ในสาขา วิชา คณิตศาสตร์ทฤษฎีเมทริกซ์ เมทริกซ์จอร์แดนซึ่งตั้งชื่อตามคามิลล์ จอร์แดนคือเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงบนริงR (ซึ่งเอกลักษณ์คือศูนย์(0)และหนึ่ง(1) ) โดยแต่ละบล็อกตามแนวทแยง เรียกว่าบล็อกจอร์แดนมีรูปแบบดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.}$$

บล็อกจอร์แดนแต่ละ บล็อก ถูกกำหนดโดยมิติnและค่าลักษณะเฉพาะ λ และเขียนแทนด้วยJ _{λ, n}โดยเป็นเมทริกซ์ที่มีค่าเป็นศูนย์ทุกตำแหน่งยกเว้นแนวทแยงมุมซึ่งมีค่าเป็น 1 และแนวทแยงมุมด้านบนซึ่งมีค่าเป็น 1 ทั้งหมด ${\displaystyle \lambda \in R}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \lambda }$

เมทริกซ์บล็อกแนวทแยงใดๆ ที่มีบล็อกเป็นบล็อกจอร์แดน เรียกว่าเมทริกซ์จอร์แดน เมทริกซ์จัตุรัสขนาด ( n ₁ + ⋯ + n _r ) × ( n ₁ + ⋯ + n _r )นี้ประกอบด้วย บล็อกแนวทแยง rบล็อก สามารถเขียนย่อได้เป็นหรือโดยที่บล็อก จอร์แดนที่ iคือJ _{λ i , n i}${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}}$${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)}$

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์นี้ เป็นเมทริกซ์จอร์แดนขนาด10 × 10 ที่มี บล็อก ขนาด 3 × 3 ที่มี ค่าไอเกนเป็น0บล็อกขนาด2 × 2สอง บล็อกที่มีค่าไอเกนเป็น หน่วยจินตนาการiและ บล็อกขนาด 3 × 3 ที่มีค่าไอเกนเป็น 7 โครงสร้างบล็อกจอร์แดนของเมทริก ซ์ นี้เขียนได้เป็น หรือdiag ( J _0,3 , J _{i ,2} , J _{i ,2} , J _7,3 )$${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&i&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]}$$${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}$

เมทริกซ์จัตุรัสn × nใดๆAที่มีองค์ประกอบอยู่ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตKจะคล้ายกับเมทริกซ์จอร์แดนJซึ่งอยู่ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตเช่นกันและมีลักษณะเฉพาะตัวโดยขึ้นอยู่กับการเรียงสับเปลี่ยนของบล็อกแนวทแยงมุมJเรียกว่ารูปแบบปกติของจอร์แดนของAและสอดคล้องกับการวางนัยทั่วไปของกระบวนการทำให้เป็นแนวทแยงมุม^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} เมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงมุมได้นั้น จริงๆ แล้วคล้ายกับกรณีพิเศษของเมทริกซ์จอร์แดน นั่นคือเมทริกซ์ที่มีบล็อกทั้งหมดเป็น1 × 1 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดเมทริกซ์จอร์แดนซึ่งบล็อกแนวทแยงมุม ที่ kคือบล็อกจอร์แดนJ _{λ k , m k}และองค์ประกอบแนวทแยงมุมอาจไม่แตกต่างกันทั้งหมดความหลากหลายทางเรขาคณิตของสำหรับเมทริกซ์Jซึ่งแสดงด้วยจะสอดคล้องกับจำนวนบล็อกจอร์แดนที่มีค่าไอเกนเป็นλในขณะที่ดัชนีของค่าไอเกนสำหรับJซึ่งแสดงด้วยถูกกำหนดให้เป็นมิติของบล็อกจอร์แดนที่ใหญ่ที่สุดที่เกี่ยวข้องกับค่าไอเกนนั้น ${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$${\displaystyle 1\leq k\leq N}$${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda \in K}$${\displaystyle \operatorname {gmul} _{J}\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \operatorname {idx} _{J}\lambda }$

เช่นเดียวกันกับเมทริกซ์A ทั้งหมด ที่คล้ายกับJซึ่งสามารถกำหนดได้ตามรูปแบบปกติของจอร์แดนของAสำหรับค่าลักษณะเฉพาะใดๆ ของมันในกรณีนี้สามารถตรวจสอบได้ว่าดัชนีของสำหรับAเท่ากับความซ้ำซ้อนของมันในฐานะรากของพหุนามขั้นต่ำของA (ในขณะที่ตามคำนิยามความซ้ำซ้อนทางพีชคณิต ของ สำหรับA , , คือความซ้ำซ้อนของมันในฐานะรากของพหุนามลักษณะเฉพาะของAนั่นคือ) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่เทียบเท่ากันสำหรับAที่จะทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ในKคือค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของมันมีดัชนีเท่ากับ1นั่นคือพหุนามขั้นต่ำของมันมีรากเดี่ยวเท่านั้น ${\displaystyle \operatorname {idx} _{A}\lambda }$${\displaystyle \lambda \in \operatorname {spec} A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \operatorname {mul} _{A}\lambda }$${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}$

