ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีบทเดอแรมกล่าวว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากโคฮอโมโลยีเดอแรมไปยังโคฮอโมโลยีเอกฐานที่กำหนดโดยการอิน ทิเกรตนั้น เป็นไอโซมอร์ฟิซึม

ทฤษฎีบทปวงกาเรบ่งชี้ว่า โคฮอโมโลยีเดอแรมคือโคฮอโมโลยีชีฟที่มีชีฟคงที่ ดังนั้น ด้วยเหตุผลเชิงนามธรรม โคฮอโมโลยีเดอแรมจึงสมมูลกันในฐานะกลุ่มกับโคฮอโมโลยีเอกฐาน แต่ทฤษฎีบทเดอแรมให้การสมมูลกันที่ชัดเจนกว่าระหว่างโคฮอโมโลยีทั้งสอง จึงเชื่อมโยงการวิเคราะห์และโทโพโลยีเข้าด้วยกันโดยตรงยิ่งขึ้น ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ส่วนสำคัญของทฤษฎีบทคือการสร้างโฮโมมอร์ฟิซึมของเดอแรม^{[ 1 ]}ให้Mเป็นแมนิโฟลด์ จากนั้นจะมีแผนที่

${\displaystyle k:\Omega ^{p}(M)\to S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{p}(M)}$

จากปริภูมิของp-ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ไปยังปริภูมิของp-โคเชนเอกพจน์เรียบที่กำหนดโดย

${\displaystyle \omega \mapsto \left(\sigma \mapsto \int _{\sigma }\omega \right).}$

สูตรของสโตกส์บ่งชี้ว่า: ; กล่าวคือเป็นแผนที่ลูกโซ่ดังนั้นจึงเหนี่ยวนำให้เกิด: ${\displaystyle k\circ d=\partial \circ k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle [k]:\operatorname {H} _{\textrm {deRham}}^{*}(M)\to \operatorname {H} _{\infty -\mathrm {sing} }^{*}(M)}$

โดยที่โคฮอโมโลยีเหล่านี้คือโคฮอโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์จริงของและตามลำดับ ปรากฏว่า เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ของริงและเรียกว่า โฮโมมอร์ฟิซึมของเดอแรม ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของเดอแรมเป็นการแปลงตามธรรมชาติระหว่างฟังก์ชันโคฮอโมโลยีของเดอแรมและฟังก์ชันโคฮอโมโลยีเอกฐาน ${\displaystyle \Omega ^{*}(M)}$${\displaystyle S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{*}(M)}$${\displaystyle [k]}$

สุดท้าย ทฤษฎีบทกล่าวว่าโฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำเป็นไอโซมอร์ฟิซึม (กล่าวคือ ไบเจกทีฟ) ^{[ 2 ]}${\displaystyle [k]}$

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทอีกรูปแบบหนึ่งที่กล่าวว่าโคฮอโมโลยีเดอแรมของMนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกในฐานะวงแหวนกับโคฮอโมโลยีเช็กของมัน^{[ 3 ]}เวอร์ชันเช็กนี้เป็นผลมาจากAndré Weilเป็น หลัก

เมื่อพิจารณาโคฮอโมโลยีเอกฐานที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในกลุ่มอาเบเลียนอื่น เช่น จำนวนเต็ม แน่นอนว่าไม่ควรคาดหวังไอโซมอร์ฟิซึมที่คล้ายคลึงกันขวดไคลน์เป็นตัวอย่างหนึ่งที่มีกลุ่มโฮโมโลยีและเนื่องจากโคฮอโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงไม่ได้คำนึงถึงกลุ่มจำกัดใดๆ (โดยทั่วไปคือกลุ่มทอร์ชั่น) เราจึงมีซึ่งตรงกับกลุ่มโคฮอโมโลยีเดอแรมที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle H_{1}(K)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle H^{1}(K;\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น โฮโมมอร์ฟิซึมของเดอแรมคือไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างโคฮอโมโลยีของเดอแรมและโคฮอโมโลยีเอกพจน์เรียบที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งก็คือโคฮอโมโลยีที่เกี่ยวข้องกับโซ่เรียบ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ทางเทคนิคบ่งชี้ว่า กลุ่ม โฮโมโลยีเอกพจน์นั้นสอดคล้องกับกลุ่มโฮโมโลยีเอกพจน์เรียบ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของเดอแรมนั้นแท้จริงแล้วบ่งชี้ถึงไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างโคฮอโมโลยีของเดอแรมและกลุ่มโคฮอโมโลยีเอกพจน์ (ที่ไม่เรียบ) (ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง)

