การประมาณค่าของเดอร์จาเกวิน (หรือบางครั้งเรียกว่าการประมาณค่าความใกล้เคียง ) ซึ่งตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียบอริส เดอร์จาเกวินแสดง โปรไฟล์ แรงที่กระทำระหว่างวัตถุที่มีขนาดจำกัดในแง่ของโปรไฟล์แรงระหว่างผนังกึ่งอนันต์ระนาบสองอัน^{[ 1 ]}การประมาณค่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมาณแรงระหว่างอนุภาคคอลลอยด์เนื่องจากแรงระหว่างวัตถุระนาบสองอันมักจะคำนวณได้ง่ายกว่ามาก การประมาณค่าของเดอร์จาเกวินแสดงแรงF ( h ) ระหว่างวัตถุสองอันเป็นฟังก์ชันของการแยกพื้นผิวดังนี้^{[ 2 ]}

${\displaystyle F(h)=2\pi R_{\rm {eff}}W(h),}$

โดยที่W ( h ) คือพลังงานปฏิสัมพันธ์ต่อหน่วยพื้นที่ระหว่างผนังระนาบทั้งสอง และReff รัศมีประสิทธิผล เมื่อวัตถุทั้งสองเป็นทรงกลมสองลูกที่มีรัศมีR2ตามลำดับรัศมีประสิทธิผลจะกำหนดโดย

${\displaystyle R_{\rm {eff}}^{-1}=R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}.}$

โปรไฟล์แรงเชิงทดลองระหว่างวัตถุขนาดใหญ่ที่วัดด้วยอุปกรณ์แรงพื้นผิว (SFA) ^{[ 3 ]}หรือเทคนิคโพรบคอลลอยด์^{[ 4 ]} มักจะ รายงานเป็นอัตราส่วนF ( h )/ R

แรงF ( h ) ระหว่างวัตถุสองชิ้นมีความสัมพันธ์กับพลังงานอิสระปฏิสัมพันธ์U ( h ) ดังนี้

${\displaystyle F(h)=-{dU \over dh},}$

โดยที่hคือระยะห่างระหว่างพื้นผิว ในทางกลับกัน เมื่อทราบลักษณะของแรงแล้ว เราสามารถประเมินพลังงานปฏิสัมพันธ์ได้ดังนี้

${\displaystyle U(h)=\int _{h}^{\infty }F(h')\,dh'.}$

เมื่อพิจารณาผนังระนาบสองด้าน ปริมาณที่เกี่ยวข้องจะแสดงเป็นต่อหน่วยพื้นที่แรงดันแยกตัวคือแรงต่อหน่วยพื้นที่และสามารถแสดงได้ด้วยอนุพันธ์

${\displaystyle \Pi (h)=-{dW \over dh},}$

โดยที่W ( h ) คือพลังงานอิสระของพื้นผิวต่อหน่วยพื้นที่ ในทางกลับกัน เราจะได้ว่า

${\displaystyle W(h)=\int _{h}^{\infty }\Pi (h')\,dh'.}$

ข้อจำกัดหลักของการประมาณค่าของ Derjaguin คือใช้ได้เฉพาะที่ระยะทางที่เล็กกว่าขนาดของวัตถุที่เกี่ยวข้องมาก กล่าวคือh ≪ R และh ≪ R ยิ่งไปกว่านั้น เป็นการประมาณค่าแบบต่อเนื่องดังนั้นจึงใช้ได้ที่ระยะทางที่มากกว่าขนาดความยาว ของโมเลกุล แม้ว่าจะมีพื้นผิวขรุขระเข้ามาเกี่ยวข้อง การประมาณค่านี้ก็แสดงให้เห็นว่าใช้ได้ในหลายสถานการณ์^{[ 5 ]}ช่วงความถูกต้องของมันถูกจำกัดไว้ที่ระยะทางที่มากกว่าขนาดลักษณะเฉพาะของ คุณลักษณะ ความขรุขระของพื้นผิว (เช่น ความขรุขระ รากกำลังสองเฉลี่ย )

รูปทรงเรขาคณิตที่พิจารณาบ่อยมักเกี่ยวข้องกับการปฏิสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมสองลูกที่เหมือนกันซึ่งมีรัศมีRโดยที่รัศมีประสิทธิผลจะกลายเป็น

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R/2.}$

ในกรณีของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมรัศมีRกับพื้นผิวระนาบ จะได้ว่า