โปรดทราบว่า การทราบสเปกตรัมของเมทริกซ์พร้อมด้วยค่าความซ้ำซ้อนทางพีชคณิต/เรขาคณิตและดัชนีทั้งหมด ไม่ได้หมายความว่าจะสามารถคำนวณรูปแบบปกติของจอร์แดน ได้เสมอไป (เงื่อนไขนี้อาจเพียงพอสำหรับเมทริกซ์ที่มีสเปกตรัมเรียบง่าย ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นเมทริกซ์มิติที่ต่ำ) อันที่จริง การหาแบบฟอร์มปกติของจอร์แดนนั้นโดยทั่วไปแล้วเป็นงานที่ท้าทายทางด้านการคำนวณ จาก มุมมองของ ปริภูมิเวกเตอร์แบบฟอร์มปกติของจอร์แดนเทียบเท่ากับการหาการแยกส่วนเชิงตั้งฉาก (นั่นคือ ผ่านผลรวมโดยตรงของปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะที่แสดงโดยบล็อกจอร์แดน) ของโดเมน ซึ่งเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป ที่เกี่ยวข้อง เป็นฐานสำหรับ

ให้A เป็น เมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด n × nและ A เป็น เมทริกซ์ การเปลี่ยนฐานไปยังรูปแบบปกติของจอร์แดนของAนั่นคือA = C ⁻¹ JCตอนนี้ให้f ( z )เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิด z โดยที่ z = z นั่นคือ สเปกตรัมของเมทริกซ์ z อยู่ภายในโดเมนของโฮโลมอร์ฟิกของfให้ f(z) เป็น อนุกรม กำลังของfรอบ z ซึ่งต่อไปนี้จะถือว่าเป็น0เพื่อความง่าย เมทริกซ์f ( A )ถูกกำหนดโดยอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ ต่อไปนี้ และลู่เข้าสัมบูรณ์เทียบกับนอร์มยุคลิดของz กล่าวอีกนัยหนึ่งf ( A )ลู่เข้าสัมบูรณ์สำหรับทุกเมทริกซ์จัตุรัสที่มีรัศมีสเปกตรัมน้อยกว่ารัศมีของการลู่เข้าของfรอบ0และลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับใด ๆ ของz ที่มีคุณสมบัตินี้ในโทโพโลยี กลุ่ม Lie ของเมทริกซ์${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C} }$$${\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}}$$${\displaystyle z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A}$$${\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}}$$${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$

รูปแบบปกติของจอร์แดนช่วยให้สามารถคำนวณฟังก์ชันของเมทริกซ์ได้โดยไม่ต้องคำนวณอนุกรมอนันต์ อย่างชัดเจน ซึ่งเป็นหนึ่งในความสำเร็จหลักของเมทริกซ์จอร์แดน โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า กำลังที่ k ( ) ของเมทริกซ์บล็อก แนวทแยง คือเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงที่มีบล็อกเป็น กำลังที่ kของบล็อกที่เกี่ยวข้อง นั่นคือและA ^k = C ⁻¹ J ^k Cอนุกรมกำลังของเมทริกซ์ข้างต้นจึงกลาย เป็น${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }$

$${\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C}$$

โดยที่อนุกรมสุดท้ายไม่จำเป็นต้องคำนวณอย่างชัดเจนผ่านอนุกรมกำลังของบล็อกจอร์แดนทุกบล็อก อันที่จริง ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกใดๆของบล็อกจอร์แดนจะมีอนุกรมกำลังจำกัดรอบ ๆเพราะในที่นี้คือส่วนที่เป็นนิลโพเทนต์ของและมีค่าเป็น 0 ทั้งหมด ยกเว้น 1 ตาม แนวทแยงมุม ดังนั้นจึงเป็น เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \lambda \in \Omega }$${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)}$${\displaystyle \lambda I}$${\displaystyle Z^{n}=0}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle J}$${\displaystyle Z^{k}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$$${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.}$$

ด้วยเหตุนี้ การคำนวณฟังก์ชันใดๆ ของเมทริกซ์จึงทำได้ง่ายเมื่อทราบรูปแบบปกติของจอร์แดนและเมทริกซ์เปลี่ยนฐานของเมทริกซ์นั้นแล้ว ตัวอย่างเช่น การใช้เมทริกซ์ผกผันของคือ: ${\displaystyle f(z)=1/z}$${\displaystyle J_{\lambda ,n}}$$${\displaystyle J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.}$$