การพิสูจน์หนึ่งวิธีคร่าวๆ เป็นไปตามแนวคิดเหล่านี้: ^{[ 4 ]}เรียกแมนิโฟลด์ว่า "เดอแรม" ถ้าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับแมนิโฟลด์นั้น เรียกการคลุมแบบเปิดของแมนิโฟลด์ว่า "การคลุมแบบเดอแรม" ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของการคลุมเป็นแบบเดอแรม เช่นเดียวกับการตัดกันแบบจำกัดทั้งหมดขององค์ประกอบเหล่านั้น แสดงให้เห็นว่าเซตแบบนูนในเป็นแบบเดอแรม โดยพื้นฐานแล้วโดยความไม่แปรเปลี่ยนของโฮโมโทปีของโคโฮโมโลยีทั้งสองที่เกี่ยวข้อง ต่อมา แสดงให้เห็นแบบอุปนัยว่าแมนิโฟลด์ที่มีการคลุมแบบเดอแรมแบบจำกัดเป็นแบบเดอแรม โดยใช้ลำดับ Mayer-Vietoris จากนั้นผลลัพธ์จะถูกขยายไปยังแมนิโฟลด์ที่มีฐานซึ่งเป็นการคลุมแบบเดอแรม ขั้นตอนนี้มีความซับซ้อนทางเทคนิคมากขึ้น สุดท้าย แสดงให้เห็นได้ง่ายๆ ว่าเซตย่อยแบบเปิดของ และด้วยเหตุนี้แมนิโฟลด์ใดๆ ก็มีฐานซึ่งเป็นการคลุมแบบเดอแรม ดังนั้น การเรียกใช้ขั้นตอนก่อนหน้านี้จึงเสร็จสิ้นการพิสูจน์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

นี่คือโครงร่างการพิสูจน์อีกแบบหนึ่ง โดยอิงจากทฤษฎีชีฟ: ^{[ 5 ]}มีคอมเพล็กซ์ชีฟที่สำคัญสองชุดบนแมนิโฟลด์ของเรา(คอมเพล็กซ์เหล่านี้อยู่ในหมวดหมู่ใดเป็นปัญหาที่คลุมเครือ เรามาคลุมเครือไว้ก่อน) ชุดแรกคือคอมเพล็กซ์เดอแรมซึ่งกำหนดโดยชีฟของรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนชุดที่สองคือคอมเพล็กซ์เอกฐานซึ่งกำหนดโดยชีฟของโคเชนเอกฐานของและเป็นเวอร์ชันสัมพัทธ์เหนือคอมเพล็กซ์โคเชนของกลุ่มอาเบลการอินทิเกรตเหนือซิมเพล็กซ์ทำให้เราได้มอร์ฟิซึมของชีฟของคอมเพล็กซ์เนื่องจากวัตถุทั้งสองยอมรับการแบ่งส่วนของเอกลักษณ์ จึงเป็นข้อเท็จจริงมาตรฐานที่หน้าสองของลำดับสเปกตรัมไฮเปอร์โคฮอโมโลยีสำหรับทั้งสองมีคอลัมน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงคอลัมน์เดียว ดังนั้นไฮเปอร์โคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์ชีฟทั้งสองจึงคำนวณโคฮอโมโลยีเดอแรมและโคฮอโมโลยีเอกฐานของ ได้จริง ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเดอแรม จึงเพียงพอที่จะแสดงว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึม เพื่อจุดประสงค์นี้ เราสังเกตว่ามีมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติจากชีฟคงที่ไปยังและและสามเหลี่ยมที่เห็นได้ชัดนั้นสลับกันได้ ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยคุณสมบัติการหดตัวเฉพาะที่ของทั้งเดอแรมและโคฮอโมโลยีเอกฐาน มอร์ฟิซึมตามธรรมชาติจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ด้วยคุณสมบัติการสลับกันได้ของสามเหลี่ยม เราได้แสดงให้เห็นถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่ต้องการของและการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์แล้ว ยกเว้นว่าเราต้องกลับไปที่ปัญหาที่ละเอียดอ่อนในตอนต้น: ในหมวดหมู่ของชีฟของคอมเพล็กซ์ใดที่ข้อโต้แย้งข้างต้นมีความหมาย? เนื่องจากเราใช้คุณสมบัติการหดตัวเฉพาะที่ของโคฮอโมโลยีเพื่อสรุปไอโซมอร์ฟิซึมของมอร์ฟิซึมสองตัวที่ออกจากหมวดหมู่ของชีฟของคอมเพล็กซ์ที่แท้จริงจึงใช้ไม่ได้ และเราจำเป็นต้องเปลี่ยนไปใช้หมวดหมู่ที่ได้มาอย่างไรก็ตาม แม้ว่าผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นจริงใน หมวดหมู่ 1 ที่ได้มา แบบสามเหลี่ยมแต่เพื่อให้ข้อโต้แย้งข้างต้นใช้ได้ผลดี หมวดหมู่ 1 ที่ได้มานั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถตรวจสอบไอโซมอร์ฟิซึมใน 1-หมวดหมู่ที่ได้มาได้ในระดับท้องถิ่นเหนือแต่เราสรุปไอโซมอร์ฟิซึมของมอร์ฟิซึมสองตัวที่ออกจากโดยการตรวจสอบในระดับท้องถิ่น โดยสรุป เราต้องการหมวดหมู่ที่ในด้านหนึ่งทำให้ไอโซมอร์ฟิซึมโคฮอโมโลจิคัลกลายเป็นไอโซมอร์ฟิซึมจริง และในอีกด้านหนึ่งก็สอดคล้องกับการสืบเนื่องหมวดหมู่ที่ได้มา^{[ 6 ]}กลายเป็นแนวคิดที่ถูกต้อง ${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega _{M}^{\bullet }}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{sing}^{\bullet }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \int :\Omega _{M}^{\bullet }\to C_{sing}^{\bullet }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \int }$${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \Omega _{M}^{\bullet }}$${\displaystyle C_{sing}^{\bullet }}$${\displaystyle \int }$${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \infty }$

