ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์ที่บกพร่องคือเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่มีฐานเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะที่สมบูรณ์ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ ทแยงมุมได้โดย เฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์จะบกพร่องก็ต่อเมื่อไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น^{[ 1 ]}ฐานที่สมบูรณ์ถูกสร้างขึ้นโดยการเพิ่มเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ บกพร่อง และปัญหาอื่นๆ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$

เมท ริกซ์ที่บกพร่องจะมี ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันน้อยกว่า ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันเสมอ เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ที่เป็น อิสระ เชิงเส้นเสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์ที่บกพร่องจะมีค่าลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งค่าที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิต (นั่นคือ เป็นราก ซ้ำ ของพหุนามลักษณะเฉพาะ ) แต่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับ ค่าลักษณะเฉพาะนั้นน้อยกว่าค่าลักษณะเฉพาะ นั้น หากความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตของ ค่าลักษณะเฉพาะ นั้นเกินกว่าความซ้ำซ้อนเชิงเรขาคณิต (นั่นคือ จำนวนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับ ค่าลักษณะเฉพาะ นั้น) แล้ว ค่าลักษณะเฉพาะนั้น จะเรียกว่าเป็น ค่าลักษณะ เฉพาะที่บกพร่อง^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ค่าลักษณะเฉพาะทุกค่าที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิต จะมี เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้น เสมอ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

เมทริกซ์สมมาตรจริง และโดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและเมทริกซ์ยูนิแทรีจะไม่เป็นเมทริกซ์บกพร่อง และโดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์ปกติ (ซึ่งรวมถึงเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและเมทริกซ์ยูนิแทรีเป็นกรณีพิเศษ) ก็จะไม่เป็นเมทริกซ์บกพร่องเช่นกัน

บล็อกจอร์แดน ที่ไม่ใช่บล็อก ธรรมดาที่มีขนาดตั้งแต่หรือใหญ่กว่า (กล่าวคือ ไม่เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมโดยสมบูรณ์) ถือว่ามีข้อบกพร่อง (เมทริกซ์ทแยงมุมเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบปกติของจอร์แดนที่มีบล็อกจอร์แดนธรรมดาทั้งหมดที่มีขนาดและไม่มีข้อบกพร่อง) ตัวอย่างเช่นบล็อกจอร์แดน ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

มีค่าไอเกนโดยมีความซ้ำเชิงพีชคณิต(หรือมากกว่านั้นหากมีบล็อกจอร์แดนอื่นที่มีค่าไอเกนเดียวกัน) แต่มีเวกเตอร์ไอเกนที่แตกต่างกันเพียงหนึ่งเดียวโดยที่เวกเตอร์ฐานแคนอนิกอื่นๆก่อตัวเป็นสายโซ่ของเวกเตอร์ไอเกนทั่วไป โดยที่ สำหรับ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle Jv_{1}=\lambda v_{1}}$${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$

เมทริกซ์ที่มีข้อบกพร่องใดๆ จะมีรูปแบบปกติของจอร์แดน ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์ ซึ่งใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้กับการหาเมทริกซ์ทแยงมุมของเมทริกซ์ดังกล่าว

ตัวอย่างง่ายๆ ของเมทริกซ์ที่บกพร่องคือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

ซึ่งมีค่าไอเกน คู่ เท่ากับ 3 แต่มีเวกเตอร์ไอเกนที่แตกต่างกันเพียงหนึ่งเดียว

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(และจำนวนเท่าคงที่ของจำนวนนั้น)

• รูปแบบปกติของจอร์แดน  – รูปแบบของเมทริกซ์ที่แสดงค่าลักษณะเฉพาะและจำนวนเท่าเชิงพีชคณิตของค่าลักษณะเฉพาะเหล่านั้น