูลลี ซึ่งสามารถหาปริพันธ์ได้เสมอโดยใช้การหาปริพันธ์เชิงตัวเลข

สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าสมการดาร์บูซ์ทั่วไป (เอกพันธุ์) ^{[ 3 ]}หากมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \phi \left({\frac {y}{x}}\right)dx+\psi \left({\frac {y}{x}}\right)dy+x^{k}\chi \left({\frac {y}{x}}\right)(xdy-ydx)=0}$

โดยที่ฟังก์ชัน, และเป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle \phi ({\frac {y}{x}})=\phi (t)}$${\displaystyle \psi ({\frac {y}{x}})=\psi (t)}$${\displaystyle \chi ({\frac {y}{x}})=\chi (t)}$

สามารถลดรูปเป็นสมการเบอร์นูลลี ได้ โดยใช้วิธีการเดียวกันกับที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อแทนค่าลงไปจะได้สมการดังนี้ ${\displaystyle y(x)=xt(x)}$

${\displaystyle {\big (}\phi (t)+t\psi (t){\big )}dx+{\big (}x\psi (t)+x^{k+2}\chi (t){\big )}dt=0}$

หรือในรูปแบบที่ชัดเจน

${\displaystyle x'(t)+{\frac {\psi (t)}{\phi (t)+t\psi (t)}}x(t)+{\frac {\chi (t)}{\phi (t)+t\psi (t)}}{\big (}x(t){\big )}^{k+2}=0}$

ซึ่งสามารถแยกตัวแปรได้หากหรือเป็นสมการเบอร์นูลลีเหนือเงื่อนไขอื่น ๆ ${\displaystyle k=-2}$${\displaystyle x=x(t)}$

• รายชื่อสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เชิงเส้น
• สมการเชิงอนุพันธ์ของจาโคบี