นอกจากนี้spec f ( A ) = f (spec A ) ; นั่นคือ ค่าลักษณะเฉพาะทุกค่าสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะแต่โดยทั่วไปแล้วจะมีค่าความซ้ำซ้อนทางพีชคณิตค่าความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิต และดัชนีที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ค่าความซ้ำซ้อนทางพีชคณิตสามารถคำนวณได้ดังนี้: ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$${\displaystyle f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)}$$${\displaystyle {\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .}$$

ฟังก์ชันf ( T )ของการแปลงเชิงเส้นTระหว่างปริภูมิเวกเตอร์สามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกันตามแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกโดยที่ ทฤษฎี ปริภูมิบานาคและพื้นผิวรีมันน์มีบทบาทพื้นฐาน ในกรณีของปริภูมิที่มีมิติจำกัด ทฤษฎีทั้งสองจะสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์

สมมติว่าระบบพลวัต (ที่ซับซ้อน) นั้นถูกกำหนดอย่างง่ายๆ ด้วยสมการต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}}$$

โดยที่เป็นพารามิเตอร์เส้นโค้ง ( nมิติ) ของวงโคจรบนพื้นผิวรีมันน์ของระบบพลวัต ในขณะที่A ( c )เป็น เมทริก ซ์ เชิงซ้อน n × nซึ่งองค์ประกอบเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของ พารามิเตอร์ dมิติ${\displaystyle \mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}}$

แม้ว่า(นั่นคือAขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์c อย่างต่อเนื่อง ) รูปแบบปกติของจอร์แดนของเมทริกซ์จะถูกเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องเกือบทุกที่บนแต่โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ทุกที่: มีซับแมนิโฟลด์วิกฤตบางส่วนของซึ่งรูปแบบจอร์แดนจะเปลี่ยนโครงสร้างอย่างฉับพลันเมื่อใดก็ตามที่พารามิเตอร์ตัดผ่านหรือเพียงแค่ "เคลื่อนที่" ไปรอบๆ ( โมโนโดรมี ) การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวหมายความว่าบล็อกจอร์แดนหลายบล็อก (ไม่ว่าจะอยู่ในค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันหรือไม่) รวมกันเป็นบล็อกจอร์แดนเดียว หรือในทางกลับกัน (นั่นคือ บล็อกจอร์แดนหนึ่งบล็อกแยกออกเป็นสองบล็อกหรือมากกว่านั้น) หลายแง่มุมของทฤษฎีการแยกสาขาสำหรับระบบพลวัตทั้งแบบต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่องสามารถตีความได้ด้วยการวิเคราะห์เมทริกซ์จอร์แดนเชิงฟังก์ชัน ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

จาก พลวัต ของปริภูมิสัมผัสหมายความว่า การแยกส่วนเชิงตั้งฉากของปริภูมิเฟส ของระบบพลวัต จะเปลี่ยนแปลงไป และตัวอย่างเช่น วงโคจรที่แตกต่างกันอาจได้รับความเป็นคาบ หรือสูญเสียความเป็นคาบ หรือเปลี่ยนจากความเป็นคาบแบบหนึ่งไปเป็นอีกแบบหนึ่ง (เช่นการเพิ่มคาบเป็นสองเท่า ดู แผนที่โลจิสติกประกอบ)

กล่าวโดยสรุป พฤติกรรมเชิงคุณภาพของระบบไดนามิกดังกล่าวอาจเปลี่ยนแปลงไปอย่างมากเมื่อรูปแบบปกติของจอร์แดนของA ( c ) เปลี่ยนแปลงไป

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบพลวัตคือระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ กล่าวคือ ให้และ: ซึ่งการหาคำตอบโดยตรงในรูปแบบปิดนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล : ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$$

อีกวิธีหนึ่ง หากคำตอบจำกัดอยู่เฉพาะในปริภูมิเลเบส ท้องถิ่น ของ สนามเวกเตอร์ nมิติคือการใช้การแปลงลาปลาสในกรณีนี้ ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)}$$${\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$$

ฟังก์ชันเมทริกซ์( A − sI ) ⁻¹เรียกว่าเมทริกซ์ตัวผกผันของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ มันเป็น เมทริกซ์ เมโรเมอร์ฟิกเมื่อเทียบกับพารามิเตอร์เชิงซ้อนเนื่องจากองค์ประกอบเมทริกซ์ของมันเป็นฟังก์ชันตรรกยะที่มีตัวส่วนเท่ากับdet( A − sI ) สำหรับทุก ๆ จุดเอกฐานเชิงขั้วของมันคือค่าไอเกนของAซึ่งมีอันดับเท่ากับดัชนีของมัน นั่นคือ. ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }$

• การสลายตัวของจอร์แดน
• จอร์แดนรูปแบบปกติ
• แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
• เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล
• ลอการิทึมของเมทริกซ์
• ระบบพลวัต
• ทฤษฎีการแยกสาขา
• พื้นที่สถานะ (การควบคุม)