${\displaystyle R_{\rm {eff}}=R.}$

ความสัมพันธ์ทั้งสองข้างต้นสามารถได้มาเป็นกรณีพิเศษของนิพจน์สำหรับR ที่ให้ไว้ข้างต้น สำหรับสถานการณ์ของทรงกระบอกที่ตัดกันในแนวตั้งฉากดังที่ใช้ในอุปกรณ์แรงพื้นผิว จะได้ว่า

${\displaystyle R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},}$

โดยที่R และR คือรัศมีของความโค้งของทรงกระบอกทั้งสองที่เกี่ยวข้อง

พิจารณาแรงF ( h ) ระหว่างทรงกลมสองลูกที่เหมือนกันซึ่งมีรัศมีRเป็นตัวอย่าง พื้นผิวของทรงกลมทั้งสองนั้นถือว่าถูกตัดเป็นแผ่นกลมเล็กๆ ที่มีความกว้าง drและรัศมีrดังแสดงในรูป แรงนี้เกิดจากผลรวมของแรงดันที่เกิดจากการบวมตัวระหว่างแผ่นกลมทั้งสอง

${\displaystyle F=\int \Pi (x)\,dA,}$

โดยที่xคือระยะห่างระหว่างวงกลมทั้งสอง และdAคือพื้นที่ของวงกลมวงหนึ่ง ระยะห่างนี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตรx = h + 2yเมื่อพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัสบนสามเหลี่ยมสีเทาที่แสดงในรูป จะได้ว่า

${\displaystyle R^{2}=(ริ)^{2}+r^{2}.}$

เมื่อขยายนิพจน์นี้และตระหนักว่าy ≪ Rจะพบว่าพื้นที่ของวงกลมสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.}$

ตอนนี้สามารถเขียนแรงได้ดังนี้

${\displaystyle F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x)\,dx=\pi RW(h),}$

โดยที่W ( h ) คือพลังงานอิสระของพื้นผิวต่อหน่วยพื้นที่ที่กล่าวถึงข้างต้น เมื่อนำสมการข้างต้นมาใช้ ขีดจำกัดการอินทิเกรตบนจะถูกแทนที่ด้วยอนันต์ ซึ่งถูกต้องโดยประมาณตราบใดที่h ≪ R

ในกรณีทั่วไปของวัตถุนูนสองชิ้น รัศมีประสิทธิผลสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}}+{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_{2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,}$

โดยที่R' และR" คือรัศมีความโค้งหลักของพื้นผิวi = 1 และ 2 ซึ่งประเมินที่จุดที่มีระยะห่างใกล้ที่สุด และφคือมุมระหว่างระนาบที่เกิดจากวงกลมที่มีรัศมีความโค้งเล็กกว่า เมื่อวัตถุไม่เป็นทรงกลมรอบตำแหน่งที่ใกล้ที่สุดแรงบิดระหว่างวัตถุทั้งสองจะเกิดขึ้นและกำหนดโดย^{[ 6 ]}

${\displaystyle T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,}$

ที่ไหน

${\displaystyle V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.}$

สมการข้างต้นสำหรับทรงกลมสองลูกสามารถกู้คืนได้โดยการกำหนดให้R' = R" = R ในกรณีนี้แรงบิดจะหายไป

สูตรสำหรับทรงกระบอกสองอันที่ตั้งฉากกันได้มาจากR' = R และR" → ∞ในกรณีนี้ แรงบิดจะทำให้ทรงกระบอกตั้งฉากกันสำหรับแรงผลัก สำหรับแรงดึงดูด แรงบิดจะทำให้ทรงกระบอกอยู่ในแนวเดียวกัน

สูตรทั่วไปเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อประเมินแรงปฏิสัมพันธ์โดยประมาณระหว่างทรงรี^{[ 7 ]}

การประมาณค่าของ Derjaguin มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวเนื่องจากความเรียบง่ายและความเป็นทั่วไป เพื่อปรับปรุงการประมาณค่านี้ จึงมีการเสนอวิธีการรวมองค์ประกอบพื้นผิวและวิธีการรวมพื้นผิวเพื่อให้ได้การแสดงออกของแรงระหว่างวัตถุสองชิ้นที่แม่นยำยิ่งขึ้น ขั้นตอนเหล่านี้ยังพิจารณาถึงการวางแนวสัมพัทธ์ของพื้นผิวที่เข้าใกล้กันด้วย^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Zypman, FR (2006). "การแสดงออกที่แม่นยำสำหรับแรงและพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างระนาบคอลลอยด์กับอนุภาค พร้อมการประยุกต์ใช้กับกล้องจุลทรรศน์แรงอะตอม" J. Phys.: Condens. Matter . 8 (10): 2795– 2803. Bibcode : 2006JPCM...18.2795Z . doi : 10.1088/0953-8984/18/10/005 .