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทอีกเวอร์ชันหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเอกพจน์โฮโมโลยีแทนที่จะเป็นโคโฮโมโลยี โดยกล่าวว่าการจับคู่

${\displaystyle (\omega ,\sigma )\mapsto \int _{\sigma }\omega }$

ก่อให้เกิดการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบระหว่างโคฮอโมโลยีเดอแรมและโฮโมโลยีเอกพจน์ (เรียบ) กล่าวคือ

${\displaystyle \operatorname {H} _{\mathrm {deRham} }^{*}(M)\to \operatorname {H} _{*}^{\mathrm {sing} }(M)^{*},\,[\omega ]\mapsto \left([\sigma ]\mapsto \int _{\sigma }\omega \right)}$

เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์^{[ 7 ]}

ทฤษฎีบทนี้มีผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ (ซึ่งคุ้นเคยกันดีจากแคลคูลัส) กล่าวคือรูปแบบเชิงอนุพันธ์ ปิด จะเป็นแบบแม่นยำก็ต่อเมื่อการอินทิเกรตของมันเหนือวัฏจักรใดๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์ สำหรับรูปแบบหนึ่งมิติ หมายความว่ารูปแบบหนึ่งมิติปิดจะเป็นแบบแม่นยำ (กล่าวคือ ยอมรับฟังก์ชันศักย์) ก็ต่อเมื่อเป็นอิสระจากเส้นทางนี่คือข้อความในแคลคูลัสอย่างแท้จริง ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \int _{\gamma }\omega }$${\displaystyle \gamma }$

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทเดอแรมเวอร์ชันปัจจุบัน (รูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์การกระจาย) ซึ่งกล่าวว่าโคฮอโมโลยีเอกฐานสามารถคำนวณได้เป็นโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์ของกระแส ^{[ 8 ]}เวอร์ชันนี้อ่อนกว่าในแง่ที่ว่าไอโซมอร์ฟิซึมไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน (เนื่องจากกระแสไม่สามารถคูณกันได้ ดังนั้นปริภูมิของกระแสจึงไม่ใช่วงแหวน)